Le casse-tête de juin consiste à mettre à l'épreuve l'une des innombrables fourmis qui envahissent actuellement les jardins sur une structure métallique que vous aurez préalablement fabriquée grâce à vos talents de bricoleur ou d'expert en impression 3D...
Le treillis inscrit dans un cube 2 x 2 x 2 est constitué de 54 tiges métalliques de longueur unité avec 27 points de jonction. Une fourmi part du point A et rampe le long des tiges selon les règles suivantes :
- à chaque point de jonction, elle tourne à angle droit et se déplace donc sur une tige perpendiculaire à la précédente,
- la fourmi ne repasse jamais deux fois par le même point de jonction à l’exception du point A qui est son point de retour.
Quelle est la longueur maximale de son parcours ? Justifiez votre réponse et représentez un parcours correspondant à cette longueur maximale.
Solution proposée par Jean Nicot
A chaque jonction du parcours arrive et repart une demi-tige, c’est-à-dire une tige par jonction.
Le parcours ne peut faire plus de 27 tiges. Pour un parcours, il y a un nombre pair de tiges verticales ou horizontales ou frontales. Le nombre de tiges d’un parcours est donc pair, soit au plus 26.
Le treillis peut être décomposé en trois plans horizontaux, contenant les tiges horizontales et frontales. Ces plans sont reliés par les tiges verticales dont le plan médian contient une extrémité de chacune. Il y a donc, au plus, 8 arêtes verticales. Ceci est valable pour les autres orientations des arêtes. On ne peut espérer un parcours de plus de 24 tiges.
Dans un plan, il y a deux orientations des tiges, chacune ne pouvant se trouver plus de trois fois, soit, au mieux 6 tiges par plan.
Décomposons le treillis en trois plans horizontaux qui pourront être reliés par des tiges verticales, 8 au maximum. On peut disposer 6 tiges sur les plans horizontaux supérieur et inférieur, 8 tiges verticales et 4 sur le plan horizontal médian soit 24 tiges, ce qui est le maximum possible, soit une longueur de 24.
