Automorfismi involutori di p-gruppi finiti

Automorfismi involutori di p-gruppi finiti

EGLEBETTIO(*) - GIORGIOBUSETTO(**) - ENRICOJABARA(***)

ABSTRACT- Letpbe a fixed odd prime number. In this note we study the class of finite p-groups G admitting an automorphism W of order 2 such that Gˆ hg ¹g^Wjg2Gi and (g ¹g^W)^pˆ1 for all g2G. In this paper we prove that if the derived length ofGisdandCG(W) is nilpotent of classc, then the nilpotency class ofGis bounded by a function depending only ond,candp.

We prove also that if pˆ3 and CG(W) is nilpotent of class c, then G is nilpotent of class at most 2c‡1.

MATHEMATICSSUBJECTCLASSIFICATION(2010). 20F18, 20F45, 05B07.

KEYWORDS. Finitep-groups, involutive automorphisms, Brick loops.

1. Introduzione

Sia G un gruppo finito di ordine dispari e W un suo automorfismo di ordine 2. Se si considera il sottogruppo FˆC_G(W) e l'insiemeIdegli ele- menti di G invertiti da W, allora G si fattorizza come GˆFI (cioeÁ ogni elemento di Gsi puoÁ scrivere in maniera unica come prodotto di un ele- mento diF e uno diI).

Da un lavoro di Fischer ([6]) segue che seGˆ hIie ogni elemento diI ha ordine una potenza di un numero primop6ˆ2, alloraGeÁ unp-gruppo e, sotto tali ipotesi, l'insieme delle involuzioni del prodotto semidirettoGhWi

(*) Indirizzo dell'A.: Liceo Scientifico G. B. Benedetti, Castello 2835, 30122, Venezia.

E-mail: egle.bettio@istruzione.it

(**) Indirizzo dell'A.: Dipartimento di Informatica, UniversitaÁ di Ca' Foscari, Via Torino 153, 30172, Mestre (Venezia).

E-mail: gbusetto@unive.it

(***) Indirizzo dell'A.: Dipartimento di Filosofia e Beni Culturali, UniversitaÁ di Ca' Foscari, Dorsoduro 3484/D, 30123 Venezia.

E-mail: jabara@unive.it

si puoÁ atteggiare a quasigruppo distributivo. Anche nell'insieme I si possono introdurre operazioni non necessariamente associative e le strutture che si ottengono in tal modo sono state indagate nel caso ge- nerale da Glauberman ([7], in particolare l'Esempio 2 a p. 379; si veda anche [5], p.120). Il caso in cuiIha esponente 3 eÁ di particolare interesse ed eÁ stato considerato, tra gli altri, da M. Hall ([10]) per caratterizzare alcune configurazioni geometriche, da Manin ([12], capitolo I) per lo studio di alcune questioni riguardanti le forme cubiche, da Beneteau ([1], [2]), Smith ([17], [18]) e altri autori in connessione con un problema posto da Bruck ([4] e tutto il capitolo 8 di [5]).

In [16] sono stati studiati i gruppi che soddisfano alla condizione di Fischer ed eÁ stata esibita una costruzione che forniscep-gruppi generati da Iaventi lunghezza derivata arbitrariamente elevata. Scopo di questo lavoro eÁ di approfondire lo studio di tali gruppi quando l'ordine di ogni elemento non banale di IeÁ un numero primo dispari p. Dimostreremo che seF eÁ nilpotente di classecallora la classe di nilpotenza diGeÁ limitata in funzione di c, di pe di d, la lunghezza derivata diG. Nel caso in cui siapˆ3 di- mostreremo che seFha classe di nilpotenzacallora la classe di nilpotenza diGnon supera 2c‡1; da questo fatto discende che seFha esponente 3, alloraGeÁ nilpotente di classe al piuÁ 7 ed ha esponente al piuÁ 9.

2. Notazioni e risultati preliminari

In quanto segueGdenoteraÁ sempre un gruppo finito di ordine dispari,W un automorfismo di ordine 2 diG,FˆC_G(W) il sottogruppo degli elementi centralizzati daWeIˆI_G(W) il sottoinsieme diGcostituito dagli elementi invertiti daW. L'esponente diIeÁ il minimo comune multiplo tra gli ordini degli elementi di I. Infine con p denoteremo un numero primo dispari fissato.

DEFINIZIONE2.1. Diremo cheGeÁ unp-gruppo di Fischer seGeÁ dotato di un automorfismo involutorioWe sono soddisfatte le due condizioni se- guenti:

(a) GeÁ generato daI,

(b) ogni elemento diIha ordine una potenza dip.

Dal citato risultato di Fischer ([6]) discende che unp-gruppo di Fischer eÁ unp-gruppo nel senso usuale del termine.

DEFINIZIONE2.2. Diremo cheGeÁ unF (p)-gruppo, ovvero unp-gruppo di Fischer in senso stretto, se alla condizione (b) della Definizione 2.1 viene sostituita la piuÁ restrittiva

(b⁰) ogni elemento non banale diIha ordinep.

La precedente nomenclatura non eÁ standard; in particolare la classe dei gruppi in F (p) non coincide con quella dei p-gruppi che ammettono un automorfismoI-speciale (secondo la definizione data in [16]).

Scriveremo [a;b] per il commutatore a ¹b ¹ab di due elementia e b appartenenti ad un gruppo G, se poi c2G scriveremo [a;b;c] in luogo [[a;b];c]. SeA e B sono sottogruppi diG con [A;B] denotiamo il sotto- gruppo diGgenerato dai commutatori [a;b] cona2Aeb2B; poniamo poi, per induzione, [A;₍₁₎B]ˆ[A;B] e, se t2N con t>0, [A;_(t‡1)B]ˆ [[A;(t)B];B]. Per il resto le notazioni usate saranno quelle usuali (come in [15] o in [8]).

Il Lemma 10.4.1 di [8] riassume le informazioni essenziali sui gruppi finiti dotati di un automorfismo involutorio. Ne riportiamo l'enunciato con piccole modifiche.

LEMMA2.3. Sia G un gruppo di ordine dispari e sia Wun suo auto- morfismo di ordine2. Allora:

(a) GˆFIˆIF, F\Iˆ f1gejIj ˆ jG:Fj.

(b) Se G eÁ abeliano allora I eÁ un sottogruppo di G e si ha GˆFI.

(c) Se S eÁ un sottoinsieme di F e S^xˆS per qualche x2I allora [S;x]ˆ1.

(d) Se H eÁ un sottogruppo di G contenuto in I allora H risulta abeliano

eW-invariante. p

Osserviamo inoltre che sex2Ief 2Fallora (x^f)^Wˆ(x ¹)^f ˆ(x^f) ¹e dunque l'insieme I eÁ normalizzato da F. Utilizzeremo spesso, senza ri- chiamarli esplicitamente, l'osservazione precedente ed il seguente sem- plice risultato.

LEMMA2.4. Iˆ fg ¹g^Wjg2Gg.

DIM. (Si veda anche il Lemma 2.1 di [16]). Se xˆg ¹g^W allora x^Wˆg ^Wgˆx ¹ e x2I. Sia x2I e sia k un numero naturale tale che 2k1 mod. jxj (tale k esiste perche jGj eÁ dispari); posto gˆx ^k si ha

g ¹g^Wˆx^2k ˆx. p

Il prossimo lemma si dimostra con una verifica diretta.

LEMMA2.5. Sia H un sottogruppo normale eW-invariante di G e siaW l'automorfismo indotto in maniera naturale da W su GˆG=H. Risulta allora C_G(W)ˆFH=H e I_G(W)ˆIH=H. p LEMMA2.6. Se Gˆ hIie N eÁ un sottogruppo normale di G contenuto in F o in I, allora NZ(G).

DIM. Dalle ipotesi segue cheN eÁ un sottogruppoW-invariante diG.

SeNFallora dal Lemma 2.3.c segue [N;I]ˆ1 e quindi [N;G]ˆ1.

Se NI,h2N e x2Iallora si ha (h ¹)^xˆ(h^x) ¹ˆ(h^x)^Wˆ(h ¹)^{x 1} da cui [h;x²]ˆ1. PoicheÂjxjeÁ dispari si conclude che [h;x]ˆ1. p Se k2N cong_k(G) denotiamo il k-esimo termine della serie centrale discendente diG.

LEMMA2.7. Se Gˆ hIiallora per ogni numero naturale t>0si ha che (a) Winduce l'inversione sug_{2t 1}(G)=g_2t(G);

(b) Winduce l'identitaÁ sug_2t(G)=g_2t‡1(G).

DIM. Per ogni numero naturalek>0 e per ognix1;x2;. . .;xk2Isi ha [x1;x2;. . .;xk]^W[x₁¹;x₂¹;. . .;x_k¹][x1;x2;. . .;xk]^{( 1)k} modg_k‡1(G);

e quindi, ricordando cheGeÁ generato daI,Wagisce sug_k(G)=g_k‡1(G) come l'identitaÁ o come l'inversione a seconda cheksia pari o dispari. p

3. ProprietaÁ deiF (p)-gruppi

SeGeÁ unF (p)-gruppo alloraG=G⁰, essendo generato da elementi di ordinep, risulta essere unp-gruppo abeliano elementare. Da questo fatto discende (si veda, ad esempio, 5.2.6 di [15]) che per ognik2Nil quoziente g_k(G)=g_k‡1(G) eÁ unp-gruppo abeliano elementare; nel seguito utilizzeremo questo fatto senza richiamarlo specificatamente.

LEMMA 3.1. Se G eÁ un F (p)-gruppo allora per ogni x;y2I si ha (xy)^pˆ1.

DIM. PoicheÂp6ˆ2 esiste un numero naturalertale che 2r1 mod.p.

Se y2I anche y^r2I e, come eÁ facile verificare, y^rxy^r2I. Dunque (y^rxy^r)^pˆ1; sviluppando il prodotto si ottiene y^r(xy)^{p 1}xy^rˆ1 e quindi

(xy)^pˆ1. p

PROPOSIZIONE 3.2. Se G eÁ unF (p)-gruppo metabeliano allora G ha esponente p e classe di nilpotenza al piuÁ p.

DIM. SiaNˆG⁰. Poiche suG=Nl'automorfismoWinduce l'inversione, dal Lemma 2.5 segueFN. Un elementog2Gsi puoÁ scrivere (Lemma 2.3.a) comegˆfx ¹conf 2Fex2Iopportuni. Allora

g^pˆ(fx ¹)^pˆff^x. . .f^{xp 1}x ^pˆff^x. . .f^{xp 1}

in quanto, per ipotesi,x^pˆ1. Siccomef appartiene aN, che eÁ normale e abeliano, si ha [f^xi;f^xj]ˆ1 per ogni coppia di numeri interii;jda cui

(g^p)^Wˆff^x1. . .f^xp‡1ˆff^x. . .f^{xp 1} ˆg^p:

DunqueG^pFe, per il Lemma 2.6, si haG^pZ(G). Il gruppoG=Z(G) eÁ un gruppo metabeliano di esponentepe quindi ha classe di nilpotenza al piuÁp per un classico risultato di Meier-Wunderli ([13], si veda anche il Teorema 7.18 di [14]). Ne consegue cheGdeve avere classe di nilpotenza al piuÁp‡1.

Sianox;y2Ie siaHˆ hx;yi, ricordando che un gruppo metabeliano di esponentep con 2 generatori ha classe di nilpotenza al piuÁ p 1 ([13]) e ripercorrendo i passaggi svolti sopra si ottiene cheHha clase al piuÁpe che H^pF. Ma allorag_p(H)F mentre il Lemma 2.7 porgeg_p(H)I: dun- que g_p(H)ˆ1. Ne consegue che ogni sottogruppo di G generato da due elementi di I ha esponentep e classe di nilpotenza al piuÁ p 1. In par- ticolare per ogni x;y2I si ha [x;y]^pˆ1 e [x;_{(p 1)}y]ˆ1. Poiche Nˆ h[x;y]jx;y2Ii^GeÁ abeliano e [x;y] ha ordine al piuÁpne segue cheN eÁ unp-gruppo abeliano elementare.

Dimostriamo ora che per ognig2Ne ognix2Isi ha [g;_{(p 1)}x]ˆ1. Non eÁ restrittivo supporre chegsia prodotto di elementi della forma [a;b] con a;b2Iin quanto [a;b;c;_{(p 1)}x]ˆ1 percheÂGha classe di nilpotenza al piuÁ p‡1. Quindi eÁ sufficiente dimostrare che [a;b;(p 1)x]ˆ1 per ogni a;b;x2I. Ricordando che [a;b;_{(p 1)}x]2Z(G) e che in ogni gruppo meta- belianoMsi ha [u;v;z]ˆ[v;z;u] ¹[z;u;v] ¹per ogniu;v;z2Me [u;v;z]ˆ [u;z;v] per ogniu2M⁰e ogniv;z2Msi ottiene:

[a;b;_{(p 1)}x]ˆ[b;x;a;_{(p 2)}x] ¹[x;a;_{(p 2)}x;b] ¹ˆ[b;_{(p 1)}x;a] ¹[a;_{(p 1)}x;b]

che eÁ uguale a 1 essendo [a;(p 1)x]ˆ1ˆ[b;(p 1)x].

Presog2Gsi hagˆfxconf2Fex2Iopportuni (Lemma 2.3.a); inoltre x^pˆ1 per ipotesi ef^pˆ1 percheÂf 2N. Nel gruppoKˆ hg;g^Wi ˆ hf;xisi ha [f;_{(p 1)}x]ˆ1. Siccomef 2Nil gruppohfi^KeÁ abeliano e dunqueK ha classe di nilpotenza al piuÁp 1; quindiK, essendo generato da elementi di ordinep, ha esponentep.

Possiamo quindi concludere cheGha esponentepe, essendo metabe-

liano, classe di nilpotenza al piuÁp. p

Generalizziamo l'identitaÁ [x;y;z][y;z;x][z;x;y]ˆ1, valida in ogni grup- po metabeliano, nel seguente modo.

LEMMA3.3. Sia X un sottogruppo normale di un gruppo G e suppo- niamo che si abbia[X;G;G⁰]ˆ1. Allora

[x;g;h][g;h;x][h;x;g]ˆ1 per ogni x2X e ogni g;h2G.

DIM. Si tratta di una verifica diretta sui commutatori. p LEMMA3.4. Sia G unF (p)-gruppo e sia N un sottogruppo normale e W-invariante di G tale che Nˆ hN\I;[N;G]i. Allora

(a) [N;(p 1)G]N⁰[N;G⁰] e q uindi se NG⁰ allora [N;(p 1)G]

[N;G⁰].

(b) [N;_(p)G][N;G;G⁰].

DIM. Nella dimostrazione sia di (a) che di (b) ci serviamo del seguente risultato: seN/Ge se [N;G] eÁ abeliano allora

[x;_{(p 1)}g]ˆ1 8x2N\I 8g2I:

(y)

L'identitaÁ (y) eÁ un'immediata conseguenza del teorema di Meier-Wunderli applicato all'F (p)-gruppo metabelianohx;giche, per la Proposizione 3.2, ha esponentep.

Per dimostrare (a) possiamo supporre N⁰[N;G⁰][N;_(p)G]ˆ1 e dimo- strare che per ognix2N e ognig2Isi ha [x;_{(p 1)}g]ˆ1. Sianoa;b2N, ricordando che N eÁ abeliano si ottiene [ab;(p 1)g]ˆ[a;(p 1)g][b;(p 1)g], dunque sea2Neb2[N;G] si ha

[ab;_{(p 1)}g]ˆ[a;_{(p 1)}g];

in quanto [N;(p)G]ˆ1. Per ipotesi eÁ Nˆ hN\I;[N;G]i; si puoÁ quindi supporrex2Ie (y) fornisce la conclusione cercata.

SiccomeG⁰C_G(N) si haGˆC_G(N)Ie il gruppoJ ˆG=C_G(N) risulta abeliano e agisce in maniera naturale su N. Ogni elementoj2J ha una controimmagine inIe quindi per (y) risulta [x;_{(p 1)}j]ˆ1 per ognix2Ne ogni j2J. In End(N) si ha quindi (j 1)^{p 1}ˆ0 per ogni j2J e ri-

cordando cheN eÁ unp-gruppo abeliano elementare si ottiene che

j^{p 1}‡j^{p 2}‡. . .‡j‡1ˆ(j 1)^{p 1}ˆ0 8j2J:

Siamo dunque nelle condizioni di applicare il Lemma 7.19 di [14] e ottenere [N;(p 1)J]ˆ[N;(p)J];

dalle ipotesi segue che [N;_{(p 1)}G]ˆ[N;_(p)G]ˆ1.

Per dimostrare (b) possiamo supporre che [N;G;G⁰][N_(p‡1)G]ˆ1; in particolare [N;G] risulta abeliano. Come nella dimostrazione di (a) eÁ suf- ficiente far vedere che [z;_{(p 1)}g]ˆ1 per ogniz2[N;G] e ognig2I. Es- sendo per ipotesiNˆ hN\I;[N;G]ieGˆ hIisi verifica facilmente che non eÁ restrittivo supporre zˆ[x;h] con x2N\I e h2I. Quindi, ri- cordando che [N;G;G⁰]ˆ1, dal Lemma 3.3 si ottiene

[x;h;_{(p 1)}g]ˆ[h;_{(p 1)}g;x] ¹[x;_{(p 1)}g;h]:

Essendohg;hiunF (p)-gruppo con due generatori risulta [h;(p 1)g]2G⁰⁰e quindi

[h;_{(p 1)}g;x]2[G⁰⁰;N][N;G⁰;G⁰]ˆ1:

D'altra parte, per (y), si ha [x;_{(p 1)}g;h]ˆ1. Quindi [x;h;_{(p 1)}g]ˆ1, come

richiesto. p

OSSERVAZIONE3.5. La condizioneNˆ hN\I;[N;G]ieÁ equivalente a Nˆ hN\Ii^G, in quantoGeÁ unp-gruppo finito. Abbiamo preferito la prima formulazione in quanto eÁ piuÁ comoda da utilizzare (come si puoÁ constatare

nella dimostrazione dei prossimi risultati). p

LEMMA3.6. Se G eÁ unF (p)-gruppo, allorag_{k‡p 1}(G)[g_k(G);G⁰]per ogni k2.

DIM. Sia`un numero naturale dispari. PoicheÂGˆ hIidai Lemmi 2.5 e 2.7.a segue cheg<sub>`</sub>(G)ˆ hg_{`</sub>(G)\I;g<sub>`‡1}(G)ie quindi per il Lemma 3.4.a si ha che

g_{`‡p 1</sub>(G)ˆ[g<sub>`}(G);_{(p 1)}G][g<sub>`</sub>(G);G<sup>0</sup>] se` >1, e, per il Lemma 3.4.b,

g_{`‡p</sub>(G)ˆ[g<sub>`}(G);(p)G][g_{`</sub>(G);G;G<sup>0</sup>]ˆ[g<sub>`‡1}(G);G⁰]

per ogni`. Questo prova cheg_{k‡p 1}(G)[g_k(G);G⁰] per ognik2. p

PROPOSIZIONE 3.7. Sia G un F (p)-gruppo. Allora per ogni numero intero t si ha g_{(p 1)t‡2}(G)g_t‡1(G⁰). In particolare se G⁰ eÁ nilpotente di classe t allora G ha classe di nilpotenza al piuÁ(p 1)t‡1.

DIM. Procediamo per induzione sut. L'asserto eÁ ovvio setˆ0; se in- vecet>0 dal Lemma 3.6 e dall'ipotesi induttiva segue che

g_{(p 1)t‡2}(G)[g_{(p 1)(t 1)‡2}(G);G⁰][g_t(G⁰);G⁰]ˆg_t‡1(G⁰)

e l'asserto eÁ dimostrato. p

LEMMA3.8. Sia G unF (p)-gruppo e sia N un sottogruppo abeliano, normale e W-invariante di G. Supponiamo che g_k‡1(G)C_G(N) per qualche k2N e che F sia nilpotente di classe c. Allora, posto mˆmaxfp;c‡1g risulta [N;_(m)g_k(G)]ˆ1. Inoltre esiste una funzione g(k)ˆg(k;c;p)dipendente solamente da k, c e p tale che[N;_(g(k))G]ˆ1; si ha g(k)m^k.

DIM. Siccome N eÁ abeliano dal Lemma 2.3.b segue Nˆ(N\F) (N\I). Quindi, se si poneTˆC_G(N)g_k(G), ancora dal fatto cheNeÁ abe- liano, discende cheNC_G(N)T.

Dimostriamo che [N;_(m)T]ˆ1 distinguendo due casi.

keÁ pari.

AlloraWinduce l'identitaÁ sug_k(G)=g_k‡1(G) e dunqueTˆ(T\F)C_G(N).

Risulta quindiN\IT e in TˆT=(N\I) si ha [N;_(c)T]ˆ1 percheÂ, per ipotesi,Fha classe di nilpotenzac. Dunque il sottogruppo normale [N;_(c)T]

diGeÁ contenuto inIe per il Lemma 2.6 si ha [N;_(c)T]Z(G) e quindi [N;_(m)T][N;_(c‡1)T]ˆ1:

keÁ dispari.

AlloraWinduce l'inversione suT=C_G(N). Il sottogruppoLˆ hT\IieÁ un sottogruppo normale eW-invariante diT, inoltreLrisulta essere un F (p)- gruppo e si haTˆLCG(N). Dal Lemma 3.4 e dall'Osservazione 3.5, posto Rˆ hN\Ii^L, si ottiene [R;(p 1)L]ˆ1 e quindi anche [N\I;(p 1)T]ˆ1;

in particolare si haN\IZp 1(T).

InGˆG=Z_{p 1}(T) si ha quindiNC_G(W) e percioÁNZ(G) da cui [N;_(m)T][N;_(p)T]ˆ1:

Per dimostrare che [N;_(g(k))G]ˆ1 ragioniamo per induzione suk.

Sekˆ1 alloraG=CG(N) eÁ abeliano; applicando il Lemma 3.4 e tenendo conto dell'Osservazione 3.5 si ottiene che

hN\Ii^GZp 1(G):

In GˆG=Zp 1(G) risultaNC_G(W) e quindi, per il Lemma 2.3.c, si ha NZ(G). Dunque [N;_(p)G]ˆ1 e si puoÁ porreg(1)ˆp; per come eÁ stato definitomrisulta certamenteg(1)m.

Sia k>1. Consideriamo i quozienti G_iˆG=[N;_(i)g_k(G)] per

iˆ1;2;. . .;m; in Gi il sottogruppo [N;(i 1)g_k(Gi)] centralizza g_k(G) e

l'ipotesi induttiva porge [N;_{(i 1)}g_k(G_i);_{(g(k 1))}G_i]ˆ1 da cui [N;_{(mg(k 1))}G][N;_(m)g_k(G)]ˆ1:

Dunque [N;_(g(k))G]ˆ1 cong(k)mg(k 1)mm^{k 1}ˆm^k. p TEOREMA3.9. Sia G unF (p)-gruppo di lunghezza derivata d. Se F eÁ nilpotente di classe c allora la classe di nilpotenza di G eÁ limitata da una funzione f dipendente solamente da d, c e p.

DIM. La dimostrazione procede per induzione su d, la lunghezza de- rivata del gruppoG.

Se dˆ1 allora si puoÁ porre f(1;c;p)ˆf(1;0;p)ˆ1 e in questo caso l'asserto eÁ dimostrato.

Siad>1 e siaNˆG^{(d 1)}. AlloraNeÁ un sottogruppo abeliano, normale eW-invariante diG. SekeÁ la classe di nilpotenza diG=N, l'ipotesi induttiva porge chekf(d 1;c;p) e risultag_k‡1(G)NC_G(N). Dunque, per il Lemma 3.8 si ha, [N;_(g(k))G]ˆ1, quindiNZ_g(k)(G) eGha classe di nil- potenza limitata da

k‡g(k)f(d 1;c;p)‡g(f(d 1;c;p);c;p) (ovegeÁ la funzione definita nel Lemma 3.8). Quindi ponendo

f(d;c;p)ˆf(d 1;c;p)‡g(f(d 1;c;p);c;p)

si ottiene la definizione induttiva della funzione f cercata. p COROLLARIO3.10. Sia G unF (p)-gruppo di lunghezza derivata d in cui F ha esponente p. Allora G ha classe di nilpotenza limitata da una funzione h dipendente solamente da d e da p.

DIM. Essendo FG⁰ si ha F^{(d 1)}ˆ1. Poiche F ha esponente p e lunghezza derivata (al piuÁ)d 1, il Teorema 7.18 di [14] porge che seceÁ la

classe di nilpotenza diFrisultac(p 1)^{d 1} 1

p 2 . Quindi se poniamo h(d;p)ˆf d;(p 1)^{d 1} 1

p 2 ;p

!

dal Teorema 3.9 segue che la classe di nilpotenza di G eÁ limitata da

h(d;p). p

Per un ulteriore risultato suiF (p)-gruppi si veda la Proposizione 4.14 del prossimo paragrafo.

4. Il casopˆ3

LEMMA4.1. Sia G unF (3)-gruppo. Allora per ogni x;y2I il gruppo hx;yiha esponente3e quindi classe di nilpotenza al piuÁ2e ordine al piuÁ 27. In particolare si ha[x;y]2F e[x;y]³ ˆ1.

DIM. EÁ sufficiente dimostrare che sex;y2Iallora il gruppohx;yiha classe di nilpotenza al piuÁ 2, infatti un gruppo di classe di nilpotenza al piuÁ 2 generato da elementi di ordine 3 ha esponente 3. Per il Lemma 3.1 si ha (yx ¹)³ˆ1 da cuiyx ¹yˆxy ¹xe quindi

[x;y]ˆ(yx) ¹xyˆyxyxxyˆyxyx ¹yˆyxxy ¹xˆ[y ¹;x]ˆ[x;y]^y1 da cui [x;y;y]ˆ1. In maniera analoga si prova che [y;x;x]ˆ1 e quindi [x;y]2Z(hx;yi) eg₃(hx;yi)ˆ1.

Da [x;y]2Z(hx;yi) segue [x;y]^Wˆ[x ¹;y ¹]ˆ[x;y]2F. p Denotiamo con B(3;k) il gruppo con k generatori nella varietaÁ dei gruppi di esponente 3. EÁ noto che jB(3;2)j ˆ3³, jB(3;3)j ˆ3⁷, jB(3;4)j ˆ3¹⁴ e, in generale,jB(3;k)j ˆ3^rcon

rˆk‡ k

2 ‡ k

3 :

Inoltre sek3 alloraB(3;k) ha classe di nilpotenza 3 (si vedano i Teoremi 14.2.3, 12.3.5 e 12.3.6 di [15]).

ESEMPIO4.2. SiaHˆ ha;b;ciun 3-gruppo tale cheha;bi,ha;ciehb;ci siano tutti isomorfi aB(3;2). Se definiamo l'automorfismoWdiHponendo a^Wˆa ¹, b^Wˆb ¹, c^Wˆc ¹, e poniamo Nˆ h(g ¹g^W)³jg2Hi allora N

risulta un sottogruppo normale eW-invariante diH. PostoGˆH=Nsi puoÁ verificare che

(a) GeÁ un 3-gruppo di ordine 3¹⁰ ed esponente 9;

(b) Gha lunghezza derivata 3 e classe di nilpotenza 4;

(c) risultaG⁰⁰ˆg₄(G)ˆZ(G) e si hajG⁰⁰j ˆ3³;

(d) GeÁ unF (3)-gruppo in cuiFha esponente 3, classe di nilpotenza 2 ed ordine 3⁶;

(e) F⁰ˆG⁰⁰eG=G⁰⁰risulta isomorfo aB(3;3).

PROPOSIZIONE 4.3. Sia G un F (3)-gruppo. Allora per ogni numero naturale t si ha g_2t‡2(G)ˆg_t‡1(G⁰). In particolare se G⁰ ha classe di nil- potenza t allora la classe di nilpotenza di G non supera2t‡1.

DIM. Applicando la Proposizione 3.7 conpˆ3 si ottiene che per ogni t2N si ha g_2t‡2(G)g_t‡1(G⁰). Del resto in ogni gruppo G si ha [g_i(G);g_j(G)]g_i‡j(G) e quindig_t‡1(G⁰)g_2t‡2(G). p PROPOSIZIONE4.4. Se G eÁ unF (3)-gruppo, allora G⁰ha la stessa classe di nilpotenza di F.

DIM. Sia c la classe di nilpotenza di F. Allora, ricordando che G⁰ˆFg₃(G), si ha

g_c‡1(G⁰)g_c‡1(F)Y^c‡1

iˆ1

[G|‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚}⁰;. . .;G⁰

i 1

;g₃(G);G|‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚}⁰;. . .;G⁰

c i‡1

]g_2c‡3(G):

PoicheÂg_c‡1(G⁰)ˆg_2c‡2(G) eGeÁ nilpotente, l'inclusione precedente porge cheg_c‡1(G⁰)ˆ1. Del resto la classe di nilpotenza diG⁰e maggiore o uguale a quella diFpercheÂFG⁰e questo dimostra l'asserto. p Per ottenere la Proposizione 4.4 eÁ essenziale cheGsia unF (3)-gruppo, come mostrano i seguenti due esempi.

ESEMPIO4.5. SiaGˆ hg₁;g₂ie, posto

[g₁;g₂]ˆg₃; [g₁;g₃]ˆg₄; [g₂;g₃]ˆg₅; [g₂;g₄]ˆg₆; [g₁;g₆]ˆg₇; supponiamo che inGsiano soddisfatte le seguenti relazioni:

g³₁ˆ1; g³₂ˆ1; g³₃ˆ1; g³₄ˆ1; g³₅ ˆ1; g³₆ˆ1; g³₇ˆ1;

[g3;g6]ˆ1; [g4;g5]ˆ1; [g4;g6]ˆ1

e che inoltreZ(G)ˆ hg7i. Si puoÁ verificare cheGeÁ un 3-gruppo di ordine 3⁷, esponente 9, lunghezza derivata 3 e classe di nilpotenza 5. Ponendog^W₁ ˆg₁¹ eg^W₂ˆg₂¹si definisce un automorfismo involutorio diG. Il centralizzanteF di W in GeÁ un gruppo abeliano elementare di ordine 9 mentre G⁰ non eÁ abeliano. L'insiemeI(che ha ordine 3⁵) generaGma contiene elementi di ordine 9 e quindiGnon eÁ unF (3)-gruppo nel senso della Definizione 2.2.

ESEMPIO4.6. SiaGˆ hx;yiil gruppo con due generatori nella varietaÁ dei gruppi di esponente 5 e classe di nilpotenza 5. Si puoÁ verificare chejGj ˆ5¹⁰, e cheG⁰⁰ˆg₅(G)ˆZ(G) ha ordine 25. Il gruppoGammette un automorfismo Wche inverte i generatori ed eÁ quindi certamente unF (5)-gruppo. Poiche G⁰⁰ˆg₅(G) eÁ invertito daW, postoGˆG=G⁰⁰si haF'Fed essendoFG⁰ se ne ricava cheF, e quindiFstesso, eÁ abeliano. Per costruzioneG⁰non eÁ abeliano e quindi non ha la stessa classe di nilpotenza diF.

TEOREMA4.7. SiaGunF (3)-gruppo in cuiFha classe di nilpotenzac.

SekeÁ la classe di nilpotenza diGrisulta:

2ck2c‡1:

DIM. Immediata, in vista della Proposizioni 4.3 e 4.4. p PROPOSIZIONE4.8. Sia G unF (3)-gruppo. Se F ha esponente3allora G ha classe di nilpotenza al piuÁ7, lunghezza derivata al piuÁ3ed espo- nente al piuÁ9.

DIM. Ogni gruppo di esponente 3 ha classe di nilpotenza al piuÁ 3 (12.3.5 e 12.3.6 di [15]) e quindi, per il Teorema 4.7,Gha classe di nilpotenza al piuÁ 7. SiccomeG⁰ha classe di nilpotenza al piuÁ 3 (comeF) si ha

[G⁰⁰;G⁰⁰]ˆ[g₂(G⁰);g₂(G⁰)]g₄(G⁰)ˆ1;

quindiG⁰⁰eÁ abeliano e, per il Lemma 2.3.b, esso risulta prodotto diretto di un fattore contenuto inFe di uno contenuto inI. Per ipotesi entrambi tali fattori hanno esponente 3, dunqueG⁰⁰ha esponente 3 eGha esponente al

piuÁ 9. p

OSSERVAZIONE4.9. Smith in [18] ha costruito, per ogni numero naturale n2, deiF (3)-gruppi generati danelementi diIaventi classe di nilpotenza (almeno) 2n 3. Dalla Proposizione 4.8 segue allora che esistono F (3)- gruppi in cui l'esponente diFeÁ almeno 9 (si veda anche l'Osservazione 4.13).

Costruzioni equivalenti sono state ottenute da Malbos in [11] e Beneteau in [1] utilizzando in luogo dei gruppi altri tipi di strutture algebriche. p

OSSERVAZIONE4.10. Alcune delle computazioni effettuate in [10], da cui abbiamo tratto spunto per la costruzione dell'Esempio 4.2, sono tratte dal lavoro [9] in cui M. Hall fornisce una soluzione positiva per il problema di Burnside relativo all'esponente 6. In effetti il gruppo che viene costruito nel corso della dimostrazione del Teorema 2.2 di [9]

permette di ottenere l'Esempio 4.11, una versione piuÁ elaborata del-

l'Esempio 4.2. p

ESEMPIO 4.11. Consideriamo il 3-gruppo Gˆ ha;b;c;di tale che i quattro sottogruppiha;b;ci,ha;b;di,ha;c;diehb;c;disiano tutti isomorfi a B(3;3). Definiamo un automorfismoWdi Gponendoa^Wˆa ¹,b^Wˆb ¹, c^Wˆc ¹,d^Wˆd ¹; si puoÁ verificare che

(a) GeÁ un 3-gruppo di lunghezza derivata 3, di ordine 3¹⁷ed esponente 9;

(b) GeÁ unF (3)-gruppo in cuiF ha esponente 3;

(c) Gha classe di nilpotenza 4,G⁰⁰ˆZ(G) eG=Z(G) eÁ isomorfo aB(3;4).

OSSERVAZIONE 4.12. Fissato k2N, k>0, sia F_k‡1 il gruppo libero generato daj₁;j₂;. . .;j_k;fe sia

Nˆ hj³_i;f²;(j_if)²;[g;f]³jg2F_k‡1;iˆ1;2;. . .;ki^Fk‡1: Nel gruppoGˆF_k‡1=Nˆ hx1;x2;. . .;x_k;Wi, ove si eÁ posto

xiˆj_iN iˆ1;2;. . .;k e WˆfN;

il sottogruppoF(3;k)ˆ hx1;x2;. . .;x_kieÁ normale, ha indice 2 e su di essoW induce un automorfismo involutorio che inverte i generatori.

Con abuso di linguaggio diremo che F(3;k) eÁ il gruppo libero con k generatori nella classe dei F (3)-gruppi (tale classe non eÁ una varietaÁ in quanto non eÁ vero che un sottogruppo di unF (3)-gruppo eÁ ancora unF (3)- gruppo). Un risultato generale asserisce cheF(3;k) eÁ finito per ognik2N (si veda [3]).

Per il Lemma 4.1 si ha F(3;2)ˆB(3;2). L'Esempio 4.2 fornisce una dimostrazione diretta cheF(3;3) eÁ finito, in quanto eÁ facile verificare che il gruppo costruito in tale esempio eÁ effettivamente isomorfo aF(3;3). p OSSERVAZIONE4.13. Utilizzando il softwareGAP([GAP]) si puoÁ veri- ficare che il gruppo GˆF(3;4) ha classe di nilpotenza 6, esponente 9 e ordine 3⁴⁹. Risulta inoltrejIj ˆ3¹²,jFj ˆ3³⁷ejg₆(G)j ˆ3¹⁶eZ(G)ˆg₆(G).

Va anche detto cheFha classe di nilpotenza 3 ed esponente 9. p

Il seguente risultato fornisce una limitazione all'ordine di un F (p)- gruppo in funzione dijIj(questo risultato migliora quello ottenuto in [3] nel caso particolarepˆ3).

PROPOSIZIONE 4.14. Sia G un F (p)-gruppo e sia jIj ˆp^k allora jGj pⁿ con nˆ1

2k(k‡1). Tale limitazione eÁ la migliore possibile.

DIM. Siacla classe di nilpotenza diG. PoicheÂGeÁ generato da elementi di ordine p, per ogni i2 f1;2;. . .;cg il gruppo g_i(G)=g_i‡1(G) eÁ abeliano elementare. Sia quindijIj ˆp^k enˆk(k‡1)=2.

Dimostriamo l'asserto ragionando per induzione suc.

Secˆ1 alloraGˆIe l'enunciato eÁ ovvio.

Secˆ2 alloraG⁰FeG⁰Z(G) eÁ abeliano elementare ed eÁ generato da al piuÁ k(k 1)=2 elementi e quindi jGj pⁿ. Per ogni numero primo p>2 siaB₂(p;k) il gruppo libero conkgeneratori nella varietaÁ dei gruppi di classe di nilpotenza 2 ed esponente p. Tale gruppo ammette un auto- morfismoWdi ordine 2 che inverte tutti i generatori e si verifica facilmente che jIj ˆp^k e jB2(p;k)j ˆpⁿ. Questo fatto mostra che la limitazione de- terminata eÁ la migliore possibile.

Siac>2.

SeceÁ dispari allorag_c(G)Ie in questo caso l'asserto eÁ ovvio.

Se c eÁ pari allora g_c(G)F. Sia pⁱ l'ordine di g_{c 1}(G)=g_c(G) e sia GˆG=g_{c 1}(G). In G si ha jIj ˆp^{k i} e quindi, per l'ipotesi induttiva, jGj pⁿ con nˆ(k i)(k i‡1)=2. Siccome G=G⁰IG⁰=G⁰ risulta jG=G⁰j jIj ˆp^{k i}e percioÁ si ha

jg_c(G)j p^{(k i)i}: Quindi

jGj ˆ jG=g_{c 1}(G)j jg_{c 1}(G)=g_c(G)j jg_c(G)j p(k i)(k i‡1)=2pⁱp^{(k i)i} e poiche risulta

(k i)(k i‡1)‡2i‡2(k i)i

2 ˆk(k‡1)

2

i(i 1)

2 n;

l'asserto eÁ dimostrato. p

OSSERVAZIONE 4.15. La limitazione ottenuta nella Proposizione 4.14 puoÁ essere raggiunta anche nel caso di F (p)-gruppi la cui classe di nil- potenza sia maggiore di 2. Infatti il gruppo GˆF(3;3) costruito nel- l'Esempio 4.2 eÁ unF (3)-gruppo di ordine 3¹⁰e classe di nilpotenza 4 in cui

jIj ˆ3⁴. p

Ringraziamenti. Gli autori desiderano esprimere la loro gratitudine al referee che, con numerosi suggerimenti, ha contribuito in maniera de- terminante a migliorare la struttura generale del lavoro e a raffinare alcuni risultati.

REFERENCES

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[GAP] The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms and Programming. Version 4.4.12 (2008).

Manoscritto pervenuto in redazione il 15 Febbraio 2011.