Localisation d'énergie dans les protéines

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Localisation d’énergie dans les protéines

Brice Juanico

To cite this version:

Brice Juanico. Localisation d’énergie dans les protéines. Physique [physics]. Ecole normale supérieure

de lyon - ENS LYON, 2007. Français. �tel-00266351�

N

o

d'ordre :443

N

o

attribué par labibliothèque:07ENSL0 443

É ole normale supérieure de Lyon

Laboratoire Joliot Curie

E ole do torale de Physique

THÈSE

Pour obtenir letitre de:

Do teur de l'É ole normale supérieurede Lyon

Spé ialité : Physique

présentée etsoutenue le20 dé embre 2007 par :

Bri e Juani o

Lo alisation d'énergie dans les protéines

Dire teur de thèse:Yves-Henri Sanejouand

Devant la ommission d'examen formée de :

ElezgarayJuan Rapporteur

Lavery Ri hard Examinateur

Peyrard Mi hel Examinateur

RuoStefano Rapporteur

Cette thèse a été ee tuée entre le laboratoire de Physique etle laboratoire Joliot-Curie

de l'ENS Lyon.Je remer ie tous les membres de esdeuxlaboratoires.

Je remer ie mon responsable, Yves-Henri Sanejouand, pour es quatre années

d'en adre-ment entrele DEA, le stage de sixmoisen Suisseetla thèse.Ses idées ont toujours été très

lairesete a es, equim'alargementaidédansla ompréhensiondumondedeladynamique

molé ulaire. Je leremer ie pour tout etapportdans e travail dethèse.

Jetiensàremer ierJuanElezgarayetStefanoRuopouravoira eptéd'êtremes

rappor-teurs.Ilsm'ont onsa rédeleur tempsmalgréleurs autres obligations,etleurs ommentaires

é lairés ont permisd'améliorer e travail.

Je remer ieaussiMi helPeyrardainsiqueRi hard Laverypouravoiravoira eptéd'être

mes examinateurs. Tout parti ulièrement, je remer ie Mi hel Peyrard pour les ours DEA,

ainsique Ri hard Lavery, pour sesétudes pertinantes qui m'ont permisde proposerune

vali-dationau modèleprésenté danslathèse.

Je remer ie Fran es o Piazza etPaolo de LosRios pour la ollaboration, débutée à

Lau-sanneil ya quatre années. Leur onta t etleur orre tion m'ont permis de larier biendes

pointsen Physique non-linéaire.

Je remer ie également Alain Arnéodo etFrançoise Argoul pour les nan ements et

en a-drements a tifs,avant, pendant etaprèsla thèse.Ce ia rendulathèsepossible.

Je tiens àremer ierparti ulièrement tousmes obureaux(su essivement ça fait:Julien,

Chantal, Bertrand,Corine, Mi hael, Nadia, Simon,Anaïs,Tibault,Rémi,Guillaume etLéo).

Jeremer iespé ialement mes ollèguesBébertetNi odulabode Physiquepourlesmultiples

ollaborations no tures. Je passeune dédi a e àFabienpour touslesjoyeuxpotsauNinkasi,

Guillaume pour m'avoir fait onnaîtrel'"es alier", Lamiaavoirenn roiséquelqu'un dulabo

auxnuitssonores,Anaïspouravoir é outémesblaguesave plaisir,Pas aleZoaetLéopour

leurs ompéten es ulinaires magniques, et Julien pour m'avoir fait omprendre qu'il était

possible dese nourrirave seulement du afé.

Je remer ie aussitoutle laboratoire Joliot Curie(je saisqu'il ya du monde, alors je fais

simple!) :Cendrine, Benjamin, Cédri , Christophe, Lot,Martin etMarie Jo.

Touslespro essusbiologiques ont un oûténergétique.Cependant, lesfon tionsasso iées

aux molé ules ne doivent pas oûter trop d'énergie aux ellules, an de pouvoir être

vérita-blement utiles. Lesmé anismes d'utilisation del'énergiedoivent don avoir étéoptimiséspar

lanature.

A l'intérieur de l'organisme, la molé ule d'ATP (Adénosine TriPhosphate), par exemple,

permetde fournir un apporténergétique auxassemblages biologiques,que la ellule utilisera

le plus e a ement possible.La réa tion d'hydrolyse de l'ATP produit une molé ule d'ADP

(Adénosine DiPhosphate) ou d'AMP(Adénosine MonoPhosphate), ainsiqu'une quantité

im-portanted'énergie,libéréeau oursdelaréa tion(supérieureà7

Kcal ∗mol

−1

).Cetteénergie

peutêtreutiliséede plusieursfaçons.Elle peut,par exemple,serviràinitierdesréa tions

hi-miques, e qui onduit àdes modi ations molé ulaires d'unsubstrat. L'énergie est, dans e

as, utilisée"instantanément", permettant de passer les barrières d'énergie né essaires à une

réa tion himique. L'énergie apportée par un ligand lors de saxation peutaussi permettre

à un assemblage biologique de modier sa stru ture, sans pour autant qu'il n'y ait de

mo-di ations himiques notables. On parle alors de hangement de onformation. Par exemple,

l'AminoA yltransférase(uneenzymexantuna ideaminésurunARNdetransfert)abesoin

d'ATP pour pouvoir xer un a ide aminé sur l'ARNt. Cette xationest rendue possible par

un hangement de onformationde laprotéinedontl'ouverture rendlesite a tifa essibleau

substrat, equi luipermetderéalisersafon tion.Cetypede modi ation,ainsiqueson oût

énergétique peut être étudié en détails. Cependant, l'énergie n'est pas toujours dire tement

utilisée. Elle semble parfois être sto kée, an qu'une fon tion puisse s'ee tuer un peu plus

tard.

Un exemple de sto kage d'énergiequi sembleêtre intéressant estlié à lafaçon dont

fon -tionne la protéine photosensible présente dans les ellules photoré eptri es de la rétine : la

rhodopsine.Grâ eàsonintera tion ave lalumière,elle rendl'oeilsensibleàlalumière.

L'a -tivation de ette protéine transmembranaire sefait ainsi. Après ex itation par un photon, le

rétinal,unepetitemolé uleau entrede etteprotéine, hangede onformation.Ce i

s'a om-pagned'unsto kaged'énergiedel'ordrede30

Kcal ∗mol

−1

,sousformed'énergievibrationelle

[1℄.Cependant, e n'est quequelquesmillise ondes après quele relargaged'énergie s'ee tue

sousformed'un hangement de onformation degrandeamplitude [67 ℄.Le ré epteurestalors

a tivé.Dans etexemple,lesto kaged'énergie s'ee tuesurdesé hellesdetemps plusde

10

9

foissupérieures auxé hellesharmoniques dusystème(qui sont de l'ordrede quelques

pi ose- ondes).Plusieurs interprétations sont possibles.On peut supposer quele sto kage d'énergie

s'ee tue sousformed'énergie potentielle( ommepar exemple via un hangement de

onfor-mation dont la modi ation d'énergie potentielle serait analogue à elle de la ompression

d'un ressort, qui resterait omprimé). On peut aussi supposer que ette énergie est sto kée

sousformed'énergie inétique(oud'agitationthermique),àsavoirviaunmouvementtrèspeu

oupléau reste dusystème qui aurait lapropriété de pouvoir sto kersusamment d'énergie

et e, ave un temps de vie long. Ce mouvement pourrait être le mouvement d'un groupe

d'atomes oubien eluiderésidusentiers.Defait, dans ettethèse,nousessaieronsdemontrer

que ette se onde hypothèse est sérieusement envisageable, etque le phénomène de

lo alisa-tionénergétique,sousforme inétique,pourraitbienee tivementseproduire,dansle asdes

aliser de l'énergie revient à s'aran hir des eets de la Physique statistique, à savoir du

théorème de l'équipartition de l'énergie : un système à l'équilibre est dansun état d'énergie

moyennehomogène.Il nes'ené arte quetrèsrarement.Lephénomène delo alisation

énergé-tiquea pourtant étésuggéré, par M Cammon, Gelin etKarplus, dès lapremière simulation

dedynamiquemolé ulaire d'uneprotéine(dansunedes ription"tousatomes"ave un

poten-tielnon-linéaire omplet) [5 ℄. Ils ont notamment observé que l'énergie inétique moyenne de

quelquesa idesaminés s'é artaitd'environ

10%

à

20%

del'équipartition et e,sur unedurée de 9

ps

. Cette é helle de temps, pourtant relativement ourte par rapport aux simulations a tuelles,apermià esauteurs desuggérerl'existen edepro essustelsquel'énergiepuissese

lo aliser sur quelques résidus pendant plusieurs périodes du mouvement harmonique le plus

lent d'uneprotéine.

An de pouvoir trouver des mouvements énergétiques dont la durée de vie est

susam-ment longue par rapport aux mouvements harmoniques du système, nous avons utilisé une

appro hedelaPhysiquenon-linéaire.Latentative laplus onnuedemodélisationnon-linéaire

de lo alisation d'énergie à temps de vie long à l'intérieur de ma romolé ules biologiques est

ellede Davydov,dansles années70 [2℄[3 ℄[4℄.L'idée qu'il aproposéétait de développer, via

unformalismedemé aniquequantique,unmouvementnon-linéairestablelelongdeshéli es

α

d'uneprotéine, emouvementpouvantretenirdel'énergiependantdestempslongs.Lapreuve

del'existen ede etypedevibration n'a ependantpasen oreétéexpérimentalement établie.

De plus, dans e modèle, les lo alisations énergétiques dé rites ne peuvent pas se dépla er

dans lesystème, ommenous pouvons imaginer que ela sepasse dansle asd'une protéine,

sauf dansle as d'uneapproximation ontinue dusystème [2 ℄.Dans ette thèse,l'idée est de

reformuler leproblèmeviaune des ription, lassiquenon-linéaire etbeau oupplussimple,de

lafon tion énergie delaprotéine.

Le point de départ a onsisté à s'inspirer de plusieurs résultats onnus de la Physique

non-linéaire dessystèmes unidimensionnels. En eet, lapremière simulation numérique d'un

système non intégrable, ee tuée en 1955 et appelée expérien e FPU (du nom des auteurs

Fermi,PastaetUlam), amontré quedessystèmesunidimensionels simplesave unseul type

de non-linéarité dansla fon tion énergieont des propriétés de transportparti ulières [31 ℄. À

ette époque, on pensait que le théorème de l'équipartition de l'énergie s'appliquait à tous

lessystèmes dynamiquesnon-intégrables.Dans le asd'unsystèmeave une fon tionénergie

"perturbée",ils s'attendaient don àobserverune "thermalisationappro hée", perturbéepar

lafaible anharmoni ité, l'énergieserépartissant de façonapproximativement égale selon

ha- une des diérentes dire tions harmoniques. Le résultat fut inattendu : lathermalisation ne

fut pasobservée.Defait,lasimulationdusystèmeperturbé permitdemettreenéviden edes

é helles de temps de relaxation extrémement longues par rapport auxé helles de temps

har-moniques du système.Depuislors, lessystèmesde typeFPU à1Dont largement étéétudiés.

Il a parexemple étémontré quedans ertaines onditions,par exemplelorsque ladissipation

se produit par les extrémités, es systèmes sont apables de retenir de l'énergie dans leur

stru ture[7℄[14℄[17 ℄[25℄.L'énergieestalors "piégée"d'unefaçon trèsfortementlo alisée.Le

mouvement asso iée est appellé "breather haotique", du fait de ses propriétés spe trales et

dynamiques parti ulières.Deplus, lesé hellesdetempsdedissipationde l'énergiedeviennent

nettement plus grandes que les é helles de temps les plus lentes du système. Lesanalyses de

e typedemouvementsont,par exemple,montréqu'iladespropriétéssingulières ommeune

s'avèrent apables desedépla erdans lesystème[37 ℄.

Nousnoussommes inspirésde estravauxande tenterderetrouver etypede résultats,

dansle asdesprotéines.Dans ettethèse, 'estlaméthodederelaxationparlesextrémitésqui

estutilisée ommeméthodedemiseenéviden ede esmouvementslo alisés.Dansunpremier

temps,notreobje tifprin ipalaétéd'étudierlespropriétésdeslo alisationsénergétiques,dans

le asdu modèleunidimensionnel perturbé par une faible non-linéarité.Nousavons, de ette

façon, pu évaluerla"résistan e" deslo alisations énergétiques auxvariations desparamètres

du système.Ensuite,nousavonsgénéralisélaméthodeutiliséeaux asdesagrégatsd'atomes,

puis à elui des protéines. Le but était de voir si es modèles tridimensionnels sont apable

de sto ker de l'énergie, malgré la dissipation de l'énergie par les atomes en surfa e. Dans le

as des protéines, nous avons pour ela utilisé un modèle dit à "gros grain" (en anglais :

oarse-grained), età "plus pro hes voisins", an de d'établir un réseau de onne tions entre

lesa ides-aminés. Lafon tion d'énergiepotentielle estensuitebâtieen plaçant des"ressorts"

sur ha une e esliaisons.Cetypederéseauélastiqueadenombreusespropriétésen ommun

ave ellesdesprotéinesréelles.Parexemple,ildé rittrèsbienlesu tuationsdes omposants

(a idesaminés)desprotéinesàtempératureambiante[44℄.Deplus,lesmouvementslentsde e

modèleprotéiquesont apablesdefournirunebonnedes riptiondumouvementdesprotéines

réelles lors de la xation d'un ligand [54℄, [55℄, [56℄ [57℄. Ensuite, les ressortssont perturbés

de lamême façon que dansle potentielde Fermi, Pasta et Ulam.

Nousavonspumontrerque emodèledeprotéinepermetd'obtenirdeslo alisations

d'éner-gie d'origine non-linéaire. Les lo alisations énergétiques ainsi générées peuvent à la fois se

dépla er danslesystème, etretenir beau oupd'énergie (sur unseul a ide aminé). Les

lo ali-sationsgénéréesseformenten olle tantleurénergiesurplusieursa idesaminésvoisins.Cette

olle te est très e a e puisqueles lo alisations énergétiquesarrivent àsto ker, en moyenne,

l'équivalentdel'énergieinitialedetousleursvoisins.Lespropriétésde eslo alisationsont

en-suiteétéétudiéesenfon tiondeladistan edessitesd'ex itationàlasurfa eoudelatopologie

du réseaude liaisons.Ce inousapermisde validernotremodèle, ens'inspirantdesrésultats

onnus pour les protéines réelles. En eet, le Catalyti Sites Atlas, une banque de données,

ontient un grand nombre d'enzymes ainsique la des ription de leurs sites atalytiques. Les

informations ontenues dans ette banque nous ont permis d'ee tuer desstatistiques. Nous

avonsmontré queles sitesde lo alisationénergétiquesont souvent dessitestrès enfouisdans

la stru ture, e qui est aussi vrai pour les sites atalytiques. Ce résultat, pourtant à priori

ontre intuitif, la fon tion atalytique né essitant un onta t ave les ligands, nous onforte

dansnotredémar he quiméritedon d'être poussée,notammenten passant àdes

représenta-tions plus réalistesdes protéinesetde leurfon tion énergie.

Le travailqui vaêtre présenté dans ettethèse omporte don quatreparties:

Danslapremièrepartiedumanus rit,unsystèmeunidimensionelestprésenté.Laméthode

permettant de viderl'énergiedusystèmeainsiqued'isolerdel'énergieausein delastru ture

est détaillée. Quelquespropriétés on ernant la générationde lo alisationsénergétiques ainsi

que la mobilité de elles- i sont données. La deuxième partie de la thèse est une

généralisa-tion de la méthode à 3 dimensions. Les systèmes tridimensionnels étudiés dont des agrégats

d'atomes. La troisième partie dé ritla modélisation du systèmeprotéique. On ymontre que

laméthode de dissipationpar lasurfa e permetaussid'obtenir deslo alisations énergétiques

d'origine non-linéaire ausein delastru ture.L'inuen ede latopologieduréseau deliaisons

s'éta-estuneétudestatistiquedelarigidité dessites atalytiques.Tout e ipermetdeproposerun

modèle on ernant lespropriétés dynamiques dessites atalytiques.

Le bilan de es troisannéesd'étude etles perspe tives de e travail sont,ensuite évoqués

1 Modèleà 1 Dimension 9

1.1 Présentation du modèlelinéaire . . . 9

1.1.1 La ontribution deFermi,PastaetUlam en 1955 . . . 9

1.1.2 La haîneFPU . . . 11

1.2 La relaxationpar les extrémités:Une méthode de miseen éviden ede lo ali-sation d'énergie . . . 12

1.2.1 La dynamique. . . 13

1.2.2 Mode lo alisé . . . 14

1.3 Propriétés de lalo alisation énergétique . . . 15

1.3.1 Propriétés dynamiques . . . 15

1.3.2 Propriétés spatiales . . . 23

1.3.3 Propriétés dans l'espa edesmodes . . . 24

1.4 Générer unbreather haotique . . . 28

1.4.1 La lo alisation d'énergie . . . 29

1.4.2 Quelques onditions d'existen e deslo alisations d'énergie . . . 32

1.4.3 La Dé roissan e d'énergie . . . 36

1.4.4 Des onditions d'existen edonnées par laDé roissan e de l'énergie . . . 39

1.4.5 Inuen e del'énergieinitiale surla réationdeslo alisationsd'énergie . 42 1.4.6 Cas parti ulier desdynamiquesà distan einteratomique faible . . . 46

1.5 Con lusion. . . 53

2 Modèleà 3 Dimensions 59 2.1 Présentation du modèle . . . 59

2.2 La relaxationpar lasurfa e :UneMéthode demiseen éviden edelo alisation d'énergie. . . 61

2.2.1 La dynamique. . . 61

2.2.2 Mode lo alisé . . . 62

2.3 Propriétés de lalo alisation d'énergie . . . 63

2.3.1 Propriétés dans l'espa eréel . . . 63

2.3.2 Propriétés dans l'espa edesmodes . . . 66

2.4 Générer une lo alisationénergétique . . . 69

2.4.1 La lo alisation d'énergie . . . 69

2.4.2 Inuen e del'énergieinitiale . . . 69

2.4.3 Les sitesprivilégiés . . . 72

3 Modèlede protéine 79 3.1 Présentation du modèle . . . 79

3.1.1 Les protéines . . . 79

3.1.2 Stru ture étudiée . . . 81

3.1.3 La stru ture simpliéeetlepotentiel . . . 81

3.2 La relaxationpar lasurfa e :UneMéthode demiseen éviden edelo alisation d'énergie . . . 83

3.2.1 La dynamique. . . 84

3.2.2 Mode lo alisé . . . 85

3.3.2 Propriétés dans l'espa edesmodes . . . 88

3.4 Générer une lo alisationénergétique . . . 92

3.4.1 La lo alisation d'énergie . . . 92

3.4.2 La dé roissan e d'énergie . . . 94

3.4.3 Inuen e del'énergieinitiale . . . 95

3.4.4 Les sitesprivilégiés . . . 98

3.4.5 Les autres protéinesetles autres modèles . . . 102

4 Propriétés statistiques des sites atalytiques : Justi ation du modèle 107 4.1 Propriétés générales desrésidus atalytiques . . . 107

4.2 La distan eà lasurfa e . . . 108

4.3 L'enfouissement statistiquedesrésidus atalytiques . . . 110

4.4 Quelquesrésultats onnus sur lessites atalytiques . . . 110

4.5 Les modesnormaux . . . 112

5 Con lusion et Perspe tives 119 6 Annexes 123 6.1 Les modesnormaux . . . 123

6.2 La minimisation d'énergie . . . 124

1.1 Evolution temporellede l'énergiedes4 modesde Fourier impairs lespluslents

danslesystème deFermiPasta etUlam de1955 . . . 10

1.2 Chaînelinéaire d'atomes (enblan ) liéspar desressorts(enrouge) . . . 11

1.3 Energiepotentielleenfon tiondudépla ementautourdelapositiond'équilibre

pour 3typesde potentiel:lepotentielharmonique,FPU etlaperturbation. . . 12

1.4 Énergie desatomes dela haîne enfon tion du temps. . . 14

1.5 Atome le plus énergétique à haque instant en fon tion du temps et position

atomique moyenne del'atome leplus énergétique. . . 16

1.6 Un rebond delalo alisationénergétique, au ours de ladynamiqueA. . . 17

1.7 Intera tion de la lo alisation énergétique ave les bords (sans dissipation et

dissipation surl'atome 10). . . 18

1.8 Mouvementd'unelo alisationénergétiquedansla haîne(énergieetlogarithme

de l'énergie). . . 19

1.9 Energie sur haque atome dansla haîne (dynamiqueA) . . . 21

1.10 Energie sur haque atome dansla haîne pour desvitesses initiales diérentes. . 21

1.11 Energie sur haqueatome de la haîne lors de ladissipation d'unelo alisation

haotique . . . 22

1.12 Vitesses instantanées desatomes àlan de lasimulation. . . 24

1.13 Vitesses au arré desatomesmoyennées à lande lasimulation. . . 25

1.14 Spe tredeFourierdumouvementdeplusieursatomesautourd'unelo alisation

énergétique . . . 26

1.15 Graphe tiré de [37℄.Pulsation

ω

B

du breather enfon tion de sonénergie.. . . . 27 1.16 Dé ompositionsurlesmodesharmoniquesdumodebreatherdéterminéparune

ACP . . . 29

1.17 Fon tion de lo alisation enfon tion du temps. . . 30

1.18 Position de l'atome leplus énergétique de la haîne à haque instant sur deux

intervalles . . . 31

1.19 Lissage de lafon tionde lo alisation enfon tion du temps . . . 32

1.20 Fon tiondelo alisationdusystèmeenfon tiondutempspourlepotentielFPU

etlepotentielharmonique . . . 33

1.21 Fon tion de lo alisation du système en fon tion du temps pour les onditions

aux bords:libres etxes. . . 34

1.22 Fon tion de lo alisation du système en fon tion du temps pour les onditions

aux bords : dissipation mise sur les atomes

1

et

N

, dissipation mise sur les atomes

2

et

N − 1

. . . 35 1.23 Énergie totale du systèmeen fon tion dutemps. . . 36

1.24 Fon tion de dé roissan e de l'énergie en fon tion du temps pour le système

FPU, pourlesystèmeharmonique,pourune relaxationexponentielle ainsique

lafon tion de t proposéepar [27 ℄. . . 37

1.25 Fon tion de dé roissan epour troisvaleursde

γ

diérentes. . . 39 1.26 Fon tion de dé roissan e de l'énergie du système en fon tion du temps pour

diérentes longueursde haîne. . . 40

1.27 Fon tion de dé roissan e de l'énergie du système en fon tion du temps pour

diérentes énergies initialesainsique lafon tion tproposée par S.Aubry . . . 41

1.29 Valeur de

L

∞

de laformule proposée par F. Piazza [28 ℄ pour ter la fon tion

de lo alisation enfon tion de l'énergieinitiale . . . 44

1.30 Temps de demilo alisation

t

0

enfon tion delavaleurmaximale delafon tion de lo alisation . . . 44

1.31 Energie nale de la haîne en fon tionde lavaleur maximalede lafon tion de lo alisation. . . 45

1.32 Vitesse des lo alisations énergétiques en fon tion de la valeur maximale de la fon tion de lo alisation. . . 46

1.33 Positions desatomesen fon tion de leur numéro à lande lasimulation pour une haînedansun étatdésordonné. . . 47

1.34 Positions de quelquesatomesautemps ourtave une valeur d'énergie initiale élevée etune valeurde distan einteratomique faible. . . 48

1.35 Positions des atomesen fon tion de leur numéro pour une haîne de 5 atomes pour unexemple. . . 50

1.36 Potentielinter atomique del'atome 1 ave l'atome 2 xé.. . . 51

1.37 Exemple simpliéd'évolutiond'une haîne de6 atomes. . . 51

1.38

L

1

et

L

2

enfon tion de l'énergieinitiale. . . 52

1.39 Evolution temporelle desatomesà lande l'intégrationpour une haîne dans un étatdésordonné . . . 54

2.1 Agrégat I osaédriquede 561 atomes. . . 59

2.2 Cou hessu essivespour l'agrégat i osaédrique :de uneà quatre ou hes. . . . 60

2.3 Liaisons dansle asde l'agrégat à une ou he. . . 61

2.4 Energie de plusieurs atomesde l'agrégat en fon tiondu temps. . . 63

2.5 Energie desdeuxatomesles plusénergétiques del'agrégat en fon tiondu temps. 64 2.6 Positionsdesdeuxatomeslesplusénergétiquesdel'agrégatenfon tiondutemps. 64 2.7 Agrégat de 923 atomes. . . 65

2.8 Représentation destrois première ou hes del'agrégat. . . 65

2.9 Proje tiondumouvementdesatomessur eluid'unatome entralàlalo alisation. 67 2.10 Spe tredepuissan edumouvementd'undesdeuxatomes entraux dela lo a-lisation énergétique . . . 67

2.11 Dé omposition dumode breather sur labasedesmodesnormaux. . . 68

2.12 Fon tion de lo alisation enfon tion du temps pour lemodèle de l'agrégat . . . 69

2.13 Valeur maximale de la fon tion de lo alisation en fon tion de l'énergie initiale pour diérentsagrégats. . . 70

2.14 Positions des deux atomes les plus énergétiques de l'agrégat à 6 ou hes en fon tion de lavaleurmaximale de lalo alisation. . . 73

2.15 Atome leplusénergétique delastru ture en fon tion delavaleur de MaxL . . 73

2.16 Energie de l'agrégat à la n de la relaxation en fon tion de l'énergie des deux atomesles plus énergétiques. . . 74

2.17 Energie de l'agrégatà lande larelaxationen fon tion delavaleurmaximale de lafon tion de lo alisation. . . 74

3.1 Stru ture d'uneprotéine . . . 80

3.2 La itrate synthase.. . . 82

3.3 Positions des

C

α

de la itratesynthase . . . 82

3.4 Modèleétudié :les liaisonssont al ulées pour un ut-ode10 Å . . . 82

3.5 Energie des résidus THR 208 A, ALA 209 A et l'énergie totale de la protéine en fon tion dutemps . . . 86

3.7 Énergie durésiduleplusénergétiquedela itrate synthaseetdurésidu entral

de lalo alisation énergétiqueen fon tion dutemps . . . 87

3.8 Représentation desrésiduspar dessphèresetdeleur énergiepar uneé hellede ouleurs. . . 89

3.9 Représentation du oeurdela itrate synthase. . . 89

3.10 Dire tion du mouvement des résidus projetée sur la dire tion du mouvement du résidu entral àlalo alisation. . . 90

3.11 Spe tredepuissan edumouvement durésidu entraldelalo alisation énergé-tique . . . 90

3.12 Dé omposition dumode lo alisé surlabasedes normaux. . . 91

3.13 Evolution dela fon tionde lo alisationde la itrate synthase . . . 93

3.14 Lissage de lafon tionde lo alisation . . . 93

3.15 Fon tion de dé roissan ede l'énergie en fon tion du temps . . . 94

3.16 Valeur maximale delafon tion de lo alisationen fon tion de l'énergieinitiale . 95 3.17 Valeur de

t

0

en fon tionde l'énergieinitiale . . . 96

3.18 Valeur moyenne <E> du résidu le plus énergétique de la itrate synthase en fon tion de l'énergieinitiale . . . 97

3.19 Energie totaledelaprotéineenfon tion del'énergiedurésidu leplusénergétique 98 3.20 Energie desdiérentssystèmes àlan dela simulation. . . 99

3.21 Numéro du résidu le plus énergétique en fon tion de la valeur maximale de la fon tion de Lo alisation . . . 100

3.22 Nombre de liaisons par résidu dans la itrate synthase en fon tion du numéro du résidu. . . 101

3.23 Nombredeliaisonsparrésidupourunepartiedela itratesynthaseenfon tion du numéro du résidu. . . 103

3.24 Contribution des10 modesnormauxde plushautefréquen ede la itrate syn-thase en fon tiondu numéro du résidu. . . 103

4.1 Probabilité qu'un résidu soit atalytique en fon tion de son type. Graphe tiré de [59 ℄.. . . 107

4.2 Distan e minimale àlasurfa e de haque résidu de la itratesynthase . . . 108

4.3 Statistique de la distan e minimale à la surfa e pour tous les résidus et pour les résidus atalytiques . . . 109

4.4 Probabilité du nombre de liens pour un résidu quel onque et pour un résidu atalytique. . . 110

4.5 Statistique de l'a essibilité ausolvent. Graphe tiréde [59℄. . . 111

4.6 Statistique desfa teursB. Graphe tiré de[59℄ . . . 112

4.7 Constante defor epour haque résidu delaperoxidasedu raifort.Graphe tiré de [34 ℄ . . . 113

4.8 Contribution au mouvement de haque résidu du1/5-ième desmodesdebasse fréquen e, en fon tion du1/5-ième desmodesde hautefréquen e. . . 115

4.9 Contribution au mouvement de haque résidu atalytique du 1/5-ième des modes de basse fréquen e, en fon tion du 1/5-ième des modes de haute fré-quen e . . . 115

1 Lo alisation roissanteave une u tuation de lo alisationdé roissante. . . 30

2 Résidu où l'onobserve lalo alisation . . . 100

Fermi,PastaetUlamen1955[31 ℄ontétudiéunsystèmeàunedimension,dontles

proprié-tésrelativesàl'équipartitiondel'énergiesesontavéréesintéressantes.Cettethèseestl'undes

nombreuxprolongements de e travail pionnier. Notre systèmed'étude esten eet semblable

au leur.La méthode utiliséedans ette thèseestpar ontrediérente. Ellepermetd'yex iter

deslo alisations énergétiques.

1.1 Présentation du modèle linéaire

1.1.1 La ontribution de Fermi, Pasta et Ulam en 1955

Fermi, Pasta et Ulam ont voulu étudier la thermalisation d'un système en fon tion du

type de non-linéarité de la fon tion énergie potentielle hoisie [31℄. Pour ela, ils ont simulé

une haîne unidimensionnelle de parti ules reliées entre elles par un potentiel non-linéaire.

L'hamiltonien était lesuivant :

H =

N

X

i=0

˙

u

2

_i

2

+

1

2

(u

i+1

− u

i

)

2

₊

β

4

(u

i+1

− u

i

)

4

!

(1)

où

u

i

est une fon tion du temps représentant le dépla ement de laparti ule ipar rapport à sa position d'équilibre,

β

est le poids de la ontribution non-linéaire et

N

est le nombre de parti ulesdela haîne. Leterme

β

4

(u

i+1

−u

i

)

4

estajoutéparrapportaupotentielharmonique

1

2

(u

i+1

− u

i

)

2

.Ce potentiel, non-linéaire, est dit"perturbé" par rapportau potentiel harmo-nique.

Les onditionsinitiales,né essairespouree tuerdesdynamiques,étaientobtenuesàpartir

desmodesdeFourier(aussiappelésmodesharmoniques).Ils'agitdeNve teursdépla ements

des parti ules

N

~

k

₌





N

₁

k

...

N

_N

k





, pour

k ∈ [1, N]

, dénissant une base orthonormée de

R

N

.

Pourdes onditionsauxbordstellesquelesextrémitéssontxes, 'est-à-dire,

u

0

= u

N +1

= 0

, on a

N

k

i

= sin(

ikπ

N

)

(voir annexe 6.1). L'état du système peutêtre suivi pour ha un de ses modes.Oné rit:

A

k

(t) =

N

X

i=1

u

i

(t)sin(

ikπ

N

)

(2)

où une fréquen e harmonique

ω

2

k

= 4sin

2

(

2N

kπ

)

est asso iée à haque mode

k

. Si

β = 0

, elle orrespondà lafréquen ed'os illation de

A

k

(t)

.

Initialement, l'énergieestmisesurunseul desmodes.Onregarde l'évolution de l'énergie,

notée

E

k

,pour ha un d'eux :

E

k

=

1

2

A

˙

2

k

+ 2 ∗ A

2

k

∗ sin

2

(

πk

2N

)

(3)

où

A

˙

k

est ladérivée temporelle de

A

k

.Deplus, à

t = 0

,les dépla ements initiaux

u

i

(0)

sont hoisis nuls pour tousles i.

mode

N

~

k=1

de plus basse fréquen e du système, un omportement tout à fait original est

observé(voirgure1.1):l'énergiesedissipeverslesmodesimpairs(

k = 3, 5, 7, ..

).Cependant, elle- i revient presque omplètement sur le mode initial (à quelques % près), en d'autres

termes, elle serelo alise, e après plusieurs entaines de périodes

T

1

dumode le plus lent du système (

T

1

∼ 32

y les).

Fig.1.1Evolutiontemporelledel'énergiedes4modesdeFourierimpairslespluslents(

A

1

,

A

3

,

A

5

,

A

7

). At=0, l'énergieestmisesurle mode

k = 1

,E(0)=300, N=16,

β = 8

[31℄.

La non-linéarité aurait du garantir une évolution vers l'équipartition d'énergie dans des

temps ourts par rapport aux é helles de temps du système. Des omportements de non

équipartition sont pourtant apparus du fait de la trop lente thermalisation du système. Le

tempsd'appro hedel'équilibrethermiquen'apaspuêtredéterminé.Cerésultatestappeléle

paradoxeFPU(du nomde sesauteurs Fermi,PastaetUlam):l'ajout d'unenon-linéarité au

potentiel ne garantit pasune équipartition rapide de l'énergie. Rappelons que si le potentiel

était linéaire, iln'yaurait pasde ouplage entreles modesetl'énergieresterait onstantesur

le mode d'ex itation.

Fermi, Pasta et Ulam ont don montré, qu'un potentiel sophistiqué n'est pas né essaire

pourprovoquerdes omportementsdenonéquipartition.Ilsontdeplusmontré que eseets

nesontpasparti uliers àlanonlinéaritédel'équation1maissontplusgénériques, 'estàdire

qu'on observe e typede omportement pourd'autres valeursdu oe ient

β

dela ontribu-tion non-linéaire et pour d'autres ordres (exposants du terme) de perturbation non-linéaire.

De nouveaux outils sont né essaires pour omprendre es omportements. Cette "petite

dé- ouverte" omme la qualia Fermi [31℄ allait être à l'origine d'une nouvelle bran he de la

La première partie de ette thèse est un lointain prolongement de l'étude ee tuée par

Fermi, Pasta et Ulam. Le système que nous étudions est onstitué d'une haîne homogène

deN masses reliées entre ellespar unpotentielde typeressort non-linéaire. Les mouvements

étudiéssont euxdesmasses,que nousappellerons aussiatomes.

Fig.1.2 Chaînelinéaire d'atomes (enblan ) liéspar desressorts(enrouge)

La haîne de lagure1.2possède 20atomes. Cha un d'eux estlié à sonvoisinde gau he

ainsiqu'àsonvoisindedroite.Pour haqueliaison,unpotentielestdéniquidépendseulement

deladistan eentrelesdeuxatomesliés.Lepotentielinteratomique onsidéréestunpotentiel

harmonique de type ressort perturbé par une non-linéarité. Ce potentiel, le même que elui

de Fermi, Pasta etUlam,estappelé"

β

FPU".La valeurde

β

xelepoidsde la ontribution non-linéaire. Notons

x

lavaleur dudépla ement autourde laposition d'équilibre.

V (x) =

1

2

x

2

₊

β

4

x

4

(4)

Le potentiel est dé omposé en deux parties : la ontribution harmonique et la ontribution

non-linéaire. La gure1.3 ompare lepotentielFPUàsesdeux ontributions pour unevaleur

de

β = 1

.Cettevaleurest ellequisera adoptéedanslasuitede lathèse.Lestroispotentiels delagure1.3sontsymétriquesparrapportaudépla ementautourdelapositiond'équilibre:

x = 0

. La valeur du potentielharmonique est toujours supérieureà laperturbation, dansla gamme d'amplitude orrespondant à

|x| <

√

2

. Le rapport entre les deux potentiels est au maximumde

4.5%

pour

|x| < 0.3

.LepotentielFPUpeutalorsêtreapproximéparlepotentiel harmonique. Plus

|x|

grandit, plus le rapport entre laperturbation et l'harmoni ité grandit. Apartirde

|x| > 0.3

,leterme en

x

4

devient non négligeable.

Dansnotre étude, noustravaillons ave la perturbation d'ordre 4. Il s'agitde lapremière

perturbation symétrique du potentiel harmonique. Le potentiel perturbé à l'ordre 3 est

ap-pelé "

α

FPU". Il est dissymétrique par rapport à laposition d'équilibre. Le système

α

FPU est don plus rigide pour les

x

positifs que les

x

négatifs. La diusion de l'énergie est alors diérente vers la gau he et vers la droite du système. C'est notamment pour s'aran hir de

pour 3 types de potentiel : le potentiel harmonique (vert), FPU (rouge) et la perturbation

(bleu).

β = 1

.

1.2 La relaxation par les extrémités : Une méthode de mise en éviden e

de lo alisation d'énergie

En 1955, le système de Fermi Pasta et Ulam avait été étudié en ex itant la haîne, soit

parunmode (

k = 1

, ommeilaétéprésenté),soit parplusieurs modesharmoniques debasse fréquen e [31 ℄. Dans les études qui suivirent, l'état initial était une ombinaison linéaire de

modeslents [15℄, [16℄.Peu d'étudesont été ee tuées en ex itant lesystème via un mode de

haute fréquen e [17℄ [25 ℄.Dans e dernier as, il a étémontré que lesystème FPUpasse par

une période transitoire avant l'équipartition, durant laquelleun mouvement orrespondant à

un"sto kage"d'énergiesurquelquesatomespeutêtreex ité.Plusieursméthodessontensuite

apparues permettant d'obtenir e typede mouvement. Par exemple,en dissipant l'énergiedu

système par les atomesdes extrémités, il a été montré [7℄ [14 ℄ que le système est apable de

retenir une partie de sonénergiependant de longues durées, orrespondant à de nombreuses

périodesdumode harmonique leplus lent dusystème.

C'est ettedernière méthodequi est utiliséedans ette thèse.Elle permetde mettre

fa i-lement en éviden e les lo alisations d'énergie, sans avoir à faire d'hypothèse parti ulière, en

Le système étudié au ours de ette thèse est le suivant. Il s'agit de

N

atomes liés, dont l'hamiltonien s'é rit :

H =

N

X

i=1

m

i

˙x

2

i

2

+

N −1

X

i=1

(V (|x

i+1

− x

i

| − a))

(5)

où

x

i

est la position du i-ème atome,

x

˙

i

, la dérivée par rapport au temps de la position du i-èmeatome,

m

i

,lamassedui-èmeatomeet

a

,ladistan ed'équilibre entredeuxatomesliés. Celui- i se dé ompose en deux parties. La somme de droite orrespond à l'hamiltonien des

liaisonsde la haîne. Ilyena

N − 1

.Lapartie gau he orrespondauxénergies inétiquesdes atomes.

An d'explorerlasurfa e d'énergie potentielle, on ee tuedesdynamiques.Pour ela,on

se sert des équations du mouvement suivantes, où un terme de dissipation a été ajouté aux

extrémités dela haîne (atomes

1

et

N

):

m

i

x

¨

i

=

∂V

∂x

(|x

i+1

− x

i

| − a) −

∂V

∂x

(|x

i

− x

i−1

| − a) − (δ

i,1

+ δ

i,N

)γ ˙x

i

(6) où

x

¨

i

est la dérivée se onde par rapport au temps de la position du i-ème atome,

∂V

∂x

est la dérivéedupotentielinteratomiqueparrapportàlapositionx,

γ

estla onstantederelaxation et

δ

ij

est le symbole de Krone ker. Le terme de droite orrespond à un bain thermique de température nulle, 'est-à-direave leseulterme de relaxationd'une dynamiquedelangevin.

(δ

i,1

+δ

i,N

)γ

estnulsaufpour

i = 1

et

i = N

.End'autrestermes,lesystèmedissipesonénergie par lesbords. Notez quedansnotre étudeet ontrairement àFermietses ollaborateurs, les

extrémités sont libres, 'est-à-dire sans ondition spé iquepour :

x

¨

1

(t)

,

˙x

1

(t)

,

x

¨

N

(t)

,

˙x

N

(t)

. Ce hoixestjustiédanslapartie1.4.2.Deplus,dans eséquations,lesatomessontassimilés

à despointsde rayonnul. Au un ho répulsifne seradon onsidéré entreeux.

Les solutions des équations du mouvement sont approximées par la méthode des

dié-ren es nies. C'est-à-dire que onnaissant la position et la vitesse des atomes au temps

t

, unalgorithme permetde déterminerleurs positions etleurs vitesses autemps

t + δt

. L'algo-rithmeutiliséparlasuiteestunevariantedel'algorithmedeVerlet[62 ℄[63℄.C'estl'algorithme

"Saute-Mouton" (LeapFrog)[61 ℄.Il estdéni par :

x

i

(t + δt) = x

i

(t) + ˙

x

i

(t +

1

2

δt).δt

(7)

˙

x

i

(t +

1

2

δt) = ˙

x

i

(t −

1

2

δt) −

∂

∂t

(

1

2

(V (|x

i+1

− x

i

| − a) + V (|x

i

− x

i−1

| − a))).δt

(8) où

δt

est lepasd'intégration. L'intégration sefait depuis

t = 0

jusqu'autemps nal, noté

t

f

. Lespositions initiales hoisies sontlespositionsd'équilibre, 'est-à-dire:

x

i

(t = 0) = i ∗ a

. Les vitesses initiales

x

˙

i

(t = 0)

sont al ulées via la statistique de Maxwell-Boltzmann. Leur répartition est gaussienne, entrée sur 0, ave une varian e au arré égale à l'énergie initiale

parsite

E(0)/N

,où

E(0)

est l'énergieinitialedu système.

Ci après,les paramètres suivants sont onsidérés. Le nombre d'atomes

N

est mis à 256. Lesmasses

m

i

desatomessont misesà1.Pourune telle haîne, lesmouvementsharmoniques

qu'il faut aumoins10 pasparpériodepour intégrer orre tement un mouvement périodique.

Desmouvementspériodiques

15

foisplusrapidesquelemouvement harmoniqueleplusrapide seraient don orre tement intégrésave unpasde

0.02

.Lavaleur deladissipation

γ

,miseà 0.05, estprise dansl'ordrede grandeurdesfréquen es harmoniquesquivontde

f

1

= 0.0016

à

f

N

= 0.318

.Letemps ara téristiquedeladissipation

1

γ

ainsiqueladistan ed'équilibreentre atomesdénitunordredegrandeur d'énergie

∼

1

2

(aγ)

2

∼ 0.00125

,siladistan e

a

d'équilibre entre atomes est mise à 1. On hoisit une énergie initiale par site plus grande que ela. Elle

vaut

E(0)

N

= 0.05

.La premièredynamiqueainsi ee tuéeestappelée "dynamiqueA".

1.2.2 Mode lo alisé

Au oursdeladynamiqueA,onsuituneobservabledusystème:l'énergietotalede haque

atome. Cetteénergieest déniepour lei-èmeatome par :

E

i

(t) =







1

2

˙x

2

i

(t) +

1

2

(V (|x

i+1

− x

i

| − a) + V (|x

i

− x

i−1

| − a))

Pour i=2 jusqu'àN-1

1

2

˙x

2

1

(t) +

1

2

(V (|x

2

− x

1

| − a))

Pour i=1

1

2

˙x

2

N

(t) +

1

2

(V (|x

N

− x

N −1

| − a))

Pour i=N

Le terme degau he estl'énergie inétiqueautemps t del'atome i. Letermede droite est

l'énergie potentielle desdeux ressorts su essifs,equirépartie sur ha un d'eux. Sur la gure

1.4, on montre l'énergie de haque atome de la haîne, à haque instant de la simulation,

dé riteave uneé hellede ouleurs.Celle- ivadunoirpourlesénergiesfaiblesjusqu'aublan

pour les énergiesfortes.

Fig.1.4Énergiedesatomesdela haîneenfon tiondutemps.L'énergieinitialementrépartie

danstoute la haîne a tendan e à se lo aliser sur quelquesatomes. L'énergie desatomes qui

restent "ex ités" à la n de la simulation (

∼ 0.09

) est plus grande que l'énergie moyenne initialepar site :

E(0)

N

=0.05.

Entre

t = 0

et

∼ 10

5

unités de temps, l'énergieest répartie danstoute la haîne. Celle- i

nulle. A partir de

t = 10

5

unités de temps, on entre dans une phase où l'énergie tend à se

lo aliser sur quelques atomes. La lo alisation d'énergie devient ensuite de plus en plus

mar-quée.Ellesedépla ed'unsite àl'autresanssedéstru turer.Cephénomèneest omplexe.Par

exemple,entre

4 ∗ 10

5

et

6 ∗ 10

5

unités de temps, lalo alisation a un omportement de type

balistique.Elle rebonditprès desbords, apparemment sansperte d'énergie.La traje toire de

lalo alisationdevientensuiteplus omplexe.Alande lasimulation,l'énergiedela

lo alisa-tionestessentiellementdistribuée surdeuxatomes.Cha unde esdeuxatomesauneénergie

∼ 0.09

. Leur énergie est don plus grande que l'énergiemoyenne initiale (

E(0)

N

=0.05), e qui estl'une despropriétés ara téristiquesde e type dephénomènes.

Laméthodederelaxationpar lesbordspermetdon de faireapparaîtreun omportement

parti ulier dans la haîne. Une omposante énergétique très lo alisée spatialement ave un

temps de vie supérieurà 1000 fois lapériode du mouvement harmonique leplus lent du

sys-tème(

T

1

= 628

unitésdetemps)estpiégéedansla haîne.Onparlede"modeintrinsèquement lo alisé"(Intrinsi Lo alizedMode :ILM[23 ℄). Comme il estdétaillé par la suite, e

mouve-mentestaussiappelé"breather haotique"dufaitdesespropriétés dynamiquesparti ulières.

1.3 Propriétés de la lo alisation énergétique

Quelques ara téristiques des lo alisations d'énergie vont maintenant être dé rites, en e

qui on erne leur réation, leur mouvement et leur mort. Les propriétés spatiales et

spe -trales de esstru turessont ensuiteexposées,ainsiquequelques onditions né essairesà leur

apparition.

1.3.1 Propriétés dynamiques

1/ La réation d'unelo alisationd'énergie.

Commeilvientd'êtrevu,unelo alisationd'énergieestunphénomène énergétiqueasso ié

à quelquesatomesàlafois.And'enétudierlaphasede réation,l'atomeleplusénergétique

de la haîne estsuivi à haque instant, pour les temps ourts de lasimulation A (voir gure

1.5).

Aux premiers instants de la dynamique (

t < 0.5 ∗ 10

4

unités de temps), les positions

d'énergie maximale sont distribuées relativement uniformément danstoute la haîne. La

po-sition moyenne, sur un intervalle de

4 ∗ 10

3

unités de temps, de l'atome le plus énergétique

ommen e ependant à os iller le long de la haîne. Une lo alisation nette est évidente vers

∼ 2 ∗ 10

4

unitésdetemps.Elleestalorssituéeprèsdel'atome

225

.Elle rebonditensuitesurle bord de la haîne. A e moment, lalo alisation n'est pasen ore lemouvement onstamment

leplus énergétique de la haîne. D'autres atomes, "loin" de la lo alisation, sont parfois plus

énergétiques que elle- i. On peut aussi noter la présen e d'autres lo alisations énergétiques

qui,vers

0.7 ∗ 10

4

unités de temps, sont près de l'atome 10 ou de l'atome 225. De lamême

façon, ellesrebondissent ontre les bords, mais, par ontre, ont tendan e à être de moins en

moinsvisibles,aufur età mesurequeletemps passe.

L'os illation delapositionmoyenne du site leplusénergétique, surune fenêtre de

4 ∗ 10

3

unités de temps (voir gure 1.5) montre que, dès les premiers instants de la simulation, les

0

0.5*10^4

10^4

1.5*10^4

2*10^4

2.5*10^4

t

0

25

50

75

100

125

150

175

200

225

250

n° atome

Fig. 1.5  Atome le plus énergétique à haque instant en fon tion du temps (points noirs).

Positionatomique moyenne del'atomeleplusénergétiquesurunefenêtrede

4 ∗ 10

3

unités de

temps ( ourbe rouge).

durant laquelleuneinstabilité roîtestappeléeinstabilitédemodulation ouinstabilité

modu-lationnelle [20℄.

Pour lesystèmedeFermiPastaetUlam,ilaétémontré[20 ℄quelaplusgrandeamplitude

d'ex itation lo ale du système onduit à une lo alisation d'énergie. Il aaussi étémontré que

des mouvements lo alisés existent à diérentes énergies [14 ℄ et que les ollisions inélastiques

entre lo alisations d'énergie ont une tendan e à favoriser l'apparition d'une lo alisation plus

énergétique auxdépendsdesmoinsénergétiques [21 ℄,[22 ℄.La lo alisation laplusénergétique

a tendan e à olle terl'énergiedesautres lo alisations. Le nombred'objetslo alisésdiminue

alors etseul lemouvement d'énergie maximale survit.

Le phénomène d'instabilité modulationnelle, durant lequel une perturbation va a roître

son amplitude, est un phénomène présent dans d'autres systèmes. Par exemple en optique,

lorsque qu'une légèremodulationen amplitude vient perturberun fais eau ontinu uniforme

sepropageantdansunmatériaunon-linéaire.Ilexistedes onditionsdanslesquelleslefais eau

peutse dé omposer en plusieurs trains d'ondes su essifs dis rets. Onappelle e phénomène

l'autolamentation du fais eau[18 ℄.

2/ Mouvement d'unelo alisation

La longue durée de vie d'une lo alisation énergétique implique que ette stru ture est

d'une part très peu ouplée à la dissipation, 'est-à-dire aux bords, mais aussi qu'elle est

apable de sepropager sansdéformation danslesystème.Dansun premiertemps,un rebond

de lalo alisation d'énergie de la dynamiqueA est analysépuis, quelques ara téristiques de

lo alisation, à

t = 1.8 ∗ 10

6

.

Fig.1.6Unrebonddelalo alisationénergétique,au oursdeladynamiqueA.Ladissipation

d'énergie ne se produit qu'au niveau de l'atome 1. La vitesse est opposée après le rebond,

omme lorsd'uneréexion élastique. Durant e rebond,laperted'énergie totale dela haîne

est de

0.08%

.

Lors de son mouvement, la lo alisation est étalée prin ipalement sur quelques atomes.

Soit deuxatomes entraux de même énergie,soit unseul,sontsu essivement ex itéslors du

dépla ement de la lo alisation de site en site. La forme générale reste la même au ours du

dépla ement.Avantetaprèsunrebond,l'étalementdelalo alisationestlemême etlavitesse

ne hange pas. La réexion se fait à une distan e d'environ

10

atomes du bord.Au moment du rebond,l'étalementdelalo alisationsemblelégèrement plusgrand.Lavitesseestopposée

après le rebond, omme lors d'une réexion élastique. La perte d'énergie totale de la haîne

au ours de e rebond n'est quede

0.08%

.

Pourtesterl'inuen edes onditionsauxbords,ladynamiqueAestarrétéeà

t = 1.78∗10

6

unités de temps. Les positions et les vitesses sont alors sauvegardées. Ce sont les nouvelles

onditions initiales. Les onditions aux bords sont ensuite modiées, puis la dynamique est

relan ée. Dans le premier as, la dissipation est enlevée. La dynamique est don dans e as

mi ro anonique.Dansledeuxième as,ladissipationestmisesurle10-ièmeatome.Lagure

1.7 montre e qui seproduitdans ha un de esdeux as.

Enl'absen ede dissipationauxbords(gure1.7,àgau he)lalo alisationd'énergie

onti-nue à se propager, puis elle rebondit sans déformation. Le rebond est similaire à elui de la

dynamique A (gure 1.6). La dissipation ne joue pas don pas de rle dans la onservation

de l'étalement de la lo alisation énergétique au ours d'unrebond ni dans le phénomène de

rebondlui-même.

Ladissipationenposition10réduit lalo alisationd'énergie(gure1.7,àdroite).Laperte

d'énergie totale de la haîne au ours du rebond est ette fois de

10.5%

. Le module de la vitesseadiminué.Laréexionestdon moinsélastique. Ladissipationest ettefoisbienplus

sont diérentes. A gau he, la dissipation est enlevée et à droite, la dissipation est mise sur

l'atome numéro 10. La dynamique est relan ée à

t = 1.75 ∗ 10

6

unités de temps ave pour

positions etvitessesinitiales elles dela simulation A.

ressentiepar lalo alisation d'énergie.Le défautd'énergie quel'on peutimaginer àproximité

de la position où la dissipation se produit n'est pas "fuit" par la lo alisation d'énergie de

manière susamment e a e (on rappelle que le temps ara téristique de la dissipation est

1

γ

= 20

unités de temps, e quilaisse largement le tempsà e défautde s'établirau voisinage de l'atome 10,avant quene seproduise lerebond).

Les rebonds de la dynamique A sont don aussi déterminés par les propriétés des bords

de la haîne et non pas seulement par la dissipation ou par le défaut d'énergie au voisinage

de ladissipation. Une expli ation possible vient de lapropriété suivante: ha un desatomes

a deuxvoisins,ex eptés eux desdeux extrémités qui n'en ont qu'un seul. La rigidité lo ale

yest don diviséepar deux. Onpeutdon faire ommehypothèse quelalo alisationévite e

défaut de rigidité lorsqu'elle appro he d'un bord. De e fait, elle fuit le bord à une distan e

tellequ'ellene rentrejamaisenintera tion ave ladissipationmiseauxextrémités1etN.La

dissipation permetau système de vider sonénergie etle défautde rigidité auxbordssemble

aider la lo alisationà ne pasrentrer en onta tave elle. Cetteexpli ation sera testéepar la

suite, lors del'étude desmodèles protéiques.

Latraje toired'unelo alisationn'estpastoujoursaussisimple.Considérons ànouveaula

dynamiqueA,entre

t = 1.92 ∗ 10

6

et

2 ∗ 10

6

unités detemps ette fois(lagure1.8). An de

représenter onvenablement l'énergie de tous les atomes, l'énergieainsi que le logarithme de

l'énergie des sitessont tra és. A

t = 1.92 ∗ 10

6

unités de temps, lalo alisation énergétique a

un mouvement re tiligne. A

t = 1.94 ∗ 10

6

, lalo alisation d'énergie hange dedire tion, puis

à

t = 1.96 ∗ 10

6

unités detemps elle ee tueun rebondetenn à

t = 1.98 ∗ 10

6

elle hange à

nouveau de dire tion pour nalement avoir de nouveau un mouvement re tiligne. Elle a une

traje toirequ'onpeutqualierde" haotique",puisqu'elleestmanifestementtrèssensibleàson

environnement.Tra éenfon tiondulogarithmedel'énergie,lefondénergétiqueapparaît.On

voitalors qu'une sorte de nuage très faiblement énergétique(d'une énergie

10

5

fois inférieure

à elle de la lo alisation) sedépla e à l'intérieur de la haîne. Il rebondit apparamment sans

Une étude on ernant l'hamiltonien FPU à une dimension a montré que des

lo alisa-tions haotiques apparaissent à toute énergie dans le système, don sans seuil énergétique

d'ex itation [14℄. La lo alisation d'énergie dominante se dépla e sur e fond de lo alisations

énergétiques "mineures",interagit ave elles, e quimodiesespropriétés inétiques.

L'inter-a tion dufondénergétiqueetdelalo alisation haotiqueàforteénergien'estdans e aspas

onstru tive.L'intera tiondelalo alisationénergétiqueave sonenvironnementestdiérente

pendant laphased'instabilité modulationnelle etaprès ette phase.

An de mieux omprendre l'origine de e fond énergétique, une nouvelle dynamique est

générée.Commenousallonslevoir,à etteénergieinitiale

E(0)

N

= 0.05

,lesystèmeneprésente pastoujoursdelo alisationénergétique.Lefondénergétiquepeutalorsêtreétudiéenl'absen e

delo alisationénergétique.Lanouvelledynamiqueestengendréeave lamêmeénergieinitiale,

maisave desvitessesinitialesdiérentes.Le logarithmedel'énergiesur haquesiteesttra é.

Lepremier as(gure1.9)estle asétudiédepuisledébutdelathèse,àsavoirladynamiqueA.

Il omporteune lo alisationd'énergie supérieureàl'énergieinitiale parsite. Ledeuxième as

(gure1.10) est le asave desvitesses initiales diérentes. Il ne présentepasde lo alisation

énergétiquesupérieureàl'énergieinitialepar site.Dans lesdeux as, desformesénergétiques

sont présentes à une énergie d'environ

10

−7

unités. Elles s'étendent sur

∼ 50

atomes. Des défauts très faibles (

∼ 10

−10

l'énergie moyenne initiale) apparaissent par moment dans la

haîne. Ilsontdestempsde viedel'ordredelapériodedesmouvementsharmoniqueslesplus

lentsdu système.Ils orrespondent à desnoeudsde esmouvements.

Le fond énergétique sur lequel se développe une lo alisation d'énergie est don à priori

le même ave ou sans présen e de lo alisation d'énergie haotique. La lo alisation d'énergie

n'ae tedon à prioripasl'environnement danslequelelle s'est développée.

Il vient d'être montré qu'un fondénergétique est présent dans la haîneet qu'il n'est pas

onditionnépar laprésen ed'unelo alisationénergétique.Cefondpeutavoirdesintera tions

fortes ave lalo alisationénergétique, puisqu'ilest apablede provoquer des hangements de

la dire tion depropagation de elle- i. Ces intera tions induisent de plus desdéstabilisations

su essives. La durée de vie de la lo alisation énergétique est don probablement liée à es

intera tions.And'étudierladuréedevied'unelo alisationénergétique,uneautresimulation

est analysée.

3/ Ladissipation d'unelo alisation d'énergie.

L'énergieinitialeparsiteest ettefoisde

E(0)/N = 0.384

.Lesgraphesprésententl'énergie et non le logarithme de l'énergie (gure 1.11). Ils orrespondent à des intervalles temporels

de même longueur (

∆t = 8 ∗ 10

3

unités de temps), pris à trois moments diérents de la

simulation:

t = 2 ∗ 10

5

,

1.2 ∗ 10

6

et

1.6 ∗ 10

6

unités detemps. Deuxlo alisations énergétiques

sontprésentesdanslesystèmeà

t = 2 ∗ 10

5

.L'uned'elles estàlaposition225etauneénergie

de

∼ 0.05

unités. L'autre est à la position 150 et a

∼ 0.02

unités d'énergie. Elles ont des vitesses pro hes (

∼ 0.03

distan e interatomique par unité de temps) mais pas égales. Elles entrent en intera tion vers

t = 2.018 ∗ 10

5

. Pendant l'intera tion, il n'y a pas superposition

des énergiesdesdeux lo alisations.

Les trois graphes montrent que les lo alisations d'énergie s'étalent peu à peu et sont de

Fig. 1.10  Energie sur haque atome de la haîne. Les vitesses initiales sont diérentes de

haotique. Lesintervallesdetemps sontdemêmelongueur(

8 ∗ 10

3

unitésdetemps).Enhaut,

on montrel'énergiedesatomesde la haîneà

t = 2 ∗ 10

5

,aumilieu,à

t = 1.2 ∗ 10

6

et,en bas, à

t = 1.6 ∗ 10

6

unitésde temps.Lesé hellesd'énergie hangentaussi:enhaut elle estlimitée

8 ∗ 10

−3

4 ∗ 10

−3

tained'atomes.Danslareprésentation ommen ant à

t = 1.6∗10

6

unitésdetemps(enbas),la

deuxième lo alisationn'est plusprésente, maisdes intera tions destru tivesave lapremière

lo alisationsont à noter, par exemple auxinstants :

t = 1.604 ∗ 10

6

et

t = 1.607 ∗ 10

6

.Il y a

don eu déstru turation deslo alisations énergétiques,puis dissipation.

Pré on lusionsur leslo alisations haotiques :

-Lalo alisationénergétiqueauneénergiebiensupérieureà elledesautresatomesdusystème

etqui peutêtreplus grandequel'énergie initiale par site.

- Elle a un temps de vie très long par rapport aux é helles de temps ara téristiques du

système.

- Elle semblefuirles régionspeurigides.

- Elle peutinteragirave desstru turesd'énergie trèsfaible.

- Elle sedéveloppe spontanément, maispassystématiquement.

1.3.2 Propriétés spatiales

Pour analyserl'étalementde l'énergiede lalo alisation, unesimulation durantlaquelleon

observe une lo alisation qui reste pendant plus de

10

6

unités de temps sur une position xe

est onsidérée.Rappellonsqu'untel omportementadéja étévu,dansle asdeladynamique

A. En eet, entre

t = 2 ∗ 10

6

et

t = 2.01 ∗ 10

6

unités de temps, on peut remarquer que la

lo alisationénergétiquene bouge pasdans la haîne (voir gure1.9).

Pour des raisons détaillées dans la partie 1.4.5, l'énergie initiale

E(0)

N

et le pas

a

sont

augmentés. Une simulation est générée ave les paramètres suivants :

E(0)

N

= 1

et

a = 4

. La lo alisation énergétique reste alors autour d'une position atomique xe entre les temps :

t

f

= 2 ∗ 10

6

et

2.2 ∗ 10

6

unités de temps. Les vitesses instantanées sont tra ées pour haque

atome à

t = t

f

(Fig1.12).Lemoduledesvitessesaunmaximumpour lesatomes

87

et

88

.La dé roissan e del'amplitude estrapideetsymétrique.Le proldesvitessesest antisymétrique

autour de la position

87.5

. Les atomes os illent don en opposition de phase. Seulement 6 atomes ont des énergies non négligeables. Cette forme antisymétrique ave deux atomes très

ex itésa étésouvent observée dansle asde lo alisations immobiles.

Dufaitqu'ellesos illent, eslo alisationsénergétiquessontappelées"breathers".Onparle

notamment de breathers haotiques pour désigner es objets. Le mot breather vient du fait

quelesos illationsontdespropriétésparti ulièresde"respiration",unefréquen ed'os illation

spé ique,notamment.

L'étalement "stationnaire" est maintenant étudié.Pour ela,l'intégration desénergies

i-nétiques est ee tuéeentre

t

f

= 2 ∗ 10

6

et

2.2 ∗ 10

6

unités detemps pour haque atome (voir

gure 1.13).Un zoomestaussiee tué pour les atomes82 à 93.La dé roissan ede l'énergie

inétiquemoyenned'unbreather haotiqueestbiendé riteparunegaussiennesur

∼ 4

atomes. Celareprésente

96.25%

desonénergie inétique.Unefoislagaussienne entréesurlaposition

87.5

,deuxparamètressontàajuster :lahauteuretl'é arttypedeladistribution. Lahauteur passe par les atomes

87

et

88

, puis l'é art type ajuste l'énergie desatomes

86

et

89

. L'é art type de lagaussienne est de

σ = 0.84

position atomique. La gaussienne ne passe paspar les atomessuivants.Defait,l'énergie inétiques'étaleexponentiellement sur15atomes,soitentre

78

80

82

84

86

88

90

92

94

96

N° atome

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Vitesses

Fig. 1.12Vitessesinstantanées desatomesà

t = 2 ∗ 10

6

unitésde temps(noir).En rouge,il

s'agit desvaleurs maximalesetminimales par site obtenuesentre

t = 2 ∗ 10

6

et

t = 2.2 ∗ 10

6

unités detemps. Lesparamètres sont

E(0)/N = 1

et

a = 4

.

on erne environ 200 atomes a approximativement

10

−4

fois moinsd'énergie que lebreather haotique entré sur les atomes 87 et 88. Les bords dissipent l'énergie du système sur une

distan e d'environ

10

atomes.

Lades riptionmathématiquede etobjetestdon omplexe.Dansle asdel'hamiltonien

de Fermi Pasta et Ulam (équation 1), la solution exa te a été dé rite [8 ℄, [10 ℄, [11℄. Pour y

a éder par approximation, plusieurs algorithmes ontété proposés:

- L'approximation par é helles multiples a été présenté par Remoissenet [36℄. On dé ompose

lasolutionbreather en plusieurs fon tionsdesé hellesde temps quilui sont propres.

L'intro-du tion de elles- i dansles équations du mouvement permet de remonter à l'approximation

re her hée.

- L'approximation par onde tournante ou RWA (Rotating Wave Approximation) onsiste à

her her dire tement des solutions harmoniques de fréquen e "breather". Puis, par

approxi-mationdansleséquations du mouvement,une solution estdéterminée [12℄.

Lesdeuxte hniquesamènent àunerésolutionde systèmestrèssimilaires[13 ℄.Sion

onsi-dère la solution breather de la forme :

|v

i

| = A ∗ sech(iB)

, où i le numéro de l'atome,

v

i

la vitesse de l'atome i etse h la fon tion "sé ante hyperbolique",le t de ette fon tion donne

une des riptionmeilleurequelagaussiennepour lesatomes

84

à

91

(voirgure1.13).

97.34%

de l'énergiede la haîneest alors orre tement dé rite.

1.3.3 Propriétés dans l'espa e des modes

Les breathers sont des solutions os illantes de la haîne, spatialement lo alisées. Les

a-ra téristiques d'une telle os illation peuvent être données par le spe tre du mouvement des

0

50

100

150

200

250

N° atome

1e-07

1e-06

1e-05

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

<V²(t)>

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

N° atome

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

<V²(t)>

Fig.1.13Vitessesau arrédesatomesmoyennéessur

2 ∗10

5

unitésdetemps(noir)après

t

f

. L'approximation gaussienne esten rouge et elle par un

sech

2

en bleu. La ourbe d'enhaut

de es deux atomes sont tra és sur la gure 1.14. L'intervalle de temps onsidéré est situé

après

t

f

, lorsque le breather haotique reste sur les positions atomiques

87 − 88

. Le al ul duspe tre harmonique dela haîne de

256

atomes (voir annexe 6.1) donne les fréquen es de la haîne à basse énergie (petits dépla ements). Les limites des pulsations harmoniquessont

ω

1

= 2 ∗ sin(

_2N

π

) ∼ 0.01

et

ω

3N

= 2

.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

w

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

|Sx(w)|²

Fig. 1.14Spe trede Fourier dumouvement de l'atome

88

appartenant au breather (rouge) et de l'atome

150

loin du breather (noir). La fréquen e dubreather est audessus du spe tre linéaire (

ω ∈ [0.01; 2]

). Cette omposante dominante omporte deux autres omposantes sy-métriques, de part et d'autre de la fréquen e breather. Spe tre al ulé sur

2 ∗ 10

3

unités de

temps.

Lemouvementdel'atome150ades omposantesspe tralesfaibles.Sapulsationdominante

est égaleà2, 'est-à-direà lapulsation

ω

3N

dumodelinéaire leplusrapide.Sonspe trea,de plus, quelquesautres omposanteslinéairesplusfaibles,maisau une omposantesigni ative

n'est à noter en dehors du spe tre linéaire. Le spe tre du mouvement de l'atome

88

a une pulsation dominante :

ω

B

= 2.442

. Elle estau-delà duspe tre linéaire. Celle- i est a ompa-gnée de deux pi s symétriques, de part et d'autre de la pulsation à

ω

B

= 2.44

:

ω

−

= 2.00

et

ω

+

= 2.88

. On peut é rire ela :

ω

±

= ω

B

± δ

ave

δ ∼ 0.44

. Deux harmoniques du pi prin ipal sont aussiprésentes:

ω

H1

= 7.33 ∼ 3ω

B

et

ω

H2

= 12.21 ∼ 6ω

B

.

IlaétémontréparKosevi h[37 ℄quepourl'hamiltoniendeFermi,PastaetUlam,lavaleur

δ

estreliéeà

V

B

lavitessedetranslationdubreather haotiquelelongdela haîne:

V

B

=

3δ

2π

. Dansnotresystème,

V

B

∼ 0.21

,maislebreather restependantl'intervalledetemps onsidéré autour delaposition

87.5

.Dans[37 ℄,ilaétémontré ques'il venaitàsedépla er,il leferait à la vitesse

V

B

.De plus, le oe ient de Fourier aux deuxfréquen es

ω

±

est moins important que elui à

ω

B

.Selon[37℄, lorsquele breather haotique semet à sedépla erà lavitesse

V

B

,

le spe tre de son mouvement a alors des fréquen es

ω

+

et

ω

−

dominantes etun sous pi en

ω

B

.Lesdeuxfréquen es

ω

±

a tivéessont don synonymes demouvement.Les faiblespi sdu spe tredumouvementdesatomesdubreather haotiqueà

ω

B

±2∗δ

,

ω

B

±3∗δ

,et ,suggèrent quelavitessed'unbreather haotiqueestquantiée,ave desvitessesen

2 ∗ V

B

,

3 ∗ V

B

,moins probables [37 ℄.

Dans [37 ℄, le lien entre la pulsation d'un breather haotique et son énergie a été mis en

éviden e. La gure 1.15 présente e résultat. La pulsation

ω

B

d'un breather haotique aug-mente ave l'énergie. Si la relation entre la pulsation et l'énergie est déterministe, elle n'est

ependant pastriviale.

Fig. 1.15  Graphe tiré de [37 ℄. Pulsation

ω

B

du breather (appelée "frequen y" dans et arti le) enfon tiondesonénergie.Notrebreather(de lagure1.6)aunepulsation

ω

B

= 2.44

et l'énergie totale de la haîne est de

2.03

. En posant que l'énergie de la haine est égale à elle dubreather, ontombe biensur la ourbede Kosevi h.

Pour analyser plus en détails nos breathers haotiques, nous ee tuons une analyse en

omposantes prin ipales (notée ACP). L'ACP est aussi onnue sous le nom de transformée

de Karhunen-Loève ou bien de transformée de Hotelling (en l'honneur d'Harold Hotelling).

Sur un intervalle de temps, ette méthode identie les mouvements orrélés de plus grande

varian e [60 ℄.Pour ela,on é rit:

S

ij

=< (x

i

− < x

i

>)(x

j

− < x

j

>) >

(9) où

x

i

est la oordonnée de l'atome i et

<>

est la valeur moyenne sur l'intervalle de temps onsidéré. Laméthode onsisteàdiagonaliserS, 'est-à-direàdéterminerlesdire tionsde

R

N

le longdesquelles ladynamique ala plusgrande amplitude (axespropres de S). Pour un

po-tentielharmonique,Sasesélémentsnondiagonauxnulsdanslabasedesmodesharmoniques.

Dans e as,les axespropres deSsont égauxauxaxes propres desmodesharmoniques. C'est