N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E. C AHEN
Note sur la théorie des séries
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 5
(1886), p. 535-538<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1886_3_5__535_1>
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PAU M. E. GAHEN,
Professeur de Mathématiques spéciales à l'École de Gluny.
Dans une série à termes positifs z*0, wt, . . ., un, sup- posons que —— i lorsque n croît indéfiniment, tende vers i par valeurs inférieures à i.
Duhamel a donné un procédé pour décider de la con- vergence ou de la divergence d'une telle série : on pose - ^ - = > et l'on cherche la limite de noLn.
U 1 0L
( 53Ü )
Si celle limite est ^> i, la série est convergente;
Si cette limite est <^ i, la série est divergente;
Si celte limite est = i, la règle de Duhamel ne s'ap- plique pus.
Voici, dans ce cas, une règle qui complète celle de Duhamel.
On pose noLn= i + fin'-, fin ci pour limite oy et Von cherche la limite de nftn. Si cette limite est différente de -h oc, la série est divergente.
Soient, en ell'et, / cette limite et k un nombre ^> /.
On aura, pour des valeurs suffisamment grandes de 72,
Par suite
i -t- p»
et
De Là on tire
r i-hoc,
a fortiori
r
1
OU
Un '
d'où
ou
i
^ 1 - 4 -
l _j_ — _j_
/ i
k
ï
/ i
r A-
«2 "
i i
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•
k'1
J
A-
/ i
A- il
c'est-«i-dire
K,,H ^ Al — A' ie;i ^ /i — A —
vn = T? cette série est, comme on sait, divergente.
Donc, puisque —— ^> -^-y la série u0, u^ . . . , MW, ...
est aussi divergente.
Premier exemple, — Supposons que le rapport ——
se mette sous la forme d'une fraction rationnelle en n, telle que
- j - A n> -1
express/on qui tend vers i lorsque n croît indéfiniment.
On a, par un calcul facile, A /A-1
(A (A
nh -+- a,
— a)n^
•-h bnA-'2-r-.
n^~l -4- bn^-t
+ (B_6)«:
;.:v;.._
4 - . . . ?
a^ tend vers A — #.
La règle de Duhamel montre que : Si A — a ^> i, la série est convergente ; Si A — a << i, la série est divergente ; Si A — fl = i , o n a
- H . . .
La limite de 72^ est B — b. Donc la série est diver- gente. Cette règle est de Gauss.
Second exemple. — Soit la série dont le terme gé-
( 538 ) néral est
ce terme général tend vers o. En effet, on a
Donc
le terme général est donc
^ / J\ / i\ / i\
il tend vers o.
Le rapport —^- = i — \e, il tend vers i ; a , , ^ - L - - . = ' " • - '
117.
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vers i -,
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n[i,t tend vers -• Donc la série est divergente.
