Lieu des foyers des coniques tangentes à quatre droites données

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ^ABRIEL L ^IPPMANN

Lieu des foyers des coniques tangentes à quatre droites données

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 6 (1867), p. 496-497

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1867_2_6__496_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1867, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

LIEU DES FOYERS DES CONIQUES TANGENTES A QUATRE DROITES DONNEES;

SOLUTION DE M. GABRIEL LÏPPMANN,

Élève du lycée Napoléon.

Soient

n — x cos a -f- y sin a — p — o, b •==. x cos 6 -f- ƒ sin S — / / = o, c — .r cos7 4 - j sin7 — /?" = o,

<tf = : # COS (î -4- / Sin S — //"=: O,

les équations des quatre droites données.

En considérant x, y comme les coordonnées de l'un des deux foyers d'une conique tangente à ces droites, les expressions #, è, c, d représenteront les distances de ce foyer aux quatre droites dont il s'agit. Et, en nommant a M ^i5

\i d\ les valeurs que prennent a, è, c, d lors- que l'on remplace x, y par les coordonnées x^ y

du second foyer de la conique, on aura, d'après une propo- sition connue,

aax — bb{ = cc{ — ddx = const.

D'où

a (x{ cosa -4-j, sin a —p ) — b (x{ cosS -4- j» sine — / / ) , b (x{ cos G -4-j, sin6 —p' ) = c (je, COS7 + yx sin7 —y/'), r (.r, cos7 -h j , sin7 —//') r^ d(xx coso -4- Ji sin<5 —p'").

(497 )

L'élimination de .r,, yi entre ces tiois dernières équations donne

] a cosa — b cosê, a sina — h sin6, — ap -f- bp' b cosê — c COS7, ^ sin6 — c sin7, — bp' -f- c/?'7 = o, c cos7 — dcosSy c sin7 — rfsin^, — cp" -+- ^//?w

et, en développant ce déterminant, on trouve p a[bc sin(7 — 6) H-ce/ sin(S — 7) -f- ^ s i n ( 6 — 5)]

— / / ^> [r<i sin (ê — 7) -4- da sin (a — §) -f- ac sin (7 — a)]

-}-p"c[dasm(x — 3)-h absin (6 — a)-f- bdûn($ — 6)]

— /?'V[«^sin (6 — a) ~f- £c sin (7 — 6) -f- ra sin (a — 7 ) ] ~ o , ce qui est Téquation du lieu cherché.