Nombre d'extensions abéliennes sur Q

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

A

RTUR

T

RAVESA

Nombre d’extensions abéliennes sur Q

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

2, n

o

_{2 (1990),}

p. 413-423

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_2_413_0>

© Université Bordeaux 1, 1990, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Nombre d’extensions abéliennes

_{sur Q}

par ARTUR

TRAVESA*

Abstract. The aim of this paper is to _give the numbers of abelian number fields with _{given degree} and ramification indices. We _{describe, also,} an

algorithm to compute all these fields.

1. Introduction.

Un des

_problèmes

dont la solution est devenue nécessaire en

pratique

est celui de

_"compter

les extensions" . En

_fait,

I. R.

Safarevic

proposa, en

_1962,

de déterminer si le _groupe de Galois de l’extension maximale

d’un _corps de nombres non ramifiée en dehors d’un ensemble fini d’idéaux

premiers

de son anneau d’entiers est ou non

topologiquement

engendré

_par un nombre fini

_{d’automorphismes}

_et,

dans le cas

affirmatif,

de donner des

bornes

_supérieures

pour le nombre de ces

générateurs.

Le théorème de Hermite-Minkowski assure _{que, pour} tout _corps de

nom-bres,

il

_n’y

a

qu’un

nombre fini d’extensions de

degré

donné

qui

sont non

ramifiées en dehors d’un ensemble fini de

_premiers.

La connaissance de

bonnes bornes

_supérieures

_pour ces nombres

jouerait

un rôle

important

au

moment de rendre effectifs les résultats de G.

_Faltings

sur la

conjecture

de

Mordell.

Le

_problème

de

_compter

les extensions a été étudié dans le cas local _par

M. Krasner et J.-P. Serre. D’un côté hrasner a calculé le nombre des

ex-tensions de

_degré

donné d’un corps

p-adique;

pour

cela,

il a

compté

les

extensions totalement ramifiées de

_degré

et discriminant donnés d’un _corps local

_arbitraire,

non nécessairement

_p-adique.

D’un autre

_côté,

Serre a

donné une intéressante formule de masse _pour le nombre des extensions

totalement ramifiées de

_degré

donné d’un corps local à

partir

de

laque-lle obtient _par une voie très commode et

_rapide

les nombres calculés par

Krasner.

J’ai

_repris

ce

problème,

dans ma

thèse,

_pour le cas abélien. Ce cas est

si

_agréable

_que non seulement on

_peut

donner le nombre des extensions

Avec le soutien _partiel de _CAICYT, PB85-0075.

*Je suis sincèrement _l’obligé du Prof. Pilar _Bayer; sans ses _précieux conseils et sa

constante attention cet article n’aurait pas pu être.

mais aussi des

_algorithmes

faciles _pour calculer toutes ces extensions. La

méthode

_peut

_{s’appliquer}

aussi au cas des extensions abéliennes du _corps

des nombres rationnels. C’est ce _que

_je

vais faire dans ce

_qui

suit

2

Enoncé

des résultats.

Donnons nous un ensemble fini et non vide P de nombres

_premiers,

un

entier n &#x3E; 1 et une famille d’entiers

_{e~, &#x3E;}

1

_{que j’écrirai}

_partout

sous la forme _e~, = avec

_{r~, &#x3E;}

0 et

_{p ~}

_e~.

L’ensemble

_{E(n; P)}

des _corps K extensions du

_{corps Q}

des nombres rationnels

_qui

sont dans

une clôture

algébrique Q

de Q

avec

degré

[7~ : Q] =

_{n, et} non ramifiés en

dehors de P est un ensemble fini.

Donc,

aussi l’ensemble

Ea,h (n; P)

des _corps

7~ E

_{E(n; P)}

tels _que soit abélienne et les ensembles

_P)

des!( E tels _que l’on ait :

(i)

est non ramifiée au dessus de tout

_premier

_{p E}

_P,

et

(ii)

l’indice de ramification est

_égal

à _e., pour tout p e P.

Ces ensembles donc sont des ensembles

_finis,

_peut-être

vides.

Le

_{premier problème}

_que

_j’ai

en tête est celui de caractériser le cas où ces ensembles ne sont _pas vides. Cette caractérisation est donnée _par le théorème suivant:

THÉORÈME

1.

_a~

_{Pour que} l’ensemble

_La.h(n,

_P)

soit non

_vide,

il

faut et il suffit _que les trois conditions suivantes soient réunies :

où y

:== p.p.c.m.{ep :

p e

P}

et e :=

désignent

respectivement

le

plus

petit multiple

commun et le

produit

des e~,.

b)

Pour _que l’ensemble

_P)

soit non

vide, il

faut et il suffit _que

pour tout nombre

premier£ e

P on ait :

où v ,

désigne

la valuation

_.~-adique

de l’anneau Z des nombres entiers.

Une fois obtenu un critère facile _pour décider si les ensembles

E(J,,,(n,

P)

et

_P)

sont vides ou _non, nous _pouvons nous

notations _pour

_désigner

certains invariants attachés à l’ensemble P de

_façon

naturelle _pour ce

problème,

ainsi _que d’introduire certaines fonctions _pour

compter

les cardinaux.

Pour tout

_couple

d’entiers

_N,

M &#x3E; 0 et tout nombre

_{premier .P je}

vais considérer la fonction

Si l’on

_{pense .}

comme une

indéterminée,

cette fonction a des

propriétés

sem-blables à celles de la fonction donnée _par les nombres combinatoires

blables à celles de la fonction donnée _par

_tes

nombres combinatoires

_{( 0}

notamment,

c’est une fonction

_entière,

symétrique,

Par

_ailleurs,

_{pour tout} nombre

_premier

et tout

_{entier j &#x3E; 1, j’écrirai}

sauf dans le cas

poserai

Avec ces notations on

_peut

déjà

énoncer le théorème suivant:

THÉORÈME

2. Le nombre d’extensions abéliennes

_{de Q}

de

_degré

n

_qui

sont

non ramifiées en dehors de P est donné _par

et

où l’on fait la somme sur toutes les

_partitions

M :

_Zi

_{M; = v}

tels _que l’on ait 0 et

_M~

_Ti(R)

_{pour tout} indice i.

REMARQUE.

Les sommes et

_{produits qui}

ont _paru dans ces formules sont en fait

finies, puisque

0 _pour i assez

grand.

Il nous reste encore à donner les cardinaux des ensembles

suite N :=

(7V~

_{... ,}

_{l~j,g, 0, ... ~}

d’entiers

N1

&#x3E;

N2

2 ... 2

A~

&#x3E;

0,

_posons

où l’on fait la somme sur toutes les

_partitions

de _v,

_~7~~

_v, tels

que l’on ait 0 et

Mi Ni

pour tout indice i. Comme

dans le théorème

_{qui précède,}

le

_produit

est fini.

_Remarquons

aussi _que si

v &#x3E; alors on a 0.

Maintenant,

pour tout nombre

premier

et tout

entier j &#x3E; 1,

il faut

considérer les nombres

la suite

et,

si 2 _{E P} et r2 &#x3E;

1,

aussi les suites

et

Les cardinaux des ensembles

_P)

sont donnés _par le théorème suivant:

THÉORÈME

3. Pourvu que la condition

(3~

du théorème

I,

a~

soit satisfaite on a les formules

REMARQUE.

II faut noter

_{qu’il n’y}

a _pas besoin des conditions

(~~

et

_(2~

défaut. Mais il est nécessaire de s’assurer de la validité de la condition’

(3).

Par

_exemple,

si l’on

_prenait

P =

_{3)5},

n = 4 et

_{~e~, e~~ ~ _ {2,4},}

les invariants

_Nj(£),

_qui

sont les seuls

_{qui jouent}

un rôle

_important

dans la

formule,

seraient les mêmes dans le cas _ej =

2,

_e5 =

4,

où il existe le _corps

Q(2cos(2?r/15)) =

~(e2"’~’‘5)+,

et dans le cas _ej =

4,

_e~~ =

2,

où II n’existe aucun _{corps .}

La démonstration

_qu’on

va faire de ces théorèmes nous munira en

plus

d’un

_algorithme

_pour calculer effectivement toutes les extensions abéliennes de

_degré

et ramification donnés. Bien sûr on

_peut

dessiner un tel

algorithme

à

_partir

de la

_{"cyclotomicité"}

des extensions abéliennes de

_Q:

un _corps h E

_La.h(n,

_P)

est un _sous-corps de

Q«)

_pour une racine de l’unité

( que peut

être bien déterminée à

_partir

de

_P,

n et des _e~,. Avec un choix

optimal

de

_(,

l’extension

_Q«)/K

est modérément ramifiée au dessus de

tous les idéaux

_premiers

de l’anneau d’entiers de

_{7~; mais,}

en

_général,

il _y a effectivement des idéaux

premiers qui

_y sont ramifiés.

La méthode _que nous allons suivre consiste à construire certains _corps

facilement calculables

_L,

attachés aux données P et et de sorte que l’on ait K

C

L _{et que} les extensions

_L/Il

soient non ramifiées au

dessus de tous les idéaux

_premiers

de l’anneau des entiers de

_Il;

de

_plus,

la ramification aux

places

à l’infini _y reste

_{complètement}

contrôlée.

3. Démonstration du théorème 1.

Il faut commencer _par le cas où P est un

singleton

{p};

c’est-à-dire,

où

il

_n’y

a

qu’un premier qui

se

ramifie ;

en ce cas nous avons les données

~p~,

ep = _et n.

On

_peut

décrire

_{complètement}

le cas _p = 2 _par la

proposition

suivante,

dont la preuve,

facile,

est laissée comme exercice :

PROPOSITION 1. Soient n _{et e2} des nombres entiers

_positifs.

a)

Pour _que I’ensemble e2;

{2})

soit non vide il faut et il suffit _que

l’on ait n = _e2 = 2r2 _pour

quelque

_{r2 &#x3E;}

0,

c’est-à-dire,

e2

= 1.

b)

On a

_{£a,b(2~~&#x3E; 2~~l 121) *}

_{{Q((2),Q(( + (-l),Q(( - (-1)},}

est une racine

_primitive

2r2+2-ième

de l’unité. Les trois _{corps sont} différents si

r2 ~

0 et les extensions

_~(~

+

(-1

_)/Q

et

_{Q(( 2013 ~-~}

_)/Q

sont

_cycliques;

_par

contre,

on a

_C2

x

_~~2-1,

où

_Cm,

dnote un _groupe

_cyclique

d’ordre rn .

Pour décrire le cas où _p est un

_{premier impair}

il faut

_{généraliser}

les

où _q est une

_puissance

d’un nombre

_premier

et non seulement un nombre

premier

lui même. Pour commencer, il est facile de voir que si l’ensemble

ep;

~p~)

est non

vide,

il vient :

e~~p -1;

nous allons donc _supposer,

et,

que la condition

e~, ~p --1

est vérifiée.

Soit (

une racine

_primitive

pTp+1-ime

de l’unité et

_{soit g}

une racine

pri-mitive modulo

_{c’est-à-dire,}

un

générateur

du _groupe

multiplicatif

des unités de

_Z/pTp+1

Z. _{Le groupe} de Galois est

_cyclique

engendré

par

l’automorphisme u

de

Q«)

tel que

( _

(!J.

Pour tout

entier i nous _pouvons considérer le 1-ième

_ep-période

de (

relative

_{à g}

où d := = On a

l’égalité

_qi si i

_{m j}

(mod

_ep).

L’ensemble ... , ne

dépend

pas

de (

ni de g, bien que 1]0

dépende

de (

mais non de _{g, et} les autres

_{périodes dépendent de (}

et de _g. Avec ces

notations,

il n’est _pas difficile de _prouver la

_proposition

suivante: PROPOSITION 2. Soient p un nombre

_premier,

n &#x3E; 0 un entier et _{e - p}

avec r &#x3E; 0 et

_eT,,

un autre entier.

a)

Pour _que I’ensemble _ep;

_Ipl)

soit non vide il faut et il suffit _que l’on ait n =

e p et

e~, ~p -

1.

b~

Si

_e~

_{divise p -1,}

alors il vient

_{(17,, -1}

c~

Si on a n =

ep et

et p Ip -

1,

il suit ep;

IPI) {Q(1]o)}.

Maintenant,

nous allons démontrer le théorème 1 dans le cas

général.

Pour faire

_cela,

nous allons construire

quelques

_corps L attachés aux données

P et

_lepip.

En _{faisant usage du théorème de} Kronecker-Weber on voit aisément

que les conditions

(1)

et

(3)

du théorème

1,

a)

sont nécessaires _{pour que}

l’ensemble

_En.h(n,

_P)

soit non

_{vide ;}

nous _pouvons,

_donc,

_supposer ces conditions satisfaites. _Cela,

_étant,

_{pour tout p E} P nous _pouvons

con-sidérer le _corps

_{Lp :=}

attaché au

_couple

_{(ep, p)}

_par la

_proposition

_2,

si

_{p ~}

_2,

et les trois _{corps L2} E

~~(~2~,

_4~(~’

+

C~

_{Q« -}

(-’)l

attachés

(e2, 2~

par la

proposition 1,

si p = 2. Nous

désignerons

par L

n’importe

lequel

des _corps

_composés

L :=

TIpE P

_Lp;

ces _corps seront

_appelés

les corps

(P;

il

_{n’y en}

a

_qu’un

si

2 ~

P ou si

_{2 E}

P _{et e2} =

_1,

_et

il _y en a trois si 2 e P _{et e2 &#x3E;} 1. En

_regardant

les indices de

_{ramification,}

on voit facilement _que les extensions

_Lp/Q

sont linéairement

_disjointes

et

LEMME 3. Les extensions

_(P;

_{{ep}p)-universelles}

sont

_abéliennes,

non

ramifiées en dehors de

P,

d’indices de ramifncation _{ep pour tout}

p E P et de

_degré

e :=

11PEP

_P. Autrement

dit,

on a L

E L(J,h(e,

P).

En

_plus,

les _corps L

_peuvent

être donnés

_{explicitement.}

En

_efiet,

si

et sont des extensions

_galoisiennes

linéairement

dis-jointes

dont l’une au moins est de

degré impair,

alors on a

Q(,8" ,82) ==

Si l’on

_applique

convenablement ce fait aux _corps

_Lp,

on trouve

que L est donné par un

produit explicite

de

périodes.

En

_jouant

avec les groupes de Galois des extensions

L/Q

on obtient la

vraie clé de cette théorie :

PROPOSITION 4.

_Supposons

_que les données

_P,

et n satisfassent les

conditions

_(~)

et

_~3)

du théorème

_1,

_a).

Si IV E

_E,h(n,

_P),

alors il existe une extension

(P;

L/Q

et une seule telle _que

Il C L.

Ce résultat donne la condition

₍₂₎

du théorème

_1,

_a)

ainsi que le corollaire

suivant:

COROLLAIRE 5. L’ensemble

_Lah(n,

_P)

est la

_réunion,

sur tous les

corps

(P;

L,

des ensembles

Cette réunion est

_disjointe,

Si l’on ne cherchait

qu’une

démonstration du théorème

1,

on

pourrait

finir _par un

_argument

bien

_{simple :}

si l’on _suppose satisfaites les

condi-tions

_{(1), (2)}

et

₍₃₎

du

_théorème,

on a L _pour les _corps

(P;

L;

en

_outre,

si

IWO

E

_lepjp;

_P),

alors

_{LI Ii}

est

une extension abélienne et non ramifiée

_partout;

_donc,

si est une

sous-extension de

_degré

_{n, /p}

de alors Ii e

_{E(J,h ( n,}

_P).

Ainsi,

il

reste _{prouver que}

_P)

est non vide. Si nous _prenons L tel _que

chacun des _sous-corps

_Lp

soit

_cyclique

sur

Q,

ce

_qui

est

_possible,

alors on

peut

prendre

Iio

comme le _corps fixé _par un _{sous-groupe ~I} du _{groupe des}

caractères de

_L/Q

engendré

par un élément tel _{que ~~,}

engendre

ZlepZ

(cf. [Wa:

Thm.

_3.5]).

_Ainsi,

on obtient une _preuve du théorème

1,

a)

et le corollaire suivant:

COROLLAIRE 6. Pourvu _que les conditions du

_{théorème I,}

_a)

soient satis-faites on a

_

où p

dénote la fonction d’Euler,

REMARQUE.

L’égalité

est satisfaite si

_{2 %}

P ou si _e2 = 1.

La seconde

_partie

du théorème 1 est un corollaire immédiat de la

première.

4. Les nombres d’extensions.

Nous nous sommes

_proposés

non seulement de savoir s’il _y a des _corps

dans

_P)

et dans

_P),

mais de savoir exactement combien il _y a de tels _{corps ; autrement}

dit,

nous voulons démontrer les théorèmes

2 et 3.

Supposons

donc _que les conditions

_{(1), (2)}

et

₍₃₎

soient satisfaites et

posons

Gp

.-

_pout

tout _{p e} P. Le groupe G~, est un _groupe

cyclique

d’ordre _e,

_engendré

_par

_{l’automorphisme}

_o-p

_puissance

_(p2013

l)/e-ième de

_{Fautomorphisme cr}

défini

_a.près

la

_proposition

_1,

sauf dans le cas

L2

=

~(~2), ~

une racine

_primitive

2T2+2-ième

de

_l’unité,

_{r2 &#x3E;}

_1;

dans ce

dernier cas, en effet

G2

=

(c)

_gi où c dénote la

_conjugaison

_complexe

et o-0

l’automorphisme

de

~(~2)

défini par

uo((2)

:-

(~2)‘~.

Le calcul des

in-dices de ramification des _sous-corps du corps

(P;

(ep)p)-universel

L fournit

le résultat suivant:

PROPOSITION 7. Il existe une

_{correspondance biunivoque}

entre I’ensemble

et l’ensemble des _sous-groupes X

_Ç

G :-

_EBpEPGp

tels

que I’on ait

’~

(1)

l’égalité

indicative

_{(G : X)}

= _n; et

(2)

X

_{id~,

_{pour tout p E} P.

REMARQUE.

Puisque

tous ces _{sous-groupes sont} effectivement

calculables,

cette

_proposition

nous fournit un

_algorithme

effectif _pour obtenir tous les

corps K

E

_En.h(n,

_P);

en

_fait,

ces _{corps sont} les sous-corps de L

fixes _par les _{sous-groupes X .} Comme L est donné par un élément

_primitif

explicite 8,

et comme X

_peut

être donné _par

_{générateurs}

efiectivement

calculables, il

est facile de calculer le

_polynôme

irréductible

_{Irr(9, K)}

=

rr(8));

alors, les

coefficients de ce

polynôme engendrent

le _corps

~’ sur

_~;

ces coefficients ne sont _que certaines sommes de racines de l’unité

Il

_s’agit

donc de calculer le nombre des _sous-groupes X sous les conditions

(1)

et

₍₂₎

de la

_proposition

_7;

mais ta condition sur l’intersection est très

désagréable

à

_imposer.

Il convient donc

_d’exprimer

cette

_proposition

sous une forme

équivalente plus

aisément maniable.

Si est une famille arbitraire de groupes et Jri : :

.FI?

les

_{projections usuelles,}

on notera l’ensemble de tous les

sous-groupes X

C

_{DiEr Hi}

tels _que l’on ait =

Hi

_{pour tout} i _E

I;

de

manière

_analogue,

_n)

_désignera

le sous-ensemble de

₁₎

constitué _par les

_{sous-groupes X}

d’ordre n. Avec ces

notations,

on

_peut

écrire la

_proposition

7 sous la forme

équivalente

suivante:

PROPOSITION 7’. Il existe une

correspondance biunivoque

entre l’ensemble

P)

et l’ensemble

_n),

où

Gp

:=

Homz(Gp, C*)

est

le groupe des caractères du groupe abélien

Gp.

Du fait _que nous sommes en train d’étudier les extensions abéliennes dont

les ses _{groupes de} Galois se

décomposent

en

produit

de leurs sous-groupes

de

_Sylow,

nous _{pouvons supposer que} le

_degré

n est une

_{puissance £-"}

d’un

nombre

_premier

.P. En ce _cas, nous avons les données et une famille

de sorte _que les conditions du théorème 1 se traduisent _par les

suivantes:

Si l’on _pose

_nj(l)

:- _pour

_{tout j}

&#x3E;

_1,

on trouve _que le

groupe G

peut

s’écrire sous la forme

sauf dans le cas où

~2

n’est _pas

_cyclique,

cas dans

_lequel

on a

Dans ce _cas, si l’on _pose

82

=

1/21

_x

Z/2~~Z,

G~

=

1/2’~~ ~ ~

et

H2

le sous-groupe

cyclique

de

C2

d’ordre

2T2-1

_engendré

par l’élément

(1,1),

il n’est pas difficile de prouver que l’ensemble

est la réunion des ensembles et

Main-tenant,

nous avons

_l’avantage

d’avoir tous _{les groupes}

_H2,

_G~

et

Cp,

_{p #}

_2,

cycliques

comme dans le cas

général.

PROPOSITION 8. Soit

rI

un _groupe abélien

isomorphe

au _groupe

et _posons

N,,

:= _n,,,

N

:=

_Ni+l

+ n, pour

(Ni,...,

N,, ,

0, ... ).

Le _{nombre des sous-groupes de}

_h

d’ordre É"

_qui

se

projettent

surjectivement

sur chacun des facteurs est donné _par

fi(N; v).

DÉMONSTRATION:

Nous définissons le

type

du

_.~-groupe

abélien fini

_F,

comme la suite N :_

(N1,...,

0,

...

).

Avec cette

définition,

le

type

est une suite décroissante d’entiers non

_negatifs

_qui

est nulle à

_partir

d’un certain rang et

_qui

détermine le _groupe à

_{isomorphisme près.}

La valeur de s

est déterminée par

l’exposant £’

du groupe, l’ordre est .’y,++’V et

Ni

est

la dimension du

_F,-espace

vectoriel

_Pe/£Pe.

Si N et M sont des

_types

de

é-groupes abéliens

finis,

nous disons _que M N si _{pour tout} i &#x3E; 1.

Ainsi,

pour

qu’un

groupe de

type

N contienne un _{sous-groupe de}

_type

M il

faut et il suffit

_qu’on

ait M

N;

et le

_type

d’un

_produit

_{de groupes de}

_types

N et M est un _{groupe de}

_type

N+M :=

(Ni

+Afi,...,

N,R+N~.R, ... ,

0, ... ).

Une M-base dans

f,

est un ensemble minimal d’éléments de

I‘~

qui

engen-drent un _sous-groupe de

_type

M. Notons

B(f,; M)

l’ensemble de toutes les

M-bases dans

alors,

# B(I‘~; M) _

o

S (Ft ; M )

est l’ensemble de tous les _sous-groupes de

rt

de

_type

M et

_Xo

un de ces sous-groupes.

Pour calculer

_#

_B(Pe;

_M),

on définit une

application

de cet ensemble sur

celui des éléments de

Pe

d’ordre

_égal

au maximum des ordres des éléments

de

_Xo;

les fibres de cette

_application

sont toutes

_{équipotentes}

à l’ensemble

B(r’; M’)

x

X’,

où les

_primes

_signifient

_qu’on

a enlevé la dernière

com-posante

de

_fi

et de

_{Xo ,}

et M’ est le

_type

de

_Xi.

Ce

_procédé

nous donne une méthode récursive _pour

_{calculer #}

B(Pe; M),

puisque

le cardinal de

_Xi

ainsi _que le nombre d’éléments de

Fj

d’ordre donné sont facilement calculables. D’une manière

_analogue,

nous évaluons

Ainsi,

r.ous trouvons _que

Pour

_finir,

nous obtenons

fp(N; v)

en faisant la somme de ces nombres pour tous les

_types

M N tels _que l’on ait _v, une fois

sélectionnés les _sous-groupes

_s’envoyant

_{surjectivement}

sur les facteurs de

Fi

par un

_argument

usuel en théorie des

ensembles ;

cela introduit dans

v)

les facteurs

BIBLIOGRAPHIE

[Fa]

Faltings, G., Wüstholz, G., et al., "Rational _points," Seminar _{Bonn-Wuppertal}

1983/84,

Friedr. _{Vieweg &#x26; Sohm,} 1984.

[Kr]

Krasner, M., Nombre des extensions d’un _degré donné d’un _{corps p-adique,} C. R. Acad. Sc. Paris _254, 255

_(1962),

3470-3472, 224-226, 1682-1684, 2342-2344,

3095-3097. Voir aussi "Les Tendances _{Géométriques} en Algèbre et Théorie des Nombres" dans _Colloques Internationaux du _C.N.R.S., 143

_(1966),

_{pp. 143-169.}

[Sa]

0160afarevi010D,

I. _{R., Algebraic} Number _Fields, Amer. Math. Soc. Trans. 31

_(1963),

25-39.

[Se]

Serre, J.-P., Une _formule de masse _pour les extensions totalement _ramifiées de

degré donné d’un corps local, C. R. Acad. Sc. Paris 286

_(1978),

1031-1036.

[Tr 1]

Travesa, A., "Nombres d’extensions abelianes i les seves funcions _{generatrius,"}

Thse, Universitat de _Barcelona, 1987.

[Tr 2]

Travesa, A., Generating functions for the numbers _of abelian extensions _of a

local _field, Proc. Amer. Math. Soc. 108

_(1990),

331-339.

[vdW]

van der Waerden, B.L., "Algebra," vol. _1, Frederick Ungar Pub. Co., New

York, 19 70.

[Wa]

Washington, L.C., "Introduction to _Cyclotomic Fields," GTM 83

Springer-Verlag, New-York, 1982.

Departament

d’Àlgebra

i Geometria Facultat de _{Matemàtiques}

Universitat de Barcelona

Gran Via de les Corts _Catalanes, 585 08007 _{Barcelona, Catalunya, Espagne.}