Mécanique des Fluides

Mécanique des Fluides

Franck Nicoud – I3M

franck.nicoud@univ-montp2.fr

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Définition

1. Fluide: c’est un milieu infiniment déformable sous l’effet de forces constantes en temps. Il peut être compressible (exemple des gaz), ou incompressible (exemple des liquides).

2. Mécanique: c’est la branche de la science qui étudie le mouvement des systèmes matériels et leurs déformations, en relation avec les forces qui provoquent ou modifient ce mouvement ou ces déformations.

3. Mécanique des fluides: englobe la statique des fluides ou hydrostatique (science des fluides au repos) et la dynamique des fluides (sciences des fluides en mouvement)

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Pourquoi étudier la mécanique

1. Les fluides en mouvement sont présents « partout »:

1. Sciences de l’ingénieur: aéronautique, énergétique, aérospatiale, astronomie

2. Sciences de l’environnement: météorologie, océanographie, climatologie, hydrologie

3. Science du vivant: hémodynamique, biomécanique du mouvement

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Cadre de ce cours

1. On s’intéresse au mouvement d’un fluide homogène (une seule espèce chimique « équivalente ») vu comme un milieu continu. Cela exclut la description de phénomènes:

• se passant à des échelles microscopiques (intérieur d’un choc par exemple),

• Liés à des réactions chimiques (comme dans le cas de la combustion dans un moteur)

2. L’état du fluide est alors décrit complètement par la masse volumique r, la pression p, la température T et le vecteur vitesse 𝐕 = 𝑉 = 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃ = 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑡 en chaque point de l’espace 𝐱 = 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃ = 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 et chaque instant 𝑡 3. Ces quantités doivent être comprises comme représentatives de la « particule fluide » centrée sur la position 𝐱

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Plan général

1. Rappels et notions de base 2. Compressibilité

3. Quelques solutions analytiques 4. Notion de turbulence

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1. Rappels et notions de base 2. Compressibilité

3. Quelques solutions analytiques 4. Notion de turbulence

Variables de Lagrange et d’Euler

1. Variables de Lagrange x,y,z,𝒕 : on suit l’évolution d’une particule fluide au cours du temps; celle-ci est repérée par ses coordonnées x(𝑡), y(𝑡), z(𝑡). Toute grandeur physique 𝑓(x,y,z, 𝑡) est représentative de la particule fluide qui se trouvait à la position x₀=x(0), y₀=y(0), z₀=z(0) à l’origine des temps 𝑡 = 0.

C’est le point de vue directement issu de la mécanique du point

2. Variables d’Euler 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕: on s’intéresse à l’évolution temporelle des grandeurs physiques au point 𝑥, 𝑦, 𝑧. La valeur 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) n’est pas représentative d’une particule fluide particulière mais uniquement de celle qui se trouve à la position 𝑥, 𝑦, 𝑧 à l’instant 𝑡

C’est le point de vue de l’expérimentateur qui observe

l’écoulement de l’extérieur par une sonde fixe. MKFLU - MI4 ⁶

Lignes et surfaces particulières

1. Ligne de courant: C’est une ligne dont la tangente en tout point est colinéaire au vecteur vitesse à l’instant 𝑡. Si on note 𝐕 = 𝑢, 𝑣, 𝑤 le vecteur vitesse, l’équation d’une ligne de courant vérifie:

^𝑑𝑥

𝑢(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)

=

=

2. Tube de courant: c’est l’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé à l’instant 𝑡

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Lignes et surfaces particulières

3. Trajectoire: C’est la courbe décrite au cours du temps par une particule fluide. L’équation d’une telle courbe est

^𝑑𝑥_𝑑𝑡

= 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ;

= 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ;

= 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

Rq: Lignes de courant et trajectoires sont confondues en écoulement permanent

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Lignes et surfaces particulières

4. Ligne d’émission: C’est l’ensemble des positions géométriques occupées à l’instant 𝑡 par toutes les particules fluides ayant occupé une position de référence dans le passé

Rq: Lignes d’émission et trajectoires sont confondues en écoulement permanent

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Ligne d’émission Particules fluides

Trajectoires

Point d’émission

Gradient de vitesse

• Les variations spatiales du vecteur vitesse à l’instant 𝑡 sont décrites à travers le tenseur gradient de vitesse:

𝑔_𝑖𝑗 = ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑖

𝑗

• Ce tenseur d’ordre deux peut être décomposé de manière unique en parties symétrique et anti-symétrique

𝑔_𝑖𝑗 = 𝑆_𝑖𝑗 + 𝑅_𝑖𝑗 ; 𝑆_𝑖𝑗 = ¹₂ ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑖

𝑗 + ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑗

𝑖 ; 𝑅_𝑖𝑗 = ¹_{2 𝜕𝑥}^𝜕𝑢𝑖

𝑗 − ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑗

𝑖

• La partie symétrique est appelée tenseur des vitesses de déformation. Sa trace est tr 𝐒 = 𝑆_𝑖𝑖 = ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑖

𝑖 = div𝐕

• ATTENTION: la sommation des indices répétés est utilisée implicitement dans ce cours (𝑆_𝑖𝑖 = ^𝜕𝑢𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = ^𝜕𝑢1

𝜕𝑥₁ + ^𝜕𝑢2

𝜕𝑥₂ + ^𝜕𝑢3

𝜕𝑥₃ est alors bien la divergence du vecteur vitesse)

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Gradient de vitesse

• Il est parfois utile de séparer le tenseur vitesse de déformation en partie sphérique et déviatrice:

𝑆_𝑖𝑗 = 1

3𝛿_𝑖𝑗𝑆_𝑘𝑘 + 𝑆_𝑖𝑗^𝑑, avec 𝑆_𝑘𝑘^𝑑 = 0

• La partie anti-symétrique est liée au vecteur rotationnel Ω = 𝑟𝑜𝑡𝑽 ; Ω_𝑘 = −𝜀_𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 par la relation indicielle: Ω_𝑘 = −𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑅_𝑖𝑗

où 𝛿_𝑖𝑗 est le symbole de Kronecker et 𝜀_𝑖𝑗𝑘 est le pseudo- tenseur alterné d’ordre 3

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Vorticité et circulation

• Le vecteur rotationnel Ω = 𝑟𝑜𝑡𝑽 ne doit pas être confondu avec le vecteur tourbillon (ou vortex) défini par

ω = ¹₂ 𝑟𝑜𝑡𝑽

• Par définition, la vorticité est le module du vecteur tourbillon: ω = ¹₂ 𝑟𝑜𝑡𝑽

• Formule de Stokes: on considère une surface Σ quelconque de vecteur normal 𝑛 et portée par un contour fermé C orienté d’élément d’arc 𝑑𝑙. La circulation du vecteur vitesse le long de C et le flux du vecteur rotationnel à travers Σ sont alors égales:

𝑉 ∙ 𝑑𝑙

𝐶

= 2 𝜔 ∙ 𝑛𝑑𝜎

Σ

= 𝑟𝑜𝑡𝑽 ∙ 𝑛𝑑𝜎

Σ

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Cinématique

• On s’intéresse aux perturbations que subit une parcelle de fluide élémentaire plongée dans un champ de vitesse pendant une durée élémentaire dt

• Le gradient de vitesse se décompose de manière générique comme suit:

𝑔_𝑖𝑗 = ¹

3 𝛿_𝑖𝑗𝑆_𝑘𝑘 + 𝑆_𝑖𝑗^𝑑 + 𝑅_𝑖𝑗 avec ω_𝑘 = − ¹

2𝜀_𝑖𝑗𝑘𝑅_𝑖𝑗

• Rotation pure: 𝑔_𝑖𝑗 = 𝑅_𝑖𝑗

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𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝛼 = 𝜔₃𝑑𝑡 𝑑𝛼

Cinématique

• Dilatation pure: 𝑔_𝑖𝑗 = ¹₃𝛿_𝑖𝑗𝑆_𝑘𝑘

• Déformation pure: 𝑔_𝑖𝑗 = 𝑆_𝑖𝑗^𝑑

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𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑡

𝜕𝑣

𝜕𝑦𝑑𝑦𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝛼 = 𝜕𝑣

𝜕𝑥𝑑𝑡 𝑑𝛽

𝑑𝛽 = 𝜕𝑢

𝜕𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝛼

Viscosité

Cette grandeur est associée à la résistance qu’oppose tout fluide à sa mise en mouvement. Dans l’expérience de Couette, pour certains fluides (fluides newtoniens) et en régime permanent, le profil de vitesse est linéaire et la force 𝐹 qu’il faut exercer sur une portion d’aire 𝐴 de la paroi supérieure pour maintenir son mouvement est telle que:

𝐹

𝐴 = 𝜇 ^𝑈_ℎ⁰ où 𝜇 est la viscosité dynamique du fluide (kg/m/s ou Pa.s)

ℎ

Paroi fixe

Paroi mobile dans son plan 𝑈₀

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x y

Viscosité

• La quantité ^𝐹_𝐴 est une force par unité de surface; elle est appelée contrainte et notée 𝜏_𝑥𝑦 = ^𝐹_𝐴 où le premier indice (x) repère la direction de la force et le second (y) repère la direction de la normale à la surface

• Pour un fluide newtonien, le tenseur des contraintes s’exprime comme suit (sous l’hypothèse de Stokes):

𝜏_𝑖𝑗 = 2𝜇𝑆_𝑖𝑗 − 2

3 𝜇𝑆_𝑘𝑘𝛿_𝑖𝑗 où 𝑆_𝑖𝑗 = ¹₂ ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑖

𝑗 + ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑗

𝑖 est le tenseur des vitesses de déformation

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Viscosité

• On introduit souvent dans les équations la viscosité cinématique ν = ^𝜇_𝜌 qui s’exprime en m²/s

• Le modèle newtonien est très représentatif de deux fluides très communs: l’air et l’eau. Il sera donc utilisé dans la suite de ce cours.

• Quelques données numériques:

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Fluide Masse

volumique (kg/m³)

Viscosité dynamique (kg/m/s ou Pa.s)

Viscosité cinématique

(m²/s)

Air 1.29 1.85x10^-5 1.43x10^-5

Eau 1000 10^-3 10^-6

Rhéologie

• D’autres comportements rhéologiques sont utilisés pour représenter des fluides complexes

• Par exemple le sang a un comportement solidifiant dont la viscosité pour les grands cisaillements est de l’ordre de 4 cPoise (soit 4 × 10⁻³ Pa.s)

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𝝉_𝒙𝒚

𝒅𝒖 𝒅𝒚 𝝉_𝟎

Plastique de Bingham Fluide solidifiant

Fluide épaississant

Fluide Newtonnien (pente 𝝁)

Fluide parfait

Conductivité thermique

Cette grandeur est associée à la capacité d’un fluide au repos de diffuser la chaleur en son sein. Dans l’expérience ci-dessous similaire à celle de Couette, on observe en régime permanent et pour certains fluides que le profil de température est linéaire:

𝑇 − 𝑇₀

𝑇₁ − 𝑇₀ = 𝑦 ℎ

ℎ

Paroi fixe à température 𝑇₁

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Paroi fixe à température 𝑇₀

𝑇₁

𝑇₀ x

y

Conductivité thermique

• Pour une surface d’aire 𝐴, une quantité de chaleur Q circule chaque seconde de la plaque chaude vers la plaque froide et on a:

𝑄

𝐴 = −𝜆 ^𝑇1−𝑇_ℎ ⁰,

où 𝜆 est la conductivité thermique du fluide (W/m/K).

• Dans le cas général, le flux de chaleur est proportionnel au gradient de température (loi de Fourier):

𝑞_𝑖 = −𝜆 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑖 Ce flux s’exprime en W/m²

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Conductivité thermique

• L’équivalent de la viscosité cinématique est la diffusivité thermique 𝑎 = _𝜌𝐶^𝜆

𝑝 qui s’exprime également en m²/s et dans laquelle 𝐶_𝑝 est la chaleur spécifique à pression constante

• Le nombre de Prandtl compare la capacité d’un fluide à diffuser la quantité de mouvement et la chaleur:

𝑃_𝑟 = ^𝜈_𝑎 = ^𝜇𝐶_𝜆^𝑝

• Quelques données numériques:

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Fluide Conductivité thermique

(W/m/K)

Diffusivité thermique

(m²/s)

Nombre de Prandtl

Air 2.6x10^-2 2.24x10^-5 0.71

Eau 0.59 10^-7 10

Fluide parfait – Gaz parfait

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• Un fluide parfait n’oppose aucune résistance à sa mise en mouvement. Il est caractérisé par 𝜇 = 𝜆 = 0.

• Un gaz parfait est un fluide non nécessairement parfait pour lequel la masse volumique, la pression et la température vérifient l’équation d’état suivante:

𝑝

𝜌 = 𝑟𝑇, avec 𝑟 une constante

• La constante 𝑟 dépend du gaz considéré. Pour de l’air, elle est de l’ordre de 287 J/K/kg

Notion de bilan

1. L’analyse d’un écoulement se fait à travers l’écriture de bilans issus des grandes lois de conservation

• masse,

• quantité de mouvement,

• énergie

2. La région sur laquelle ces bilans sont faits dépend des variables utilisées

3. Dans tous les cas, un bilan ne peut se faire que sur une région ne contenant que des particules fluides, éventuellement en contact avec une paroi solide

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Domaine matériel

• En variables de Lagrange, les bilans sont réalisés sur un domaine matériel 𝐷 𝑡 constitué de particules fluides (toujours les mêmes) que l’on suit dans leur mouvement.

• Ce domaine se déforme au cours du temps et n’échange pas de masse avec l’extérieur

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𝐷(𝑡) 𝐷(𝑡 + ∆𝑡)

Volume de contrôle

• En variables d’Euler, les bilans sont réalisés sur un volume de contrôle ∆ constitué de particules fluides (pas toujours les mêmes)

• Ce domaine ne se déforme pas au cours du temps et échange de la masse avec l’extérieur

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∆ 𝑡 = ∆ 𝑡 + ∆𝑡 = ∆

Dérivée particulaire

• Les principes de conservation sont écrits naturellement en variables de Lagrange (ex: la masse d’une particule fluide se conserve)

• En variable d’Euler, plus aptes à représenter le point de vue de l’observateur/expérimentateur, on représente les variations prises en suivant une seule et même particule par la dérivée particulaire

• La quantité 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) étant décrite en variable d’Euler, sa différentielle est :

𝑑𝑓 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓

𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑓

𝜕𝑧 𝑑𝑧 + 𝜕𝑓

𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑓 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥₁ 𝑑𝑥₁ + 𝜕𝑓

𝜕𝑥₂ 𝑑𝑥₂ + 𝜕𝑓

𝜕𝑥₃ 𝑑𝑥₃ + 𝜕𝑓

𝜕𝑡 𝑑𝑡

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Dérivée particulaire

• Pour que les variations spatiales dM = 𝑑𝑥₁, 𝑑𝑥₂, 𝑑𝑥₃ correspondent au déplacement physique d’une particule fluide sur sa trajectoire, il faut imposer que 𝑑𝑀/𝑑𝑡 soit le vecteur vitesse 𝐕 = 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃

• On définit alors la dérivée particulaire de 𝑓:

𝑑𝑓

𝑑𝑡 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥₁

𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 + 𝜕𝑓

𝜕𝑥₂

𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 + 𝜕𝑓

𝜕𝑥₃

𝑑𝑥₃

𝑑𝑡 + 𝜕𝑓

𝜕𝑡

représentative des variations de 𝑓lorsque l’on suit la particule située en 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃ à l’instant 𝑡

• En notation indicielle cela donne:

𝑑𝑓

𝑑𝑡 = 𝜕𝑓

𝜕𝑡 + 𝑢_𝑗 𝜕𝑓

𝜕𝑥_𝑗

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Dérivée particulaire

• L’expression se généralise sans difficulté au cas d’un vecteur en considérant les composantes du vecteur successivement

• On obtient ainsi l’expression de l’accélération d’une particule fluide écrite en variables d’Euler

𝑑𝑢_𝑖

𝑑𝑡 = 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 + 𝑢_𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗

• Il faut bien noter ici que l’indice 𝑗 est muet

• Le caractère non-linéaire de ce terme est fondamental en mécanique des fluides; il est par exemple à l’origine du phénomène de turbulence abordé en fin de cours

• L’opérateur ^𝜕𝑓_𝜕𝑡 + 𝑢_{𝑗 𝜕𝑥}^𝜕𝑓

𝑗 est appelé opérateur de convection ou d’advection dans le cas particulier où 𝑓 = 𝑢_𝑖

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Ecoulement permanent

• Un écoulement est dit permanent si la dérivée en temps de toute quantité exprimée en variable d’Euler est nulle

• La dérivée particulaire n’est cependant pas nulle; elle devient :

𝑑𝑓

𝑑𝑡 = 𝑢_𝑗 𝜕𝑓

𝜕𝑥_𝑗

• L’accélération d’une particule fluide plongée dans un écoulement permanent n’est donc pas nulle en général:

𝑑𝑢_𝑖

𝑑𝑡 = 𝑢_𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗

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Théorème de transport

• La dualité de raisonnement sur un domaine matériel 𝐷(𝑡) ou un volume de contrôle ∆ est concrétisée par le théorème de Reynolds

𝑑

𝑑𝑡 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷(𝑡)

= 𝜕

𝜕𝑡 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

∆

+ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑢_𝑖𝑛_𝑖𝑑𝜎

Σ

• ∆ est fixe et coïncidant avec 𝐷 à l’instant 𝑡

• 𝑛_𝑖 est la i^ème composante du vecteur unitaire normal à la surface Σ qui englobe ∆, orienté vers l’extérieur

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Théorème de transport

• En utilisant le théorème d’Ostrogadski on obtient une forme légèrement différente:

𝑑

𝑑𝑡 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷(𝑡)

= 𝜕

𝜕𝑡 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

∆

+ 𝜕𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

∆

• L’intégrale de surface est donc remplacée par une intégrale de volume portant sur la divergence du vecteur 𝑓𝐕

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Equations du Mouvement

• Elles s’obtiennent en appliquant les principes de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie) à un domaine matériel quelconque et en utilisant le théorème de transport appliqué à une fonction 𝑓 bien choisie

• Par exemple, pour 𝑓 = 𝜌, la conservation de la masse contenue dans le domaine matériel donne successivement _𝑑𝑡^𝑑 _𝐷(𝑡) 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 , puis

𝜕𝜌

𝜕𝑡 + ^𝜕𝜌𝑢_𝜕𝑥 ^𝑖

𝑖 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

∆ = 0 , et enfin l’équation de

continuité:

𝜕𝜌

𝜕𝑡 + 𝜕𝜌𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = 0

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Equations du Mouvement

• L’application du principe fondamental de la dynamique à un domaine matériel quelconque conduit, en choisissant 𝑓 = 𝜌𝐕 pour l’application du théorème de transport, à l’équation de la quantité de mouvement suivante:

𝜌𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 + 𝜌𝑢_𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 = − 𝜕𝑝

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜕𝜏_𝑖𝑗

𝜕𝑥_𝑗 + 𝜌𝐹_𝑖

où 𝐹_𝑖 représente les forces de volume (ex: la pesanteur g)

• Si le fluide est Newtonien, le tenseur des contraintes est proportionnel au tenseur vitesse de déformation 𝑆_𝑖𝑗 = ¹₂ ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑖

𝑗 + ^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑗

𝑖 :

𝜏_𝑖𝑗 = 2𝜇𝑆_𝑖𝑗 − 2

3 𝜇𝑆_𝑘𝑘𝛿_𝑖𝑗

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Energie cinétique

• En multipliant l’équation de quantité de mouvement par la vitesse 𝑢_𝑖, on obtient l’équation suivante pour l’énergie cinétique 𝑒_𝑐 = ¹₂ 𝑢_𝑖𝑢_𝑖 :

𝜌 ^𝜕𝑒_𝜕𝑡^𝑐 + 𝜌𝑢_{𝑗 𝜕𝑥}^𝜕𝑒𝑐

𝑗 = −𝑢_{𝑖 𝜕𝑥}^𝜕𝑝

𝑖 + 𝑢_𝑖 ^𝜕𝜏_𝜕𝑥^𝑖𝑗

𝑗 + 𝜌𝑢_𝑖𝐹_𝑖 ou encore, en posant 𝜎_𝑖𝑗 = −𝑝𝛿_𝑖𝑗 + 𝜏_𝑖𝑗:

𝜌 𝜕𝑒_𝑐

𝜕𝑡 + 𝜌𝑢_𝑗 𝜕𝑒_𝑐

𝜕𝑥_𝑗 = 𝜕𝜎_𝑖𝑗𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗

puissance des forces extérieures

de surface

+ −𝜎_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗

puissance des forces intérieures

de surface

+ 𝜌𝑢_𝑖𝐹_𝑖

puissance des forces extérieures

de volume

• On remarque que la puissance des forces intérieures de surface liées à la viscosité est nulle en l’absence de vitesse de déformation; que la puissance des forces intérieures de pression est nulle en fluide incompressible

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Théorème de Bernoulli

• On considère un fluide parfait de masse volumique constante en mouvement permanent et soumis à des forces extérieures dérivant d’un potentiel 𝐹_𝑖 = −_𝜕𝑥^𝜕Φ

𝑖

• Le bilan d’énergie cinétique conduit alors au fait que la quantité

H = 𝑝 + ¹₂𝜌𝑢_𝑖𝑢_𝑖 + 𝜌Φ

est constante le long d’une ligne de courant

• Ce résultat se généralise dans le cas où la masse volumique n’est pas constante mais ne dépend que de la pression (𝜌 = 𝜌(𝑝); évolution barotrope)

• On parle de forme faible du théorème de Bernoulli car la quantité H n’est conservée que sur chaque ligne de courant

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Théorème de Bernoulli

• On considère un fluide de masse volumique constante en mouvement irrotationnel et soumis à des forces extérieures dérivant d’un potentiel 𝐹_𝑖 = −_𝜕𝑥^𝜕Φ

𝑖

• La vitesse dérive alors d’un potentiel: 𝑢_𝑖 = _𝜕𝑥^𝜕𝜐

𝑖; on montre alors que la quantité

H = 𝜌^𝜕𝜐

𝜕𝑡 + 𝑝 + ¹

2 𝜌𝑢_𝑖𝑢_𝑖 + 𝜌Φ

est constante dans tout le domaine de l’écoulement

• On parle de forme forte du théorème de Bernoulli car la quantité H est commune à toutes les lignes de courant

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Equations du Mouvement

• L’application du premier principe de la thermodynamique (la variation d’énergie totale est égale à la somme du travail et de la chaleur échangés avec l’extérieur) à un domaine matériel quelconque conduit, en choisissant 𝑓 = 𝜌𝐸 = 𝜌 𝑒 + 𝑢_𝑖𝑢_𝑖/2 pour l’application du théorème de transport, à l’équation de l’énergie totale suivante:

𝜌 𝜕𝐸

𝜕𝑡 + 𝜌𝑢_𝑗 𝜕𝐸

𝜕𝑥_𝑗 =

−𝜕𝑝𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖

puissance des forces extérieures

de pression

+ 𝜕𝜏_𝑖𝑗𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗

puissance des forces extérieures

de viscosité

+ − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗

puissance thermique

+ 𝜌𝑢_𝑖𝐹_𝑖

𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑡é𝑟𝑖𝑒𝑢𝑟𝑒𝑠

𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒

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Equations du Mouvement

• Nous verrons que l’équation de l’énergie peut revêtir de multiples formes

• Par exemple, en choisissant la température comme variable transportée on obtient après quelques manipulations:

𝜌𝐶_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑣𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = −𝑝𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗

• 𝐶_𝑣 est la chaleur spécifique à volume constant

• Le flux de chaleur est usuellement modélisé par la loi de Fourier: 𝑞_𝑗 = −𝜆 _𝜕𝑥^𝜕𝑇

𝑗

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Equations de Navier-Stokes compressibles

• Masse:

𝜕𝜌

𝜕𝑡 + 𝜕𝜌𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = 0

• Quantité de mouvement:

𝜌𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 + 𝜌𝑢_𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 = − 𝜕𝑝

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜕𝜏_𝑖𝑗

𝜕𝑥_𝑗 + 𝜌𝐹_𝑖 avec 𝜏_𝑖𝑗 = 2𝜇𝑆_𝑖𝑗 − 2

3 𝜇𝑆_𝑘𝑘𝛿_𝑖𝑗

• Température:

𝜌𝐶_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑣𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = −𝑝𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗 avec 𝑞_𝑗 = −𝜆 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗

• Equation d’état:

𝑝

𝜌 = 𝑟𝑇

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Equations de Navier-Stokes incompressibles

• Masse:

𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑖 = 0

• Quantité de mouvement:

𝜌𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑡 + 𝜌𝑢_𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 = − 𝜕𝑝

𝜕𝑥_𝑖 + 𝜕𝜏_𝑖𝑗

𝜕𝑥_𝑗 + 𝜌𝐹_𝑖 avec 𝜏_𝑖𝑗 = 2𝜇𝑆_𝑖𝑗

• Température:

𝜌𝐶_𝑣 𝜕𝑇

𝜕𝑡 + 𝜌𝐶_𝑣𝑢_𝑗 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗 = 𝜏_𝑖𝑗 𝜕𝑢_𝑖

𝜕𝑥_𝑗 − 𝜕𝑞_𝑗

𝜕𝑥_𝑗 avec 𝑞_𝑗 = −𝜆 𝜕𝑇

𝜕𝑥_𝑗

• Equation d’état:

𝜌 = 𝜌₀

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Compressible / Incompressible

• Le modèle compressible est un système couplé de 5 EDP non linéaires + 1 équation algébrique. Les 6 inconnues sont

𝜌, 𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃, 𝑝, 𝑇

• Le modèle incompressible est constitué:

 d’un système couplé de 4 EDP (1 linéaire + 3 non linéaires) dont les inconnues sont

𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃, 𝑝

 d’une EDP linéaire pour l’inconnue 𝑇. La densité est une donnée.

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Théorème d’Euler

• Pour un écoulement permanent, le flux de quantité de mouvement à travers une surface de contrôle Σ fixe et délimitant un volume Δ constitué exclusivement de particules fluides est égal à la résultante des forces extérieures appliquées au fluide.

• C’est une conséquence directe de l’équation de la quantité de mouvement intégrée sur le volume Δ :

𝜌𝑉

Σ

𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝜎 = 𝜌𝐹 𝑑𝑣

∆

+ 𝑇𝑑𝜎

Σ

• Un théorème similaire peut être établi pour les moments:

𝜌𝑂𝑀 ∧ 𝑉

Σ

𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝜎 = 𝜌𝑂𝑀 ∧ 𝐹 𝑑𝑣

∆

+ 𝑂𝑀 ∧ 𝑇𝑑𝜎

Σ

• 𝐹 et 𝑇 sont respectivement les forces de volumes et de surface appliquées au fluide. La pression et les contraintes visqueuses contribuent à 𝑇

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