Universit´e Paris 7-Denis Diderot G´eom´etrie
Licence d’enseignement Ann´ee 2001-02
EXAMEN PARTIEL du 12 avril 2002 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
Exercice 1
SoientA,B,C etD quatre points non coplanaires d’un espace affine euclidienE de dimension 3. NotonsG l’isobarycentre de ces quatre points.
1. D´emontrer que la droite (DG) rencontre le plan (ABC) en un unique pointP.
2. Quelle sont les images de A, B, C, D et G par la projection p sur le plan (ABC) parall`element `a la direction de (DG) ?
3. En d´eduire queP est l’isobarycentre des trois pointsA,B etC.
Exercice 2
On rappelle que les seules applications lin´eaires qui laissent stable toute droite vectorielle sont les homoth´eties.
Soit E un espace affine euclidien. Soit J l’ensemble des isom´etries φ de E telles que φ(D) et D sont des droites parall`eles pour toute droite affineDdeE.
1. D´emontrer queJ muni de la composition des applications est un groupe.
2. Soitφ∈ J. D´emontrer que l’application lin´eaire associ´ee `aφlaisse stable toute droite vectorielle.
3. En d´eduire queJ est constitu´e de sym´etries centrales et de translations.
4. En d´eduire que le groupeJ est engendr´e par les sym´etries centrales deE.
Exercice 3
SoitABC un triangle d’un plan affineP. SoitP ∈ P. NotonsA0,B0 etC0 les sym´etriques deP par rapport aux milieux des segments [B, C], [A, C] et [B, A] respectivement.
1. D´emontrer que les quadrilat`eresA0BP C,C0AP B et B0CP Asont des parall´elogrammes.
2. En d´eduire qu’on a−−→
A0B=−−→
B0A, puis que−−→
C0A=−−→
A0C et enfin que−−→
B0C=−−→
C0B.
3. En d´eduire que les droites (AA0), (BB0) et (CC0) sont concourantes (on pourra ´etudier les milieux des segments [A, A0], [B, B0] et [C, C0]).
Exercice 4
SoitABCun triangle d’un plan euclidienP. On suppose ce triangle´equilat´eral, c’est-`a-dire que les longueurs des cot´es sont ´egales. SoientA0,B0 etC0les milieux des segments [B, C], [C, A] et [A, B]. NotonsO le point de concours des m´edianes deABC.
1. D´emontrer que le point A est sur la m´ediatrice du segment [B, C]. En d´eduire que la droite (CC0) est une hauteur du triangle.
2. SoientsA (resp. sB, resp. sC) la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite (AA0) (resp. (BB0), resp.
(CC0)). D´emontrer que sA({A, B, C}) ={A, B, C}. Idem poursB etsC.
3. Soient r1 et r2 les rotations de centre O et de mesures 2π/3 et 4π/3 respectivement. D´emontrer que r1({A, B, C}) ={A, B, C} etr2({A, B, C}) ={A, B, C}.
4. Soitf une isom´etrie deP telle quef({A, B, C}) ={A, B, C}. D´emontrer quef est l’identit´e ou l’une des cinq isom´etries suivantes : sA,sB,sC,r1 our2.
Exercice 5
SoitEun espace affine euclidien de dimension 3. SoientP1etP2deux plans orthogonaux deE. Soit−→u ∈−→ P1. Soients1ets2les sym´etries orthogonales par rapport `aP1etP2. Soitrla sym´etrie orthogonale par rapport
`
a une droiteDqui est contenue dansP1 et orthogonale `aP2. 1. Quelles sont les natures des isom´etriesf =s2◦ret g=s1◦t−→u ? 2. L’isom´etrief◦gest-elle un d´eplacement ou un antid´eplacement ? 3. Quelle est la nature de l’application lin´eaire associ´ee−−→
f◦g ? 4. Quels sont les vecteurs fixes de−−→
f ◦g ? 5. Quels sont les points fixes def◦g ? 6. Quelle est la nature de l’isom´etrief ◦g ?
