IV. Mécanique des fluides

IV. Mécanique des fluides

A. Définitions

"FLUIDES" 

LIQUIDES

(incompressibles)

GAZ

(compressibles)

FLUX

Ecoulement?

Laminaire

Turbulent

"Stationnaire", si constant dans le temps

Mouvements

?

Poussée

Gravitation Frottement?

NON?  Fluide parfait OUI?  VISCOSITE

() 1 Masse spécifique

volumique

V (m)

V

 m



!! _eau = 1 g/cm³ = 1000 kg/m³ !!

Pression

S F

1

p

S p  F

unité S.I.: 1N/m² = 1 Pascal

Débit volumique

t D

V

 

v

S

L = v t

V = SL

t t Sv t

SL t

D V



 

 

 

N.B.: Débit "massique" = m/t D_m = Sv

B. Equations fondamentales

!! …supposent: 1°) un fluide parfait

2°) Un écoulement laminaire et stationnaire

1°) Equation de continuité

Principe de continuité: "………."

"Puits"? "Source"?

S₁

S₂

v 

v 

Continuité  D₁ = D₂

S₁v₁ = S₂ v₂ Sv = cst N.B.: S   v 

S   v 

!

2°) Equation de Bernoulli.

S₁

S₂

v 

v 

h₁ h₂

F1

F2

2 2

2 2 1

1 2

1 gh p

2 p v

2 gh

v    







 

2 2

2 2 1

1 2

1 gh p

2 p v

2 gh

v    







 

2

mv² mgh Fx E_c E_p W



 



   V

m 



 



   V

m 



 



 



 

 p

x S

x F

V x

V F

cst p

2 gh v²







 

C. Applications

1°) Ecoulement horizontal

2 2

2 2 1

1 2

1 gh p

2 p v

2 gh

v    







 

h₁ h₂= h₁

1

2

2 2

2 2 1

1 2

1 gh p

2 p v

2 gh

v    







 

h₁= h₂  p cst 2

v²



 

v   p  v   p 

S   v   p  Donc: S   v   p 

CONT. BERN.

(photo ou schéma: aile d’avion)

2°) Formule de Torricelli.

v p₀

h

2 2

2 2 1

1 2

1 gh p

2 p v

2 gh

v    







 

1

2

Ici: v₁ << v₂

h = 0

h₁ = h h₂ = 0

p₁ = p₂ = p₀

0 2

2

0 0 p

2 p v

gh 0"

"   









2gh v²₂ 

2gh v₂ 

3°) Instruments

a. Débitmètre: le tube de Venturi la hauteur h

mesure la pression (voir plus loin)

1

2

2 2

2 1

2

1 p

2 p v

2

v  



 





2 2 2

1 v - v

p 2 -

p  



 



 

 -1

v v v

p 2 -

p ₂

1 2 2 2

1 2

1

2 2 1

1S v S v

or 

2 1 1

2

S S v

v 





 



 

 -1

S v S

p 2 -

p ₂

2 2 2 1

1 2

1

www.flowmeters-flowmeasurement.com/VenturiNoz

physics.ucsd.edu/.../demos/fluids/venturi.html.

http://www.physics.bc.edu/educational_resources/demos/data/Venturi/5.JPG

(Photos: tubes de Venturi)

b. Trompe à eau

(Photo et schéma: trompe à eau)

D. Hydrostatique

1°) Pression hydrostatique a. Formule

2 2

2 2 1

1 2

1 gh p

2 p v

2 gh

v    







 

1 2

h₁ h₂





1 2

2

1 p gh - gh - g h - h

p      

h g

-

p   



H₁

H₂

H h

-

or    

Dif. d'altitude

Dif. de PROFONDEUR p  gH

H g

p   



1

2

… ou P₁- P₂ = g(H₁-H₂)

En particulier, si 1 est à la surface H₁ = 0

p₁ = p₀ (p extérieure)

p₀

p₀- p₂ = g (0 - H₂)

p₂ = gH₂ + p₀ p = gH + p₀

"Pression de colonne"

1 2

H₁

H₂

ex.: gH "équivalent" à p_atm = 101300 Pa ? 1°) Mercure :  = 13600 kg/m³

g 76cm H p^atm 

 

2°) Eau :  = 1000 kg/m³

g 10m H p^atm 

 

2°) Paradoxe (?) hydrostatique p = gH + p₀ = f(H)

?

H

Barrage:

H?

H

S₁ S₂=S₁ S₃=S₁

p₀ p₀ p₀

F₁? F₁ = P₁S₁

F₂?

F₂ = P₂S₂ = P₁S₁ = F₁ !

= (gH + p₀) S₁

F₃?

F₃ = P₃S₃ = P₁S₁ = F₁

F'₃

!! on peut avoir F3 et F'3

>> poids du liquide!!

3°) Principe du siphon.

p₀

p₀

1 2

h₁

h₂

p₁ = p₀ - gh₁

(!! h  ^altitude 

surface !!)

p₂ = p₀ - gh₂ p₁ > p₂ ?

p₀ - gh₁ > p₀ - gh₂ ? - h₁ > - h₂ ?

h₂ > h₁ !! OK!!

…fonctionne tant que h₂>h₁

4°) Principe d'Archimède.

a. Principe

Enoncé : "…...….."

_l

F1

F2

F3

F4

H₁

H₂ S

_l

F1

F2

F3

F4

H₁

H₂

S

F F

F F

F  















F F 







 " poussée verticale"

z

F_z = F_A = F_1z + F_2z

= - F₁ + F₂

F_A = -p₁S + p₂S (N.B.: p₂>p₁  "de bas en haut") F_A = (p₂ - p₁) S = (p₀ + _lgH₂ - p₀ - _lgH₁) S

= _l g H S F_A = _l g V_S

= "poids du fluide déplacé"

b) Notion associée: le poids apparent.

_l

_S z

A

R

P F

F   





F 

P 

= poids apparent F_Rz = -P + F_A

= - _S g V_S + _l g V_S

F_Rz = (_l - _S) g V_S

_l

_S z

FA

P

F_Rz = (_l - _S) g V_S

a m F

or 





ici F_Rz = ma_z

(_l - _S) g V_S = ma_z

 1°) _l > _S  a_z > 0 2°) _l  _S  a_z  0 3°) _l < _S  a_z < 0

_l

c) Objet flottant.

_S

F 

P

Equilibre  F_A = P

V_S V_i

_l g V_i = _S g V_S

l S S

i

V V



 

Ex.: _glace  0,9 _eau

 V_i  0,9 V_tot

(Photo: Iceberg)

d) Application : L'aréomètre. … ou "densimètre"

l s S i

V V



 

l

m

 

m_S cst

V_i = f (_l )

Aréomètres

"Pèse-liqueurs" _l < _eau

"Pèse-acides" _l > _eau

"Alcoolmètre"

/www.crdp-montpellier.fr/

(Photos: aréomètres, alcoolmètres)

Ex.: Pèse-liqueurs:

H₂O LEST

Volume de base Volume de

réserve et

graduation  = 1g/cm³

?

mesure de 

V_i

5°) Principe de Pascal.

Enoncé: "…………"

Ex.: presse hydraulique

S₁ S₂

p₁

p₂

p₁ = p₂

2 2 1

1

S F S

F 



1 2 1

2

S S F

F 

ou:

F₁

F₂

1 2 1

2

S S F

F 

S₁ S₂

d₁

d₂

Par ailleurs V₂ = V₁  S₂d₂ = S₁d₁

d d S

S

2 1 1

2 

2 1 1

2 1

2

d d S

S F

F  

 donc F₂d₂ = F₁d₁

W₂ = W₁ !!!!

V₁ V₂

E. Viscosité des fluides.

Fluide

v

Gradient de vitesse

v_max Ecoulement:

2 v  v^max

p ("perte de charge")

1°) Paramètre  de viscosité.

F v d

(S)

d F  v

S F

d S v F 

d S v F  

où   "paramètre de viscosité"

…typique de chaque fluide

Sv

 Fd

  unité SI: 1N.s/m² =1 Pa.s

Poiseuille

déf 1



L S

p₁ p₂

v

p) de (gradient L

v  p

(S) R²

v 

 1 v

L p

v R² 



 

L p R²

8

v 1 





 

admettre!

Débit? ^{D S v  R² v}

L R p

8

D 1  ⁴ 

  (Loi de poiseuille)

!!

2°) Loi de Poiseuille.

3°) Mouvement d'un objet dans un fluide.

_S

_L

?

Forces en présence:

2) Archimède

3) frottement!! (viscosité)

…dépend de?

+) vitesse: (F_f  v² pour v élevée)

+)"facteur de forme" R (cfr"aérodynamisme" etc…) F_f  v pour v faible

+) coef. de viscosité : F_f  

Pour une sphère =6  6 R 1) poids

a. Frottement

(Photos: skieurs/ cyclistes casques profilés)

_L

Donc : F_f = Rv Sphère: F_f = 6Rv

! Opposée à v ! _F^_{f  - 6R v}^ (Stokes) b. Loi de Stokes

_S

FA

P

Ff

v a

m F

F

P _A _f 







_L

_S

FA

P

Ff

v

a m F

F

P _A _f 



 z 

Selon z:

-P + F_A + F_f = ma_z

- _SgV_S + _LgV_S + 6Rv = ma_z

…tend inévitablement vers a_z = 0 !!!

…alors v = cst = v_l ("vitesse limite")

http://imagesforum.doctissimo.fr/mesimages/4048676/la%20chute%20libre_2.jpg

(Photos: viscosimètre à bille, para en chute libre)

Pour a_z=0 et v=v_l, on a:

- _SgV_S + _LgV_S + 6Rv_l = 0

R 6

V g ) -

v_l ( ^{S l S}







 

³ 3 R

4 R

6

g ) -

v (

Sphère _l ^{S l} 







 



³ 3 R

4 V_S  

R² g

) -

( 9 2

v_l ^{S l}





 

R² g

) -

( 9 2

v_l ^{S l}





 

Ex.:

Globule: _S = 1,3 10³ kg/m³ R = 5 10^-6 m

…sédimente dans de l'eau à 37° (_37° = 0,7 10^-3 Pois.)

 v_l = ?

mm/s 0,00235

R² g ) - (

9 2

v_l ^{S l} 





 

…soit  7 min pour 1 mm

c. Centrifugation.

Analogie avec la sédimentation:

mg P 

H₁

H₂ Archimède



r₁ r₂

F_c = m^²r

"Force d'Archimède associée"

Donc:

Centrifugation  ²r Sédimentation  g

 Loi de Stokes pour la centrifugation : R²

r

² )

- (

9 2

v_l ^{S l}







  (pour une sphère)

N.B.: 1°) !! R  r !!

2°) !! v_l = f(r) !!

3°) v_l = f( ²) !!

c. Ecoulement turbulent.

E. laminaire

?

Reynolds N_R

R rayon de

un tube ...pour

R v N_R 2



 

Empirique!

N_R = ………..

2000 3000

Laminaire Instable Turbulent