Chapitre 13 - LA DÉMARCHE DÉCISIONNELLE DANS LA MODÉLISATION D’UN BASSIN VERSANT
13.1 Choix, élaboration et utilisation d'un modèle de bassin 13.2 Typologie des modèles de bassin
13.3 Définition du bassin de drainage
13.4 Modélisation de la géométrie du bassin de drainage 13.4.1 Modèle agrégé (global-lumped)
13.4.2 Modèle discrétisé (distributed) 13.4.3 Modèle à sous-bassins
13.4.4 Modèle discrétisé en mailles 13.4.5 Catégorisation des modèles
13.5 Modélisation des processus physiques du bassin de drainage 13.5.1 Les fonctions de production
13.5.2 Les fonctions de transport 13.6 Le calage des modèles
13.6.1 L’inadéquation des composantes et de la structure du modèle 13.6.2 Les méthodes d’optimisation
13.6.3 Les méthodes d‘optimisation utilisées par les hydrologues 13.6.4 Les fonctions critère utilisées
13.6.5 Les types de fonctions critère
13.6.6 Les fonctions critère utilisées par les hydrologues 13.6.7 Les stratégies de calage utilisées par les hydrologues 13.6.8 Les méthodes de vérification utilisées
13.7 Analyse de sensibilité
13.7.1 Les principes de l’analyse de sensibilité 13.7.2 Les techniques de l’analyse de sensibilité 13.7.3 Les utilisations de l‘analyse de sensibilité 13.8 Exemples d’application
13.8.1 Etude du système hydrologique du lac Laflamme au Québec 13.8.2 Le modèle MDOR et son calage automatique
Bibliographie
13.1 Choix, élaboration et utilisation d’un modèle de bassin
La structuration sous la forme d'un modèle d'une combinaison de processus liés au cycle de l'eau s'effectue suivant un ordre particulier tel que le présentent les étapes du cheminement de modélisation de la figure 13-1. Cependant, la modélisation ne peut se faire sans identifier au préalable les objectifs généraux et spécifiques à l'intérieur desquels doit s'inscrire cette modélisation. En effet, ce sont ces objectifs qui définiront la nature et la variété des processus à modéliser, ainsi que l'ampleur et le niveau de précision de leur modélisation. Par exemple, on ne modélise pas pour obtenir un débit mensuel de la même façon que pour l'obtention d'un débit horaire. On ne fait pas le même modèle pour la gestion d'un barrage que pour le calcul des déversoirs de crue. On ne modélisera pas les processus de fonte de neige dans une région tropicale alors que dans une autre, le Québec par exemple, ils demeurent prépondérants pour la crue de printemps. Dans certaines régions où ce sont les processus d'écoulement souterrains qui dominent, l'accent sera mis sur l'hydrogéologie plutôt que sur l'hydrologie de surface.
Dépendamment du but poursuivi, si la modélisation se situe dans le contexte d'un inventaire général pour des fins de planification ou bien dans celui de l'aménagement du territoire ou encore dans celui du design d'ouvrage, la modélisation devra être plus ou moins complexe et plus ou moins précise en termes de représentativité de l'ensemble des processus.
Donc si la modélisation a pour but de fournir une information préliminaire celle-ci devra être simple et rapidement obtenue. Si par contre l'information doit être précise et complète pour fin de design de type d'ouvrage, la modélisation sera plus complète, plus complexe et plus précise. D'ores et déjà, on doit comprendre et conclure que l'utilisation ultérieure du modèle justifie, conditionne et guide la démarche de la modélisation. Parallèlement aux objectifs poursuivis, la réalisation de la démarche de modélisation devra prendre en compte trois contraintes de modélisation.
On notera en premier la nature, la qualité et la quantité de l'information disponible sur le bassin à modéliser. Si par exemple pour l'évaluation d'une probabilité de crue on ne dispose que de 5 ou 6 années d'observation, il est inutile d'utiliser un modèle stochastique de bassin du type loi de probabilité. Par contre, si cette observation s'étend sur 25 ou 30 ans, cette approche semble tout à fait appropriée. L'expérience acquise en modélisation des bassins versants (Deschesnes et Villeneuve, 1983; Ledoux, 1980; Bachmat et al., 1980; Fleming 1979, 1975;
Raudkivi, 1979, et Viessman et al., 1977) démontre que le degré de réussite en modélisation des systèmes hydrologiques repose, d'une part, sur l'hypothèse que l'information décrit au mieux la réalité du système et, d'autre part, sur le niveau de simplification que l'on peut faire du système réel pour que le problème soit abordable mathématiquement, conformément à la réalité. L'information a aussi une importance capitale pour la définition des pas de temps et d'espace. Si, par exemple, les données observées sur le bassin (précipitation, température, débit) sont au pas de temps journalier il serait illusoire de vouloir modéliser au pas de temps horaire. Si, par exemple, les données sur l'étendue de la géologie de la nappe sont de l'ordre de 5 km, il serait inutile, a priori, d'avoir une discrétisation spatiale plus fine que 5 km.
La deuxième contrainte à prendre en compte dans la modélisation du bassin est la nature du bassin et l'importance relative de chacun des processus qui s'y réalisent, et ce par rapport aux objectifs de la modélisation. Dans certaines régions du Québec, par exemple, la variabilité des processus d'hydrologie de surface est dominante par rapport à la stabilité des processus souterrains qui ont une importance relativement faible. Ce sont donc les processus de surface, c'est-à-dire de transferts verticaux et horizontaux à la surface qui recevront le plus d'attention.
En France, par contre, dans certaines régions où la géologie et la structure du bassin font que
l'écoulement est régi par le milieu souterrain, on attachera alors plus d'importance aux modèles de processus qui régissent ce type d'écoulement.
La troisième contrainte à considérer dans la démarche de modélisation d'un bassin versant est l'état actuel des connaissances des processus que l'on dit prendre en compte dans la poursuite des objectifs pour lesquels s'effectue la modélisation. L'état des connaissances inclut évidemment toutes les modélisations déjà acquises et qui se veulent et se présentent comme une modélisation efficace du processus considéré.
Comme on a pu le voir dans les autres chapitres, il existe une grande variété de modèles de processus; trois questions se posent alors dans la démarche de la modélisation du bassin où l'on a choisi d'inclure tel ou tel processus particulier parmi l'ensemble des autres.
Existe-t-il un ou plusieurs modèles du processus suffisamment élaboré et précis pour atteindre nos objectifs de modélisation? Si oui, lequel de ces modèles doit-on choisir? Si non, les connaissances actuelles sont-elles suffisantes pour améliorer ou développer un modèle de processus et est-ce que l'objectif poursuivi le justifie?
Enfin, notons que le cadre d'utilisation (contraintes de calcul, niveau technique de l'utilisateur, etc.) doit aussi faire partie des contraintes de la modélisation. Il faut alors tenir compte de la capacité d'obtention des données nécessaires au calage et à la mise au point du modèle, du niveau de difficulté et de complexité tant pour l'utilisation et l'opération du modèle que pour l'utilisation et l'interprétation des données issues de ce modèle.
D'une façon générale, on peut dire que le but ultime d'un modèle de bassin est d'aider par la compréhension des phénomènes et de leur comportement à prendre des décisions pour le mieux-être des humains. Cette utilisation du modèle de bassin s'inscrit dans le cadre plus général de la gestion des ressources en eau ou le but poursuivi est une utilisation rationnelle et optimale de la ressource eau. Pour atteindre ce but, différents objectifs plus spécifiques devront être fixés par le planificateur qui établit les politiques d'utilisation, de gestion, de valorisation des ressources en eau à court, à moyen et à long terme. Bien que ces politiques soient généralement définies pour l'ensemble du pays, c'est au niveau du bassin de drainage que se traduisent dans les faits les actions à prendre (aménagement, construction, opération), en prenant en compte le mieux possible les interrelations entre bassins.
13.2 Typologie des modèles de bassin
Dans les chapitres qui précèdent, on s'est penché sur la modélisation de chacun des processus et des éléments constitutifs du cycle de l'eau. On a traité de la précipitation, de l'interception, de l'évapotranspiration, du ruissellement, de l'infiltration, de l'écoulement en rivière, de l'écoulement souterrain et de la fonte de neige. On a alors modélisé ces processus et c'est à partir de ces modélisations, de leur regroupement, de leur intégration et de l'établissement de leurs interactions que l'on constitue un modèle de bassin.
L'appellation modèle de bassin est une notion particulière en ce sens que le modèle de bassin se veut une représentation macroscopique de l'ensemble des phénomènes hydrologiques, dont la réalisation conduit à la production d'un débit déterminé en quantité et en qualité. Le modèle de bassin est une représentation approximative et globalisante des processus sur des échelles de temps et d'espace assez grandes pour que les effets microscopiques soient amortis et intégrés macroscopiquement. Le modèle de bassin est aussi
une représentation incomplète de la réalité physique; comme on l'a dit précédemment, il privilégie les éléments du cycle de l'eau qui sont les plus importants en fonction de la nature du bassin, de la région et de la période considérée ainsi que des objectifs poursuivis lors de l'utilisation ultérieure du modèle.
Le modèle de bassin est un intégrateur des modèles décrivant les processus du cycle de l'eau. L'élément intégrateur, c'est le domaine fermé sur lequel on effectue le bilan hydrologique conduisant à l'évaluation du débit sortant. Dans cette intégration, le modèle de bassin ne retient des modèles des processus du cycle de l'eau que les éléments de base et significatifs en fonction de l'objectif global de la modélisation. En termes de système, les éléments qui ont pour mission de produire un débit constituent les sous-systèmes dont la représentation mathématique en est l'image et leur intégration est appelée modèle hydrologique de bassin.
Il existe deux grandes classes de modèle hydrologique de bassin de drainage: les modèles physiques et les modèles mathématiques. En raison des difficultés rencontrées pour le respect de la similitude, et en raison de l'échelle des phénomènes hydrologiques, les modèles physiques sont de peu d'intérêt, et ont une utilisation très limitée. Par contre, les modèles mathématiques surtout avec l'avènement des ordinateurs sont devenus d'une utilisation simple et fréquente. Ces modèles qui se veulent des représentations du bassin de drainage décrivent, par une formulation mathématique, les processus de la production d'un débit à partir d'une pluie.
Lawson (1974) établit une classification intéressante des modèles mathématiques de bassins. On retrouve sur la figure 13-2 ce schéma de classification.
Les modèles mathématiques hydrologiques peuvent être divisés en deux groupes: les modèles déterministes et les modèles stochastiques. Les modèles déterministes sont ceux qui transforment les entrées en une sortie unique qui est une série de débits. Les modèles stochastiques quant à eux, reproduisent des séquences de débits dont les caractéristiques statistiques respectent en moyenne celles des séries observées sur une base historique. Les séries de débits issues des modèles stochastiques contiennent donc un certain élément d'incertitude et de hasard.
Les modèles déterministes peuvent être séparés en modèles mathématiques à base physique et en modèles paramétriques. La différence entre ces deux types de modèles est ténue. Habituellement, le modèle à base physique se distingue du modèle paramétrique uniquement du fait que ses paramètres ou coefficients ont un sens physique et qu'ils peuvent être évalués directement par des mesures en laboratoire ou sur le terrain. Les modèles paramétriques quant à eux, voient leurs paramètres ou coefficients déterminés par des techniques d'essais et d'erreurs, ou par des techniques d'optimisation. Les modèles à base physique se veulent une description mathématique exacte alors que les modèles paramétriques se veulent des descriptions approchées, voire même empiriques, des processus. Cependant, on doit noter que lorsque l'on effectue le calage d'un modèle à base physique, on doit généralement ajuster ses coefficients et on réalise finalement que ces modèles devraient être considérés comme des modèles paramétriques.
Certains modèles paramétriques qui essaient de représenter au mieux la physique du processus pluie-débit, en reliant entre eux les différents éléments du cycle hydrologique, sont appelés ''conceptuels''. Si la conception particulière d'un modèle est telle que les paramètres
qui y sont utilisés ont une signification physique, ce modèle devrait être considéré comme ayant une base physique. Par contre, s'il n'a aucune base physique, un modèle dit conceptuel ne sera en réalité qu'un modèle boîte noire (empirique).
Les modèles déterministes paramétriques incluent les techniques statistiques (analyse multivariée, régression, analyse factorielle) et les méthodes analytiques (corrélation graphique, laminage des crues, méthode rationnelle, hydrogramme unitaire). La corrélation graphique peut être considérée comme le prédécesseur de la régression, alors que la méthode rationnelle et l'hydrogramme unitaire sont des modèles conceptuels très élémentaires.
Les modèles conceptuels seront dits agrégés s'ils représentent, en moyenne, ce qui se passe spatialement sur l'ensemble du bassin. Les modèles seront appelés distribués, si l'espace sur lequel ils s'appliquent est subdivisé en éléments où les caractéristiques changent, ce qui entraîne des changements dans la valeur des paramètres.
Pour bien comprendre ce qu'est un modèle de bassin en hydrologie, il faut d'abord définir la notion de bassin hydrologique, l'objet de la modélisation, le but de la modélisation, les différents types de modèles, et ensuite présenter quelques applications.
13.3 Définition du bassin de drainage
Le bassin de drainage est l'espace géographique de la réalisation conjointe des processus hydrologiques dont l'intégration conduit en particulier à la production d'un débit en un point.
Ce point, situé sur le parcours du cours d'eau, est l'exutoire d'une surface topographique délimitée par les lignes de crête passant par ce point de telle sorte que, sous l'action des forces de gravité, toute l'eau tombant sur cette surface s'écoulerait par ce point, si la surface était imperméable. La surface ainsi délimitée est appelée bassin versant topographique. Souvent, on identifiera les limites du domaine souterrain à celles du bassin versant, parce qu'en pratique les échanges au droit des limites du domaine souterrain sont souvent négligeables et, si elles ne le sont pas, on les prend en compte en termes d'échange. En réalité, le substrat n'est pas toujours imperméable et il arrive que la surface du bassin versant topographique et celle du domaine souterrain qui drainent les eaux au point d'exutoire ne soient pas identiques. On doit donc ajouter à la notion du bassin versant topographique, celle du bassin versant souterrain. Le bassin versant souterrain est le domaine en dessous de la surface du bassin versant topographique qui contribue au débit au point d'exutoire du bassin versant topographique.
Pour prendre en compte les deux notions de bassin établies précédemment, on a introduit la notion de bassin de drainage. On définit le bassin de drainage comme le domaine global (superficiel et souterrain) qui sert de support à la circulation de l'eau vers l'exutoire.
Puisque l'on a défini l'exutoire comme un point sur le parcours d'un cours d'eau, il peut exister en théorie une infinité de bassins de drainage; cependant en pratique on établira ce point d'exutoire à la station hydrométrique, à l'intersection de deux cours d'eau, à l'arrivée dans un lac, à l'endroit où le cours d'eau se jette dans un cours d'eau plus important, etc.
Lorsque l'on a établi un bassin de drainage, tout bassin qui s'y trouve inclus est appelé sous- bassin de drainage.
13.4 Modélisation de la géométrie du bassin de drainage
Le bassin étant le support physique de la réalisation des processus qui conduisent au débit, on doit donc en faire une représentation qui devra se comporter comme dans la réalité.
Le bassin est à la fois une surface sur laquelle l'eau tombe, s'écoule, s'infiltre, s'évapore et se stocke et un milieu souterrain où l'eau circule, se stocke et est évapotranspirée. Cette représentation de la physique du bassin liée aux processus hydrologiques nous conduit à maintenir une distinction des deux parties constitutives du bassin de drainage; le domaine de surface et le domaine du souterrain.
Cette séparation a conduit à différencier les modèles de bassin en fonction de l’importance qui est mise soit sur les processus de surface soit sur les processus souterrains ou encore sur les deux à la fois. On distingue ainsi les modèles d’hydrologie de surface, les modèles d’hydrologie souterraine et les modèles couplés. Les modèles d’hydrologie de surface sont ceux où l’accent est mis sur le ruissellement, l’évapotranspiration et où le souterrain est considéré comme un tout qui libère de l’eau dans sa contribution à la constitution du débit. Les modèles d’hydrologie souterraine, quant à eux, privilégient la circulation de l’eau dans les nappes et considèrent la surface uniquement comme une source d’apport à la nappe. Les modèles couplés ont comme objectifs de modéliser à la fois les écoulements de surface et les écoulements souterrains (sans privilégier l’un par rapport à l’autre) et de tenir compte des échanges entre le domaine souterrain et le domaine de surface.
On doit donc distinguer trois approches de modélisation de bassin de drainage en se basant sur l’importance des processus de cheminement de l’eau, c’est-à-dire en s’appuyant sur l’importance relative des écoulements superficiels et des écoulements souterrains. Mais avant d’aller plus loin dans la discussion de la modélisation des processus dans le cadre du modèle de bassin, on doit considérer la modélisation du bassin en tant qu’entité physique, siège des processus. Pour établir les différents types de modèles de bassin, on se base essentiellement sur les notions d’homogénéité et d’hétérogénéité.
13.4.1 Modèle agrégé (global-lumped)
La modélisation la plus simple d’un bassin consiste à considérer uniformes toutes les caractéristiques physiographiques et géomorphologiques sur l’ensemble du bassin. De plus, les données météorologiques d’entrée sont pondérées sur l’ensemble de la surface du bassin, et le débit est calculé en un seul point soit à l’exutoire de ce bassin. Les caractéristiques fondamentales d’un modèle global de bassin sont donc l’homogénéité spatiale des données d’entrée ainsi que l’homogénéité spatiale des caractéristiques physiographiques et géomorphologiques. De plus, le temps de parcours de l’eau n’est pas pris en compte d’une façon explicite. C’est donc un modèle où il n’y a ni discrétisation spatiale ni discrétisation par rapport au temps de parcours de l’eau. Ce type de modèle est utilisable lorsque les variations des caractéristiques du bassin et des données d’entrée sont faibles et que l’on ne s’intéresse qu’au débit qu’en un point.
On définit donc le modèle agrégé de bassin de drainage (global - lumped) comme un modèle où l’on a, pour l’ensemble du bassin, une seule entrée par variable météorologique, une même fonction pour représenter chacune des composantes du cycle de l’eau (le ruissellement, l’évaporation, l’infiltration, l’écoulement souterrain) et où l’on a une seule sortie (le débit).
On retrouve à la figure 13-3 un schéma d’un tel type de modèle.
13.4.2 Modèle discrétisé (distributed)
La caractéristique essentielle des modèles de bassins discrétisés est la prise en compte principalement de l’un ou l’autre des trois éléments suivants : hétérogénéité spatiale des caractéristiques physiographiques et/ou géomorphologiques, hétérogénéité spatiale des données d’entrée et/ou de sortie, temps de circulation de l’eau en surface et/ou en souterrain.
Dans le modèle agrégé, la notion de transfert, ou de temps de parcours de l’eau sur le bassin, est introduite d’une façon implicite dans les fonctions qui décrivent les écoulements, les vidanges et les stocks. En effet, si l’on a besoin d’en tenir compte on fera varier le temps de réponse des éléments producteurs d’eau du modèle par rapport à la sortie du bassin (exutoire).
Dans le modèle discrétisé, cette notion de transfert, ou de temps de parcours est prise en compte d’une façon explicite dans la modélisation de la circulation de l’eau sur le bassin ; on retrouve deux approches principales de modélisation. L’approche hydraulique (hydrodynamique) et l’approche hydrologique. Par exemple, l’une des méthodes de l’approche hydrologique consiste à repérer l’élément de bassin modélisé par rapport à son temps de réponse à l’exutoire ; dans ce cas, le débit total à l’exutoire est obtenu en sommant les sorties de chacun des éléments constitutifs des zones isochrones (Larrieu). Ce type de modèle que l’on appelle « matriciel » en raison de sa structure qui se présente sous forme de matrice, peut avoir des entrées distribuées et des paramètres de modélisation ou de représentation différents pour chaque élément dont la sortie est unique (agrégée).
À titre d’exemple, considérons un bassin versant où l’on a établi les zones isochrones d’écoulement superficiel et sur lequel il y a trois stations de précipitations telles que présentées à la figure 13-4. Les zones d’influence des stations de précipitation ayant été établies, on retrouve alors huit zones ou huit surfaces qui sont le résultat d’une discrétisation en fonction de leur temps de parcours par rapport à l’exutoire et en fonction de la précipitation qui les influence. On peut donc représenter la structure de cette modélisation par une matrice à deux entrées où l’intersection d’une ligne et d’une colonne détermine la surface sous l’influence d’une station et à un temps de parcours donné de l’exutoire. Si l’on se réfère aux schémas des figures 13-4 et 13-6, le modèle discrétisé du bassin versant peut être représenté par la matrice de la figure 13-5.
Cette matrice représente la répartition des surfaces en fonction de leur appartenance à une station de précipitation et en fonction du temps de parcours moyen de la sortie de chaque élément jusqu’à l’exutoire. Cette modélisation est donc une discrétisation spatiale et temporelle du bassin versant.
Sur chacune des surfaces ainsi obtenues, on utilisera une modélisation globale si l’élément de surface considéré est homogène ou peut être considéré comme tel. Si l’élément de surface ne peut être considéré comme homogène, on peut alors utiliser des éléments de discrétisation plus fins en fonction du degré d’hétérogénéité de l’élément de surface considéré. Dans ce dernier cas, on a un modèle discrétisé, en raison de la variabilité des données d’entrée, du synchronisme des écoulements, et de l’hétérogénéité de chacun des éléments de surface du bassin. On aura alors une combinaison de modèles agrégés, représentés par chacun des éléments de discrétisation et, même si le modèle de processus était identique pour chaque élément, la discrétisation serait maintenue par la variabilité des
données d’entrée de précipitation et par le fait que le synchronisme des éléments par rapport à l’exutoire est pris en compte.
13.4.3 Modèle à sous-bassins
L’hétérogénéité spatiale des caractéristiques hydrographiques et géomorphologiques du bassin de drainage se traduit en particulier par des variations du temps de parcours de l’eau sur le bassin. Pour mieux prendre en compte ces variations, on introduit dans la modélisation du bassin, le transfert tel qu’il existe en réalité, c’est-à-dire le transfert de l’eau d’un élément à l’autre sur le bassin. Le transfert est alors modulé en fonction des caractéristiques hydrologiques, hydrographiques et géomorphologiques du bassin de drainage et en fonction des caractéristiques hydrauliques du réseau d’écoulement.
Une première forme de modélisation de bassin qui a été réalisée dans ce cas consiste à séparer le bassin en sous-bassins homogènes ou quasi homogènes, et à transférer l’eau d’un sous-bassin à l’autre jusqu’à l’exutoire. On retrouve à la figure 13-7 un exemple de bassin ainsi séparé. Sur chaque sous-bassin, les processus du cycle de l’eau sont représentés par un modèle généralement agrégé pour le sous-bassin (figure 13-8). C’est l’ensemble des modèles agrégés dans les sous-bassins qui constitue une modélisation discrétisée du bassin versant. Le transfert de l’eau d’un sous-bassin à l’autre de l’amont vers l’aval se traduit par une fonction de transport qui tient compte des lois régissant la circulation de l’eau sur le bassin.
Si l’on veut aussi, dans le souterrain, prendre en compte d’une certaine façon le transfert de l’eau d’un sous-bassin à l’autre, on transférera alors l’eau dans le souterrain par une fonction de transfert souterrain qui prendra en compte les règles de l’écoulement souterrain (chapitre 11). Dans ce cas, le schéma de la figure 13-8 serait modifié en souterrain et prendrait la forme telle que présentée à la figure 13-9. On notera qu’à la figure 13-8, le schéma de modélisation se traduit par un modèle discrétisé en surface et agrégé pour le souterrain. Dans le schéma de la figure 13-9, le bassin de drainage est discrétisé en surface et en souterrain, on a donc un modèle totalement discrétisé en sous-bassins.
13.4.4 Modèles discrétisés en maille
Une autre approche de discrétisation de bassin de drainage, qui trouve son origine dans les techniques numériques, consiste à découper d’une façon mécanique et systématique les surfaces en parcelles carrées. Au Québec, ce type de découpage a été introduit d’abord pour constituer des banques de données physiographiques sur l’ensemble d’un territoire. Ces banques d’information ont été créées afin de permettre d’avoir rapidement accès à l’information hydrophysiographique lors d’études hydrologiques. Dans le cadre des modèles hydrologiques de bassin, on a voulu utiliser directement cette information. A ces données physiographiques, on ajoute le drainage, c’est-à-dire la direction privilégiée de l’écoulement sur chacune des parcelles. Pour ce faire, on utilise ce que l’on appellera la deuxième forme de découpage, le découpage en parcelles. On retrouve sur la figure 13-10 un exemple de découpage du bassin versant en parcelles. La dimension de la parcelle dépend de l’hétérogénéité spatiale des caractéristiques hydrographiques, géomorphologiques et physiographiques. L’hypothèse de base dans le choix de cette dimension consiste à considérer une dimension de parcelle telle que sur celle-ci l’ensemble des caractéristiques peuvent être considérées comme homogènes. Considérons le bassin de drainage de la figure 13-7 et discrétisons-le en parcelles selon les mêmes hypothèses d’homogénéité qui ont conduit à sa discrétisation en sous-bassin. Cette discrétisation apparaît à la figure 13-11. Dans ce cas, pour
se ramener à la modélisation du bassin tel que réalisée précédemment (figure 13-7) on considérera que les parcelles, 1, 2, 3, 5 et 6 ont les mêmes caractéristiques hydrographiques et géomorphologiques et représentent le sous-bassin « A » que les parcelles 7, 10, et ll représentent le sous-bassin « B » et que les parcelles 4, 8, 9, 12, 13, 14 et 15 représentent le sous-bassin « C’’. La différence essentielle entre la modélisation précédente basée sur les sous-bassins réels réside dans la circulation de l’eau tel qu’elle est représentée dans le modèle.
Dans le cadre de la modélisation en sous-bassins réels, l’eau des bassins A et B s’écoule globalement vers le bassin « C’’ qui lui vidange globalement l’eau à l’exutoire. Dans le cas présent, l’eau s’écoule d’une parcelle à l’autre vers l’exutoire. On constate que la discrétisation du modèle a augmenté d’un niveau, même si l’on considérait l’ensemble des parcelles d’un sous-bassin comme ayant les mêmes caractéristiques. Dans ce cas, c’est le cheminement de l’eau en surface qui augmente le niveau de discrétisation. Cette discrétisation en parcelles est très similaire dans l’approche à celle en bassins réels puisqu’à la limite on peut dire que chaque parcelle est un petit sous-bassin de forme fixe. La discrétisation en éléments a été aussi très utilisée pour ce qui a trait à la modélisation des écoulements souterrains (chapitre 10). Dans ce dernier cas, cette discrétisation a pour origine unique les techniques utilisées pour la solution des équations régissant les écoulements souterrains (différences finies, éléments finis).
13.4.5 Types de modèles
Il va de soi que la modélisation de la géométrie du bassin versant n’est pas toujours aussi départagée en discrétisation et non-discrétisation. Cependant, cette approche définit les limites entre lesquelles on peut situer de par leur représentation géométrique les modèles de bassin. Il existe en pratique deux combinaisons principales qui sont réalisées avec les modèles agrégés et les modèles discrétisés suivant l’importance relative des processus que l’on a à modéliser.
La première est un modèle discrétisé en surface pour représenter l’hydrologie superficielle dans lequel l’écoulement souterrain est traité de façon simplifiée ou est pris en compte de façon globale tel que le montre le schéma de la figure 13-12. Les modèles Stanford (Crawford et Linsley, 1966), SSARR (U.S. Army Corps of Engineers, 1975), CEQUEAU (Morin et al., 1981) et MDOR (Villeneuve et al., 1984) en sont quelques exemples. Pour une bonne revue de l’ensemble des modèles de surface développés jusqu’à maintenant, on peut consulter Fleming (1979). Cette catégorie de modèle s’utilise dans le cas où l’écoulement souterrain est peu variable et/ou peu important par rapport à l’écoulement total à l’exutoire.
La deuxième combinaison consiste en un modèle souterrain discrétisé et un modèle global d’hydrologie superficielle. Généralement, l’écoulement de surface est soit considéré comme une condition aux limites ou soit complètement négligé (comme l’indique la figure 13-13). Parmi les modèles de ce type, les plus utilisés, on peut citer ceux décrits par Trescott et al. (1976), par Ledoux (1975) (NEWSAM) et par Prickett et Lonquist (1971).
Bachmat et al. (1980) citent la plupart des modèles d’écoulements souterrains construits et disponibles actuellement. Cette catégorie de modèles s’utilise quand la nappe souterraine constitue le domaine principal de l’écoulement.
Cependant, dans le cas des vastes bassins sédimentaires où les précipitations sont abondantes et le climat humide, la part des écoulements de surface et celle des écoulements souterrains sont souvent aussi importantes en termes de quantité et de variation. Il convient donc d’envisager dans de tels cas un modèle hydrologique représentant le système du bassin
versant d’une façon la plus réaliste possible en simulant conjointement les écoulements de surface et les écoulements souterrains.
L’utilisation d’un modèle intégrant les écoulements de surface et les écoulements souterrains a l’avantage de pouvoir tenir compte de la totalité des apports en eau sur un bassin hydrologique tout en considérant l’influence réciproque éventuelle de chacune des composantes terrestres du cycle hydrologique. Ce type de modèle procure un outil de synthèse adéquat pouvant effectuer un contrôle efficace des termes du bilan hydrique et donnant la possibilité de répondre à de nombreuses questions soulevées par les problèmes régionaux de ressources en eau impliquant les eaux de surface et souterraines. Par exemple, un tel outil peut permettre d’envisager l’étude de l’effet de l’exploitation des aquifères sur le régime des eaux de surface, tout particulièrement durant les périodes d’étiages (Miles et Rushton, 1983 ; Refsgaard et Hansen, 1982 ; Besbes et al., 1980 ; Emsellem, 1971). L’intérêt porté au développement de modèles d’écoulements intégrés est récent (1970). Quelques modèles sont apparus dont les plus représentatifs ont été décrits par Knapp et al. (1975), Girard, Ledoux et Villeneuve (1981) ; Refsgaard et Hansen (1982) et par Miles et Rushton (1983).
Généralement, ces modèles se discrétisent dans le plan horizontal et vertical suivant les couches souterraines (figure 13-14). Ils emploient soit le mode de discrétisation en sous- bassins ou celui en mailles ou encore une combinaison des deux.
13,5 Modélisation des processus physiques du bassin de drainage
La modélisation des processus physiques qui participent à la formation du débit sur un bassin de drainage est intimement liée à la modélisation de la géométrie du bassin. Bien que l’on sépare ici la modélisation d’un bassin de drainage en différentes étapes dans la mise au point et le développement d’un modèle, elles sont réalisées en interactions les unes avec les autres. Ce n’est que pour simplifier la compréhension du cheminement de la modélisation que l’on a séparé la modélisation des processus hydrologiques de la modélisation de la géométrie du bassin versant.
En se basant sur la représentation conceptuelle d’un bassin versant tel qu’il apparaît à la figure 13-15, on reconnaît différents processus que l’on devra prendre en compte dans une démarche de modélisation déterministe. On regroupe habituellement ces processus hydrologiques dans deux schémas conceptuels pour fin de modélisation. En général, on établit ces deux schémas en considérant d’une part, la circulation verticale de l’eau, et d’autre part, la circulation horizontale. Ces aspects sont pris en compte par des sous-modèles que l’on appelle fonctions de production et fonctions de transport.
13.5.1 Les fonctions de production
On appelle fonction de production un modèle qui, sur un bassin de drainage, représente tous les échanges verticaux et qui évalue et quantifie les volumes qui seront éventuellement transférés horizontalement ; un tel modèle fait appel à des sous-modèles qui représentent l’évaporation, l’infiltration, la percolation, la recharge des nappes souterraines, les volumes de ruissellements superficiels et hypodermiques et les volumes de vidange des nappes. Les fonctions de production ont donc pour but essentiel d’évaluer les quantités d’eau qui seront disponibles d’abord pour les échanges verticaux et ensuite les volumes qui participeront à la constitution du débit et qui éventuellement se retrouveront à l’exutoire. En se référant au schéma de la figure 13-16, on note que tous les processus mentionnés précédemment se traduisent conceptuellement par des échanges verticaux ; ils font donc partie du schéma de
modélisation des fonctions de production. Ce schéma structurel de modélisation qui met bien en évidence les échanges verticaux permet d’établir les relations d’évaluation des volumes disponibles pour la circulation horizontale.
On distingue principalement deux conceptions dans la réalisation des fonctions de production selon qu’elles se veulent ou non représentatives de la physique des phénomènes.
Ces deux approches, sans être contradictoires, sont cependant très différentes. Il y a l’approche de l’analyse de système qui essaie de modéliser les processus, de décrire les interactions et d’établir l’interdépendance entre ces processus. L’autre approche qui s’attarde moins à représenter les processus sur une base physique, consiste a utiliser des modélisations mathématiques éprouvées, dont les entrées - sorties sont une relation de cause à effet et à essayer de les rendre compatibles à la reproduction du débit. On distinguera donc deux grandes classes de modèles de fonction production : le modèle analytique conceptuel et le modèle de boîte noire. Évidemment, ces deux modélisations identifient plutôt deux types précis de modèles, mais il existe toujours de nombreuses variantes qui se situent plus ou moins près de l’une ou l’autre.
a) L’interception
Lorsqu’il y a précipitation, le premier des processus à se produire est le processus d’interception. Les modèles qui prennent en compte l’interception le font en retirant à la précipitation une certaine lame d’eau. Il y a de nombreux modèles qui considèrent ce processus comme on peut le constater au tableau 13-1 où sont donnés en résumés, pour différents modèles, les processus simulés ainsi que l’approche de modélisation retenue.
b) La neige
Lorsqu’il y a présence de neige au sol, l’eau disponible à la surface du sol provient du manteau nival et est principalement due à la fonte. Une représentation complète du processus de fonte nécessite la connaissance de tous les apports énergétiques au manteau nival : énergie radiative nette ; transfert de chaleur sensible ; transfert de chaleur latente ; apport calorifique des précipitations ; apport de chaleur du sol.
Les données relatives à ces différents apports étant rarement disponibles, la plupart du temps seule la température est utilisée pour simuler le processus de fonte. La représentation utilisée par plusieurs modélisateurs (tableau 13.1) repose sur les travaux effectués par le U.S.
Corps of Engineers (1956). Dans leur modèle, ils séparent le processus de fonte en trois temps. Dans un premier temps, la fonte n’est possible que si la température de l’air est supérieure au seuil de fonte. Dans un second temps, la lame d’eau de fonte produite en surface c.-à-d. la fonte potentielle ne sera totalement disponible à l’interface neige sol que si le stock de neige est suffisamment transformé. Dans un troisième temps, s’il y a pluie, la lame d’eau associée à cette dernière ne sera totalement disponible à l’interface neige-sol que dans la mesure où la température du stock de neige est égale ou supérieure à la température du seuil de fonte. Si elle est inférieure, la lame d’eau regèlera totalement ou en partie, selon la grandeur du déficit énergétique.
D’autres, tel que Nielsen et Hansen (1973), considèrent dans leur modèle de fonte un seul terme, qui est en fait la fonte potentielle :
F = C ∙ T (13,1)
F : Fonte en mm ;
C : Taux de fonte mm/°C ; T : Température en °C.
Dans le modèle U.B.C. développé à l’Université de la Colombie-Britannique (Quick et Pipes, 1977), on utilise la même relation. Cependant, T est une « température modifiée » constituée de deux termes : la température moyenne et un coefficient qui prend en compte l’amplitude quotidienne de température et la température minimale. Le premier terme estime l’apport énergétique par convection et le second estime l’énergie radiative nette ainsi que l’énergie due au transfert de chaleur latente.
c) Infiltration
L’eau provenant, soit de la fonte, soit directement de la pluie (ou des deux à la fois), constitue la lame d’eau disponible qui passe de la surface du sol jusque dans le sol. Ce processus d’infiltration est dû à l’effet combiné d’une composante de diffusion et d’une composante de transmission (Eagleson, 1970). La composante de diffusion est responsable du transfert rapide de l’eau au début d’une précipitation au moment où le gradient d’humidité entre la surface et les couches inférieures est élevé. Avec l’augmentation du contenu en eau du sol la composante de diffusion est moins importante et dans le cas limite d’un sol saturé, le transfert sera essentiellement dû à la composante de transmission, c’est-à-dire à l’écoulement gravitaire. Ainsi le taux de transfert de l’eau, c’est-à-dire le taux d’infiltration est maximum au début de la précipitation et décroît par la suite. Si, à un instant donné, l’intensité de précipitation est supérieure au taux d’infiltration, il y aura alors accumulation d’eau en surface et ruissellement. Un grand nombre de modèles représentent l’évolution du taux limite d’infiltration par l’équation de Holtan (Glymph et al., 1971):
𝐼𝐿 = 𝐼0+ 𝛼𝑆𝑛 (13.2)
IL: taux limite d’infiltration ;
Io: taux limite d’infiltration lorsque le sol est saturé ; fonction de la nature du sol ;
α: coefficient d’utilisation du sol, fonction du degré de croissance et de la densité à maturité du type de culture ;
n: exposant fonction de la texture du sol ;
S: capacité résiduelle du sol (volume disponible - volume occupé par l’eau retenue).
D’autres modèles font intervenir le temps pour calculer le taux d’infiltration limite ; en exemple, l’équation de Philips prend la forme (Eagleson, 1970):
𝐼𝐿 = 𝐼0+ 𝛽−𝛼𝜃 𝑡−
1
2 (13.3) β, α: termes caractéristiques du sol ;
Θ: taux d’humidité du sol (fraction de la porosité occupée par l’eau retenue) ; t: temps depuis le début de la précipitation.
Mentionnons finalement que certains auteurs considèrent un taux limite d’infiltration constant, fonction de la nature du sol (voir tableau 13.1).
d) La percolation
Le terrain constitue un milieu poreux au sein duquel on peut observer de grandes variations de caractéristiques (porosité, conductivité hydraulique, etc.). On peut supposer que l’écoulement en milieu poreux saturé ou non saturé est régi par l’équation de Darcy:
𝑣𝑖 = −𝑘(𝛾) 𝑑𝜑
𝑑𝑖 (13.4) vi : vitesse d’écoulement dans la direction i ;
k (γ) : conductivité hydraulique ; γ : degré de saturation ;
φ : potentiel total = potentiel gravitaire + potentiel capillaire ; di : élément de longueur dans la direction i.
On note que la vitesse est fonction du niveau de saturation par le biais de k et φ. Le déplacement d’eau selon la vitesse déterminée entraîne une variation de saturation, donc une variation de vi et ainsi de suite.
Les modèles utilisent ainsi des représentations simplifiées pour simuler la circulation de l’eau en milieu souterrain. À titre d’exemple, la figure 13-17 montre une généralisation de la représentation utilisée par le modèle CEQUEAU (Girard et al., 1972 ; Morin et al., 1975 ; Charbonneau et al., 1977). Ce modèle considère deux réservoirs en série, chacun pouvant posséder plus d’une sortie de vidange. Les vidanges sont considérées comme linéaires selon le principe suivant :
𝑄 = 𝐶(𝐻 − 𝐻0) 𝑠𝑖 𝐻 > 𝐻0 (13.5) 𝑄 = 0 𝑠𝑖 𝐻 < 𝐻0 (13.6) Q : vidange instantanée du réservoir ;
H : hauteur d’eau dans le réservoir ; Ho : hauteur de référence ;
C: constante de vidange associée à H.
Le paramètre Ho est utilisé pour simuler la capacité de rétention associée à la vidange Q.
Cette représentation, bien que cohérente avec la notion de capacité au champ, est discutable dans la mesure où il y a transfert, quelle que soit la teneur en eau du milieu (Porter et McMahon, 1971). Une représentation de ce type bien que simple, permet de simuler différents types de régimes hydrologiques, par l’ajustement du paramètre Ho.
Un grand nombre des modèles utilisent des relations non linéaires pour déterminer les transports verticaux des réservoirs qu’ils comportent. Si on considère le phénomène physique qu’est l’écoulement en milieu poreux saturé et non saturé, il est certain qu’une relation non linéaire se justifie davantage. La figure 13-18 montre les relations entre le potentiel d’humidité (ou capillaire) Ψ, ainsi que la perméabilité effective (ou conductivité hydraulique) Ke, en fonction du contenu volumique en eau Θ (produit de la porosité et du niveau de
saturation du sol). Le terme Ψ, ainsi que la hauteur h par rapport à un point de référence, constituent le terme φ de l’équation de Darcy. Le graphique étant de type semi-logarithmique, on est en mesure de conclure que la vitesse d’écoulement, ou si l’on veut, le phénomène de transport, est non linéaire.
Les observations qui nous font conclure à la non-linéarité sont à une échelle que l’on peut qualifier de microscopique comparativement à l’échelle du bassin versant. Cependant, si on considère la variation du débit d’une rivière suite à une précipitation, on observe que la courbe de décrue a une allure d’exponentielle décroissante. Cette courbe, tracée sur un graphique semi-logarithmique peut être divisée en 3 sections, chaque section étant caractérisée par une droite de pente différente (Gray, 1972). On associe la première section au ruissellement de surface, la seconde à l’écoulement hypodermique, et la troisième à l’apport de la nappe. La décrue pourrait ainsi être représentée par la somme des vidanges de trois réservoirs, chacun ayant pour coefficient de vidange la pente associée. Notons cependant que cette représentation regroupe les effets combinés de la forme de la courbe d’apport en chaque point du cours d’eau ainsi que de l’effet « réservoir » du cours d’eau même.
Les deux approches, linéaire et non linéaire, semblent donc justifiées sur la base d’observations des processus physiques.
e) L’évapotranspiration
Ce processus englobe les phénomènes d’évaporation et de transpiration. L’évaporation est le processus par lequel l’eau est transférée sous forme gazeuse à l’atmosphère à partir de la surface du sol et des plans d’eau. La transpiration est le phénomène par lequel l’eau est extraite du sol par la végétation puis restituée à l’atmosphère sous forme gazeuse.
L’évapotranspiration est fonction d’une part des conditions météorologiques c.-à-d.
ensoleillement, température, humidité de l’air, vent et d’autre part des conditions relatives au sol c.-à-d. nature du couvert végétal, type de sol et humidité du sol.
On appelle évapotranspiration réelle, ou ETR, la quantité d’eau transférée à l’atmosphère en une région donnée. Afin de reproduire et prédire avec la plus grande précision possible les débits sur un cours d’eau, les modèles doivent donc simuler l’ETR sur le bassin versant étudié.
La modélisation de l’ETR dépend d’une part des données disponibles, mais aussi du niveau de complexité du modèle hydrologique. Ainsi, certains modèles déterminent l’ETR à partir de l’évapotranspiration potentielle ou ETP. Cette variable est définie comme étant l’ETR dans le cas où le sol de la région considérée est saturé d’eau. L’ETR est alors déterminée à partir de l’ETP, en utilisant une relation simulant l’effet de la variation de l’ETR en fonction de l’humidité du sol. L’ETP pour sa part est estimée soit à partir de relations nécessitant plus ou moins de données météorologiques (Penman, Slatyer et Mcllroy, Thornwaite ; voir Sellers, 1965), ou encore par des données d’évaporation de bac. Dans ce dernier cas, l’estimation de l’ETP a été démontrée comme étant généralement supérieure aux valeurs observées sur un lac par exemple. Certains modèles modifient donc à juste titre les valeurs mesurées de façon à obtenir une estimation plus réaliste de l’ETP.
Comme exemple le modèle de Lichty et al. (1969) est probablement celui où l’ETR est déterminée de la façon la plus simple. On y utilise l’ETP déterminée par mesure en bac et modifiée par un paramètre ajusté par optimisation ; cette valeur d’ETR est par la suite utilisée
comme perte pour le premier réservoir et si l’ETR ne peut être satisfaite par le contenu de ce premier réservoir, c.-à-d. si l’ETR est supérieure au contenu du premier réservoir, alors la différence est utilisée comme perte pour le second réservoir. Cette façon de satisfaire « en cascade » la demande en évapotranspiration caractérise la très grande majorité des modèles, malgré le fait que d’un point de vue physique, il paraît établi qu’il y a évapotranspiration aux différents niveaux du souterrain même si les couches supérieures ne sont pas complètement asséchées (Knisel et al., 1969).
L’approche du modèle SSARR (Rockwood, 1968 ; Schermerhorn et Kuehl, 1968) est presque aussi simple que celle de Lichty. On y utilise directement la valeur d’ETP, déterminée à partir de valeurs mesurées sur une moyenne mensuelle. Cependant, s’il y a pluie, cette valeur d’ETP est modifiée par un facteur qui décroît lorsque l’intensité de pluie croît.
Cette approche est, de toute évidence, utilisée pour prendre en compte le fait que, s’il y a pluie, la demande en évapotranspiration sera satisfaite dans une mesure plus ou moins grande par les précipitations.
La majorité des modèles considèrent l’effet de la végétation et/ou de l’humidité du sol dans la détermination de l’ETR.
Ainsi dans son modèle, Wheater (1972) utilise pour déterminer l’ETR du réservoir inférieur, l’ETP non satisfaite au réservoir supérieur et une courbe caractéristique pour un type de végétation (voir figure 13-19). Les valeurs utilisées représentent des taux sur une base quotidienne.
Knisel et al. (1969) ne déterminent pas de façon explicite l’ETP dans le calcul de bilan des deux réservoirs qu’ils considèrent, mais entre les pluies, déterminent le contenu à partir d’une relation du genre:
[𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢]𝑡= [𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢]𝑡0 . 𝐾(𝑡−𝑡0) (13.7)
où K variable de 0 à 1 est une fonction décroissante de la température et de l’évaporation mesurée par bac.
Mandeville et al. (1970) supposent que la végétation transpire au taux potentiel jusqu’à ce que le point de flétrissement soit atteint. Par la suite, l’ETR est supposée égale à 10 % de l’ETP. L’ETP quotidienne est déterminée par ajustement d’une sinusoïdale sur des valeurs mensuelles mesurées en bac.
La dépendance de l’ETR par rapport au contenu en eau du sol lorsqu’elle est simulée, l’est toujours de façon simple. On remarque ainsi que la majorité des modèles considérant cette dépendance, le font en supposant une relation linéaire entre l’ETR et le contenu en eau du réservoir - où l’on veut déterminer l’ETR. Ainsi le modèle de Nielsen et Hansen (1973) retire du réservoir de surface la demande en ETP quotidienne (basée sur les valeurs mensuelles mesurées). Si la demande n’est pas satisfaite, l’ETR retirée du réservoir inférieur est alors donnée par:
𝐸𝑇𝑅 = (Δ𝐸𝑇𝑃) 𝐶𝐸
𝐶𝐸𝑚𝑎𝑥 (13.8) où:
Δ ETP: demande en ETP non satisfaite par le réservoir de surface ; CE : contenu en eau du réservoir inférieur ;
CEmax: contenu maximum du réservoir inférieur considéré par l’auteur comme étant la capacité au champ.
Dans le modèle Standford Watershed Model IV, le calcul de l’ETP est basé sur les valeurs mesurées en bac. Cette valeur est corrigée pour donner l’évaporation sur un lac, a laquelle l’ETP est supposée égale dans le modèle (le programme du modèle permet l’ajustement de l’évaporation du lac pour obtenir l’ETP). Si cette demande ne peut être satisfaite par le contenu du réservoir d’interception et du réservoir de surface, l’ETR qui peut être retirée du réservoir inférieur est donnée par:
𝐸𝑇𝑅 = 𝛼 𝐶𝐸
𝐶𝐸𝑀 (13.9) où
α : constante qui dépend du type de végétation ; CE: contenu en eau ;
CEM: constante : contenu médian en eau du réservoir inférieur.
Dans le modèle MONASH (Porter et McMahon, 1971) on estime l’ETP par mesure en évaporomètre. La lame demandée en ETP est retirée des réservoirs d’interception et de rétention de surface (de pression stockage). La demande résiduelle est alors modifiée d’un facteur variant avec les saisons. Cette nouvelle quantité représente alors la demande en transpiration ou transpiration potentielle. La lame d’eau retirée du réservoir supérieur est alors donnée par:
𝐸𝑇𝑅 = 𝑀𝑖𝑛 (Δ, 𝛼. 𝐶𝐸
𝐶𝐸𝑀𝐴𝑋) (13.10)
où:
Δ : demande résiduelle modifiée ;
CE : variable représentant le contenu en eau ; pour CE = 0, le sol est au point de flétrissement ;
Min: indique le minimum des valeurs ; α : constante fonction du type de sol ; CEMAX: tel que définit précédemment.
Le second terme de la fonction Min simule la limite imposée due au niveau de saturation ainsi qu’au type de sol.
À la différence des modèles précédents, le modèle DISPRIN (Jamieson et Wilkinson, 1972) et celui de O’Connell et al. (1970) considèrent une dépendance non linéaire entre l’ETR et le niveau de saturation du sol. Dans le premier de ces deux modèles, l’ETP est estimée par mesure en bac. Si le contenu du réservoir supérieur est plus grand que la capacité au champ, alors l’ETR est mise égale à l’ETP sinon l’ETR est déterminée par une exponentielle décroissante du contenu en eau du réservoir supérieur.
Dans le second modèle, l’ETP est estimée de la même façon que dans le modèle de Mandeville et al. (1970). Cependant, le souterrain y est ici divisé en « couches » de capacités égales de 1 pouce (2,54 cm) d’eau. La demande en ETP est appliquée directement à la première couche. Si cette dernière est épuisée, la même demande multipliée par une constante ajustée entre 0. et 1., est appliquée à la seconde couche. Ainsi, si les n premières couches sont épuisées, l’ETR appliquée à la (n + 1) ième couche sera:
𝐸𝑇𝑅 = 𝐸𝑇𝑃 𝛼𝑛 (13.11) où:
α : constante ajustée.
Comme nous venons d’en prendre connaissance avec quelques exemples, la majorité des modèles satisfont « en cascade » la demande en évapotranspiration lorsqu’ils considèrent plus d’un réservoir pour simuler le souterrain. D’autres approches ont été développées par certains modèles pour rendre compte de l’évaporation. Par exemple, Seth (1972) utilise une capacité d’évaporation pour chacun des deux réservoirs qui est déterminée par optimisation. La capacité d’évaporation totale est donnée par:
𝐸 = ∑ 𝐸𝑖 𝐶𝐸𝑖 𝐶𝐸𝑀𝑖
2
𝑖=1
(13.12)
où:
Ei: capacité d’évaporation déterminée par optimisation ; CEi : contenu en eau du réservoir ;
CEMi : capacité du réservoir.
Si l’évaporation potentielle (mesurée en bac) est supérieure à E, alors la lame retirée de chaque réservoir est donnée par Ei CEi/CEMi. Dans le cas contraire, la demande est répartie sur chaque réservoir en fonction de la capacité d’évaporation et du contenu de chaque réservoir.
Pour sa part, le modèle CEQUEAU (Girard et al., 1972 ; Morin et al., 1975 ; Charbonneau et al., 1977) utilise la formule de Thornwaite (chapitre 4) (Sellers, 1965) (fonction de la température seulement), modifiée pour tenir compte de l’ensoleillement potentiel quotidien afin de déterminer l’ETP. L’ETP effective en région boisée est posée égale à l’ETP déterminée précédemment, alors qu’en région non boisée et au-dessus des surfaces d’eau, elle est posée égale à 80 % de ce terme. L’ETR est donnée par:
𝐸𝑇𝑅 = 𝐸𝑇𝑃 𝑠𝑖 𝐶𝐸 > 𝛼 (13.13)
𝐸𝑇𝑅 = 𝐸𝑇𝑃 𝐶𝐸
𝛼 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 (13.14) où:
CE : contenu du réservoir supérieur ;
α : constante d’ajustement.
L’ETR est ensuite répartie entre le réservoir supérieur (sol) et le réservoir inférieur (nappe), la fraction de l’ETR totale associée à la nappe diminuant pour un niveau de la nappe inférieur à une certaine valeur.
Une autre approche incluse dans le modèle de Solomon et Gupta (1977) détermine directement l’ETR sans passer par l’ETP. Pour ce faire, on y utilise une formule dans laquelle l’ETR est une fonction des précipitations, de la température ainsi que du contenu total en eau de la portion du bassin versant considéré:
𝐸𝑇𝑅 = 1
365 (365 . 𝑃 + 𝛼) 1
√0,9 +(365 𝑃 + 𝛼)2 𝐿2
(13.15)
avec:
L=300 + 25 T +0,05 T3 où:
P : précipitation quotidienne, en millimètres ;
α : contenu en eau de la portion considérée du bassin versant, en millimètres ; T : température moyenne quotidienne, en degrés centigrades.
Sur cette dernière représentation de l’ETR se termine la section de revue des fonctions de production, le tableau 13-1 reprend sous forme synthétique, et par modèle, l’information présentée dans la présente section.
13.5.2 Les fonctions de transport
On a précédemment distingué deux grandes classes de modèles hydrologiques ; les modèles agrégés et les modèles discrétisés. Cette distinction est très importante pour définir les fonctions de transport. En effet, dans un modèle agrégé la sortie des réservoirs se retrouve directement à l’exutoire alors que dans les modèles discrétisés l’eau sera généralement transférée d’un élément à l’autre vers l’exutoire.
Dans une représentation agrégée, on effectue un seul bilan pour tout le bassin. La fonction de production globale détermine ainsi l’apport provenant de chacun des processus.
Chacun de ces apports respectifs peut être modulé par des fonctions de transport associées à la provenance de l’écoulement, ou bien l’ensemble de ces apports peut être modulé globalement.
On pourra aussi représenter l’effet de réservoir de la rivière par un ou plusieurs réservoirs.
Dans une représentation mixte, c’est-à-dire semi-discrétisée, on divise le bassin en grandes régions, qui peuvent, par exemple, être associées à des régions d’utilisation différente du territoire ou à des sous-bassins associés aux affluents du cours d’eau principal. La fonction de production déterminera pour chaque région ou chaque réservoir la quantité d’eau disponible pour l’écoulement. Ces quantités seront par la suite transférées vers la région aval en ayant été modulées ou non, individuellement ou globalement.
Dans une représentation discrétisée, on divise le bassin versant en surfaces élémentaires, généralement égales et carrées. Le calcul de la fonction de production est effectué pour chacun des carreaux à partir de données d’entrée différentes pour chacun de ces derniers.
Après avoir évalué la lame d’eau en provenance de chaque processus modélisé, on procède à son transfert d’un carreau à l’autre vers l’aval sur l’ensemble du bassin, ce qui permet de faire circuler l’eau vers l’exutoire du bassin versant et aussi de constituer le débit.
a) Transport de l’eau dans les modèles agrégés
Nielsen et Hansen (1973) utilisent comme fonction de transport des exponentielles décroissantes pour moduler les lames de ruissellement de surface, de vidange du réservoir sol et de vidange de la nappe. On a:
𝐿𝑀𝑖,𝑡,𝑡0 =𝐿𝑖,𝑡0
𝐾𝑖 𝑒−(𝑡−𝑡0) 𝐾⁄ 𝑖 (13.16)
où:
LMi, t,to : lame au temps t, résultante de la modulation de la lame produite au temps to par la
source i:
i = l, ruissellement de surface ; i = 2, lame du réservoir sol ; i = 3, lame du réservoir nappe.
Li, to : lame de la source i, disponible pour écoulement latéral au temps to telle que calculé
dans la fonction de production ;
Ki : constante de récession associée à chaque source K1 ≥ K2 ≥ K3.
La lame à l’exutoire du bassin au temps t est simplement donnée par:
𝐿𝑇𝑡 = ∑ ∑ 𝐿𝑀𝑖,𝑡,𝑇
𝛼
𝑇=𝑡
(13.17)
3
𝑖=1
où:
LTt: lame totale à l’exutoire du bassin au temps t ; α : tel que (t-α) ≥ 0 de sorte que e -(t-α)/Ki tend vers 0.
Dans leur modèle, Knisel et al. (1969) n’utilisent aucune fonction de transport. Séparant les précipitations en lame écoulée et en lame non écoulée, ils considèrent comme directement disponible à l’exutoire la lame écoulée.
Dans son modèle, Wheater (1972) somme les apports de chacun des réservoirs et module cette lame totale par un réservoir linéaire, de façon à représenter l’effet de modulation des cours d’eau. On procède de la même façon dans le modèle MONASH (Porter et McMahon, 1971) sauf que le réservoir de modulation est non linéaire.
Seth (1972) utilise une fonction de transport constituée de deux niveaux de réservoirs: au premier niveau, il utilise un réservoir linéaire, si le bassin est caractérisé par un écoulement de surface important ou utilise un réservoir non linéaire si la réponse rapide du bassin provient d’un écoulement souterrain important. Au second niveau, il utilise un réservoir linéaire pour représenter l’effet du cours d’eau.
Mandeville et al. (1970) dans leur modèle modulent la lame disponible pour le transfert par un réservoir pour représenter l’effet de pondération du bassin. O’Connell et al. (1970) considèrent deux réservoirs linéaires, le premier modulant la lame écoulée due à une partie des précipitations nettes, à l’excès du taux d’infiltration, ainsi qu’à une partie de l’excès de la capacité au champ. La seconde partie de ce dernier terme est modulée par un second réservoir ayant un temps de récession plus long que le premier.
Il est certain qu’un bassin versant est hétérogène ; le couvert végétal, la nature du sol et son épaisseur peuvent varier d’un endroit à l’autre. Ce qui implique, par exemple, que la lame d’eau interceptée et l’infiltration peuvent varier. Les modèles agrégés ne peuvent tenir compte, contrairement aux modèles semi-discrétisés et discrétisés, de la variation spatiale des paramètres utilisés et des processus représentés. Certains modèles agrégés utilisent une voie indirecte pour tenir compte de la variabilité spatiale des processus et paramètres.
Lichty et al. (1969) considèrent, dans leur modèle, une distribution linéaire en fonction de la surface du bassin, du taux d’infiltration entre 0 et la valeur limite calculée (figure 13- 20). La fonction de transport utilisée pour moduler le ruissellement de surface est donnée par la résultante de la courbe surface-temps modulée par un réservoir linéaire. La courbe surface- temps donne la partie B de la surface du bassin versant qui est située à un temps tj de l’exutoire. La résultante est donnée par:
𝑅(𝑡𝑖) = ∑ 𝐵(𝑡𝑗) 𝜃 𝑒−𝜃(𝑡𝑖−𝑡𝑗)
𝑖−1
𝑗=0
(13.18)
où:
R (ti) : composante au temps ti de la résultante ;
B (tj) : composante au temps tj de la courbe surface-temps ; θ: constante.
b) Les fonctions de transport dans les modèles semi-discrétisés
Dans le modèle DISPRIN (Jamieson et Wilkinson, 1972), le bassin est divisé en trois régions ordonnées d’aval en amont, chaque région correspondant à une utilisation différente du sol. Le ruissellement de surface, ainsi que l’écoulement hypodermique d’une région s’écoulent dans les réservoirs associés à ces écoulements dans la région aval. La région la plus en aval détermine le ruissellement de surface, ainsi que l’écoulement hypodermique disponible à l’exutoire. Ces deux termes, plus l’apport du à la nappe (commun aux trois régions), sont modulés par un réservoir linéaire, pour représenter l’effet du cours d’eau.
Dans le modèle UBC (Quick et Pipes, 1977) on divise le bassin en bandes d’élévation.
La lame disponible pour le ruissellement de surface est modulée par un hydrogramme unitaire, il en est de même pour l’eau disponible pour l’écoulement hypodermique. La lame
