Convergence vers l’exponentielle matricielle

Convergence vers l’exponentielle matricielle

L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.

Pour tout A∈ M_p(K),

n→+∞lim

I_p+A n

n

=e^A. Théorème 1

Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoin du résultat qui suit.

SoientE un K-espace vectoriel etu∈ L(E).

Siχ_uest scindé alors il existed∈ L(E)diagonalisable , il existen∈ L(E)nilpotente tels queu=d+n etd◦n=n◦d.

De plus, le couple (d, n)est unique.

Théorème 2:Décomposition de Dunford

Démonstration. Démontrons le Théorème 1.

Étape N^o1 : La formule de Stirling permet de montrer que

∀k∈N, lim

n→+∞

n k

× 1 n^k = 1

k!. (?)

Étape N^o2 : On démontre que le résultat est invariant par conjugaison.

SoitP ∈GLp(K). Alors

I_p+P AP⁻¹ n

n

=

P

I_p+A n

P⁻¹

n

=P

I_p+A n

n

P⁻¹ −→

n→+∞P e^AP⁻¹ =e^{P AP−1}.

Étape N^o3 : On démontre le résultat lorsqueA est diagonalisable.

Par l’étape précédente, il suffit de prouver le résultat lorsque A est diagonale. On note ainsi A = diag(λ₁,· · ·, λ_p). Alors

I_p+ A

n n

= diag

1 +λ₁ n

n

,· · ·,

1 +λ_p n

n

n→+∞−→ diag(e^λ1,· · ·, e^λp) =e^A.

Étape N^o4 : On démontre le résultat dans le cas général.

Quitte à plonger R dans C et à travailler avec des matrices à coefficients complexes, on utilise la décomposition de Dunford. Il existe D, N ∈ M_p(C) avec D diagonalisable etN nilpotente telles que DN =N D etA=D+N.

1

Par la formule du binôme de Newton, on a :

I_p+ A

n n

=

I_p+D n +N

n n

=

n

X

k=0

n k

×

Ip+D n

n−k

× 1 n^k ×N^k

=

p

X

k=0

n k

×

Ip+D n

n−k

× 1 n^k ×N^k

=

Ip+D n

n

×

p

X

k=0

n k

×

Ip+D n

−k

× 1 n^k ×N^k

!

Or lim

n→+∞ Ip+^D_n−k

=Ip.

Ainsi, en utilisant (?) et l’étape N^o3, on obtient

n→+∞lim

Ip+A n

n

=e^D×

p

X

k=0

1 k!×N^k

!

=e^D×

+∞

X

k=0

1 k!×N^k

!

=e^D×e^N =e^D+N =e^A.

La dernière égalité étant valide puisque DetN commutent.

2