COMPOSÉES DE QUELQUES APPLICATIONS PONCTUELLES
f g o f
g
Translation de vecteur
u
Homothétie
de centre et de rapport k Symétrie centrale de centre I
Réflexion d’axe (D)
Rotation
de centre A et d’angle Translation
de vecteur
v translation(1) Homothétie
de centre ’
et de rapport k’
translation si l’homothétie est l’identité(2) homothétie sinon(3)
translation si le produit de leurs rapports vaut 1
homothétie sinon(4) Symétrie centrale
de centre I’ symétrie centrale
translation si l’homothétie est une symétrie centrale
homothétie sinon(5)
translation(6)
Réflexion d’axe (D’)
réflexion si le vecteur de la translation est vecteur
normal de l’axe de la réflexion(7) symétrie glissée sinon(8)
composée d’une homothétie et d’une réflexion
réflexion si le centre de la symétrie est sur l’axe de la
réflexion(9) symétrie glissée sinon(10)
translation si les axe de réflexion sont parallèles(11)
rotation si les axes de réflexion sont sécants(12) Rotation
de centre B et d’angle
translation si la rotation est l’identité(13)
rotation sinon(14)
similitude directe(15)
translation si la rotation est une symétrie centrale
rotation sinon(16)
réflexion ou symétrie glissée
translation si la somme des angles est multiple de 2
rotation sinon(17) (1) Le vecteur de la translation est
u+v.
(2) La composée est alors la translation de vecteur u.
(3) Le rapport de l’homothétie est alors le même, c'est-à-dire k.
(4) L’homothétie a pour rapport k k’.
(5) L’homothétie est alors de rapport −k (cas particulier du (4) avec k’ = −1).
(6) Le vecteur de la translation est 2II'
⎯→
. (7) L’axe de la réflexion est parallèle à (D).
(8) Une symétrie glissée est la composée (commutative) d’une réflexion et d’une translation dont le vecteur est directeur de l’axe de la réflexion. Ici l’axe est parallèle à (D’).
(9) L’axe de la réflexion est la perpendiculaire à (D’) passant par I.
(10) Voir (8) pour la définition d’une symétrie glissée. Ici l’axe est perpendiculaire à la droite (D’).
(11) Le vecteur de la translation est le double de celui qui transforme orthogonalement (D) en (D’).
(12) Le centre de la rotation est le point d'intersection de (D) et (D’), et l’angle est le double de l’angle orienté entre un vecteur directeur de (D) et un vecteur directeur de (D’).
(13) La composée est alors la translation de vecteur u. (14) L’angle est le même, c'est-à-dire .
(15) Une similitude directe est la composée d’une homothétie et d’une isométrie positive, c'est-à-dire d’une translation ou d’une rotation. On montre qu’une similitude directe est, soit une translation, soit la composée (commutative) d’une homothétie et d’une rotation de la même centre.
(16) L’angle est + . Si A = B, alors c’est aussi le centre de la rotation composée.
(17) L’angle est alors + . Si A = B, alors c’est aussi le centre de la rotation composée.
