Sur les lois constitutives des matériaux thermoélastiques hétérogènes

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hétérogènes

Manuel Buisson

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Manuel Buisson. Sur les lois constitutives des matériaux thermoélastiques hétérogènes. Autre. Uni-versité Paul Verlaine - Metz, 1984. Français. �NNT : 1984METZ003S�. �tel-01775662�

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3 m e c Y c L E

D'ENSEI GNEI,IENT SUPERI EUR A n n é e I 9 8 4

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TI{ÈSr

P R E S E N T E E A

L'UNIVERSITE

DE

P O U R L ' O B T E N T I O N D U D I P L O M E D E E U R I"TANUEL BUISSON S u r I e s I o i s c o n s t i tu t i v e s d e s m a t é r i a u x th e r m o é l a s t i q u e s h é t é r o g è n e s

Sctulenue I-e 1 3 d'ecenbne I g 84 , dzvani, Ia Commisaion d, M . Z A O U I , P r o f e s s e u r à I ' U n i v e r s i t é d e p A R I S - N O R D M . B E R V E I L L E R _{, P r o f e s s e u r}_{à I ' U n i v e r s i t é d e M E T Z} M . B R U N , P r o f e s s e u r à I ' E c o l e p o l y t e c h n i q u e M . M O L I N A R I _{, P r o f e s s e u r}_{à l ' U n i v e r s i t é d e M E T Z} M . S U Q U T T , P r o f e s s e u r à I ' U n i v e r s i t é d e M O N T p E L L I E R . D 0 c E N M T E U R E C A - I N N I O U P A R G E N I E Examzn : P r é s i d e n t M e m b r e s

9E4æêS T

s/r$ ttf 31

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rme.u

tc\nc.r1fr:

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d e v a n È M o n s i e u r l e P r o f e s s e u r A . Z A O U I d e 1 ' U n i v e r s i t é d e P A R I S - N O R D . J e l e r e m e r c i e v i v e m e n t d ' ê t r e à l a p r é s i d e n c e d e c e j u . y . J e t i e n s à t é m o i g n e r d e m a r e c o n n a i s s a n c e e t d e m o n p r o f o n d r e s p e c t à M o n s i e u r l e P r o f e s s e u r B R U N d e 1 ' E c o l e P o l y t e c h n i q u e . J e l e r e m e r c i e d e b i e n v o u l o i r a s s u m e r l a c â c h e d e r a n D o r t e u r . J t a d r e s s e a v e c e n È h o u s i a s m e e Ë r e s p e c E m e s t r è s s i n c è r e s r e m e r c r e -m e n c s à M o n s i e u r L e P r o f e s s e u r S U Q U E T ' d e 1 ' U n i v e r s i t é d e M O N T P E L L I E R , d t a c c e p t e r d t ê t r e e x a m i n a t e u r . C e È Ë e é t u d e a é t é e f f e c t u é e a u s e i n 1 u L a b o r a t o i r e d e P h y s i q u e e t M é c a n i q u e d e s M a t é r i a u x d e I ' U n i v e r s i t é d e \ 4 E T Z . J e n e r e m e r c i e r a i j a m a i s a s s e z M o n s i e u r 1 e P r o f e s s e u r A . M O L T N A R I p o u r 1 ' e n c a d r e m e n È d e c e t E e t h è s e e È l a f o r m a E i o n à l a r e c h e r c h e q u t i l m t a a p p o r t é e , a i n s i q u e M o n s i e u r l e P r o f e s s e u r M . B E R V E I L L E R , d i r e c t e u r d u l a b o r a t o i r e , p o u r l e s c o n s e i l s , e n s e i g n e m e n t s e t e n c o u r a g e m e n E s q u ' i 1 m t a p r o d i g u é s .

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. D u r a n E c e s d e u x a n n é e s o a s s i o n n a n t e s , j ' a i r e s s e n t i g u e l a m é c a n i q u e e s t u n e s c i e n c e r i c h e j o u a n t à l a f o i s d e f i n t u i t i o n e t d e 1 ' o b s e r v a t i o n d u o h y s i c i e n e t d e l a r i g u e u r d u m a t h é m a t i c i e n ' J ' a i é g a l e m e n t b é n é f i c i é d u c l i m a E s c i e n t i f i g u e d e 1 ' é q u i p e d e s e n s e i -g n a n t s c h e r c h e u r s d u l a b o r a t o i r e : M e l l e B R U L E , M e s s i e u r s B E R A D A I , B E I T Z ' C A N O V A , C A R M A S O L , D O M I N I A K , D U D Z I N S K I , E B E R H A R D T , F R E S S E N G E A S ' G U I B E R T ' L I P I N S K I , R E M Y - V I N C E N T , S E R O - G U I L L A U M E , W I E R Z B A N O I { S K I , a i n s i q u e M o n s i e u r A . H I H I d e l r U n i v e r s i t é d e R A B A T . J ' a d r e s s e a u s s i d e s r e m e r c i e m e n t s a m i c a u x a u x é t u d i a n t s d e D E A e t d e t h è s e , M e s s i e u r s A H Z I , B A S S O U T - L E L L I C H , B E N S A L A H ' B O U A O U I N E , E C H M B I , E L I " I A J D O U B I , P A T O O R e t T I E M ' J e r e n e r c i e é g a l e m e n t . 1 e s e r v i c e d e d o c u m e n t a t i o n d e I ' U n i v e r s i t é d e M E T Z , e t I t t n e M A R C E L E T , M e s s i e u r s M O L L e t B I L O C Q , p o u r a v o i r a s s u r é l r e x i s t e n c e m a t é r i e l l e d e c e t r a v a i l : 1 e s i d é e s n a i s s e n t e t s e c r i s t a l -l i s e n t e n é c r i t s .

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D é d i c a c e R e m e r c ' i e m e n t s I NTRODUCTI ON C H A P I T R E I T h e r m o é l a s t i c i t é e t m i l e u h é t é r o g è n e A s p e c t s t a t i q u e E L A S T I C I T E A N E L A S T I C I T E - C O N D I T I O N D E C O U P L A G E L ' E F F E T T H E R M O E L A S T I Q U E - P R T S E N T A T I O N T H E R M O E L A S T I C I T E 4 . L . P r é s e n t a t i o n g é n é r a 1 e 4 . 2 F o r m u l a t i o n 4 . 3 F o r m u l a t i o n d u a l e 4 . 4 I n t e r p r é t a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s - R é s u m é T H T R M O E L A S T O S T A T I _{Q U E} 5 . 1 L o i d e c o m p o r t e m e n t m a c r o s c o p i q u e C o e f f i c i e n t s e f f e c t i f s 5 . 2 L o ' i s lo c a l e s 5 . 3 T e n s e u r c o n c e n t r a t i o n - D é f i n i t i o n E Q U A T I O N S I N T E G R A L E S E T P R O B L I M T S D ' I N C L U S I O N S 6 . 1 F o r m u l a t ' i o n 6 . 2 M j l i e u g r a n u l a ' i r e 6 . 3 P r o b l è m e d ' i n c l u s i o n ( E s h e ' l b y ) L E S C H E Î v | A S E L F - C O N S I S T E N T 7 . L C a r a c t é r i s a t i o n E Q U A T I 0 N L . S . D P R I N C I P E S D ' E N E R G I E M I L I E U B I P H A S E H O M O G E N E I S A T I O N _{D E S M I L I E U X P E R I O D I Q U E S} 1 ) t ) ? \ 4 ) 6 7 7 B 9 1 3 1 3 1 6 1 B 1 9 2 4 2 6 ( Y 3 3 3 6 4 0 -- 4 1 4 2 -6 ) 7 ) R . \ q \ 1 0 ) 1 1 ) C H A P I T R E I I C o n d u c t i o n _{d e l a c h a l e u r} E f f e t d i s s i p a t i f e t e f f e t v i s c o é l a s t i q u e 1 ) F O R M E I N T E G R A L E _{D E L ' E Q U A T I O N}_{D E L A C H A L E U R} 2 ) R E C H E R C H E D E L A S O L U T I O N E L I M E N T A I R E _{D E L A C H A L E U R} 3 ) T H E R M 0 E L A S T T C I T E T R A N S T T 0 I R E 4 ) M I L I E U G R A N U L A I R E 4 4 -- - 48 5 1 48 5 3

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-t H Â r f t R [ C H A P I T R i I V 1 ) t \ L J CONC LUS I ON ANNE X E ! i i _{I x e m p 1}_{e n i o}r i o , . i _{i m e n s}_{i i : n r ' e l} i I F r-LiDË 1 . 1 L ' é f , u d e d r : l e n e l I . 2 E t u C e r j f l n { ) d j r n r n s i o n n e l l e ? ' ; l ' - R E S E N T A T I 0 N D t ! . ' f ' ; i ' { A l i T ï L L û N 3 ) i:_QUATI0NS . i J L ] I S S I P A T I O N 4 . I E n t r o p ; e : 4 . 2 L i n é a r i s a t j o n a n n e x e i e X p r e s s i o n d e l ' i n d i c e a i i ii i . r . ; , . , - ' i r ê 5 ) R E P 0 N S E S V T S C 0 E L A S T T Q t J E S 5 . 1 C c n : p 1 i a n c e s l o c a l e s i n s t a n t a n è e e t r e l a x é e 5 . 2 M é t h o d e u e p e r t u r b a t i o n d i r e c t e 5 . 2 . a ) R é p o n s e à u n é c h e l o n d e c o n t r a i n t e 5 . 2 . b ) Ë s s , : i d e c o n t r a i n t e c y c l iq u e 5 . 3 M é t h o d e d e r Ë : s o l u t i o n p a r s é r i e d e F o u r i e r C O H E R E N C E D E S R E S U L T A T S 6 . i E s s a i q u a s i s t a t i q u e 6 . 2 E s s a i c y c l i q u e L - N E R G I E D I S S I P E Ë 7 . 1 D e s c r i p t i o n d u c y c l e c o n t r a i n t e - d é f o F m â u i ù i i 7 . 2 Q u a n t i t é d e c h a l e u r p r o d u i t e 7 . 3 E v a l u a t ' i o n d e I a s o l u t ' i o n a p p r o c h é e 7 . 4 F r o t t e m e n t i n t e r n e 7 . 5 M e s u r e d e l a d i s s i p a t i o n A n n e x e I l I u s t r a t i o n n u m é r i q u e L A M E T H O D E D E C R A N K - N I C H O L S O N E S S A I _{Q U A S I S T A T I Q U E} 2 . 1 P r o b l è r n e n u m é r i q u e 2 . 2 C h o i x d u n o m b r e d e n o e u d s 2 . 3 C o m p a r a i s o n a v e c l a m é t h o d e d e p e r t u r b a t i o n E S S A I C Y C L I Q U E 3 . 1 P r o b l è m e n u m é r i q u e 3 . 2 G r a p h i q u e s 3 . 3 L e c y c l e c o n t r a i n t e - d é f o r m a t i o n V i s c o ê l a s t i c i t é T h e r m o é l a s t i c i t é C o n d u c t i o n d e l a c h a l e u r C a l c u l s d u c h a p i t r e I I I , '..r , t r ô n r r r ; ; ' , r . 7 R -- . $ t i i ; 5 3 . -. 6 3 " t i i + 6 6 -- 6 7 --7 B--7 9-- 80". - 8 2 : 8 3 8 5 8 8 9 4 1 0 0 1 0 3 1 0 3 i 0 4 " : t 0 5 t 0 6 -1 0 6 . 6 ) 7 ) 3 ) 1 1 0 A 1 -- - A4- AT2 4 2 0 AT2 -B I -B L I O G R A P H I E

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2

L e c h a m p d ' a p p l i c a t i o n d e s m a t é r i a u x c o m p o s i t e s c o n n a î t d e p u i s q u e l q u e s a n n é e s u n d é v e l o p p e m e n t i m p o r t a n t à e n j u g e r p a r l e u r s u s a g e s i n d u s t r i e l s f r é q u e n t s et par Ies activités nombreuses d e s I a b o r a t o ' i r e s d e r e c h e r c h e . S a n s n é g ' l i g e r 1 ' e m p ' l o i d e s m i l i e u x n a t u r e ' l s , a n i s o t r o p e s c o m m e l e b o i s o u h é t é r o g è n e s c o m m e l e s r o c h e s , o n p r o d u i t e n e f f e t d e p ' l u s en plus de nouveaux m a t é r i a u x t e l s q u e l e s s t r u c t u r e s r e n f o r c é e s d e f i b r e s , l e s l a m ' i n é s . . . I l e s t e n e f f e t m o t i v a n t d e n e r e t e n i r q u e l e s q u a l i t é s d e s c o n s t ' i t u a n t s e t d ' a n n i h i l e r l e u r s d é f a u t s . S i l e p r i n c i p e e s t p o s é , il r e s t e c e p e n d a n t d e n o m b r e u s e s d ' i f f i c u l t é s d ' o r d r e t e c h n o l o g i q u e d a n s la m i s e e n o e u v r e e t a u s s ' i d ' o r d r e t h é o r i q u e . D e p l u s , l e s c o n d i t i o n s d ' e m p l o i d u m a t é r i a u c o m p o s ' i t e s o n t d e p l u s e n p l u s v a r i é e s e t s é v è -r e s : o u t -r e l a n é c e s s i t é de bien connaît-re son compo-rtement à t e m p é r a -a m b ' i -a n t e , o n l e s o u m e t d a n s d e n o m b r e u x c a s à d e s s o l l i c i t a t i o n s rhermi-q u e s (t u y è r e d ' u n e fu s é e , a i l e t t e s d ' u n t u r b o c o m p r e s s e u r . . . ) E n p r e m i e r 1 i e u , ' l 'i n g é n i e u r u t i l i s e l e s p r o p r i é t é s e f f e c t ' i v e s d u m a t é r ' i a u : i l l e c o n s i d è r e c o m m e u n m i l i e u h o m o g è n e . M a i s c e t t e a n a -l o g ' i e d e c o r n p o r t e m e n t d e m a n d e p l u s d e p r é c i s i o n àu-delà de certaines c o n d i t i o n s d e s o l I i c ' i t a t i o n . I I f a u t a l o r s t e n i r c o m p t e d e s a c o n f i g u -r a t i o n h é t é -r o g è n e . P r e n o n s p a r e x e m p ' l e l e c a s d ' u n m a t é r i a u h o m o g è n e ' i s o t r o p e _{u n i f o r m é m e n t}_{c h a u f f é d e f o r m e g é o m é t r i q u e} s i m p l e e t à f r o n t i è r e l i b r e . 0 n o b s e r v e u n e d ' i l a t a t i o n u n i f ô r m e e t â c o n t r a i n t e n u l l e . P a r c o n t r e , s i I e m ' i I i e u e s t h é t é r o g è n e , c e r t a i n e s p a r t i e s s e d i 1 a t e n t p ' l u s q u e d ' a u t r e s e n g e n d r a n t a ' i n s i î e s c o n t r a i n t e s ' t h e r m i q u e s q u i p e u v e n t c o n d u i r e à u n e p l a s t i f i c a t i o n o u à u n e ru p t u r e lo c a l e . D a n s c e t r a v a i l , n o u s e x a m i n o n s 1 e s p r o p r i é t é s é l a s t i q u e s e t t h e r m i q u e s d ' u n m a t é r i a u h é t ê r o g è n e : e n r e s t a n t d a n s 1 e c a d r e d e l a m é c a n i q u e d e s m i l i e u x c o n t i n u s , n o u s nous intéressons à un phênomène t h e r m o m é c a n i q u e p r o p r e à l ' e x i s t e n c e m ê m e d e ' l ' h é t é r o g é n é ' i t é . I l s ' a g i t d ' é t u d i e r 1 a d i s s i p a t i o n t h e r m i q u e e t l e s p h é n o m è n e s d e r e l a x a t ' i o n - d e n a t u r e v ' i s c o é l a s t i q u e e n g e n d r é s p a r I ' acti on i n si tu de I a conduct'ion d e l a c h a l e u r . E n e f f e t , s o u s l ' a c t i o n d ' u n c h a r g e m e n t m é c a n i q u e o u t h e r m i q u e , 'i l s e c r e e l o c a l e m e n t d e s g r a d i e n t s de température p o u r l e s q u e l s l ' h é t é r o g é n é i t é a p p o r t e s a p r o p r e c o n t r i b u t i o n . L ' e x i s t e n c e d e s c o u r a n t s th e r m i q u e s i n t e r n e s , q u i r é s u l t e n t de ces fluctuations de tem-p é r a t u r e , tem-p r o v o q u e _{a l o r s p a r i r r é v e r s i b i l ' i t ê t h e r m i q u e}_{u n e d i s s i p a t i o n} d ' é n e r g i e e t p a r c o u p ' l a g e t h e r m o m é c a n i q u e u n e r e l a x a t i o n d e s v a r i a b l e s d é f i n i s s a n t l' é t a t d u m a t é r i a u .

C e t t e é t u d e s ' a r t i c u l e e n q u a t r e c h a p ' i t r e s :

Le problème qui nous concerne, où nous nêg.ligeons les .phénomè-n e s d ' ' i .phénomè-n e r t i e e t o ù l e s t r o ' i s v a r i a b l e s u t i l i s ê e s : l a c o .phénomè-n t r a i .phénomè-n t e , 1 a d é f o r m a t i o n e t 1 a t e m p é r a t u r e v é r i f i e n t ' l e s h y p o t h è s e s d e s p e t i t e s p e r -t u r b a -t i o n s , s o r -t d u c a d r e d e l ' é l a s -t i c i -t é l i n é a i r e e -t e s -t u n e x e m p ' l e p a r t i c u l i e r d ' a n é l a s t i c i t ê . I l s ' a g i t d e l ' e f f e t t h e r m o é l a s t ' i q u e q u e n o u s m o d é l i s o n s à I ' a i d e d e s é q u a t i o n s l o c a l e s d e l a t h e r m o é l a s t i c i t ê l i n é a i r e c o u p ' l é e n o n d y n a m i q u e ( c h a p i t r e premier). Nous insistons tout d ' a b o r d s u r l a t h e r m o é l a s t o s t a t i q u e ( e l l e n e t i e n t p a s c o m p t e d e l a l o i d ' é v o l u t i o n d e l a température) q u i d é c r i t l e champ d e s c o n t r a i n t e s , d e s températures et des déformations à un instant donné. Nous examinons suc-c e s s i v e m e n t l a f o r m u l a t i o n i n t é g r a l e d u p r o b l è m e e t 1 ' a p p r o x i m a t i o n f a i t e p o u r u n m i l i e u g r a n u l a i r e d o n t l e f o r . m a l i s m e p e u t d ' a i l l e u r s s e r e t r o u v e r e n c o n s i d é r a n t ' l e s p r o b l è m e s d ' i n c l u s ' i o n s d r E s h e l b y . D a n s l e

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b u t d e c o n n a î t r e 1 e c o m p o r t e m e n t g l o b a l e t l o c a l d u m a t é r i a u , n o u s ré s u -m o n s le s d i f f é r e n t e s -m é t h o d e s d e r é s o l u t i o n s q u i d o n n e n t u n e s o l u t ' i o n a p p r o c h é e d e s é q u a t i o n s i n t é g r a l e s ( M ê t h o d e L . S . D . , M é t h o d e s S e l f . C o n -s i -s t e n t e -s p o u r 1 e -s m a t é r i a u x p a r f a ' i t e m e n t d é s o r d o n n é s v é r i f i a n t l e s h y -p o t h è s e s d e m a c r o h o m o g é n é i t é d e H i l l ; Méthode d ' H o m o g é n é i s a t i o n d e s m i l i e u x m i c r o h é t é r o g è n e s p é r ' i o d i q u e s ) o u u n e n c a d r e m e n t d e s p r o p r i é t ê s e f f e c t i v e s d u m a t é r i a u ( P r i n c ' i p e s d ' é n e r g ' i e ) . D a n s l e c h a p i t r e d e u x i è m e , n o u s é t u d i o n s l ' ê v o l u t i o n d e s c h a m p s d e c o n t r a i n t e , d é f o r m a t i o n e t t e m p é r a t u r e ( t h e r m o é l a s t i c ' i t é t r a n -s i t o ' i r e ) . N o u -s ê c r i v o n -s 1 ' ê q u a t i o n d e l a c h a l e u r s o u s fo r m e in t é g r a l e e t n o u s p r o p o s o n s u n e ré s o l u t i o n a p p r o c h é e p a r 1 ' a p p r o x i m a t i o n d u m i l i e u g r a n u l a i r e . L a s o l u t ' i o n a i n s i d ê d u i t e p r é c i s e p l u s c l a i r e m e n t e t d e f a -çon qual i tati ve I ' aspect d'i ss'ipati f et v'i scoél asti que du comportement .

L e s f o r m a l i s m e s e m p l o y é s s o n t c e p e n d a n t c o m p l e x e s e t p o u r p a s -s e r à u n e é t u d e q u a n t i t a t i v e p e r m e t t a n t d ' é v a l u e r f i m p o r t a n c e d e c e s e f f e t s , n o u s tr a i t o n s d a n s 1 e c h a p ' i t r e s u i v a n t d ' u n p r o b l è m e u n i d i m e n -s i o n n e l . L ' é t u d e f o n d a m e n t a l e d e Z e n e r n o u s c o n f i r m e p o u r u n r n i l i e u h o -m o g è n e q u e l ' e f f e t t h e r m o é l a s t i q u e e n g e n d r e u n p h ê n o m è n e d e d i s s i p a t i o n d 'é n e r g ' i e e t d e r e l a x a t i o n v i s c o é l a s t ' i q u e . I l e n v a d e m ê m e p o u r u n m a t é r i a u h é t é r o g è n e ( n o u s é t u d ' i o n s l e c a s d ' u n é c h a n t i l l o n m o n o d i m e n -s i o n n e l c o n t i n û m e n t h é t é r o g è n e ) m a i s l e f o r m a l i s m e s e c o m p f i q u e : l e s é q u a t i o n s a u x d é r i v é e s p a r t i e l i e s s o n t à c o e f f i c i e n t s d é p e n d a n t d e l a p o s ' i t i o n . N o u s p o u v o n s c e p e n d a n t l e s r é s o u d r e e n l e s l i n é a r i s a n t a p r è s a v o i r a u p r é a l a b l e m o n t r ê q u e c e t t e l i n é a r i s a t i o n n e m a s q u e p a s 1 ' e f f e t t h e r m o é l a s t i q u e : - nous modèlisons p a r d i f f é r e n t e s m é t h o d e s , d o n t n o u s v é r i -f i o n s l a c o h é r e n c e , 1 e s r ê p o n s e s v i s c o é l a s t i q u e s d u m a t é r i a u , l o r s q u ' i 1 e s t s o u m i s à d e u x ty p e s d i f f é r e n t s d ' e s s a ' i s e n c o n t r a i n t e ( e s s a i d e f l u -a g e e t e s s -a i d e f r o i t e m e n t in t e r n e ) , - n o u s c a l c u l o n s u n e m e s u r e c a r a c t é r ' i s t i q u e d e 1 ' ê n e r g i e d ' i s -s i p é e e n g e n d r é e p a r 1 ' a c t i o n d e l a c o n d u c t i o n d e l a c h a l e u r . A u c o u r s d e c e c h a p i t r e , n o u s a v o n s le s o u c i s c o n s t a n t d e m o n t r e r q u ' u n m a t é r i a u h ê t é r o g è n e , o b é i s s a n t a u x l o i s l o c a l e s d e l a t h e r m o é l a s t i c i t é s e c o m p o r t e g l o b a l e m e n t c o m m e u n m a t é r i a u v i s c o é l a s t i -q u e ( p h é n o m è n e s d e r e l a x a t i o n , d i s s i p a t i o n d e l ' é n e r g i e ) . P o u r c o m p l é t e r a l o r s l a c o n f r o n t a t i o n d e s d e u x p o i n t s d e v u e , l ' u n t h e r m o ê l a s t ' i q u e e t 1 ' a u t r e v i s c o ê l a s t i q u e , n o u s p r o p o s o n s d a n s le d e r n i e r c h a p ' i t r e u n e il -l u s t a t i o n n u m é r i q u e s ' i m u l a n t l e s r é p o n s e s d u m a t ê r i a u s o u m i s à u n e s s a i d e f l u a g e o u d e f r o t t e m e n t in t e r n e . P o u r s i m u l e r l a r é p o n s e d u m a t é r i a u , n o u s d i s c r é t i s o n s le s é q u a t i o n s a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s . P o u r le s d e u x e s s a i s , o u t r e l ' i l -l u s t r a t i o n q u ' e ' -l ' -l e p r o p o s e , -l' é t u d e n u m é r i q u e p e r m e t d e c o n t r ô l e r l a c o n v e r g e n c e d ' u n e m é t h o d e d e r ê s o l u t i o n a n a l y t i q u e e m p l o y é e d a n s le c h a -p i t r e t r o ' i s i è m e (m é t h o d e d e p e r t u r b a t i o n d i r e c t e ) . D e p l u s , p o u r 1 e s e s -s a i -s d e f r o t t e m e n t i n t e r n e -s o u -s c o n t r a i n t e -s p é r i o d i q u e -s d e p u l -s a t i o n -s d i f f é r e n t e s , n o u s v é r i f i o n s q u e l e s d e u x m é t h o d e s f o u r n i s s e n t d e s c o u r -b e s r e p r é s e n t a n t l ' é n e r g i e d i s s i p é e e n f o n c t i o n d e l a p u l s a t i o n a y a n t l a m ê m e a l l u r e e t q u e le m a x i m u m d e d i s s i p a t i o n s e p r o d u i t p o u r u n e fr ê -q u e n c e i d e n t ' i q u e .

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C H A P I T R E

PRESENTATION DU PROBLEI,IE

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H o o k e a m ' i s e n é v i d e n c e à l a f i n d u X V I I i è m e s i è c l e l a n o t i o n d 'é l a s t i c ' i t é s e l o n 1 a q u e l ' l e u n c o r p s s e d é f o r m e p r o p o r t i o n n e l I e m e n t à l a f o r c e q u i l u i e s t a p p l i q u é e . C e t t e d é f i n i t i o n t r è s s o m m a i r e d e l ' é l a s t i c i t é l ' i n é a ' i r e s ' é c r i t p o u r u n s o l i d e i s o t r o p e s u i v a n t l a l o ' i d e H o o k e a v e c la c o n v e n t i o n h a b i t u e l l e d e s o m m a t i o n s u r l ' ' i n d i c e ( l a t ' i n u n i q u e m e n t ) r é p é t é : { i : à b i j € t f . * ? ; l € , j o ù o i 5 e s t e i 5 e s t I r e t u s o n t I e s c o e f f i c ' i e n t s d 'é l a s t ' i c i té d e L a m é . 6 4 ; ê s t l ' ' i n d i c e d e K r o n e c k e r : r J ô i i = I _{r r J} s i i = j ô i i = 0 r r J s i ' i I j V a l a b l e s o u s I e s h y p o t h è s e s d e I i n é a r i t é e t d e q u a s ' i s t a t ' i s m e q u e n o u s p r é c i s e r o n s e t c o m p l è t e r o n s p o u r ' n o t r e s u j e t d ' é t u d e a u p a r a -g r a p h e ( 3 ) , e l l e s e g é n ê r a f i s e p o u r le s m i l ' i e u x a n i s o t r o p e s e n u t i l i s a n t l e t e n s e u r d ' é l a s t i c i t é C i 5 p 1 s u i v a n t * :

{i = cij tt €gt

S e l o n c e t t e l o i d e c o m p o r t e m e n t a i n s i é n o n c é e , l ' é l a s t i c i t é a p p a r a î t c o m m e u n e r e l a t i o n l i n é a ' i r e b i u n i v o q u e e n t r e l a c o n t r a i n t e e t l a d é f o r m a t i o n d a n s la q u e l l e le t e m p s n ' ' i n t e r v i e n t p a s . Q u o i q u e s u f f i s a r m e n t p r é c i s e d a n s l a p ' l u p a r t d e s c a s p r a t i -q u e s , c e t t e théorie ne peut décrire par exemple 1 e p h é n o m è n e d e t r a ' i n a g e é1 asti que ( El asti sche Nachw'i rkung ) m'i s en évi dence par I'leber en I 825 l o r s d e l ' é t u d e d e s g a l v a n o m è t r e s .

I n t e r v i e n t a l o r s l a n o t i o n d ' a n é l a s t ' i c i t ê d a n s la q u e l l e , s a n s q u e l e solide ne présente de dêformation p e r m a n e n t e , l ' e f f o r t e t l a d é f o r m a t i o n n e s o n t p a s f o n c t i o n s u n i v o q u e s l ' u n e d e ' l ' a u t r e e t p e u v e n t , p a r e x e m p l e d a n s l e c a s d e s o l l i c i t a t i o n s p é r i o d i q u e s , p r ê s e n t e r u n c e r t a i n d é p h a s a g e l ' u n e p a r r a p p o r t à l ' a u t r e . l e l e t e n s e u r d e s c o n t r a ' i n t e s t e n s e u r d e s d é f o r m a t i o n s * N . B . : o n é c r i r a , " e n b r e f " : o = C e

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7 2 ) A N E L A S T I C I T E . CONDITION D E C O U P L A G E P o u r I' a n é l a s t i c i t é , p r é c i s é m e n t , l a l o i l i n é a i r e ' a = C € n ' e s t p l u s v a l a b l e . I 1 i n t e r v i e n t u n e ( o u d e s ) v a r i a b l e ( s ) a u x i l i a i r e ( s ) V l i é e ' ( s ) p a r C O U P L A G E , à l a f o ' i s à o m a i s a u s s i à e d e t e l l e s o r t e q u e ( ( ' t ) ) : , ' L , a p p 1 _{i c a t i o n d e}' l _{a c o n t r a i}_{n t e p r o d u i}_{t d ' u n e p a r t u n e d ê f}o r -m a t i ' o n é l a s t i q u e ' i nstantanée e t d ' a u t r e p a r t m o d i f i e u n e ( o u o e s ) v a r i a b l e ( s ) d é f i n i s s a n t 1 ' , é q u i l i b r e d u s y s t è m e q u i , d e f a i t , é v o l u e v e r s u n n o u v e l é t a t d ' é q u i l i b r e , c e t t e é v o l u t i o n e n t r a î n a n t u n e v a r i a t i o n d e 1 a d é f o r m a t i o n " . C e t t e j n t e r a c t i o n m u t u e l l e d ' i f f é r e n c i e 1 e c o m p o r t e m e n t d u m a -t ê r i a u p a r r a p p o r -t à u n m a -t é r i a u p u r e m e n t é l a s t i q u e - L e p h - é n o r n è n e d ' a n é -l a s t i c i t é r e p o s e e s s e n t i e -l -l e m e n t s u r I ' e x i s t e n c e d u c o u p l a g e e n t r e l e s v a r i a b l ê S o , e ê t V . 3 ) L ' E F F E T T H E R M O E L A S T I Q U E . P R E S E N T A T I O N P o u r 1 'é t u d e q u ' i n o u s p a r 1 a t e m p é r a t u r e l o c a l e . S o n c o n d u c t i o n d e l a c h a l e u r ( L o i d e S o u s u n e c e r t a i n e s o l l i c i t a t ' i o n e n c o n t r a i n t e ( r e s p d é f o r m a -t ' i o n ) , o n o b s e r v e , d ' u n e p a r t , u n e é l a s t i c ' i t é i n s t a n t a n é e a d i a b a t ' i q u e d u m a t é r i a u , e t d ' a u t r e p a r t , l a f o r m a t i o n d e g r a d i e n t s d e t e m p ê r a t u r e d i s p a r a i s s a n t s o u s 1 ' a c t i o n d e l a c o n d u c t i o n d e l a c h a l e u r . C e t t e u n i -f orin'i sat'ion de I a tempêrature provoque par coupl age une rel axat'ion de I a d é f o r m a t i o n ( re s p - c o n t r a i n t e ) . D a n s c e c a s , 1 e p h é n o m è n e d ' a n é l a s t i c i t é n ' e s t a u t r e f e t t h e r m o é l a s t i q u e . q u e 1 'e f -N o u s ra p p e l o n s e t c o m p l é t o n s a l o r s 1 e s h y p o t h è s e s é v o q u é e s a u p a r a g r a p h e ( l ) d e 1 ' é l a s t i c i t é e n p r é c i s a n t q u e : - n o u s n ê g ' l i g e o n s l e s p h é n o m è n e s d ' i n e r t i e . - n o u s n o u s p l a ç o n s d a n s le c a d r e d ' u n c o m p o r t e m e n t l i n é a i r e c o n t r a i n t e déformati on. - l , é t a t d e d é f o r m a t i o n d u s o l i d e é v o l u e d a n s le d o m a i n e p r é p l a s t i q u e ( p a s d e p l a s t i c i t ê ) . - n o u s n ' a t t r i b u o n s a u c u n e i n f l u e n c e d e l a t e m p é r a t u r e a b s o l u e T s u r 1 a v a l e u r d e s c o e f f i c ' i e n t s d ' ê l a s t i c i t é C i 3p'1 . c o n c e r n e , 1 a v a r i a b l e V e s t r e p r é s e n t ê e é v o l u t i o n e s t g o u v e r n é e p a r 1 a l o i d e l a F o u r i e r ) .

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C e s h y p o t h è s e s a s s e m b l é e s , d i t e s H y p o t h è s e s d e s P e t ' i t e s P e r -t u r b a -t i o n s ( H . P . P . ) i m p o s e n -t d e f a i r e s u b i r à l ' é c h a n -t i l l o n , s o u s l ' a c t i o n d ' u n e f o r c e a p p l i q u é e _{Q U A S I S T A T I Q U E M E N T ,}d e P E T I T E S D E F 0 R M A -T I O N S a c c o m p a g n é e s d e F A I B L E S E C A R T S e d e t e m p é r a t u r e p a r r a p p o r t à I a température de référence To.

E n r e s p e c t a n t l ' H . P . P . , n o u s s o m m e s a m e n ê s à u t i l i s e r 1 e s y s -t è m e d e s é q u a t i o n s d e l a T h e r m o é l a s t i c i t é l i n é a ' i r e C o u p l é e Q u a s i s t a t i q u e . 4 ) T H E R M 0 E L A S T I C I T E ( Q u a s ' i s t a t ' i q u e ) 4 . . | . P r é s e n t a t ' i o n G é n é r a l e : L a t h e r m o é l a s t ' i c i t é , c o m m e l a s t r u c t u r e d u m o t l' i n d i q u e , r é -s u l t e d e l a c o m b i n a i -s o n d e d e u x p h é n o m è n e s c a r a c t é r i s t i q u e s c o e x i s t a n t s d a n s le m a t ê r i a u : - l ' u n d e n a t u r e - é l a s t i q u e ; u n e p a r t i e d e l a d é f o r m a t i o n t o t a l e € e s t é l a s t i q u e e e . - l ' a u t r e d e n a t u r e th e r m i q u e _{; 1 a p a r t i e c o m p l é m e n t a i r e}d e l a d ê f o r m a -ti on él as-ti que esJ q1é_'l q{fqgg .,a. Par I i néari té :

€i = {i.1

I

o ù - l a lr o ( i 5 e s t l e t e n s e u r d é f o r m a t i o n r é s u l t e

d'i I atati on therm'ique 1 i bre.

d e l a s u p e r p o s ' i t ' i o n d e c e s d e u x c o m p o s a n t e s

-=;;-l

I

_)

(16)

9

- I a p r e m i è r e , re l a t i o n d e D u h a m e l - N e u m a n n , t r a d u i t I a r i g ' i d i t é é 1 a s t i -que clu-frâTffiau. Nous verrons qu'elle s'écrit sous la forme

0

f r = C €

-0 n r e t r o u v e la l o i s = G

d ' un matéri au purement él asti que ma'i s i I conv'ient en f ai t de remp'l acer l a d ê f o r m a t i o n t o t a l e p a r s a p a r t i e é l a s t i q u e u n i q u e m e n t : [ î . . . " C e t t e l o i s ' a v è r e s u f f i s a n t e p o u r é t u d i e r 1 e c o m p o r t e m e n t d u m a t é r ' i a u 1 o r s q u e c e l u ' i - c i est soumi s à d e s s o l I i c i t a t i o n s r e s p e c t a n t d e s c o n d i t i o n s th e r m i q u e s i s o t h e r m e s ( d a n s c e c a s e ô = 0 ) o u à l ' o p p o s é d e s c o n d i t i o n s a d ' i a b a t i q u e s ( d a n s c e c a s , i l c o n v i e n t d e c o n s i d é r e r l e t e n -s e u r C u 6 d e s c o e f f i c i e n t s a d ' i a b a t ' i q u e s d e l ' é l a s t i c i t é o = C u d e ) . P o u r l e s c a s i n t e r m é d i a i r e s ( n i i s o t h e r m e s , n i a d i a b a t i q u e s ) - l a s e c o n d e r e l a t i o n , d é d u i t e d e l a c o n s e r v a t ' i o n d e l ' é n e r g ' i e (l o i s t a n -d a f f i n -d e l a c h a l e u r ) c o m p 1 è t e ] a p r e m i è r e . E n t e n . i r c o m p t e p e r m e t d e s u i v r e l ' é v o l u t i o n t r a n s ' i t o i r e d u c h a m p d e t e m p é r a t u r e d a n s le m a t ê r i a u . Q u a n t à l a t r o i s i è m e r e ' l a t i o n , d é d u i t e d u d e u x i è m e p r i n c i p e d e ] a t h e r m o d y n a m . i q u e , @ l e c o u p . | a g e e n t r e l e s . e f f e t s ê l a s t i q u e s e t t h e r m i q u e s m i s e n j e u i n d u i t u n p r o c e s s u s d e d i s s i p a t i o n d ' é n e r g i e . C ' e s t 1 ' e x p r e s s ' i o n d ' u n e p r o d u c t , i o n d ' i m é v e r s i b i l' i t é d ' o r i -gi ne thermomêcan'i que. L ' é t a b l i s s e m e n t d e c e s t r o i s r e ] a t i o n s s e f a i t d a n s 1 e c a d r e d e l a t h e r m o d y n a m i q u e d e s p r o c e s s u s i r r é v e r s i b l e s . N o u s r é s u m o n s l e s é t a p e s p r i n c i p a l e s ( n o u s p r o p o s o n s c e p e n d a n t e n a n n e x e u n e in t r o d u c t i o n a t â t n è r m o é l â s t i c i t é p l u s d é t a i l l é e m a i s s e v o u l a n t t r è s s i m p l e ) . 4 . 2 . F o r m u l a t i o n N o t a t i o n : m a s s e v o l u m i q u e c o n s t a n t e a p p o r t d ' é n e r g i e m a s s i q u e ( p r i s e ' i c i é g a 1 e à z é r o ) t a u x d ' é v o l u t i o n d e l ' e n t r o P i e m a s s i q u e ( ' d é s i g n e 1 a d é r i v é e e n t e m p s )

e

r ")

e énergi e i nterne mass'i que q . iièm çqmposante d u v e c t e u r r L de chaleirr.(t,i désigne l a d é r i v é e fl ux p a r t i e l l e i è m e c o o r d o n n é e ) n o u s u t i l i s o n s - l a l o i l o c a l e d e l a 4 . . | . d e a p a r r a P P o r t à 1 a c o n s e r v a t i o n d e 1 ' é n e r g ' i e

- crii

a p e -\ e r L

€,[ * 1ù,ù

=o

(17)

- I ' ' i n é g a 1 i t é d e C l a u s ' i u s D u h e m

4.2. _e'i

- q,u

+ li,i - t, (

+)'."

N o u s s u p p o s o n s q u e l a d o n n é e d e s v a r i a b l e s . i j e t e s u f f i t p o u r d é c r i r e l ' é t a t d u s y s t è m e . I L e s t i n t é r e s s a n t d ' u t i l t s e r l ' e x p r e s -s i o n d e 1 ' ê n e r g i e l ' i b r e m a s s i q u e d e H e l m h o l t z ' t , d é f i n i e p a r 4 . 3 .

ç\'= ee

-

eT7

E n é c r i v a n t

eit

o b V

\s6

l a l o i d e c o n s e r v a t i o n ( l ) s ' é c r i t :

4.4. [s\y. -r]du - e[H.r] d -[eti11d,i-e"]=o

L'\e i.1

s u b s t i t u a n t

d a n s

( 2 ) le terme

_{[ e T i + li , ù}

-

_{e " l}

f i n é g a l i t é d e C l a u s i u s D u h e m d e v i e n t :

4.5 ['u-rËl .,r -.f S .dà

-1,(1;)

>o

tô

;e

_rl

e t

e{ = ( ù * {i

ov , pbv lË..

\ \ i ; | . ù o e r 3 _{f 6} C e t t e n o u v e l ' l e i n é g a l i t é d o i t ê t r e v é r i f i é e p o u r t o u t e i . i e t e ( p r o c e s s u s a d m i s s i b l e s ) e t i m p o s e d o n c l' a n n u l a t i o n d e s c o e f f i c i é n t s d e e i 3 e t e . D ' o ù le s t r o ' i s r e l a t i o n s : ç = P \ V I

\€.'j

4 . 6 .

(18)

I 1

4 . 7

.

1 =

b \y.

_{b e}

L ' i n é g a l i t é d e d ' i s s i p a t ' i o n ( 8 ) e s t a u t o m a t i q u e m e q t v é r i f i é e s ' i o n l i e l e f l u x d e c h a l e u r g i ( e f f e t ) a u x g r a d i e n t s d e T e m p é r a t u r e 0 , i ( c a u s e ) p a r u n e r e l a t i o n l i n é à i r e ( r e l a t ' i o n s d e 0 n s a g e r ) :

4.e.

_{li :}

- &,i gj

o ù l a m a t r i c e _{I k i 5 l e s t d é f i n i e p o s i t i v e .} 4 . 8 . 4 . 1 1 . e t d e ( 9 )

-1'(+J

_>o

eTi

= -1i,i

L ' i n é g a 1 i t é (8 ) d e v i e n t :

4 . 1 0 .

_\

_{e , i e , j > o}

T

U t i l ' i s a n t ( 5 ) e t ( 7 ) d a n s la 1 o i d e c o n s e r v a t i o n ( 4 ) , n o u s o b -t e n o n s (a v e c r = 0 ) :

eri =

d;Lh 1il4

4 . 1 2 . C ' e s t l a l o i d ' é v o l u t i o n d e 1 ' e n t r o p i e q u i , l i n é a r i s é e , n o u s d o n n e r a 1 a l o ' i s t a n d a r d d e l a c o n d u c t i o n d e l a c h a l e u r . I l e s t l é g i t i m e e n H . P . P . d e d é v e l o p p e r Ù e n u n e s é r i e a e s € i j e t e t r o n q u é e a u - d e l à d e s t e r m e s c a r r é s * :

4.r3. eV=eVo

*rUoe,j

-

_{eie .tQirt€+r€,j}

-

_14,

€,.i

O - L.fl, e'

* les coefficients C iift ,. B^ii, h, a i.i avec B i : _ , = _{9 ! j f r : f f - T l !} i n t r o -duits de façon purément foÉmelle èt trouverônt 1eùr'interprétation.

(19)

( 5 ) e t ( 1 3 ) d o n n e n t

4 ' 1 4 '

_{t r j = 5 " + c ; j $ [ e p - É , j o}

e t d e ( 7 ) e t ( 1 3 ) : 4 . . | 5 . N o u s d é f i n ' i s s o n s I ' ê t a t d e r é f é r e n c e p a r : - 1a tempêrature T o - l ' é t a t l ' i b r e d e c o n t r a i n t e oi j = 0 - pas de dêformation ..ij = 0

- I a vari at'ion d 'entropi e est nul I e.

C e q u i r e v i e n t à a n n u l e r le s t e r m e s d u p r e m i e r o r d r e o i 3 e t n o e t , d o r é n a v a n t , n d é s i g n e ' l a v a r i a t ' i o n d ' e n t r o p i e p a r r a p p o r t à l ' é t a t d e r é f é r e n c e . N o u s d é d u ' i s o n s d e ( I 4 ) e t ( l 5 ) : - I a I o'i de comportement ( D u h a m e l - N e u m a n n ) _:

(?'<?' +P;3€1

+ltO

4 . 1 6 .

-.j - C;jhI e U- - É,j e

4 . 1 7 .

ou aussi

r.j = cij$ (e U- {Ue)

- 1 ' e x p r e s s ' i o n d e l a v a r i a t i o n d ' e n t r o p i e

l7 = F':€'3

*l'e

S i n o u s l' i n é a r i s o n s l a l o ' i d ' é v o l u t i o n ( 1 2 ) s u i v a n t

1.T,i=

dl^r

Ih1^^Lel

e n u t i l i s a n t ( . l 7 ) n o u s o b t e n o n s 1 ' ê q u a t i o n d e l a c h a l e u r : r ' " 1

I

_{n ' ,[,h,;o,;1,1}

_-r13'jË,j

4 . 1 8 .

_i

- t . f e .

(20)

1 3 4 . 3 . F o r n r u l a t i o n d u a l e : S i n o u s c h o i s i s s o n s o e t e c o m m e v a r i a b l e s d ' é t a t d u s y s t è m e , u n r a i s o n n e m e n t a n a l o g u e u t i l i s a n t c e t t e f o i s 1 ' é n e r g i e li b r e d e G i b b s G d é f i n i e p a r :

o G : p e ' e T n

- { i € r '

\ \ \ / o ô c o n d u i t a ) à l a l o i d e c o m p o r t e m e n t : 4 . . | 9 .

e'! = S;jrl 6U + {1 O

b ) à 1 'express'ion d e I a v a r i a t i o n d ' e n t r o p i e : 4 . 2 0 . a v e c 4 . 2 1 .

e2 = 4r{j 'ro

t = &..

*{iÉt

o ù C o = T o g d ê s i g n e la c h a l e u r s p é c i f i q u e à c o n t r a i n t e c o n s t a n t e . C . = T o h d é s i g n e la c h a l e u r s p ê c i f i q u e , à d é f o r m a t i o n c o n s t a n t e . c ) à l a l o i d e l a c o n d u c t ' i o n d e l a c h a l e u r :

4.22. r.t ô =[S,;o,,l,i

-T' {'Â4[

4 . 4 . I n t e r p r é t a t i o n d e s c o e f f i c i e n t s - R é s u m é : l o i d e c o m p o r t e m e n t : ( f o r m e s é q u i v a l e n t e s )

Ç; = C;sTl

-t

€p - (3* e

r;,. = Cij*l (erU - +.1

o)

nil - S,j*l qfu + {ti I

l o i d ' é v o l u t i o n d e 1 a t e m p ê r a t u r e : ( f o r m e s é q u i v a l e n t e s )

qEô = [&,jo,r],j -r.p;5er.,

cré = [h.ro,J; -td5%;

(21)

e n t r o p i e : 3 i ; € , i t C e O

( " ) =

f .

l ,

= t 5 r c 3 t I e

9 J T . a k l e s t l e t e n s e u r d i l a t a t i o n t h e r m i q u e 1 i b r e . o ft1 e est I a déf ormat'ion a t t e ' i n t e s i I ' é c h a n t i 1 1 o n h o m o g è n e ( l oi l o c a l e ) e s t c h a u f f é e t l a i s s é l i b r e d e c o n t r a i n t e . . C i jt t e s t I e t e n s e u r d 'é l a s t ' i c ' i t é i s o t h e r m e ( p o u r u n e ê v o l u t i o n à o = 0 , o n r e t r o u v e la l o i o = C € ) . ' i r r é v e r s ' i _{b i I i t é : d e ( l I ) on dédui}_{t :} p n 1 = - 1 ; ' ù \ / T E n ' i n t é g r a n t s u r l e v o l u m e d e l ' é c h a n t i l l o n e t e n a p p l i q u a n t l e t h é o r è m e d e l a d i v e r g e n c e , o n o b t i e n t s u c c e s s i v e m e n t :

J o*, àp = '|

Lir' j^>

1 t \ ' - 1 J ' T

= -Jo

_{[(+)' .}

=_Jsr4ia"

-[q[*

e t d e ( 9 ) : I

J rôdv: - [ W ù * I hr;o,;8i &r

v ' / 5 T ç " T a L e p r e m i e r te r m e d u m e m b r e d e d r o i t e r e p r é s e n t e l e c h a n g e m e n t d ' e n t r o p i e d u s y s t è m e ' i n d u i t par 'le flux de chaleur à travers 1'enve'lop-p e S d u s o l i d e e t i m 1'enve'lop-p o s é p a r ' l e s c o n d ' i t i o n s M A C R O S C O P I Q U E S d e f r o n t ' i è r e s . L e d e r n i e r t e r m e r e p r é s e n t e l a p r o d u c t i o n d ' e n t r o p i e in d u i t e p a r l a c o n d u c t i o n d e l a c h a l e u r a g i s s a n t d a n s le v o l u m e . I l q u a n t ' i f i e l a p r o d u c t i o n I N S I T U ir r é v e r s i b l e d ' e n t r o p ' i e p a r u n i t é d e v o l u m e , e t o n n o t e :

17- ç-

&'i o' ; e,,i

T1 L e s e c o n d p r i n c i p e d e 1 a t h e r m o d y n a m i q u e e x p r i m e q u e

tTi-

). O

c e q u i n ' e s t a u t r e q u e l' i n é g a l i t é ( 1 0 ) . - 1

1, r; lÀt

Ta 'r

(22)

l 5 T h e r m o é l a s t i c i t ê q u a s i s t a t i q u e c o u p l ê e : L a comportement q u e s ; I o'i e t d ' ê v o l u t i o n d e l a t e m p é r a t u r e c o u p l ê e a v e c la l o i d e I ' é q u a t i o n d ' é q u ' i f i b r e e n I ' a b s c e n c e d e f o r c e s v o l u m i -d i v o = 0 ( o ù o n n é g l i g e l e s t e r m e s d ' i n e r t i e , t h e r m o é l a s t i c i t é _{9 u 9 ! i s t a t i q u e ) ,} c o n d u i t à u n i y s t è m e c o u p l ê d ' é q u a t ' i o n s a u x d é r i v ê e s p a r t i e l l e s . L e p r o -b l è m e a u x 1 im ' i l e s a i n s ' i d é f i n i e s t d ' u n e g r a n d e d ' i f f i c u l tê m a t h é m a t i q u e . c e p e n d a n t , d a n s d e n o m b r e u x c a s , l e s a u t e u r s n é g 1 i _ g e n t . 1 e t e r m e d e c o u p l a g e t h e r m o m é c a n i q u e T o B i 5 e i S ( o u T o a i j o i j , t h e r m o é l a s t ' i c i -t é d é c o u p l ê e ) . E n e f f e t , 1 e s d é f o r m a t i o n s e n g e n d r é e s p a r u n c h a r g e m e n t s o n t a c c o r n p a g n é e s p a r d e t r è s f a ' i b l e s v a r i a t i o n s d e t e m p é r a t u r e . I l s e r a ' i t ra'i soirnàbl e db cal cul er donc ces déf ormat'ions sans ten'ir compte de I a d i l a t a t i o n t h e r m i q u e : e n n é g l i g e a n t l e t e r m e T o B i j . i j l a l o i d ' ê v o l u -t i o n d e v i e n -t q d : À i r ' [ H Ë l ' ] d o n t l a s o l u t i o n s e d é c o m p o s e e n u n r é g i m e t r a n s i t o i r e c o r r e s p o n d a n t à l , u n i f o r m i s a t ' i o n d e 1 a t e m p é r a t u r e i n i t ' i a l e e t u n r é g i m e p e r m a n e n t r e -p r é s e n t é p a r 1 e c h a m p d e t e m p é r a t u r e v é r i f i a n t : d i v [ k g r a d 6 ] = 0 ( a v e c ô = 0 ) s i n o u s d é r i v o n s a l o r s p a r r a p p o r t a u t e m p s ' l a lo i d e c o m p o r -tement, en tenant compte pour 1e régime permanent que : é = 0

o n o b t i e n t : J = C i e t o n c o n s t a t e a i n s i q u e l a c o n t r a i n t e e t l a d é f o r m a t i o n é v o l u e n t e n p h a s e l ' u n e v i s à v i s d e l ' a u t r e ; i l n ' y a p a s d e p h é n o m è n e a n é l a s t i q u e . P o u r o b s e r v e r l' e f f e t t h e r m o é l a s t i q u e , i 1 e s t n é c e s s a ' i r e d e t e n i r c o m p t e d u t e r m e d e c o u p l a g e . E f f e c t i v e m e n t a v e e c e t e r m e d a n s l ' é q u a t i o n d ' é v o l u t i o n , o n c o n ' s t a t e q u e ( e t c e , a v e c r é c i p r o c i t é ) u n e s o l l ' i c ' i t a t i o n m é c a n ' i q u e p r o v o q u e u n e v a r i a t i o n d e l a d é f o r m a t i o n _{_ q u i} s ' a c c o m p a g n e a l o r s d ' u n e ' v a r i a t i o n d e t e m p ê r a t u r e . L e f l u x d e c h a l e u r q u i r e s u l i e d e c e t t e v a r i a t i o n d e 1 a t e m p é r a t u r e a c c r o î t 1 ' e n t r o p i e . d u s ' y s t è m e ( g T r i = - qi.i ) : 1a présence d u t e r m e m é c a n i e u - e T o . 0 1 3 É i ; d a n s 1 - ' é q u a t i o r i d e 1 a i h â i e u r e s t e s s e n t i e l l e p o u r d é c r i r e 1 e p h ê n o m ë n e d e d i s s i p a t i o n t h e r m o é l a s t i q u e .

(23)

5 ) T H E R M O E L A S T I C i T E S T A T I O N N A I R E N o u s re s t r e i g n o n s d a n s c e p a r a g r a p h e l ' é t u d e d u s y s t è m e d e s é q u a t ' i o n s d e I a t h e r m o é l a s t ' i c i t é à I a I o i d e c o m p o r t e m e n t d e D u h a m e l -N e u m a n n . N o u s s u p p o s o n s q u e 1 a t e m p é r a t u r e e d e l ' é c h a n t i l l o n e s t u n i -f o r m e , la c o n d u c t ' i o n d e l a c h a l e u r n ' a g i t p a s . C e d o m a i n e d e l a t h e r m o -é l a s t i c ' i t -é o ù e e s t s t a t i o n n a i r e s e n o m m e s u ' i v a n t l e s a u t e u r s T h e r m o s t a -t i q u e o u p l u s p r é c ' i s é m e n -t ( ( 2 ) ) Thermoél a s t o s t a t ' i q u e o u a u s s i T h e r m o é l a s t i c i t é s t a t ' i o n n a i ' " e . L e m a t é r ' i a u h é t é r o g è n e e s t e n é q u i ' l i b r e s o u s I ' a c t ' i o n d ' u n e c o n t r a i n t e r e t d é f o r m a t i o n E ( d i t e s M A C R 0 S C O P I Q U E S ) i m p o s é e s s u r l a f r o n t i è r e . P o u r l e m é c a n i c i e n , i l e s t u t i l e d e c o n n a î t r e la r e l a t i o n e n t r e E , E et 0 (d'ite lo'i de comportement g ] o b a l e o u m a c r o s c o p i q u e ) e t d e d é c r i r e l a r ê p a r t i t i o n d e s c o n t r a ' i n t e s e t d é f o r m a t i o n s m i c r o s c o p i q u e s a f i n d e p r ê d i r e d e s p h é n o m è n e s d e c o n c e n t r a t i o n d e c o n t r a i n t e s , d e f i s -s u r a t i o n . . . N o u s r é s u m o n s l e s p r i n c i p a u x f o r m a l ' i s m e s t r a i t a n t d e I ' a s p e c t s t a t i o n n a ' i r e d e I a t h e r m o é l a s t i c ' i t é . 5 . . | . L o ' i d e C o m p o r t e m e n t M a c r o s c o p i q u e 5 . 1 . a ) C o e f f i c i e n t s e f f e c t i f s : E n p r e m i e r ' l i e u , l e m é c a n i c i e n s ' i n t é r e s s e à l a l o ' i d e c o m p o r -t e m e n -t g l o b a l e d e l a f o r m e : 5 . 1 . 1 iI

i

J o u d e f a ç o n é q u i v a l e n t e : 5 . 1 . 2 5 . 1 . 3 5 . 1 . 4

sont 'l es coef fi c'ients e f f e c t i f s d u m a t é

-[c.tt1-'

=

N'4

dont le comportement est le même que du matéri au hétérogène considéré.

z,j= .,ÏlrIeu

- dq

z = c'l{ E -p#o

E : À4: *{4o

où Ufnr,

c,,{u,

*T,

P,T

r i a u h o m o g è n e é q u ' i v a l e n t * ( M H E ) . I l s v é r i f i e n t :

l.u'

* Le MHE est le matériau homogène le comportement macroscopique

(24)

1 1 L I L e s m é t h o d e s _{u t i l i s é e s d a n s c e t t e t h è s e p o u r obtenir le} com-p o r t e m e n t _{m a c r o s c o p . ] g - u - e}_{s ' a p p l}_{i q u e n t aux m'i}_{I i e u x n e t c . o g è n é i ' ' v é r i} f i a n t l e s h v p o t h è s e t _{d 1 ' H j 1 t * . 0 n ' p e u t a r o r s d ê f i n i i r . uorrï.ï jiouar de} I ' é c h a n t i _{I I o n e n tan-t que vo] ume représentàt.ii.}' ( u u _{s e n s s t a t i s[.i}_{q u e}

) e t on I ui assoc'ie _{I a val eur moyenne}_{vol irml}_{quà nàté. < . >}

H i l l a d â n o n t r é _{q u e :} 5 . 1 . 5 5 . 1 . 6

< ç > = E

< G > = f

< a > < € >

c e s m ê t h o d e s - p a r t e n ! _{d ' u n e a p p r o c h e}_{p h y s i q u e}_{d e r a m i c r o s t r u c _} t u r e ( d é c r i _{t e ' i c i p a r 1 â t oi l ocal e de'i u inàrf,ôél}

a s t i c i t é s t a t i onna.ire ) e t d é d u i s e n t _{l e s c o e f f i c i e n t s e f f e c t i f s . àéi'àL.niers ne dépendent} q u e d e l a n a t u r e m ê m e d e c e t t e m i c r o s t r u c t u r e . _{I l s e r a i t e n e f f e t ' m o i n s p e r} -t i n e n -t q u e - - ' l a _{f o r m u l a t ' i o n}_{t h é o r i q u e ou r'lirg-a.p.nde} d e c o n d i t i o n s exté-r i e u exté-r e s t e l l e s q u e l a f o exté-r m e g é o m é t exté-r i q exté-r . _{à à i i é à n a n t i l t o n o u d e s c o n d i} -t ' i o n s d e f r o n -t i è r e s ( ( 3 ) ) 5 . . | . b ) L ' a p p r o x i m a t i o n _{d u m . i l i e u}_{g r a n u l a i r e :}

P o u r u n e mi crostructure, 'i I est ra'i sonnabl e d e c o n s i d é r e r I e m a t é r i a u _{c o n s t i t u é d g N g r a ' i n s "i n c r u s t é s , ' d à n s une matrice ou, plus} général _{ement, composé}

_ de -n

phases oe p.ol.i eiêi pr,vsi _{coîni ù qi,.. di f} -f é r e n t e s . 0n a-f-fecte. à chaqùe phase,-rnaiïce _{p i " un. rettre grecque, une} c o n c e n t r a t i o n volum'ique f o , _{u n e à ê f o r m a t i o i i eo et une contrainte} oa moyennées _{par rapport au vol ume Vo :} _"

.g'{- Va

_rv

j j, 4*=L

t*=

ot/t')'u

s ' é c r i v e n t l e s v a l e u r s m o y e n n e s g l o b a l e s 5 . 1 . 7 _{( r )} ₌ ( € ) ₌

jno=

tL'G.)À'd

f

*-u

f*a

*

H Y P O T H E S E S D E H I L L - pg! de forces volumiques, - I ,échanti _{I I o n s u b . i t ae tâi Ut es} - l a t a i l l e de l,hétérogéné.ité t a i l l e d e l ' é c h a n t . i l l o n , N

L

{ : t

E

r(-. déformati ons, e s t p e t i t e p a r rapport à la

= ( f € )

_I

I

(25)

C e t t e f o r m e d e r e p r é s e n t a t i o n , u n e a p p r o x i m a t i o n a s s e z b o n n e d u m i l i e u i n d ' i c a t r i c ê A c d é f i n i e p a r : c o m m o d e p o u r l e s c a l c u l s , e s t r é e l . E n u t i l i s a n t l a f o n c t i o n 5 . 1 . 8 o ù 1 a p o s i t i o n e s t r e p é r é e p a r 1 e v e c t e u r c o o r d o n n é e s r . L a d é f o r m a t ' i o n a u p o i n t 6 e s t a p p r o c h é e p a r s a v a l e u r m o y e n n e v o l u m i q u e c a 1 c u l ê e p o u r I e v o l u r n e d u g r a i n o R e m a r q u o n s à c e s u j e t q u e E s h e ' l b y a d é m o n t r é l ' u n i f o r m ' i t é ( ( 4 ) ) d e l a d é f o r m a t ' i o n d ' u n e in c l u s ' i o n d e f o r m e e l l ' i p s o î -d a l e d e d é f o r m â t i o n a n é l a s t i q , r . € * s u p p o " à e u n i f - o r n e . 0 n é c r i t a ' i n s i 1 ' a p p r o x i m a t i o n 5 . 1 . 9 € ( . r , ) : 4 . , ( n ) €"( 5 . 2 . L o i s I o c a l e s : A 1 'é q u ' i l i b r e , e n n é g ' l i g e a n t l e s f o r c e s v o l u m ' i q u e s , - le tenseur des contra'intes v é r ' i f ie :

5 . 2 . 1

Jioa = o

- l e t e n s e u r d e s d é f o r m a t i o n s o b é i t a u x c o n d i t i o n s d e c o m p a t i b ' i l i t é . E n r a p p e ' l a n t q u e l a d é f o r m a t i o n t o t a l e e e s t l a s o m m e d ' u n e d é f o r m a t i o n a n é 1 a s t i q u e d ' o r i g i n e t h e r m i q u e 5 . ? . 2 < i j = e t d ' u n e d ê f o r m a t i o n é l a s t i q u e e e 5 . 2 . 3 l a l o ' i d e

s . 2 . 4

€ = € " + € q c o m p o r t e m e n t l o c a l e d e D u h a m e l - N e u m a n n s ' é c r i t ( c f 4 . . | 6 ) 0n peut remarquer g i s s a n t la t h e r m o - s t a t i q u e ( ( 5 ) ) , à s a v o i r :

É V *

€ V c d e s é q u a t i o n s 5 . 2 . ' l à 5 . 2 . 4 r é -d ' u n p r o b l è m e d ' é l a s t o p l a s t ' i q u e 4,.. tt )

a* (^)

: O D L r = 4 b j r L N

z

{ : l

ta

o1 = Cttû

1 'a n a ' l o g i e a v e c c e l l e s q

eht

drr,t c - O

(26)

1 9 q

r{. c;5&Iee}.

e t s i J d é s i g n e l a d é f o r m a t i o n p ] a s t ' i q u e , a l o r s d e m ê m e - - z - 9 b - : C t q L ' a n a l o g ' i e n ' a p p a r a î t p a s s e u ' l e m e n t d a n s la f o r m e d e c e s é q u a -t i o n s ( e -t d o n c d a n s l a m a n i è r e d e l e s -t r a i -t e r ) m a ' i s e l l e e s -t a u s s i p h y s i q u e m e n t f o n d ê e ( ( 6 ) ) : l ' é v o l u t i o n d e s d ê f o r m a t i o n s l i é e à d e s è n â m p s t h e r m i q u e s e s t a s s i m i l a b l e à u n e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e _ ( e ' i n e A r t P l a s t i s c h e r V e r f o r m u n g ) . L ' a n a 1 o g ' i e s ' a r r ê t e c e p e n d a n t s u r I ' ê c r i t u r e d e s l o j s d ' é v o l u t i o n - ; l ' u n e c o n c e r n e l a c o n d u c t i o n d e l a c h a l e u r , l ' a u t r e u n s e u i l d e p l a s t i c i t é e t d e s lo i s d ' é c o u l e m e n t . 5 . 3 . T e n s e u r C o n c e n t r a t i o n 5 . 3 . a ) D é f i n i t i o n s : L e m é c a n i c i e n n e s ' i n t é r e s s e p a s s e u l e m e n t à l a r e c h e r c h e d e s c o e f f i c i e n t s e f f e c t i f s e t a u c o m p o r t e m e n t g l o b a 1 d u m a t ê r i a u . I l e s t a u s s ' i c o n c e r n é p a r u n e d e s c r i p t i o n a u s s i p r é c ' i s e q u e p o s s i b l e d e l a r é -p a r t i t i o n d e s c o n t r a i n t e s e t d é f o r m a t i o n s ' i n s ' i t u . 0 n d é f i n ' i t p i r I ' ' i n -t e r n É d i a i r e d e s -t e n s e u r s d i -t s d e c o n c e n -t r a -t i o n s q u e n o u s d é t e r m i n e r o n s , u n l i e n e n t r e l a m i c r o s t r u c t u r e e t 1 e c o m p o r t e m e n t m a c r o s c o p ' i q u e p a r ' l e s r e l a t ' i o n s d o n t o n p o s t u l e l' e x i s t e n c e .

- tenseurs concentration de déf,ormation A et a :

s . 3 . 1 .

€ : A < € >

- o.O

t e n s e u r s c o n c e n t r a t i o n d e c o n t r a i n t e B e t b : 5 . 3 . 2 5 . 3 . 3

6 - = S < a > + b O

E n p a s s a n t a u x v a l e u r s m o y e n n e s , i ' l e s t l ' i n é a i r e , A e t a s o n t i n d é p e n d a n t s d e e )

1A> = )X

(B) = '{l

( o u t a c s i g n e l e , ( n ) : Q ) < b ) : O i m m é d i a t q u e ( e n t h é o r i e t e n s e u r u n i t é ) ( ( 7 ) ) Si nous reDrenons I a t i o n t h e r m i q u e ' ç j t i t a t t : d é f i n i t i o n d u t e n s e u r e f f e c t ' i f d e d i l a t a

(27)

-- c ' e s t l a d é f o r m a t i o n m o y e n n e ( € q i ) r é s u l t a n t d ' u n a c c r o i s s e m e n t u n i t é d e t e m p é r a t u r e p o u r u n m a t é r i a u li b Ë e d e c o n t r a i n t e ( r = 0 ) ; o n é c r i t d o n c s e l o n c e t t e d é f i n i t i o n : Êq. ,4+ ^ E : n 9 e t i l s e r a i t f a u x d ' ê c r i r e a l o r s q u e l a d é f o r m a t i o n m a c r o s c o p i q u e a n é -l a s t i q u e e s t e n g ê n é r a 1 l a m o y e n n e d e s d é f o r m a t i o n s m i c r o s c o p i q u e s a n é -1 a s t i q u e s :

soir

Ei + <{j O >

I l f a u t e n e f f e t t e n i r c o m p t e d e s in t é r a c t i o n s é l a s t i q u e s e n -t r e g r a i n s e -t o n ê c r i -t p o u r la d é f o r m a -t i o n t o t a l e m a c r o s c o p i q u e : 6 = ( € " t € n ) a v e c € q + € * = ! f r + " ( O ( c f 4 . . ' 9 ) e n r e m p l a ç a n t o p a r ! < c > t b ê e t a p r è s p a s s a g e à l a v a l e u r m o y e n n e

E = ( b B > < ç > t ( l b b + { ) o

e n c o m p a r a n t c e t t e - g x p r e s s l g n a v e c 1 ' é q u a t i o n 5 . 1 . 2 d ê f i n i s s a n t le s t e n -s e u r -s e f f e c t i f -s F e l l e t -s e Î 1 , 0 n d ê d u i t 5 . 3 . 4

5 . 3 .

s

b4 = < )58>

{'lt = <bu*{)

P a r u n e f o r m u l a t i o n d u a l e s u r l e t e n s e u r B t f f , o n m o n t r e r a i t d e m ê m e q u e ( ( 9 ) )

ct'fl : <cA>

5 .3 . 6 5 . 3 . 7

p'Nf

D e 5 . 3 . 4 e t 5 . 3 . 5 n o u s c o n s t a t o n s q u e b : f l s e d é d u i t d e l a connaissance du tenseur concentration B tandis QUê ctr" nécessite la

con-n a i s s a con-n c e d u t e con-n s e u r c o con-n c e con-n t r a t i o con-n - [ . 0 n o b t i e n t c e p e n d a n t u n e a u t r e f o r r r u l a t i o n p l u s i ; r t é r e s s a n t e d e a e 1 Î e n c o n s i d é r a n t l e s d e u x p r o b l è m e s s u i v a n t s (( 1 0 ) ) ( ( 8 ) ) : P r o b l è m e I ( r e s p . I I ) : N o u s c h a u f f o n s le m i l i e u u n i f o r m ê m e n t à l a t e m p é r a t u r e 0 = 0 o ( r e s p . e , ) e n i m p o s a n t l a c o n t r a i n t e m a c r o s c o p i q u e E o ( r e s p . E t )

-: (C^-P>

(28)

2 l L e s ê q u a t i o n s p o u r c h a c u n d e s d e u x p r o b l è m e s s ' ê c r i v e n t p o u r u = 0 o u l . 5 . 3 . 7 a ) 7 P = ( - l ) 5 . 3 . 7 b ) € P = ) 5 c / * { 0 P D e la s y m é t r i e d e o i 5 o n a : e n i n t é g r a n t p a r p a r t i e s : o r d i v o r = 0 : 5.3.1 e)

8 . 3 . T

_{t )}

< € , u >

oT f,rr'{oP

E P =

5 . 3 . 7

c ) c P = B / z P

* d o P

5 . 3 . 7 d ) d l L a P = O S o i t u ! , j l . g r a d i e n t d u d é p l a c e m e n t t o t a l t e l q u e :

Ii= f("iu.-f,)

n o u s c o m b i n o n s l e s d e u x p r o b ' l è m e s e n é t u d i a n t

T -

_{' v i ; j o , j à v}

( e "

^

t= lrc;"JiàY

:Jn

. = lu (*'. -,f/U

av

7 =

_Ir(*"r

-i ),i Àu

a v e c le t h é o r è m e d e l a d i v e r g e n c e , I = l S u o ; t' o i l S

4 ,

s u r S , o i j = r i j :

r ' : l - /r ri "; dS

tenant compte de 'la symétri.

o

a . t i 5 e t d u t h é o r è m e d e l a d i v e r g e n c e : I - - > i / n ' ' i , ; J ' r

c o n s é q u e n t , o n a é t a b l i

< € o r n > = Ë " 2 4

montrerait de même que

( € t a o > _{= E t z o} 1 ' ' i n t é g r a l e I : uo;,; 6r 'n J v

-

J, oo;4i,i

du

= rlfei,lv

P a r 5 . 3 . 8 5 . 3 . 9 E n 5 . 3 . 8 s ' é c r i t s u b s t i t u a n t E ' p u . b l f f t o + r o = 4 f x 4 t ç o É L I L P o L 4 o l f f , o l e s e c o n d

* *ie"l >.n

membre de

(29)

d e 5 . 3 . 7 L e p r e m ' i e r b : m e m b r e d e 5 . 3 . 8 d e v i e n t s u c c e s s i v e m e n t : < e o c t > ( € " ç ^ 7 = _{< ( > n n ) c - o ,} . { O o o { 7 < € o c n > = < ( e n - { o n ) r o * 4 o o c n ) < €, o a'> -- < e^Ç" > + <4eo a'> - a {a";ê, <-eoÇn7 = En:." * ( {€o(d:.t"btq) t - <1s-">ea

l . e o o

a 2 = t 1,4 :, r +Iql I"

t (.( Bn > :'e" t f ( + b a ) 0o - <{c"t]t. E n u t i l i s a n t c e r é s u l t a t d a n s 5 . 3 . 8 x r e t e l ' o n o b t ' i e n t :

o = [ (0.4-

lS):" + ('(B')

ôo

- n!r.J{ I

d e 5 . 3 . 7 b : d e 5 . 3 . 9 e t 5 . 3 . 7 c : d e 5 . 3 . 7 f : De même, v a n t e s : e t e n r e g r o u p a n t I e s t e r m e s

[ +4 z' + ({É ) oo

- (1a'rJ

n

e n et P u ' i s q u e 1 e s v a r i a b l e s , t e t e r s o n t i n d é p e n d a n t e s , o n d é d u i t l e s d e u x r é s u l t a t s : D ' o ù I e s

(#-

b"*1)

?o + ( <<B^>

- *,q )Q = o

{ 4 z " +

( . ( b n ) o o - < { 4 " > = o

L a d e r n i è r e e x p r e s s i o n s ' é c r i t e n s u b s i t u a n t o o

v , { : ' * < . r h l )

ê " - < { ( 8 " E " + b " e , ) ) = o

d e u x é q u a t ' i o n s , e n r e g r o u p a n t l e s t e r m e s e n E o e t e o :

(#-)5$):.' + ( <<É>

-"r"ql oo : o

( {,'{l

- <<u>)r"

t ( < {b') - < {b'>)eo

=o

o n d é d u i t , d e c e s d e u x é q u a t i o n s , le s q u a t r e r e l a t i o n s s u ' i

->-q = l"{

o(o{ = << Bt>

{,"1t

= <dB">

(4t) = <'(\">

(30)

P a r d u a l i t ê , 2 3 u n r a i s o n n e m e n t a n a l o g u e m o n t r e r a i t :

-41

p$

<f*)

C e s r é s u l t a t s e s s e n t i e l s n o u s p e r m e t t e n t d e c o n c l u r e p a r d e u x re m a r q u e s : b r r u r ( r ) ' n e d é p e n d e à t , p a s d e 1 â ' t e m p é r a t u r e , 1 ' é g a 1 i 1 6 À e f f ' l ' P e f f ( o u C ç f f ' = ç e f f ) e x p r i m e q u e l e s t e n s e u r s e f f e c t i f s d e l ' é ] a s t i c i t é s o n t i n d é p e n d a n t s d u c h a m p d e t e m p é r a t ù r e . C ' e s t a u s s i le c a s , e n c e q u i c o n c e r n e l a t h é o r i e l i n é a i r e , d e s t e n s e u r s c o n c e n t r a t ' i o n s . 0 n p o u r r a p a r c o n s é q u e n t d é d u i r e le s t e n s e u r s e f f e c t ' i f s d e l ' é l a s t i c i t é e t l e s t e n s e u r s c o n c e n t r a t i o n s A o u B e n c o n -s i d é r a n t -s i m p l e m e n t l e p r o b l è m e ' i s o t h e r m e ( e = 0) exam'iné a u p a r a g r a p h e ( 8 ) o ù o n u t i l i s e l e r a i s o n n e m e n t d e Z e l l e r e t D e d e r i c h s . - c o n n a i s s a n t a ' i n s i le s t e n s e u r s c o n c e n t r a t i o n s , n o u s p o u v o n s a l o r s u t i -l i s e r -l a f o r m u -l a t i o n e f f e c t ' i v e m e n t p l u s i n t é r e s s a n t e d e s te n s e u r s t h e r

-=#

. p A n )

= < p * o )

) pr=<pc>

m i q u e s e f f e c t i f s :

-.X{

{ ' - =

< { B >

E n n o u s ré s u m a n t n o u s ê c r i v o n s :

c 4 - - < cA> ; b4= <Àî>

;

P { =

. ( 3 4 ) , "c{= <<87 ;

) { = <(3A>

- b't$

u4p#

c.'[3-'

"ftl

S i g n a ' l o n s q u ' i 1 e s t a u s s i p o s s i b l e d e d é d u i r e c e s r é s u l t a t s e n u t i l i s a n t u n r a i s o n n e m e n t ( ( . | 0 ) ) b a s é s u r u n p r i n c i p e v a r i a t i o n n e l q u i p e r m e t (e n t r e a u t r e s ) d ' é t a b l i r l e r ê s u l t a t i n t e r m é d i a i r e i m p o r t a n t

< € > = b < V > 1

b < e > t e o ù V e s t 1 ' ê n e r g ' i e l i b r e v o l u m i q u e d e H e l m h o l t z ( c f L a w s ( ( 2 ) ) ) . L e s r é s u l t a t s p r é c é d e n t s s o n t d e s c o n s é q u e n c e s a s s e z d i r e c t e s d e s d é f i n i t i o n s d e s t e n s e u r s e f f e c t i f s e t d e s t e n s e u r s c o n c e n t r a t i o n s . D é v e l o p p o n s l ' é t u d e e n n o u s p r o p o s a n t à p r é s e n t d e r é s o u d r e l e p r o b l è m e t h e r m o é l a s t i q u e s a n s é v o l u t i o n d e t e m p ê r a t u r e d o n t n o u s r a p p e l o n s l e s é q u a t i o n s l o c a l e s , " q . € = € r € € * = { € q _{= C € e} À,rra = O raisonnements principaux :

(31)

. n o u s t r a n s f o r m o n s l ' é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s d i v o - 0 q l . u n - e é q u a t i o n i n t ê g r a 1 e à p a r t i r d e l a q u e ' l 1 e s e b a s e n t ' l e s p r o b l è m e s d ' i n c l u s ' i o n , ' l e s m é t h o d e s s e l f - c o n s i s t e n t e s o u l e s m é t h o d e s d e r é s o l u -t ' i o n L . S . D . 0 n o b -t i e n d r a u n e e x p r e s s i o n d e s t e n s e u r s c o n c e n t r a t i o n s . . n o u s u t i I ' i s o n s 1 e s p r i n c ' i p e s v a r i a t ' i o n n e l s d e I ' é l a s t i c i t é q u i f o u r -n i s s e -n t u -n e -n c a d r e m e -n t d e s c o e f f i c i e n t s t h e r m o é l a s t i q u e s e f f e c t i f s ( ( 1 0 ) _{) ( ( 6 ) ) .} 6 ) E Q U A T I O N S I N T E G R A L E S E T P R O B L E M E S D ' I N C L U S I O N S 6 . I . F o r m u l a t i o n ( ( 4 ) ) I ^ o L ^ d . é f o r m a t io n t o t a l e € r ; s e d é c o m p o s e e n u n e p a r t ' i e él astique nii et anél a s t i q u e € ; j d , o r i g T r i e _{t h e r m i q u e s i \r i}

< i é s i g n e 1 a i è m e c g m p o s a B t , e d u . r u " i " u r d é p l a c e m e n t Ëotar.on a

5..t .l €.j =

| ( n.iS + ui,; )

La loi de comportement locale de Duhamel s'écrit en tenant cornpte des propriétês de symétrie du tenseut Cijft :

6 . 1 .2

_{{5 = c,i&[[*+,t.}

-eir1

L ' é q u a t i o n d ' é q u i l i b r e d i v s = 0 ( o n n é g ' l i g e le s f o r c e s v o l u m i q u e s ) c o n d u ' i t à I ' é q u a t i o n a u x d é r i v é e s part'i el I es : 6 . 1 .3

_t.,,r()[

.[r (r)

-€î r (.lI i = o

c i e n t s s e r o n s ( p o u r 1 6 . 1 .4 N . B . I 1 s ' a g i t d ' u n e é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t i e l l e s à c o e f f . i -v a r i a b l e s . P o u r o b t e n i r une formulation intégra'le, nous décompo-t o u décompo-t e g r a n d e u r d é p e n d a n décompo-t d e l a p o s i t i o n e n u n e p a r t i e un'iforme ' i n s t a n t arb'itrairement c h o i s i e ) e t u n e p a r t i e f l u c t u a n t e .

C;j tot (,.) = Crjlt n d,;g (

_"

)

q,rj (") = ..où,f + Ë.;; (n)

y _a liberté sur le choix de uo, il peut représenter par exemple v a l e u r m o y e n n e s p a t i a l e <u.7 o u l e d é p l a c e m e n t c o n s t a t é s u r f r o n t i è r e .

I I l a l a

(32)

2 5 E n s u b s t i t u a n t l e s f o r m e s c o m p o s é e s 6 . 1 . 4 d e C i . i t < t l ' é q u a t i o n d ' é q u ' i l i b r e 5 . . | . 3 , n o u s o b t e n o n s l ' é q u a t i o n : ^ o ^ r f P

6 . 1 . 5

. , i l . t uf,hi r [ .ïtt,tt,h - C,jt"l gitl,.. =O

o ù l e t e r m e e n t r e c r o c h e t s e s t a s s i m i l ê à 1 a c o m p o s a n t e f i ( r ) v o l u m i q u e s f i c t i v e s . L ' é q u a t i o n a u x d é r i v é e s p a r t ' i e l l e s a i n s i

C';3rf

_{frt,hi * ti (n) : o}

s e r é s o u d ( ( 4 ) ) à l ' a i d e d u t e n s e u r d e G r e e n G . ' i n d u m i l i e u i n f i n i d e c o n s t a n t e s é l a s t i q u e s C t 3 p 1 e t p o u r u n d ê p l a c e m e n t n u l à l a f r o n t i è r e .

d^ {,.) = Ju GS^('t-

,t,)

_{'

tn') dv'

o u a u s s i

l n tn; = cj^ * {i

A v e c la n o t a t i o n d u p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n * ( ( . | 1 ) ) e t ' l e s p r o p r i é t é s a u x li m i t e s d e G , 1 ' e x p r e s s i o n d e

d ^ = Gin*$i

l^r^

_{Olnr-. I f;}

1 a d é c o m p o s i t i o n 6 . 1 . 4 d e u n , m ,

ur,- = oT,^ n Git,-*{!

qml,rn

_{: oon,^ - {;- "[à*u ur,h}

- c,.,ueir.Jr

unr,.rrt

r î, * Gj.r-,i *[ôttf ulrh- Cu'Ueif]

e t u i , 5 d a n s d e f o r c e s o b t e n u e T n , ' é c r i t : d é r i v a t i o n a i n s i e n r e p r e n a n t s u b s t i t u o n s f 3 : 5 . 1 . 6 6 . 1 . 7

r

rn ntJ o b t i e n t e n i d e n t i f i a n t l e s

e

_{m n} e n d ê f i n i s s a n t i

;i'.i;;;j'i'"'"''

mnl

J

l a p a r t i e s y m é t r i s é e d e G 3 n , m . i p a r r a p p o r t a u c o u -o n

= +[cj",,',;nGi.,-,]

p a r t i e s s y m é t r i q u e s

= €,ln

_{n Ç^{ *[ô,5rt}

€$ - crul.hl

revenons au formal i sme i ntégral