Université Mohamed Ier Faculté pluridisciplinaire de
Nador
Cours de mécanique des fluides
Filière : SMP Semestre: S6
Pr. Morad EL KAOUINI
Année Universitaire : 2019/2020
Plan du cours:
Chap1: Introduction à la mécanique des fluides I. Définition d’un fluide
II. Mécanique des fluides
III. Les différents régimes d'écoulements IV. Propriétés physiques des fluides
V. Forces exercés sur un volume de fluide
Chap2: Statique des fluides (Hydrostatique) I. Pression en un point de fluide
II. Relation fondamentale de l’hydrostatique III. Variation verticale de la pression
IV. Applications – Calcul des forces hydrostatiques sur des parois
Plan du cours:
Chap3: Cinématique des fluides (Hydrocinématique) I. Variables de Lagrange – Trajectoires
II. Variables d’Euler – lignes de courant
III. Accélération d’une particule fluide – Dérivée particulaire IV. Débit massique – Débit volumique
V. Equation de continuité (conservation de la masse)
VI. Analyse du mouvement d’un élément de volume de fluide VII.Etude de quelques types d’écoulement
Chap4: Dynamique des fluides parfaits incompressibles I. Equation générale du mouvement – Equations d’Euler II. Equations intrinsèques
III. Equation de Bernoulli
IV. Application de l’équation de Bernoulli
V. Relation de Bernoulli dans le cas d’écoulement non permanent
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Chap1: Introduction à la mécanique des fluides
I. Définition d’un fluide
La matière existe en général sous deux états physiques à savoir l’état solide et l’état fluide.
Solide:
Particules
ordonnées
Condensées
liées
Fluide: Liquide Particules
Ordre local
Condensées
Peu liées
Fluide: Gaz Particules
Désordonnées
Espacées
Non liées Un fluide est un corps physique sans rigidité dont une des principales propriétés est de subir de grandes déformations sous l’action des forces extérieures aussi petites que l’on veut.
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Cette propriété dite fluidité, est due à une grande mobilité des particules fluides.
Contrairement au solide qui a une forme propre, un fluide ne possède pas de forme propre et il prend la forme du récipient qui le contient parce que les particules (atomes ou molécules) constituant un fluide sont libres de s’écouler ou de se déplacer les unes par rapport aux autres.
Alors qu’un solide se déplace en bloc ou se déforme (petites déformations) tout en gardant une structure cohérente, un fluide s’écoule et on parle de l’écoulement du fluide.
• Pour un liquide: (l’eau, l’huile…) il possède un volume propre mais il n’a pas de forme propre, il prend la forme du fond du récipient qui le contient.
Bécher Erlenmeyer Eprouvette
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• Un liquide est un fluide incompressible. Il ne se comprime pas car les atomes ou les molécules qui le composent sont proches les uns des autres (en contact étroit); on ne peut les rapprocher plus qu’ils le sont.
• Lorsqu’un liquide est en contact avec l’air (l’atmosphère), la surface de contact est une surface horizontale appelée la surface libre.
Liquide
Surface libre Air
La pression sur cette surface libre est égale à la pression atmosphérique:
P = 1 atmosphère.
1 atmosphère = 1,013 bar
= 1,013.105 Pascal.
• Dans un récipient immobile la surface libre de l’eau est toujours plane et horizontale quel que soit l’inclinaison du récipient.
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• Pour un gaz (l’air, la vapeur, …) il n’a ni volume propre ni forme propre. Une masse 𝑚 de gaz occupe toujours tout l’espace disponible du récipient.
1 mole
de gaz 1 mole
de gaz
1 mole de gaz
Un gaz est un fluide compressible, car les molécules qui le composent sont très distantes les unes des autres et il est facile de les forcer à occuper un volume plus petit en augmentant la pression externe.
𝑛1 𝑉1 𝑃1
𝑭
𝑛2 = 𝑛1 𝑉2 < 𝑉1
𝑃2> 𝑃1
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II. Mécanique des fluides
La mécanique des fluides est une science de la physique de la matière qui concerne le comportement des liquides et des gaz au repos (statique des fluides) ou en mouvement (dynamique des fluides).
La mécanique des fluides a de nombreuses applications dans plusieurs domaines comme l’aéronautique, l’ingénierie navale, biomécanique, la météorologie, l’océanographie et la climatologie….
Elle détermine l’état d’un fluide (vitesse, température, pression, masse volumique…) en chaque point de l’espace où évolue ce fluide et
éventuellement en fonction du temps.
III. Les différents régimes d'écoulement
L’état d’un fluide au repos ou en mouvement est décrit mathématiquement par des grandeurs physiques scalaires et vectorielles telles que la vitesse, la pression, la température, la masse volumique (ou densité). Ces grandeurs varient généralement, à un même instant, d’un point à l’autre du fluide, comme elles peuvent varier aussi avec le temps.
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Les fluides s’écoule de plusieurs manière:
3.1. Écoulement unidimensionnel:
Soit 𝑀 un point du fluide, au cours d’écoulement du fluide, les variables du point 𝑀 dépendent que d’une seule coordonnée de l’espace (l’axe des 𝑥) et éventuellement du temps 𝑀(𝑥, 𝑡). Elles sont donc les mêmes en tout point d’une section.
3.2. Écoulement bidimensionnel ou plan:
Les variables de l’écoulement dépendent de deux coordonnées de l’espace et éventuellement le temps 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑡).
3.3. Écoulement tridimensionnel ou spatial:
Les variables de l’écoulement dépendent des trois coordonnées de l’espace et éventuellement le temps 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).
3.4. Écoulement uniforme ou homogène:
Un écoulement est dit uniforme ou homogène si à un instant 𝑡 les grandeurs physiques (pression, température, vitesse ,masse volumique) ne dépendent pas des coordonnées de l’espace 𝑀(𝑡).
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3.5. Écoulement permanent ou stationnaire:
Un écoulement est dit permanent (ou stationnaire) si les grandeurs physiques représentatives sont indépendantes du temps, elles ne dépendent que des coordonnées de l’espace 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧). Dans le cas contraire il est dit non permanent ou instationnaire.
3.6. Écoulement laminaire et turbulent:
L’écoulement est laminaire lorsque le déplacement du fluide se fait suivant des droites parallèles disposées en couches. Il est dit turbulent lorsqu’il se déplace d’une manière désordonnée en formant des tourbillons de tailles différentes accompagnés d’un mélange ou brassage très intensif des particules fluides.
Écoulement Laminaire Écoulement turbulent Exemples:
Laminaire : Jet d’eau parfait Turbulent: eau dans les rivières 10
IV. Propriétés physiques des fluides:
4.1. Masse volumique
Soit 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) un point du fluide de volume 𝑉.
La masse volumique du fluide, est définie par:
𝝆 = 𝒎 𝑽 Où 𝑚 est la masse du fluide et 𝑉 son volume.
C’est une mesure de concentration de la matière (masse) par unité de volume.
Son unité est 𝑘𝑔/𝑚3. Remarques:
La masse volumique 𝜌 dépend en général de la pression 𝑃 et de la température 𝑇, donc 𝜌 = 𝜌(𝑃, 𝑇). Dans la suite, on va s’intéresser seulement aux écoulements isothermes (𝑇 = Cte), donc: 𝜌 = 𝜌(𝑃).
• Dans le cas d’un fluide incompressible (liquide), le volume 𝑉 occupé par une masse 𝑚 de ce fluide ne varie pas avec la pression extérieure 𝑃:
Donc: ∀ 𝑃, 𝜌 = 𝑚
𝑉 = 𝐶𝑡𝑒 ⇒ 𝜌𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑒 = 𝐶𝑡𝑒.
Exemples: 𝜌𝑒𝑎𝑢 = 103𝑘𝑔/𝑚3; 𝜌(𝐻𝑔) = 13,6.103𝑘𝑔/𝑚3
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• Dans le cas d’un fluide compressible (gaz), la loi 𝜌 = 𝜌(𝑃) peut être déterminée expérimentalement sous forme empirique. Elle peut aussi être déterminée théoriquement comme c’est le cas de la loi des gaz parfaits:
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 ⇒ 𝜌 = 𝑚
𝑛𝑅𝑇 𝑃.
4.2. Densité
Elle est définie par:
𝒅 = 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒖 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆
𝒎𝒂𝒔𝒔𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅′𝒖𝒏 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒓é𝒇é𝒓𝒆𝒏𝒄𝒆 = 𝝆 𝝆𝒓𝒆𝒇 Dans le cas des liquides on prendra l’eau comme fluide de référence.
Dans le cas des gaz on prendra l’air comme fluide de référence.
Exemple: 𝑑𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑒 = 𝜌𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑒𝜌
𝑒𝑎𝑢 ⇒ 𝑑𝑒𝑎𝑢 = 1 ; 𝑑(𝐻𝑔) = 13,6 4.3. Poids volumique
Il représente la force d’attraction exercée par la terre sur l’unité de volume, c'est-à-dire le poids de l’unité de volume.
𝝎 = 𝒎 . 𝒈
𝑽 = 𝝆 . 𝒈 𝝎: Poids volumique en (𝑁/𝑚3);
𝑚: masse en (𝑘𝑔);
𝑔: accélération de la pesanteur en (𝑚/𝑠2) et 𝑉: volume en (𝑚3). 12
4.4. Viscosité
La viscosité est une caractéristique des fluides quand ils sont en mouvement.
Elle caractérise la résistance du fluide à l’écoulement, elle est causée par le frottement entre particules fluides lors du mouvement et elle provoque une dissipation de l’énergie cinétique qui est transformée en chaleur. Alors, les fluides de grande viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent facilement.
On peut préciser cet aspect
qualitativement par l’expérience suivante:
un fluide est disposé entre 2 plaques solides planes parallèles. On fixe l’une et on fait animer la deuxième d’un
mouvement uniforme de vitesse 𝑉.
𝑭𝒆𝒙𝒕
Le mouvement du fluide peut être considéré comme résultant du glissement des couches de fluide les unes sur les autres. La vitesse de chaque couche est
une fonction de la distance 𝑧. 13
La vitesse des particules de fluide situées sur une verticale varie alors entre 0 sur la paroi fixe et 𝑉 sur la paroi mobile. Il existe donc un gradient de vitesse
𝑑𝑉
𝑑𝑧 dans la direction perpendiculaire à 𝑉. Cette variation de la vitesse suivant la verticale est due aux forces de frottement entre les différentes couches du liquide.
4.4.1. Viscosité dynamique
Considérons deux couches de fluide adjacentes distantes de ∆𝑧. La force de frottement 𝐹 qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches ∆𝑉, à leur surface 𝑆 et inversement proportionnelle à ∆𝑧.
On distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.
Le facteur de proportionnalité 𝜂 est le coefficient de viscosité dynamique du fluide:
𝑭 = 𝜼. 𝑺.∆𝑽
Où 𝑭 : Force de frottement entre les couches en (𝑁); ∆𝒛 𝜼 : Viscosité dynamique en (kg/m ⋅ s);
𝑺 : Surface de contact entre deux couches en (𝑚2);
∆𝑽 : Écart de vitesse entre deux couches en (𝑚/𝑠);
∆𝒛 : Distance entre deux couches en (𝑚). 14
Remarque 1:
Dans le système international (SI), l'unité de la viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa⋅s) : 1 Pa ⋅ s = 1 kg/m ⋅ s
Remarque 2:
Dans le cas où 𝜂 = 0, on parle alors de fluide non visqueux ou idéal.
4.4.2. Viscosité cinématique
Elle est donnée par l’expression suivante:
𝝈 = 𝜼
L'unité de la viscosité cinématique est (𝑚𝝆2/𝑠).
Remarque 1:
On utilise souvent le Stokes (𝑆𝑡) comme unité de mesure de la viscosité cinématique:
1 𝑆𝑡 = 10−4𝑚2/𝑠 Remarque 2:
La viscosité des fluides dépend en grande partie de sa température.
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V. Forces exercées sur un volume de fluide :
Soit un volume de fluide (d𝑉) délimité par la surface (𝑆), pris dans un fluide en écoulement.
Le volume 𝑑𝑉 subit deux types d’efforts extérieurs:
V.1. Forces volumiques (ou massiques): telles que le poids, les forces électriques ou magnétiques. Elles sont liées directement au volume. Par
exemple, le poids du volume infinitésimal 𝑑𝑉 est 𝜌𝑔 𝑑𝑉 où 𝑔 est l’accélération de la pesanteur et 𝜌 est la masse volumique du fluide.
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V.2. Forces surfaciques:
Ce sont des forces exercées sur le volume 𝑑𝑉 par le reste du fluide à travers la surface externe 𝑆.
Soit un élément de surface infinitésimal 𝑑𝑆 de la surface 𝑆, orienté par un vecteur unitaire 𝑛ext dirigé vers l’extérieur de 𝑑𝑉 et 𝑛ext ⊥ à 𝑑𝑆 (voir la figure précédente). Le fluide extérieur exerce sur l’élément de surface 𝑑𝑆:
• Une force de pression perpendiculaire à 𝑑𝑆 : 𝑑𝐹 𝑝 = −𝑃 𝑑𝑆 𝑛ext où 𝑃 est la pression du fluide au point considéré.
Donc la force de pression totale sur la surface 𝑆est:
𝐹 𝑝 = −𝑃 𝑑𝑆 𝑛ext
(𝑆)
• Une force de frottement (force de viscosité) parallèle à 𝑑𝑆 : 𝑑𝐹 𝑣𝑖𝑠𝑐 = 𝜏 𝑑𝑆
où 𝜏 est une force de frottement par unité de surface.
Sur la surface totale 𝑆 on a: 𝐹 𝑣𝑖𝑠𝑐 = 𝑑𝐹 (𝑆) 𝑣𝑖𝑠𝑐.
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V.3. Fluide parfait :
En mécanique des fluides, un fluide est dit parfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets de frottement (sans
viscosité). C’est à dire quand la composante 𝑑𝐹 𝑣𝑖𝑠𝑐 est nulle. Autrement dit, la force 𝑑𝐹 est normale à l'élément de surface 𝑑𝑆.
V.4. Fluide réel :
Contrairement à un fluide parfait, qui n’est qu’un modèle pour simplifier les calculs, pratiquement inexistant dans la nature, dans un fluide réel les forces tangentielles de frottement interne qui s’opposent au glissement relatif des couches fluides (force de cisaillement) sont prises en considération. Ce phénomène de frottement visqueux apparaît lors du mouvement du fluide.
Remarque:
Lorsque le fluide est au repos (à l’équilibre), le fluide réel se comporte comme un fluide parfait. Les forces de contacts dans ce cas sont normales aux éléments de surface.
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Chap2: Statique des fluides (Hydrostatique)
La statique des fluides est s’intéresse à l’étude de la loi de variation de pression des fluides au repos, et le calcul des efforts exercées par ce fluide au repos sur des surfaces solides indéformables avec lequel il est en contact.
L’accélération est nulle (le fluide est au repos ou se déplace en bloc), il n’y a donc aucun mouvement (relatif) des particules fluides les unes par rapport aux autres et par conséquent il n’y a pas de forces de frottement (pas de viscosité).
Le champ d’applications :
Calcul de la force résultante appliquée sur un barrage ou sur un objet partiellement ou complètement immergé.
Calcul de la pression dans des réservoirs.
Alors, les seules forces agissant sur un élément de fluide 𝑑𝑉 sont:
Les forces surfaciques qui sont perpendiculaire à la surface de 𝑑𝑉.
Les forces volumique (en général le poids).
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I. Pression en un point de fluide
Lorsqu’un fluide est au repos, la pression appliquée en un point 𝐴 de fluide désigne la force par unité de surface qu’exerce le fluide perpendiculairement à un élément de surface 𝑑𝑆.
Elle est définie par :
𝑷𝑨 = 𝒅𝑭𝒅𝑺𝑵 Où :
𝑑𝐹 𝑁: Composante normale de la force élémentaire de pression qui s’exerce sur la surface (en Newton);
𝑑𝑆 : Surface élémentaire de la facette de centre A (en 𝑚2);
𝑃𝐴 : Pression en A (en Pascal);
𝑛 : Vecteur unitaire en A de la normale extérieure à la surface.
Sur la surface de centre A, d’aire 𝑑𝑆, orientée par sa normale extérieure 𝑛, la force de pression élémentaire 𝑑𝐹𝑁 s’exprime par :
𝒅𝑭𝑵 = −𝑷𝑨 𝐝𝐒 𝒏
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À un instant 𝑡, la pression appliquée sur un point 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) de fluide est indépendante de l’orientation de l’élément de surface 𝑑𝑆.
En effet:
Soit un élément de volume de fluide infinitésimal entourant le point 𝑀 sous la forme d’un prisme triangulaire de largeur dy suivant la direction 𝑦 et de
dimensions 𝑑𝑥 et 𝑑𝑧.
Le fluide est au repos, l’élément de volume est en équilibre sous l’action des forces:
À l’équilibre la sommes des forces nulle:
𝐹 1 + 𝐹 2 + 𝐹 3 + 𝑃 = 0
⟹ 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦𝑒 𝑧 + 𝑃2𝑑𝑦𝑑𝑧𝑒 𝑥 −𝑃3 𝑑𝑙𝑑𝑦𝑛 + 𝜌 𝑑𝑥𝑑𝑧
2 𝑑𝑦𝑔 = 0
• Les forces de pression:
𝐹 1 = 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦𝑒 𝑧 , 𝐹 2 = 𝑃2𝑑𝑦𝑑𝑧𝑒 𝑥 , 𝐹 3 = −𝑃3𝑑𝑙𝑑𝑦𝑛 . Avec : 𝑛 = sin 𝛼 𝑒 𝑥 + cos 𝛼 𝑒 𝑧
• Le poids: 𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑉𝑔 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑧
2 𝑑𝑦𝑔
- Projection sur l’axe des 𝑥: 𝑃2𝑑𝑧 −𝑃3 𝑑𝑙 sin 𝛼 = 0 ⟹ 𝑃2 = 𝑃3. - Projection sur l’axe des 𝑧: 𝑃1𝑑𝑥 −𝑃3 𝑑𝑙 cos 𝛼 − 𝜌 𝑑𝑥𝑑𝑧
2 = 0
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⟹ 𝑃1 −𝑃3 −𝜌 𝑑𝑧2 = 0
Si on réduit l’élément de volume à un point, C’est-à-dire 𝑑𝑧 → 0 ⇒ 𝑃1 = 𝑃3
D’où : 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃3
Par conséquent, la pression hydrostatique en un point donné d’un fluide au repos est la même (agit de façon égale) dans toutes les directions.
II. Relation fondamentale de l’hydrostatique Soit 𝑑𝑉 un élément de volume d’un fluide
incompressible au repos de poids volumique 𝜔. Cet élément de volume a la forme d’un parallélépipède rectangulaire de dimensions 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 et 𝑑𝑧.
Les forces agissant sur 𝑑𝑉 sont :
Forces volumiques:
• Son poids : 𝜌𝑑𝑉𝑔 = −𝜌𝑔𝑑𝑉𝑒 𝑧 = −𝜔 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑒 𝑧
Forces surfaciques: forces de pression
• Force de pression sur la facette située dans le plan d’abscisse 𝑥:
𝑃 𝑥 𝑑𝑦𝑑z𝑒 𝑥
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• Force de pression sur la facette située dans le plan d’abscisse 𝑥 + 𝑑𝑥:
−𝑃 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑z𝑒 𝑥
• Force de pression sur la facette située dans le plan d’ordonnée 𝑦:
𝑃 𝑦 𝑑𝑥𝑑z𝑒 𝑦
• Force de pression sur la facette située dans le plan d’ordonnée 𝑦 + 𝑑𝑦:
−𝑃 𝑦 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑z𝑒 𝑦
• Force de pression sur la facette située dans le plan de cote 𝑧:
𝑃 𝑧 𝑑𝑥𝑑y𝑒 𝑧
• Force de pression sur la facette située dans le plan de cote 𝑧 + 𝑑𝑧:
−𝑃 𝑧 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑y𝑒 𝑧
L’élément de volume étant à équilibre, la résultante des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle : 𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 0.
Donc :
−𝜌𝑔𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑒 𝑧 + 𝑃 𝑥 𝑑𝑦𝑑z𝑒 𝑥 − 𝑃 𝑥 + 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑z𝑒 𝑥 + 𝑃 𝑦 𝑑𝑥𝑑z𝑒 𝑦
− 𝑃 𝑦 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑z𝑒 𝑦 + 𝑃 𝑧 𝑑𝑥𝑑y𝑒 𝑧 − 𝑃 𝑧 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑y𝑒 𝑧 = 0 Par suite,
En projetant l’équation sur l’axe 𝑂𝑥, et en divisant le résultat sur dx𝑑𝑦𝑑z, on obtient:
− 𝑃 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑃 𝑥
𝑑𝑥 = 0 ⟹ 𝜕𝑃
𝜕𝑥 = 0 23
En effectuant le même raisonnement suivant les axes 𝑂𝑦 et 𝑂𝑧, on trouve:
− 𝑃 𝑦 + 𝑑𝑦 − 𝑃 𝑦
𝑑𝑦 = 0 ⟹ 𝜕𝑃
𝜕𝑦 = 0 et
−𝜌𝑔 − 𝑃 𝑧 + 𝑑𝑧 − 𝑃 𝑧
𝑑𝑧 = 0 ⟹ 𝜌𝑔 + 𝜕𝑃
𝜕𝑧 = 0 Puis, on aboutit finalement à l’équation vectorielle suivante:
𝝆 𝒈 − 𝒈𝒓𝒂𝒅𝑷 = 𝟎
Il s’agit de la relation fondamentale de l’hydrostatique.
Dans ce cas où les forces volumiques se réduisent seulement au poids, la relation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit:
𝝆 𝒈 − 𝒈𝒓𝒂𝒅𝑷 = 𝟎 ⟺
𝜕𝑃
𝜕𝑥 = 0
𝜕𝑃
𝜕𝑦 = 0
𝜕𝑃
𝜕𝑧 = −𝜌𝑔
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Ces trois équations d’hydrostatique montre que la pression d’un fluide au repos est constante selon le plans 𝑥, 𝑦 et elle ne varie que suivant l’axe 𝑂𝑧 par la relation :
𝜕𝑃
𝜕𝑧 = −𝜌𝑔 ⟹ 𝑑𝑃
𝑑𝑧 = −𝜌𝑔 D’où : 𝒅𝑷 = −𝝆𝒈𝒅𝒛
La quantité 𝜌𝑔 est le poids volumique.
Remarque: si l’axe 𝑂𝑧 est dirigé vers le bas, la relation fondamentale de l’hydrostatique devient: 𝒅𝑷 = +𝝆𝒈 𝒅𝒛.
III. Variation verticale de la pression : 1) Fluide incompressible :
Pour un fluide incompressible de densité 𝜌 constante, l’intégration de l’équation d’hydrostatique 𝑑𝑃 = −𝜌𝑔𝑑𝑧 entre deux point de hauteurs différentes, conduit à:
𝑑𝑃𝑃2
𝑃1
= − 𝜌𝑔𝑑𝑧𝑧2
𝑧1
⟹ 𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 = −𝝆𝒈(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏) La variation de la pression entre deux niveaux est proportionnelle à la différence de hauteur entre ces deux niveaux. Cette variation est linéaire.
À un altitude 𝑧 quelconque du liquide on a :
𝑷 + 𝝆𝒈𝒛 = 𝒄𝒕𝒆 25
2) Calcule de la pression du liquide en fonction de la pression atmosphérique Considérons un liquide au repos dans un vase, a la surface de séparation du liquide – air (surface libre) la pression est constante est égale à la pression atmosphérique (𝑃𝑎𝑡𝑚 = 1 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑝é𝑟𝑒 = 105𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙). Cette surface est horizontale et se trouve à un altitude de 𝑧𝑎𝑡𝑚.
Soit 𝐴 un point du liquide d’altitude 𝑧𝐴, d’après la RFH d’un fluide incompressible, la pression du point 𝑃𝐴 devient :
𝑃𝐴 + 𝜌𝑔𝑧𝐴 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑧𝑎𝑡𝑚
⟹ 𝑃𝐴 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔(𝑧𝑎𝑡𝑚 − 𝑧𝐴)
Alors, pour tout point de liquide d’altitude 𝑧 la pression est donnée par:
𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔 𝑧𝑎𝑡𝑚 − 𝑧
Dans la pratique on choisit l’origine de l’axe O𝑧 sur la surface libre, de telle façon que:
𝑧𝑎𝑡𝑚 = 0, et on choisit l’axe O𝑧 vers le bas, dans ce cas la relation précédente devient :
𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑧
La variation de pression entre un point de liquide et la surface libre 𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 est appelée pression relative ou effective qu’on note par 𝑃0.
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3) Fluide compressible
Pour un fluide isotherme compressible, la masse volumique varie avec la
pression, on doit alors connaître la fonction 𝜌(𝑃), pour résoudre la relation de l’hydrostatique.
Considérons par exemple la variation donnée par la loi des gaz parfaits : 𝑃
𝜌 = 𝑟𝑇 Avec 𝑟 = 𝑅
𝑀 où 𝑅 est la constante des gaz parfaits et 𝑀 la masse molaire du gaz.
En introduisant cette fonction 𝜌 dans la relation fondamentale d’hydrostatique, on trouve :
𝑑𝑃 = − 𝑃
𝑟𝑇 𝑔 𝑑𝑧
⟹ 𝑑𝑃
𝑃 = − 𝑔
𝑟𝑇 𝑑𝑧
⟹ 𝑃 = 𝑃0𝑒− 𝑔𝑟𝑇𝑧
Pour un fluide compressible isotherme, la variation de la masse volumique est donnée par:
𝑑𝜌
𝜌 = 𝜒𝑇𝑑𝑃
Où 𝜒𝑇 est le coefficient de compressibilité isotherme, pour un gaz parfait:
𝜒𝑇 = 510−10 𝑃𝑎−1 27
IV. Théorème de Pascal 1) Énoncé
Toute variation de pression en un point d’un fluide incompressible en équilibre, se transmet entièrement en tout point du fluide.
2) Démonstration
Considérons un fluide incompressible en équilibre.
Soient 𝑃1et 𝑃2 les pressions respectivement aux points 𝐴 (𝑧𝐴) et 𝐵 (𝑧𝐵) du fluide.
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Si au point A il y a une variation de pression et devient 𝑃1 + ∆𝑃1 et en 𝐵 on aura 𝑃2 + ∆𝑃2.
Calculons la variation de pression ∆𝑃2 qui en résulte en 𝐶2.
On applique la loi fondamentale de l’hydrostatique entre 𝐶1et 𝐶2: - à l’état initial: 𝑃2 − 𝑃1 = −𝜌𝑔 𝑧2 − 𝑧1 (1)
- à l’état final : (𝑃2+∆𝑃2) − (𝑃1 + ∆𝑃1) = −𝜌𝑔 𝑧2 − 𝑧1 (2) En faisant la différence entre les équations (1) et (2) on obtient :
∆𝑃1 − ∆𝑃2 = 0 Alors:
∆𝑷𝟏 = ∆𝑷𝟐
D’où le théorème de Pascal.
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IV. Applications : Forces hydrostatique sur des parois
Dans cette partie nous cherchons à déterminer la force de pression qui
s’exerce sur une surface indéformable de forme quelconque immergé dans un fluide.
D’où la forces hydrostatique totale appliquée sur l’élément de paroi 𝑑𝑆 s’écrit:
𝑑𝐹 = 𝑑𝐹 1 + 𝑑𝐹 2 = −𝜌𝑔𝑧𝑑𝑆𝑛
Soit 𝑑𝑆 un élément de surface d’une paroi à la profondeur 𝑧 de la surface libre. Cet élément 𝑑𝑆 est soumis aux deux forces de pression, normales à 𝑑𝑆 et de sens opposées:
- 𝑑𝐹 1 = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝑑𝑆𝑛
- 𝑑𝐹 2 = −𝑃𝑑𝑆𝑛 = −(𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑧)𝑑𝑆𝑛.
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1. Sur une paroi plane inclinée
Soit une paroi solide plane de surface 𝑆 inclinée d’un angle 𝛼 par rapport à l’horizontale et immergée dans un liquide au repos.
Appelons 𝑂𝑥𝑦 le plan parallèle et confondu avec la paroi.
La force agissant sur un élément de surface 𝑑𝑆 de 𝑆, situé à une
distance 𝑥 de l’origine 𝑂 et à une hauteur par rapport à la surface libre, est donnée par :
𝑑𝐹 = −𝜌𝑔𝑑𝑆𝑛 = −𝜌𝑔𝑥 sin 𝛼 𝑑𝑆𝑛
La force résultante agissant sur
toute la surface de la paroi est donc:
𝐹 = −𝜌𝑔 sin 𝛼 𝑥𝑑𝑆𝑛
𝑆
= −𝜌𝑔 sin 𝛼 𝑥𝑑𝑆
𝑆
L’intégrale 1𝑆 𝑥𝑆 𝑑𝑆 représente la coordonnée 𝑥𝐺 du point 𝐺 centre de gravité de la surface solide suivant la direction 𝑂𝑥.
Ainsi, on a:
𝐹 = −𝜌𝑔𝑆𝑥𝐺 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑛
⟹ 𝑭 = −𝝆𝒈𝒉𝑮𝑺 𝒏
où 𝑆 est l’aire de la paroi et 𝐺 la profondeur de son centre de gravité 𝐺. On remarque que l’expression de 𝐹 représente le poids d’une colonne verticale de liquide de base 𝑆 et de hauteur 𝐺.
Sachant que pour la paroi rectangulaire on a: 𝑆 = 𝐿. 𝑙 et 𝐺 = 𝐿
2𝑠𝑖 𝑛 𝛼
⟹ 𝐹 = −𝜌𝑔𝐿2. 𝑙
2 𝑠𝑖𝑛 (𝛼)𝑛 Centre de poussée :
Soit 𝑃 ce point d’application et 𝑥𝑃 sa coordonnée. Pour trouver ce point, on va écrire que le moment de la force 𝐹 par rapport au point 𝑂 (par exemple) est égal à la somme des moments des forces élémentaires 𝑑𝐹 par rapport au même point: 𝑂𝑃 ∧ 𝐹 = 𝑂𝑀 ∧ 𝑑𝐹 𝑆
Le centre de poussée est le point d’application de la résultante 𝐹 sur la paroi.
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Scalairement et par rapport à 𝑂𝑦, cette relation s’écrit: 𝑥𝑃 𝐹 = 𝑥 𝑑𝐹𝑆 Or, on a: 𝑑𝐹 = 𝜌𝑔𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑆 et 𝐹 = 𝜌𝑔𝐺𝑆
Donc: 𝑥𝑃 𝜌𝑔𝐺𝑆 = 𝑥𝜌𝑔𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑑𝑆𝑆 ⟹ 𝑥𝑃𝐺𝑆 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑥𝑆 2𝑑𝑆
L’intégral 𝑥𝑆 2𝑑𝑆 représente le moment d’inertie de la paroi solide par rapport à son axe 𝑂𝑦.
Ce moment d’inertie ne dépend que de la géométrie de la paroi solide.
On pose: 𝐼𝑂𝑦 = 𝑥𝑆 2𝑑𝑆. En plus, on a: 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 𝐺
𝑥𝐺, on déduit alors la coordonnée 𝑥𝑃 du centre de poussée 𝑃 sous la forme:
𝑥𝑃 = 𝑂𝑃 = 𝐼𝑂𝑦 𝑆 𝑥𝐺 Pour une paroi rectangulaire, on a: 𝑆 = 𝐿. 𝑙, 𝑥𝐺 = 𝐿
2 et 𝐼𝑂𝑦 = 𝐿3.𝑙
3
⟹ 𝑥𝑃 = 2 3𝐿
On conclut que le centre de poussée est situé toujours au dessous du centre de gravité (𝑥𝑃> 𝑥𝐺).
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Considérons l’axe 𝑂𝑧 dirigé vers le bas, dont l’origine 𝑂 appartient à la surface libre.
Dans ce cas, on a: 𝛼 = 𝜋2 ⟹ sin 𝛼 = 1 et 𝑀 = 𝑥 = 𝑧 (où 𝑀 est un point de la paroi).
La force de pression exercée sur toute la
surface de la paroi est donnée par la relation:
𝐹 = 𝑑𝐹
𝑆
= −𝜌𝑔𝐺𝑆 𝑛 Or, dans ce cas, 𝐺 = 𝑂𝐺 = 𝐿
2 D’où:
𝐹 = −𝜌𝑔𝐿
2𝑆 𝑛 ⟹ 𝐹 = −𝜌𝑔𝐿2𝑙
2 𝑛
Cette force totale de pression est appliquée au point P (centre de poussée) tel que: 𝑂𝑃 = 2
3𝐿 2. Sur une paroi plane verticale
Considérons une paroi plane de surface 𝑆 = 𝐿𝑙, immergée verticalement dans un liquide au repos. Supposons que la limite supérieure de la paroi coïncide avec la surface libre du liquide.
34
3. Sur une paroi plane horizontale
Considérons une surface solide plane immergée horizontalement dans un liquide à une profondeur par rapport à la surface libre.
La force exercée sur toute la plaque est donnée par la relation : 𝑭 = −𝝆𝒈𝒉𝑮𝑺 𝒏
Elle représente le poids d’une colonne verticale d’eau de base 𝑆 et de hauteur
.
Dans ce cas le centre de poussée est confondu avec le centre de gravité:
𝑂𝑃 ∧ 𝐹 = 𝑂𝑀 ∧ 𝑑𝐹
𝑆
⟹ 𝑥𝑝 = 𝑥𝐺
35
Remarque:
On remarque que cette force de pression est indépendante de la forme géométrique du vase.
Quelle que soit la forme des vases, s’ils sont remplis d’un liquide de même nature à la même hauteur et s’ils ont un fond de même surface 𝑆, ce fond subit donc la même force de pression.
Alors, même si les vases ne contiennent pas la même quantité du liquide, ils exercent une même force de pression sur le fond de surface 𝑆.
36
V. Théorème d’Archimède 1. Enoncé
Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume du corps immergé):
𝑭𝑨𝒓𝒄𝒉 = 𝝆𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆. 𝑽𝒊𝒎𝒎. 𝒈
𝑭𝑨𝒓𝒄𝒉
Fluide
Solide
Fluide
𝑧
0
Avant Après
37
On cherche l’effort exercé sur le corps immergé, c’est-à-dire la force totale exercée par le fluide sur le corps qui occupe le volume 𝑉 totalement entouré par le fluide.
2. Démonstration
On sait que cette force s’exprime par
𝐹 = −𝑃𝑛𝑑𝑆
𝑆
,
où 𝑛 est la normale unitaire en tout point de la surface 𝑆 qui limite le volume 𝑉, orienté vers le milieu qui agit.
La formule du gradient, rappelée ci-contre, permet de passer d’une intégrale de surface à une intégrale de volume :
𝑓𝑛𝑑𝑆
𝑆
= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓𝑑𝑉
𝑉
Dans le cas présent, il vient :
𝐹 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑃𝑑𝑉
𝑉 38
D’où :
𝐹 = −𝜌𝑔 𝑑𝑉
𝑉
,
Or, l’équation fondamentale de la statique des fluides permet d’écrire : 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑃 = 𝜌𝑔
et en supposant que g constant sur tout le volume 𝑉, 𝐹 = 𝑔 −𝜌𝑑𝑉
𝑉
= −ρ𝑉𝑔
Où 𝜌𝑉 est la masse de fluide déplacé par le volume solide.
La poussée 𝐹 n’a pas de composante horizontale et sa composante verticale est égale et opposée au poids du fluide déplacé par le corps (c’est la poussée d’Archimède).
D’où :
𝑷𝑨𝑹𝑪𝑯 = 𝑭 = 𝝆𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆. 𝑽𝒊𝒎𝒎. 𝒈
39
il faut noter que la poussée d’Archimède est appliquée au centre de gravité du fluide déplacé (centre de poussée), c’est-à-dire au centre de gravité de la
partie immergée du solide. Le centre de poussée est donc en général différent du centre de gravité du solide immergé où s’applique son poids. En effet, si le solide est totalement immergé dans le fluide, le centre de poussée 𝑃 coïncide ave le centre de gravité 𝐺 du solide. Si par contre le solide est partiellement immergé, les deux points 𝑃 et 𝐺 sont différents.
Remarque:
• Si 𝐹𝐴𝑟𝑐 > 𝑃 ⟹ 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 > 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒 alors le corps solide flotte à la surface du fluide.
• Si 𝐹𝐴𝑟𝑐 < 𝑃 ⟹ 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 < 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒 alors le corps solide descend au fond du fluide.
• Si 𝐹𝐴𝑟𝑐 = 𝑃 ⟹ 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 = 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒 alors le corps solide est en équilibre au sein du fluide.
40
Chap3: Cinématique des fluides
I. Introduction
La cinématique des fluides est l’étude du mouvement des fluides sans faire intervenir les contraintes qui entrent en jeu, c’est-à-dire sans s’intéresser aux efforts qui sont responsables de ce mouvement.
Cette étude concerne la description de l’écoulement du fluide en terme de trajectoire, vitesse, accélération et évolution spatio-temporelle sans prendre en compte les forces mises en jeu au sein de l’écoulement.
II. Description d’un fluide en mouvement
Soit un fluide (incompressible ou compressible) en écoulement par rapport à un repère orthonormé direct 𝑅 𝑂, 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 .
41
Il existe deux approches différentes permettant de décrire et de caractériser cet écoulement, à savoir la description Lagrangienne et la description
Eulérienne.
1. Description Lagrangienne (Lagrange)
Elle consiste à décrire chaque particule fluide individuellement, la suivre dans son mouvement et au cours du temps.
Soit 𝑀 une particule fluide. Supposons qu’à l’instant 𝑡0 = 0, elle occupe la position 𝑀0 = 𝑀(𝑡0), tel que:
𝑂𝑀0 = 𝑥0 𝑦0 𝑧0
On suit alors cette particule dans son mouvement au cours du temps, c’est-à- dire qu’on suit sa trajectoire qui est le lieu des positions successives de la
particule 𝑀 au cours du temps. 42
À un instant 𝑡 quelconque, la position de la particule 𝑀 est donnée par:
𝑂𝑀 =
𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) 𝑦(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) 𝑧(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡)
où 𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡), 𝑦(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) et 𝑧(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) sont les coordonnées cartésiennes de la particule 𝑀 à l’instant 𝑡. Ces coordonnées sont appelées:
variables de Lagrange.
Ainsi, on peut définir le vecteur vitesse de la particule 𝑀 à l’instant 𝑡, par rapport au repère 𝑅:
𝑉𝑡 𝑀 = 𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡 𝑅 =
𝑥 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) 𝑦 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) 𝑧 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) C’est un vecteur qui est tangent à la trajectoire.
43
De même, on définit le vecteur accélération de la particule 𝑀 à l’instant 𝑡, par rapport au repère 𝑅:
𝛾 𝑡 𝑀 = 𝑑𝑉𝑡 𝑀
𝑑𝑡 𝑅 = 𝑑2𝑂𝑀 𝑑𝑡2 =
𝑥 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) 𝑦 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡) 𝑧 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0, 𝑡)
On fait, ainsi, le même raisonnement pour les autres particules du fluide.
Notion de ligne d’émission:
Dans cette description de Lagrange, on définit la notion de ligne d’émission:
Soit 𝑃 un point géométrique du domaine de l’écoulement.
On appelle ligne d’émission relative au point 𝑷 à l’instant 𝒕, la courbe qui
contient les particules de fluide qui sont passées antérieurement par le point 𝑃.
La méthode de Lagrange n’est pas très employée en mécanique des fluides parce qu’elle est très délicate à mettre en œuvre car il n’est pas facile de suivre chaque
particule du fluide individuellement. 44
2. Description Eulerienne (Euler)
Dans la description d’Euler, on ne s’intéresse pas aux particules fluides elles mêmes et à leurs trajectoires, donc on ne suit pas les particules dans leur
mouvement. Mais on prend tout le domaine de l’écoulement à un instant 𝑡 et on mesure les vitesses aux différents points de l’espace de l’écoulement. Ces vitesses sont donc celles des particules fluides qui passent par ces points à cet instant 𝑡.
Cette représentation donne donc une image instantanée de tout
l’écoulement. Ainsi, le mouvement est caractérisé par le champ des vitesses.
À l’instant 𝑡, chaque point géométrique 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) est occupé par une particule fluide. Cette particule fluide a un vecteur vitesse:
𝑉 𝑀, 𝑡 =
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
où 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) et 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) représentent les composantes du vecteur vitesse de la particule fluide qui passe par le point 𝑀 à l’instant 𝑡. Elles sont appelées les variables d’Euler
Domaine d’écoulement à un l’instant 𝑡
45
Pour un instant 𝑡′ > 𝑡, le point géométrique 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) sera occupé par une autre particule fluide qui aura la vitesse 𝑉 𝑀, 𝑡′ .
Domaine de l’écoulement à un instant t′ > t.
Notion de ligne de courant
Dans la description d’Euler, on ne parle pas de trajectoire mais on définit ce qu’on appelle les lignes de courants.
Par définition, on appelle ligne de courant à l’instant 𝑡 la courbe qui est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse en ce point à l’instant 𝑡.
À chaque instant 𝑡, on a une infinité de lignes de courant. À un autre instant 𝑡′, on aura d’autres lignes de courants. Elles se déforment donc au cours du temps.
46
Equation des lignes de courant
Cette équation se déduit directement de la définition de la ligne de courant.
En effet, soit un déplacement infinitésimal 𝑑𝑟 de composantes (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) le long de la ligne de courant. D’après la définition de la ligne de courant, 𝑑𝑟 est colinéaire au vecteur vitesse local 𝑉(𝑢, 𝑣, 𝑤): 𝑑𝑟 ∧ 𝑉 = 0.
Ce qui donne l’équation des lignes de courant à l’instant 𝑡:
𝑑𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑑𝑦
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑑𝑧
𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
En intégrant ces équations, on aura une relation entre 𝑥, 𝑦, 𝑧 à l’instant 𝑡.
Remarques:
• Notons la différence entre les trajectoires et les lignes de courant. Les lignes de courant donnent une image des directions des vitesses aux différents points géométriques à un instant donné, c’est une visualisation instantanée du champ des vitesses. Alors que les trajectoires donnent une image des directions des vitesses prises successivement au cours du temps pour une même particule.
• Dans le cas des écoulements permanents (stationnaires), c’est-à-dire que le champ des vitesses est indépendant du temps, les lignes de courant et
les trajectoires sont confondues. 47
III. . Dérivée particulaire – Accélération d’une particule fluide 1. Dérivée particulaire
On considère une particule fluide en mouvement. Soit 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) sa position à l’instant 𝑡. Considérons une grandeur physique locale 𝐺(𝑀, 𝑡) (vitesse, pression, température, masse volumique, …) attachée à la particule de fluide située au point 𝑀 à l’instant 𝑡. On appelle dérivée particulaire (dérivée totale) de 𝐺 la dérivée de 𝐺 par rapport au temps lorsqu’on suit la particule dans son mouvement, on la note 𝑑𝐺𝑑𝑡.
2. Accélération de la particule fluide
Soit une particule fluide se trouvant à l’instant 𝑡 au point 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) avec une vitesse 𝑉 𝑢, 𝑣, 𝑤 . Les composantes de la vitesse 𝑢, 𝑣 et 𝑤 dépendent de 𝑥, 𝑦, 𝑧 et de temps 𝑡: 𝑉 𝑀, 𝑡 =
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
Le vecteur accélération de la particule est donné par: 𝛾 = 𝑑𝑉
𝑑𝑡 =
𝛾𝑥 = 𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝛾𝑦 = 𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝛾𝑧 = 𝑑𝑤
𝑑𝑡 48
La variation totale de la composante 𝑢, par exemple, est donnée par:
𝑑𝑢 = 𝜕𝑢
𝜕𝑡 𝑑𝑡 + 𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑢
𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑢
𝜕𝑧 𝑑𝑧 Donc l’accélération suivant la direction 𝑥 est:
𝛾𝑥 = 𝑑𝑢
𝑑𝑡 = 𝜕𝑢
𝜕𝑡 + 𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑡 + 𝜕𝑢
𝜕𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑡 + 𝜕𝑢
𝜕𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 Avec 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑢, 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 𝑣 et 𝑑𝑧
𝑑𝑡 = 𝑤 Donc : 𝛾𝑥 = 𝑑𝑢
𝑑𝑡 = 𝜕𝑢
𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢
𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢
𝜕𝑦 + 𝑤𝜕𝑢
𝜕𝑧
⟹ 𝜸𝒙 = 𝒅𝒖
𝒅𝒕 = 𝝏𝒖
𝝏𝒕 + 𝑽 ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒖 De même: 𝛾𝑦 = 𝑑𝑣𝑑𝑡 = 𝜕𝑣𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑣𝜕𝑥 + 𝑣𝜕𝑦𝜕𝑣 + 𝑤 𝜕𝑣𝜕𝑧
⟹ 𝜸𝒚 = 𝒅𝒗
𝒅𝒕 = 𝝏𝒗
𝝏𝒕 + 𝑽 ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒗 Et : 𝛾𝑧 = 𝑑𝑤
𝑑𝑡 = 𝜕𝑤
𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑤
𝜕𝑥 + 𝑣𝜕𝑤
𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑤
𝜕𝑧
⟹ 𝜸𝒛 = 𝒅𝒘
𝒅𝒕 = 𝝏𝒘
𝝏𝒕 + 𝑽 ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒘
49
Finalement, le vecteur accélération de la particule fluide est donné par:
𝛾 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 =
𝜕𝑢
𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑡 + 𝑉 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑤
=
𝜕𝑢
𝜕𝑣𝜕𝑡
𝜕𝑤𝜕𝑡
𝜕𝑡 +
𝑢 𝑣 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜸 = 𝒅𝑽
𝒅𝒕 = 𝝏𝑽
𝝏𝒕 + 𝑽 ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑽
Ainsi, l’accélération totale 𝑑𝑉𝑑𝑡 est la somme d’une accélération partielle 𝜕𝑉𝜕𝑡 (dérivée locale) qui indique un caractère non permanent de 𝑉, et d’une accélération dite convective 𝑉 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 qui indique un caractère non uniforme de 𝑉.
50
IV. Débit volumique – Débit massique
Considérons un écoulement de fluide traversant une surface 𝑆.
Soit 𝑀 un point géométrique de 𝑆, occupé à l’instant 𝑡 par une particule fluide et soit 𝑉(𝑀, 𝑡) le vecteur vitesse de cette particule.
Soit 𝑑𝑆 un élément de surface infinitésimal entourant le point 𝑀 et orienté par un vecteur unitaire 𝑛 perpendiculaire à 𝑑𝑆.
Soit 𝜌 𝑀, 𝑡 la masse volumique du fluide au point 𝑀 à l’instant 𝑡.
1. Débit volumique
On appelle débit volumique de fluide à travers l’élément de surface 𝑑𝑆 , le volume fluide traversant 𝑑𝑆 pendant l’unité de temps. Il est donné par: 𝑑𝑄𝑣 = 𝑑𝑣𝑑𝑡 = 𝑉 𝑀, 𝑡 𝑑𝑆 𝑛.
Avec 𝑑𝑣 le volume élémentaire ayant traversé la surface pendant un intervalle de temps 𝑑𝑡.
Donc, le débit volumique traversant la surface 𝑆 est: 𝑄𝑣 = 𝑑𝑄𝑆 𝑣 = 𝑆 𝑑𝑣𝑑𝑡
⟹ 𝑸𝒗 = 𝑽 𝑴, 𝒕 𝒅𝑺 𝒏𝑺 .
Il est exprimé en (𝑚3/𝑠) et il représente le flux du vecteur vitesse 𝑉 𝑀, 𝑡 à
travers 𝑆. 51
2. Débit massique
On appelle débit massique de fluide à travers l’élément de surface 𝑑𝑆, la masse fluide traversant 𝑑𝑆 pendant l’unité de temps. Il est donné par:
𝑑𝑄𝑚 = 𝑑𝑚
𝑑𝑡 = 𝜌 𝑀, 𝑡 . 𝑉 𝑀, 𝑡 𝑑𝑆 𝑛
Où 𝑑𝑚 la masse élémentaire qui traverse la section pendant un intervalle de temps 𝑑𝑡.
Donc, le débit massique qui traverse la surface 𝑆 est:
𝑄𝑚 = 𝑑𝑄𝑚
𝑆
= 𝒅𝒎
𝑆 𝒅𝒕
⟹ 𝑸𝒎 = 𝝆 . 𝑽 𝒅𝑺 𝒏𝑺 . Il correspond au flux de 𝜌𝑉 à travers 𝑆.
Remarque: Dans le cas où le fluide est incompressible (𝜌 constante) , on a:
𝑸𝒎 = 𝝆 𝑸𝑽
52
V. Equation de continuité (conservation de la masse)
L’équation de continuité (équation de conservation de la masse) est l’une des équations fondamentales de la mécanique des fluides. Elle exprime la conservation de la masse.
Soit un fluide quelconque en écoulement, considérons un petit élément de volume de fluide 𝑑𝑉, de dimensions 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 et 𝑑𝑧, avec 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧.
La figure ci-dessous représente sa projection sur le plan (𝑥, 𝑦).
Où 𝑢, 𝑣 et 𝑤 sont les composantes de la vitesse respectivement sur les axes 𝑥 , 𝑦 et 𝑧 .
53
Le principe de conservation de la masse impose que la variation de la masse du fluide à l’intérieur de ce volume, pendant une durée 𝑑𝑡, est égale à la différence des masses du fluide entrant et sortant par toutes les faces externes de cet élément.
La quantité de masse, par unité de temps et de surface, qui s’écoule à travers une surface, est égale au produit de la vitesse normale à cette surface par la masse volumique.
A l’instant 𝑡, la masse du fluide contenue dans le volume 𝑑𝑉 est : 𝑚 𝑡 = 𝜌(𝑡) 𝑑𝑉 = 𝜌(𝑡) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
A l’instant 𝑡 + 𝑑𝑡, la masse du fluide dans 𝑑𝑉 devient:
𝑚 𝑡 + 𝑑𝑡 = 𝜌 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 𝜌 𝑡 + 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Donc la variation de cette masse dans 𝑑𝑉 durant le temps 𝑑𝑡 est :
𝑚 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝑚 𝑡 = 𝜌 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝜌 𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
⟹ 𝒎 𝒕 + 𝒅𝒕 − 𝒎 𝒕 = 𝝏𝝆
𝝏𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 (a) Par ailleurs, la masse fluide entrant par la face AD pendant 𝑑𝑡 est :
𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 = 𝜌 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 elle correspond au débit massique à travers la face AD.
Et la masse fluide sortant par la face BC pendant 𝑑𝑡 est :
𝑚𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝜌 𝑢 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡
54
Ce qui donne une différence égale à :
𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 − 𝑚𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝜌 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 − 𝜌 𝑢 𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡
⟹ 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 − 𝑚𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡 = − 𝜕 𝜌𝑢
𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡.
En faisant le même bilan des masses pour les autres faces, on obtient :
− 𝜕 𝜌𝑣𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 et − 𝜕 𝜌𝑤𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡.
D’où la variation totale de la masse dans le volume 𝑑𝑉 est : 𝒎𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒕 − 𝒎𝒔𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕 = − 𝝏 𝝆𝒖
𝝏𝒙 + 𝝏 𝝆𝒗
𝝏𝒚 + 𝝏 𝝆𝒘
𝝏𝒛 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒅𝒕 (b) Conservation de la masse:
(a) = (b) ⟺ 𝑚 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝑚 𝑡 = 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡 − 𝑚𝑠𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡
⟹ 𝜕𝜌
𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = − 𝜕 𝜌𝑢
𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑣
𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑤
𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 En divisant par 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡, on obtient l’équation de conservation de la masse ou l’équation de continuité sous la forme suivante :
𝝏𝝆
𝝏𝒕 + 𝝏 𝝆𝒖
𝝏𝒙 + 𝝏 𝝆𝒗
𝝏𝒚 + 𝝏 𝝆𝒘
𝝏𝒛 = 𝟎
55
Elle peut s’écrire aussi sous la forme condensée suivante:
𝝏𝝆
𝝏𝒕 + 𝒅𝒊𝒗(𝝆𝑽) = 𝟎 ou
𝝏𝝆
𝝏𝒕 + 𝜵(𝝆𝑽) = 𝟎
Elle relie la masse volumique 𝜌(𝑀, 𝑡) et la vitesse 𝑉(𝑀, 𝑡) en tout point 𝑀 et à chaque instant 𝑡.
Cas particuliers
• Si le fluide est en mouvement permanent (écoulement stationnaire :
𝜕
𝜕𝑡 = 0), c’est-à-dire indépendant du temps, l’équation de continuité devient:
𝐷𝑖𝑣(𝜌𝑉) = 0 Remarque
On suppose qu’il n’ y a pas à l’intérieur de l’élément 𝑑𝑉 ni sources (gain en masse) ni puits (perte en masse).
56
• Si, en plus, le fluide est incompressible (𝜌 = 𝑐𝑠𝑡𝑒) on aura:
𝐷𝑖𝑣(𝑉) = 0
⇔ 𝜕𝑢
𝜕𝑥 + 𝜕𝑣
𝜕𝑦 + 𝜕𝑤
𝜕𝑧 = 0 VI. Écoulement des fluides dans les conduites
Considérons un fluide incompressible en écoulement permanent à l’intérieur d’une conduite cylindrique de section variable (ce type d’écoulement est très fréquent en mécanique des fluides). Le fluide entre par la section 𝑆1 avec une vitesse 𝑉1 et sort par la section 𝑆2 avec une vitesse 𝑉2.
57
D’après l’équation de continuité, la conservation de la masse stipule qu’en tout point 𝑀 de l’écoulement:
𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑉) = 0
Soit un élément de volume 𝑑𝑉 entourant le point 𝑀, alors on peut écrire que:
𝑑𝑖𝑣 𝜌 𝑉 . 𝑑𝑉 = 0
Soit 𝑉 un volume fini quelconque entourant 𝑀, on peut par conséquent écrire que:
𝑑𝑖𝑣 𝜌 𝑉 . 𝑑𝑉
𝑉
= 0
Soit 𝑆 la surface externe qui englobe le volume 𝑉. Chaque élément de surface 𝑑𝑆 de 𝑆 est orienté vers l’extérieur de 𝑉 par un vecteur unitaire 𝑛.
D’après le théorème de la divergence, on peut écrire : 𝑑𝑖𝑣 𝜌 𝑉 . 𝑑𝑉
𝑉
= 𝜌 𝑉. 𝑛. 𝑑𝑆
𝑆
⟹ 𝜌 𝑉. 𝑛. 𝑑𝑆
𝑆
= 0
Appliquons cette relation pour le volume limité par les faces 𝑆1, 𝑆2, surface latérale 𝑆𝐿:
𝜌 𝑉1. 𝑛1. 𝑑𝑆
𝑆1
+ 𝜌 𝑉2. 𝑛2. 𝑑𝑆
𝑆2
+ 𝜌 𝑉. 𝑛𝐿. 𝑑𝑆
𝑆𝐿
= 0
58
Or, 𝜌 𝑉. 𝑛𝑆 𝐿. 𝑑𝑆
𝐿 = 0, car le vecteur vitesse 𝑉 est perpendiculaire aux vecteurs unitaires 𝑛𝐿(𝑉 ⊥ 𝑛𝐿).
En plus (voir la figure), on a: 𝑛2 = −𝑛1 = 𝑛.
Ainsi, on peut dire que pour un écoulement permanent de fluide à l’intérieur d’une conduite cylindrique de section variable, la conservation de la masse se traduit par :
𝜌 𝑉1. 𝑛. 𝑑𝑆
𝑆1
= 𝜌 𝑉2. 𝑛. 𝑑𝑆
𝑆2
C’est-à-dire que le débit massique entrant est égal au débit massique sortant (conservation du débit massique).
Soit:
𝑄𝑚 𝑆1 = 𝑄𝑚 𝑆2 ∀ la surface 𝑆 Donc, pour un écoulement permanent, on a:
𝑄𝑚 = 𝐶𝑠𝑡𝑒 ∀ la section de la conduite.
59
Dans le cas d’un fluide incompressible (𝜌 = 𝑐𝑠𝑡𝑒), on aura:
𝑉1. 𝑛. 𝑑𝑆
𝑆1
= 𝑉2. 𝑛. 𝑑𝑆
𝑆2
Donc le débit volumique entrant est égal au débit volumique sortant:
conservation du débit volumique.
Soit:
𝑄𝑣 𝑆1 = 𝑄𝑣 𝑆2 ∀ la section 𝑆
Si, en plus, on suppose que la vitesse d’entrée 𝑉1 est constante sur toute la section d’entrée 𝑆1 et la vitesse de sortie 𝑉2 est constante sur toute la section de sortie 𝑆2,on aura l’équation de conservation de la masse (équation de continuité) pour un écoulement permanent d’un fluide incompressible dans une conduite sous la forme suivante:
𝑽𝟏. 𝑺𝟏 = 𝑽𝟐. 𝑺𝟐 Ainsi, on a: 𝑄𝑣 = 𝑉. 𝑆 = 𝑉1. 𝑆1 = 𝑉2. 𝑆2 = 𝐶𝑠𝑡𝑒.
Si la section 𝑆 augmente, la vitesse 𝑉 diminue et vice versa.
60
𝑆
1< 𝑆
2⟹ 𝑉
1> 𝑉
2𝑆
1> 𝑆
2⟹ 𝑉
1< 𝑉
261
