Vérier que ∀n∈N, wn+1 = 2 5wn+ 1 5

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 3 26 octobre 2012

Exercice I.

Calculer, en utilisant les formules du cours, la somme S =

8

X

k=2

k² 5 + 2−

2 3

k−1! .

Exercice II.

On considère la suite (u_n)n∈Ndénie par récurrence par :







u0 = 2 un+1 = u²_n+un

2 +u_n

1. Montrer par récurrence que ∀n∈N, u_n>0. 2. En déduire l'étude des variations de la suite.

Exercice III.

Soit(u_n)n≥0 la suite dénie par : u₀ = 1

un+1= 2un+ 5ⁿ, pour n∈N On pose alors ∀n∈N, w_n= un

5ⁿ. 1. Vérier que ∀n∈N, wn+1 = 2

5wn+ 1 5.

2. En déduire, en fonction de n, l'expression dewn, puis celle deun. Exercice IV. (facultatif)

Soit(un)n≥0 la suite dénie par : u0 =u1 = 1

u_n+2+ 2u_n+1+u_n= 0, pour n∈N

Vérier de deux manières diérentes que ∀n∈N, un= (−1)ⁿ(1−2n).

(La première pourra être la méthode pour déterminer le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, et la seconde une récurrence double.)

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