1 Les espaces L

Université Paris-Dauphine 2018-2019

Cours “Intégrale de Lebesgue et Probabilités” Octobre 2018

Chapitre 4 - Les espaces L^p et L^p sur un espace mesuré

Table des matières

1 Les espacesL¹ etL¹ 1

2 Les espacesL^p etL^p, 1< p <∞ 2

3 Les espacesL^∞ etL^∞ 4

4 Espace de Hilbert et dualité dans L² etL² 5

5 Théorème de Radon-Nikodym 7

Dans ce chapitre et sauf mention explicite du contraire, on fixe un espace mesuré(E,A, µ).

1 Les espaces L

et L

On a vu au chapitre 2 que l’ensemble L¹ :=L¹(E,A, µ) des fonctions intégrables est un espace vectoriel. On rappelle également que pourf ∈ L¹, on définit

kfk1:=

Z

E

|f|dµ.

L’applicationk · k1:L¹→R+ est une semi-norme au sens où kf+gk1≤ kfk1+kgk1, ∀f, g∈ L¹, mais seulementf = 0p.p. ssikfk1= 0.

Lemme 1.1 Soit (f_n) une suite de L¹ telle que la série X

kfnk1<∞. Alors la série Pf_n converge dans L¹.

Preuve du Lemme 1.1. Il s’agit d’un résultat (Théorème II.4.1) du chapitre précédent. tu Lemme 1.2 SoitE un espace vectoriel (semi)normé. Toute suite de Cauchy deE est convergente si, et seulement si, toute série (semi)normalement convergente deE est convergente.

Preuve du Lemme 1.2. Nous n’utiliserons pas le sens direct, sa preuve est donc omise. Supposons donc que toute série (semi)normalement convergente de E est convergente et montrons queE est complet. On noteNla (semi)norme deE. Soit(fn)une suite de Cauchy deE. En utilisant le critère de Cauchy, on peut alors définir une suite extraite(fn_k)qui satisfait

N(f_nk+1−f_nk)≤ 1

2^k, ∀k≥1.

On observe alors que

∞

X

k=1

N(fn_k+1−fn_k)≤1,

soit donc que la série de termes(fn_k+1−fn_k)k est (semi)normalement convergente. Cette série est donc convergente d’après l’hypothèse faite surE. Il existe ainsig∈ E tel que

fn_k−fn₁ =

k−1

X

j=1

(fn_k+1−fn_k)→g lorsque k→ ∞

au sens de la (semi)norme N. En d’autres termes, en posantf :=fn₁+g, on a démontré N(fn_k−f)→0 lorsque k→ ∞.

En revenant à la définition d’une suite de Cauchy, on en déduit que c’est toute la suite (fn) qui

converge versf au sens de la (semi)normeN. tu

Théorème 1.3 (de Riesz-Fischer dans L¹) L’espace L¹ est “complet” : si (f_n) est une suite de Cauchy au sensL¹, il existe f ∈ L¹ tel quefn→f au sens L¹.

Preuve du Théorème 1.3. Il suffit de combiner les lemmes 1.1 et 1.2. tu Définition 1.4 On définit la relation d’équivalence ∼surL¹ parf ∼g sif =g presque partout.

On définit L¹:=L¹/∼l’espace des classes d’équivalence.

Théorème 1.5 (de Riesz-Fischer dans L¹) L’espaceL¹ est un espace de Banach : muni de la norme k · k1, c’est un espace vectoriel normé complet.

2 Les espaces L

et L

, 1 < p < ∞

Définition 2.1 On définit L^p := L^p(E,A, µ) comme l’ensemble des fonctions f mesurables à valeurs réelles telles que|f|^p est intégrable. Pourf ∈ L^p, on définit

kfkp:=Z

E

|f|^pdµ^1/p .

Lemme 2.2 (Inégalité de Young) Pour p, q ∈ (1,∞) deux exposants conjugués (cela signifie 1/p+ 1/q= 1), on a

uv≤1 pu^p+1

qv^q, ∀u, v >0.

Le cas d’égalité dans l’inégalité de Young impliqueu^p=v^q =uv. On notera souvent p⁰:=q.

Preuve 1 du Lemme 2.2. Comme la fonctionlogest concave, on a log1

pu^p+1 qv^q

≥1

plogu^p+1

qlogv^q = log(uv).

On déduit l’inégalité de Young de la propriété de croissance de la fonction log. tu Preuve 2 du Lemme 2.2. Pourv >0fixé, la fonction

ϕ(u) :=1 pu^p+1

qv^q−uv satisfait

ϕ⁰(u) =u^p−1−v, ϕ⁰⁰(u) = (p−1)u^p−2>0.

Elle est donc strictement convexe et atteint son minimum en l’uniqueu^∗>0 tel queϕ⁰(u^∗) = 0.

On calcule alorsu^∗=v^p−11 et

ϕ(u)≥ϕ(u^∗) =1

pv^p−1p +1

qv^q−v^p−11 v= 0,

puisque les trois exposants sont égaux. tu

Théorème 2.3 (Inégalité de Hölder) Soient f, g deux fonctions mesurables et p, q ∈ (1,∞) deux exposants conjugués. Alors

Z

|f g|dµ≤Z

|f|^pdµ1/pZ

|g|^qdµ1/q

,

que l’on peut écrire également sous la forme

kf gk1≤ kfkpkgkp⁰.

Le cas d’égalité dans l’inégalité de Hölder implique |f|^p/kfk^p_p=|g|^q/kgk^q_q.

Preuve du Théorème 2.3. Lorsque les deux intégrales dans le terme de droite de l’inégalité sont finies et non nulles, on pose

u:= |f| R

|f|^pdµ1/p, v:= |g|

R

|g|^qdµ1/q

et l’inégalité de Young implique Z |f|

R

|f|^pdµ1/p

|g|

R

|g|^qdµ1/qdµ≤1 p

Z |f|^p

R |f|^pdµdµ+1 q

Z |g|^q

R|g|^qdµdµ= 1,

d’où on conclut. Dans le cas contraire, l’inégalité est “triviale” : le terme de droite vaut+∞(resp.

0) si l’un des deux termeskfk_p oukgk_q vaut+∞et l’autre est différent de0 (resp. au moins l’un des deux termes est égal à0). Le cas d’égalité dans l’inégalité de Hölder correspond au cas d’égalité dans l’inégalité de Young pour les fonctionsuet v définies ci-dessus, et il suffit de traduire cette

condition en termes de fonctionsf et g. tu

Théorème 2.4 (Inégalité de Minkowski) Pour toutf, g∈ L^p, on a kf+gkp≤ kfkp+kgkp.

En particulier, l’ensemble L^p est un espace vectoriel et l’application k · kp : L^p → R+ est une semi-norme au sens où la condition d’inégalité triangulaire est vérifiée, mais on a seulementf = 0 p.p. si kfkp= 0.

Preuve du Théorème 2.4. On écrit Z

|f+g|^p ≤ Z

|f| |f +g|^p−1+ Z

|g| |f+g|^p−1

≤ Z

|f|^p1/pZ

|f+g|^{p0(p−1)1/p0} +Z

|g|^1/pZ

|f+g|^{p0(p−1)1/p0} , en utilisant l’inégalité de Hölder pour établir la seconde inégalité où donc p⁰ désigne l’exposant

conjugué dep. On conclut en observant que p⁰(p−1) =p. tu

Lemme 2.5 Soit (fn) une suite de L^p telle que la série X

kfnkp<∞. Alors la série Pfn(x) est absolument convergente dansL^p.

Preuve du Lemme 2.5. On considère une série (fn)qui est normalement convergente au sens de k · kp. On définit la fonction mesurable et positive

g(x) :=

∞

X

n=1

|fn(x)|.

En utilisant successivement le théorème de Beppo Levi et l’inégalité de Minkowski, on a kgkp= sup

N≥1

N

X

n=0

|fn|

_p≤ sup

N≥1 N

X

n=0

kfnkp<∞.

On en déduit |g| < ∞ p.p., soit donc que la série (fn(x)) est absolument convergente, donc convergente, pour toutx∈A∈A,µ(A^c) = 0. On pose

f(x) := lim

N→∞F_N(x), F_N(x) :=

N

X

n=1

f_n(x), ∀x∈A, f(x) := 0, ∀x∈A^c.

On observe alors que|FN −f|^p →0 p.p. et|FN−f|^p≤2^p(|FN|^p+|f|^p)≤2^p+1g^p, de sorte que

FN →f dansL^p grâce au théorème de convergence dominée. tu

Théorème 2.6 (de Riesz-Fischer dans L^p) L’espace L^p est un espace “complet”.

Preuve du Théorème 2.6. Il suffit de combiner les lemmes 2.5 et 1.2. tu Définition 2.7 On définitL^p :=L^p/∼l’espace des classes d’équivalence pour la relation d’équi- valence “égalité presque partout”, de sorte que l’espaceL^p est un espace de Banach.

3 Les espaces L

et L

Définition 3.1 On définit L^∞ l’ensemble des fonctions f à valeurs réelles telles que |f| ≤ C presque partout pour un certainC≥0. On définit

kfk∞=supess|f|:= inf{C; |f(x)| ≤C ∀x∈A, µ(A^c) = 0}.

Présentons quelques propriétés élémentaires : (1)|f| ≤ kfk∞ p.p pour toutf ∈ L^∞, puisque

µ({|f|>kfk∞}) = limµ({|f| ≥ kfk∞+ 1/n}) = 0.

(2)kf+gk_∞≤ kfk_∞+kgk_∞ pour toutf, g∈ L^∞, puisque

|f+g| ≤ |f|+|g| ≤ kfk_∞+kgk_∞ p.p..

(3)kf gk_∞≤ kfk_∞kgk₁ pour toutf ∈ L^∞, g∈ L¹, puisque Z

|f g|dµ= Z

A

|f g|dµ≤ kfk∞

Z

A

|g|dµ=kfk∞kgk1,

oùA∈A est tel que|f(x)| ≤ kfk_∞,∀x∈A,µ(A^c) = 0.

Théorème 3.2 (de Riesz-Fischer dans L^∞) L’espace L^∞ est un espace vectoriel complet au sens de la semi-norme k · k_∞.

Preuve du Théorème 3.2. Pourf, g∈ L^∞ etλ∈R, on obtient donc

|f+λg| ≤ kfk∞+|λ| kgk∞<∞ p.p.,

ce qui montre queL^∞est un espace vectoriel. Si(f_n)est une suite de Cauchy au sensL^∞, il existe clairementA∈A,µ(A^c) = 0tel que

∀ε∈Q^∗+, ∃N, ∀x∈A, ∀n, m≥N, |f_n(x)−f_n(x)|< ε.

On en déduit qu’il existef mesurable définie par f(x) = limf_n(x) six∈A,f(x) = 0 six /∈ A,

d’où on déduit f ∈ L^∞ ainsi quekfn−fk_∞→0. tu

Définition 3.3 On définitL^∞:=L^∞/∼l’espace des classes d’équivalence pour la relation d’équi- valence “égalité presque partout”, de sorte que l’espaceL^∞ est un espace de Banach.

4 Espace de Hilbert et dualité dans L

et L

Définition 4.1 Un espace de HilbertHest un espace vectoriel muni d’un produit scalaire (ou d’un produit hermitien) tel que c’est un espace de Banach pour la norme associée.

Exemple 4.2 L’espace L² muni du produit scalaire

(f, g)L²:=

Z

f g dµ, ∀f, g∈L²,

est un espace de Hilbert.

Théorème 4.3 (de projection) Soit M un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H. Il existe une applicationpM :H →C, appelée projection orthogonale surM, telle que

∀f ∈ H, kf−pMfk_H= inf

g∈Ckf−gk_H. (4.1)

Cette application est caractérisée par

(f−pMf, g)H= 0, ∀g∈M. (4.2)

Enfin,p_M est une application linéaire et1-Lipschitzienne.

Preuve du Théorème 4.3. •Considérons une suite(g_n)deM telle que kf −g_nk_H→I:= inf

g∈Ckf−gk_H. Par identité du parallélogramme, on a

1

2k2f −g_n−g_mk²_H+1

2kg_n−g_mk²_H=kf−g_nk²_H+kf −g_mk²_H. Par convexité deM, on en déduit

kgn−gmk²_H ≤2kf −gnk²_H+ 2kf −gmk²_H−4I²→0 lorsque n, m→ ∞.

La suite(gn)étant de Cauchy, elle converge vers une limite notéepMf ∈M, qui vérifie donc (4.1).

• Par définition et convexité deM, on a

kf−p_Mfk²_H≤ kf−(1−t)p_Mf−thk²_H, ∀h∈M, ∀t∈(0,1).

On fixeh∈M. En développant le terme de droite et après simplification, on a 0≤t(f−p_Mf, p_Mf−h)_H+t²kpMf−hk²_H, ∀t∈(0,1).

En divisant partet en passant à la limite t→0, on en déduit 0≤(f−pMf, pMf−h)_H. On conclut quepMf satisfait (4.2) en choisissantg:=±(pMf−h).

• Réciproquement, siu∈M vérifie

(f−u, g)_H= 0, ∀g∈M, alors pour touth∈M, on a

kf−hk²_H− kf−uk²_H=k(f −u) + (u−h)k²_H− kf−uk²_H=ku−hk²_H≥0.

Cela prouve bien queuest solution du problème de minimisation (4.1).

• Siu1et u2∈M satisfont

(f −u1, g)_H= 0, (f−u2, g)_H= 0, ∀g∈M,

alors en particulier en prenantg=u₂−u1dans la première inégalité etg=u₁−u2dans la seconde inégalité, il vient

ku2−u1k²_H = (f−u1, u2−u1)_H+ (u2−f, u2−u1)_H= 0.

Cela prouveu1=u2 et l’unicité de la projection surM.

• Pourf1, f2∈ Hetλ∈R, on a

(f₁−p_Mf₁, g)_H= 0, (f₂−p_Mf₂, g)_H= 0, ∀g∈M, soit donc

(f1+λf2−(pMf1+λpMf2), g)_H= 0, ∀g∈M.

Cela étant une caractérisation depM(f1+λf2), on a démontré la linéarité depM.

• Pourf ∈ Het en choisissantg:=pMf dans (4.2), il vient

kpMfk²_H−(f, p_Mf)_H= (p_Mf−f, p_Mf)_H= 0 et donc

kpMfk²_H= (f, pMf)_H≤ kfk_HkpMfk_H.

On en déduit immédiatement quepM est1-Lipschitzienne. tu

Définition 4.4 Soit X un espace vectoriel normé. On appelle dual de X, on note X⁰, l’espace vectoriel normé des formes linéaires continues surX. Ainsi,ϕ∈X⁰, siϕ:X →Rest linéaire et

∃C≥0, ∀f ∈X, |ϕ(f)| ≤CkfkX. (4.3)

La norme surX⁰ est la norme d’opérateur définie par

kϕkX⁰ := inf{C≥0 satisfaisant (4.3)}= sup

f∈X\{0}

ϕ(f) kfkX

.

Exemples 4.5 Pourp∈[1,∞] etg∈ L^p0, l’application f 7→

Z f g dµ est une forme linéaire continue surL^p, sot doncL^p0⊂(L^p)⁰.

Théorème 4.6 (de représentation de Riesz - version abstraite) Etant donné un espace de HilbertH, on peut identifier le dual deHavec H, soit doncH⁰=H. Plus précisément, siϕ∈ H⁰, il existe un unique vecteur u∈ H tel que

ϕ(g) = (u, g)_H, ∀g∈ H.

Preuve du Théorème 4.6. PosonsM :=ϕ⁻¹(0)qui est un sev fermé deH. SiM =Halorsϕ= 0 et on peut prendre u= 0. Dans le cas contraire, il existe f0 ∈ H tel que ϕ(f0)6= 0. En posant f := (p_Mf₀−f₀)/kpMf₀−f₀kH, on a donc

f /∈M, kfk_H= 1, (f, w) = 0, ∀w∈M.

Toutg∈ Hadmet une décompositiong=λf+w,λ∈R,w∈M, en posant λ:= ϕ(g)

ϕ(f), w:=g−λf, de sorte que

ϕ(w) =ϕ(g)−λϕ(f) = 0, doncw∈M.

En posantu:=ϕ(f)f, on en déduit

(u, g)_H =ϕ(f)(f, λf+w) =ϕ(f)λkfk²_H=ϕ(g),

pour toutg∈ H. C’était la relation souhaitée. L’unicité deuest immédiate. tu Théorème 4.7 (de représentation de Riesz - version L²) L’espace L² est (presque) un es- pace de Hilbert lorsqu’il est muni du (presque) produit scalaire

∀f, g∈ L², (f, g)_L2 :=

Z f g dµ,

le “presque” provenant du fait que cette forme bilinéaire ne définit qu’une semi-norme. Le dual de l’espaceL²s’identifie donc avec l’espaceL²lui-même. Soyons plus précis et considérons une forme linéaire et continue ϕsurL² au sens où ϕ:L²(µ)→Rest linéaire et

∃C∈R+, ∀g∈ L², |ϕ(g)| ≤Ckgk2.

Alors, il existef ∈ L², unique (à une modification sur un ensemble négligeable près), telle que

∀g∈ L², ϕ(g) = Z

f g dµ.

Preuve du Théorème 4.7. Il suffit de remarquer que le Théorème 4.6 s’applique sauf concernant le caractère unique (au sens strict) de vecteur représentant f. Une façon rigoureuse de procéder est de faire la preuve dansL²qui est un espace de Hilbert et de choisir un représentant f dans la classe de fonctions obtenues grâce à l’application du Théorème 4.6 de Riesz. tu

5 Théorème de Radon-Nikodym

Définition 5.1 Soitpune fonction positive mesurable. La fonction d’ensemblesν:A →[0,+∞], notéeν =p µet définie par

ν(A) = Z

A

p(x)dµ(x), ∀A∈A,

est une mesure (utiliser le Théorème de convergence monotone de Beppo Levi), appelée mesure de densité (ou de poids)ppar rapport à la mesure µ. On dit alors queν est de baseµ.

Définition 5.2 Soient(E,A)un espace mesurable et deux mesuresµ, ν. On dit queν est absolu- ment continue par rapport à la mesureµ, on note ν << µ, si tout ensemble négligeable pourµest négligeable pour ν, ou en d’autres termes

(A∈A, µ(A) = 0) ⇒ ν(A) = 0.

Théorème 5.3 (de Radon-Nikodym) Soientµetν deux mesuresσ-finies sur un même espace mesurable(E,A)(pour une même suite croissante(E_n)deE). On aνest de baseµsi, et seulement si, ν est absolument continue par rapport à la mesure µ.

Preuve du Théorème 5.3. L’implication (ν est de baseµ) entraine (ν est absolument continue par rapport à la mesureµ) est claire. Nous montrons l’implication réciproque, et cela uniquement dans le casµ(E)<∞etν(E)<∞, l’extension au cas de mesuresσ-finies est laissée au soin du lecteur.

On poseσ=µ+ν, de sorteL²(σ) =L²(µ)∩L²(ν). L’application L²(σ)→R; f 7→

Z

E

f dν

est linéaire et continue. D’après le théorème de représentation de Riesz, il existeg∈ L²(σ)tel que Z

E

f dν= Z

E

f g dσ, ∀f ∈L²(σ). (5.1)

On ag∈[0,1]µ-p.p. puisque dans le cas contraire, on aurait ou bienσ(A)>0pourA:={g≤ −ε}, ε >0assez petit, et donc

Z

A

dν = Z

A

g dσ≤ −εσ(A)<0,

ce qui est absurde, ou bienµ(B)>0pourB :={g≥1 +ε},ε >0assez petit, et donc Z

B

dν= Z

B

g dσ ≥(1 +ε)Z

B

dν+ Z

B

dµ

>0,

ce qui est également absurde. Quitte à modifiergsur un ensembleµ-négligeable, on peut supposer g(x)∈[0,1]pour tout x∈E, ce que l’on fait désormais. On en déduit que ν =g σ =g(µ+ν), soit donc(1−g)ν =gµ. Le dernier argument montre également queg <1 ν-p.p. puisque dans le cas contraire on auraitν(C)>0 pourC:={g≥1}, donc égalementµ(C)>0, et enfin

Z

C

dν= Z

C

g dσ≥ Z

C

dν+ Z

C

dµ >

Z

C

dν,

ce qui est absurde. En conclusion, on a

ν= g

1−gµ, (5.2)

etνest de baseµ.Plus précisément, pour justifier (5.2), on part de (5.1), qui implique évidemment Z

E

h(1−g)dν = Z

E

h g dµ, ∀h∈ M+,

et on choisith:=f /(1−g)∈ M+ pour toutf ∈ M+. tu

Définition 5.4 Soient(E,A) un espace mesurable et deux mesuresµ, ν. On dit que ν et ν sont étrangères, on noteν ⊥µ, si

∃F ∈A, µ(F) = 0, ν(F^c) = 0.

Théorème 5.5 (de Radon-Nikodym (suite)) Soientµetνdeux mesuresσ-finies sur un même espace mesurable(E,A). Il existe un unique couple (νa, νs) de mesures surA tel que

(i)ν =νa+νs; (ii) νa << µ,νs⊥µ.

Preuve du Théorème 5.5. On ne traite que le cas de mesures finies. On reprend la démonstration du Théorème 5.3 et les notations introduites dans la preuve de celui-ci. Le début de la preuve du Théorème 5.3 montre qu’il existeg∈ L²(σ)tel que ν=g(µ+ν)et0≤g≤1(après modification éventuelle sur un ensemble négligeable pour la mesureµ+ν). On en déduit

Z

f dν= Z

f g dµ+ Z

f g dν

pour toute fonctionf ∈ L²(σ). En particulier, pour toute fonctionf bornée, on a Z

f(1−g)dν= Z

f g dµ, (5.3)

et cela est encore vraie pour toute fonctionf mesurable et positive, grâce au théorème de conver- gence monotone. On définitF :={x∈E;g(x) = 1},ν^s:=ν1_F etν^a :=ν1_Fc, de sorte que (i) est vérifié et ν^s(F^c) = 0. En choisissantf :=1_F dans (5.3), on a donc

µ(F) = Z

1Fg dµ= Z

1F(1−g)dν= 0,

de sorte que ν_s⊥µ. En choisissantf := (1−g)⁻¹ 1_Fc 1_A, A∈A, dans (5.3), il vient ν^a(A) =

Z

f(1−g)dν= Z

A

g

1−g1F^c dµ,

de sorte que clairementν^a<< µ. tu