Sur quelques intégrales

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ENESE

Sur quelques intégrales

Nouvelles annales de mathématiques 3

série, tome 18 (1899), p. 273-274

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[C2e]

SDR QUELQUES INTEGRALES:

PVR M. le Professeur GEAESE, Do l'Université du P a \ s de Galles

Dans Je Cours d'Analyse de M. Herniite, édition de 1873, p. 260, l'auteur dit :

« En posant

u — x sin.r -+- cosx, v = sin x — x cos^r, on n'a aucun procédé pour trouver directement

' x2 dx u r x*-dx _ v r.

/

bx2 dx __ u (au -+- bv)- au -h bv

•Nous pourrions encore citer, eu désignant toujours par a et b des constantes, cette intégrale

ƒ

dont ou ne peut vérifier la valeur que par la différeu- tiation. )>

Voici comment on peut combler la lacune : En posant 9 = x — arc tangx, on a

ÏA x² dx i x

d\) = •» c o s u = c o s . r — — -+- sin x —— ;

+ '2 J /

alors

et la première intégrale égale

tangue — ^c sin.r — .rcosx

i -h x tang.2? c o s / -+- x SH1.T

En outre

i x

sinO = s'inx ^t — cos.r

\/i -^ x2 \/ \ -\- x1

et la seconde intégrale est

J sin² 0 "~

La troisième se change en

r

J*

r

^s^

^{L _ _ ,} ....

J (acosO-h6sinO)² J (a H- h tangO)² a-t-^tango La quatrième ne présente absolument pas de difficulté.

L'intégrale est

/

acol-xdx _ Ç — ad(cotx • {a cota? -h ax -h ù)2 J (acot

a cotx