PS19 PRINTEMPS 2006 MEDIAN

PS19 PRINTEMPS 2006 MEDIAN

Attention : un devoir se rédige. Vous avez droit à la calculette.

L’épreuve est composée de trois problèmes : un sur le courant continu, un sur le courant transitoire et un sur le courants sinusoïdal.

Question de cours :

1. Définir la valeur efficace d’un signal périodique v(t) de période T.

2. Démontrer que la valeur efficace d’une tension sinusoïdale d’amplitude a du type v(t) = a cos wt est : a

2 .

Problème n°1 : On considère le circuit suivant dans lequel le générateur est parfait de fem E =10 V avec R = 10 et R’= 20 .

Première partie : Méthode des courants de maille.

1. Définir clairement ce qu’on appelle un courant de maille.

2. Donner en appliquant la méthode des courants de maille le système de trois équations à trois inconnues donnant les trois courants i1, i2 , i3. On donnera le système sous forme littérale (avec E, R et R’) puis sous forme numérique.

3. Exprimer alors i3 en fonction de i2 de façon numérique.

4. En déduire alors i2 en fonction de i1 de façon numérique.

5. En déduire alors i3 en fonction de i1 de façon numérique.

6. Donner les valeurs numériques des trois courants i1, i2 , i3.

7. En déduire les courants i4 et i5 qui passent dans les deux résistances R’ (voir schéma).

8.

Deuxième partie : On se propose de vérifier un des résultats précédents en utilisant le théorème de Thévenin.

9. Déterminer le générateur de Thévenin équivalent au circuit suivant vu entre A et B. On donnera le résultat de façon littérale en fonction de E, R et R’ puis de façon numérique. En déduire le générateur de Norton associé en fonction de E, R et R’ puis de façon numérique.

E

R R R

R R

R ’ R ’ R

i1 i2 i3

i4 i5

E

R

R

R ’

A

B C D

G F

10. Déterminer la résistance R’’ équivalente au circuit suivant vu de A et B en fonction de R et R’ puis de façon numérique.

11. En déduire la valeur du courant i2 (défini en première partie) en fonction de E , R et R’ puis de façon numérique. Expliquer clairement la méthode utilisée.

Problème n°2 : On considère le circuit suivant A l’instant t = 0, on abaisse l’interrupteur les deux condensateurs étant déchargés.

R

i

i

E C

C

u(t)

i

1. Donner les deux relations liant

i

2. Donner la relation entre E, R, i eu u.

3. En utilisant les deux questions précédentes et la loi des nœuds, en déduire l’équation différentielle vérifiée par u(t). On pourra poser  (C1C )R2

4. Résoudre l’équation différentielle précédente (on rappelle qu’à t=0, les condensateurs sont déchargés).

5. En déduire i1(t) et i2(t).

6. En déduire i(t).

7. En comparant la valeur de  obtenue dans cet exercice avec celle vue en cours, montrer que deux condensateurs en parallèle sont équivalents à un condensateur dont on exprimera la capacité Ceq en fonction de C1 et C2. Justifier clairement.

8. On remplace maintenant le condensateur C1 par une bobine L, le reste du circuit restant par ailleurs inchangé. On obtient donc le circuit suivant dans lequel le condensateur est noté C.

R

i

i

E C u(t) L

i

Donner les deux relations liant i1 à u d’une part et i2 à u d’autre part.

9. Donner la relation entre E, R, i eu u.

R R

R

R ’ R

A

B

10. En utilisant les deux questions précédentes et la loi des nœuds qu’on dérivera, en déduire l’équation différentielle vérifiée par u(t). On pourra poser  = RC et ²₀ 1

w LC.

11. Donner la condition sur les valeurs de  et wo pour que le discriminant de l’équation caractéristique associée soit nul.

12. Quelle est alors la forme générale de la solution u(t). On ne demande pas de calculer les constantes.

13. On cherche à faire osciller le circuit suivant. Le circuit va-t-il osciller pour les grandes ou les petites valeurs de R ?

Problème n°3 : On considère le montage de la figure en régime sinusoïdal forcé , la tension u (t) = E cos wt.

étant imposée par un générateur de tension parfait extérieur.

On suppose d’abord que R = 0.

1. Déterminer i1 (t) en fonction de E , L , w et t.

2. Déterminer i2 (t) en fonction de E, C, w et t.

3. Déterminer i (t) en fonction de E, L, C, w et t. On donnera clairement l’amplitude et la phase en distinguant deux cas suivant la valeur de w.

4. Montrer qu’il existe une pulsation w pour laquelle le courant débité par le générateur est nul. Quel est alors le déphasage entre i1(t) et i2(t) ?

On suppose maintenant R non nulle. Pour simplifier certains calculs, on prendra les valeurs numériques suivantes : E = 10 V, R = 30 Ohms, L = 0.10 H, C = 1.0 10^-4 F et w = 100 rad/s ;

u(t) R L i1(t)

i(t)

A B

i2(t) C

5. Déterminer l’impédance complexe Z1 de la branche supérieure du circuit en fonction de R, L et w puis numériquement.

6. En déduire le courant i1(t) réel circulant dans cette branche de façon numérique. On précisera clairement l’amplitude et la phase de ce courant

7. Déterminer l’impédance complexe Z2 de la branche inférieure du circuit en fonction de C et w puis numériquement.

8. En déduire le courant i2(t) réel circulant dans cette branche de façon numérique. On précisera clairement l’amplitude et la phase de ce courant

9. Déduire des questions 2 et 4 (en appliquant la loi des nœuds) le courant i(t) traversant le montage précédent. Seule est exigée une réponse numérique (méthode au choix).

10. On se propose de retrouver le résultat précédent en utilisant la notion d’associations d’impédance..

Exprimer l’impédance complexe totale Zt du montage vu depuis les points A et B. Mettre cette impédance sous la forme:

Z A jB R jD

 



Donner alors les valeurs de A, B et D en fonction de R, L, C et w puis de façon numérique.

11. Donner ensuite Z de façon numérique.

12. En déduire le courant i(t) sous forme numérique et comparer avec le résultat obtenu dans la question 9.