PanaMaths
[1 - 2]Mai 2002
Résoudre le système :
( ) 3 ( 1 ) ' 2
2 ' 1
i z i z
iz z
⎧⎪
⎨⎪⎩
+ + − + =
− = −
Analyse
Le système se résout classiquement. Le fait que les coefficients soient complexes n’influe pas sur les méthodes utilisées. Nous en proposons ici deux : élimination de l’une des inconnues et utilisation des déterminants.
Résolution
1
èreméthode : élimination de l’une des inconnues
La forme de la seconde équation nous conduit à éliminer l’inconnue z'. En appelant
( )
L1 et( )
L2 les lignes du système, on a :( ) ( ) ( )
( )
213 1 ' 2 L
2 ' 1 L
i z i z
iz z
⎧ + + − + =
⎪⎨ − = −
⎪⎩
On peut alors supprimer l’inconnue 'z dans la première ligne en remplaçant cette dernière par
( ) (
L1 + − +1 i)( )
L2 . Le système initial est alors équivalent au système :( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1( )
2
3 2 1 2 1 L 1 3
' 2 1
2 ' 1 L
i i i z i i z i
z iz
iz z
⎧ + + − + = − − + ⎧ − = −
⎪ ⇔
⎨ − = − ⎨⎩ = +
⎪⎩
La première ligne fournit alors :
( )( ) ( )( )
3 1
3 3 3 1 4 2
1 1 1 1 1 2 2
i i
i i i i
z i
i i i
− +
− + − + +
= = = = = +
− − + + Æ z= +2 i
La seconde ligne nous donne alors immédiatement :
( )
' 2 1 2 2 1 4 2 1 1 4
z = iz+ = i + + = − + = − +i i i Æ z'= − +1 4i
PanaMaths
[2 - 2]Mai 2002 2
èmeméthode : utilisation des déterminants
Le déterminant du système vaut :
( ) ( )
3 1
3 2 1 3 2 2 1
2 1
i i
d i i i i i i
i
+ − +
= = − + − − + = − − + + = − +
− Il vient alors :
( ) ( )( )
( )( )
2 1
1
1 1
3 1
1 3 3 3 3 1 4 2
2 1 2
1 1 1 1 1 2 2
z i d
i i
i i i i i
i i
i i i i i
= − +
− −
− +
− + − + − + +
= − + − + = = = = = = +
− + − + − − +
et :
( ) ( )( )
( )( )
3 2
' 1
2 1
3 5 1
1 3 5 3 5 3 3 5 5 2 8
3 4 1 4
1 1 1 1 1 2 2
z i
i d
i i
i i i i i
i i i
i i i i i
= +
−
+ +
− − + + + − − +
= − − − = = = = = = − +
− + − + − − +
On retrouve le résultat précédemment obtenu.
Résultat final
Le système admet comme unique solution le couple
