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HAL Id: hal-01304311

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Submitted on 19 Apr 2016

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On Euler’s example of a completely multiplicative

function with sum 0

Jean-Pierre Kahane, Eric Saias

To cite this version:

Jean-Pierre Kahane, Eric Saias. On Euler’s example of a completely multiplicative function with

sum 0. Comptes Rendus Mathématique, Elsevier Masson, 2016, �10.1016/j.crma.2016.03.009�.

�hal-01304311�

JID:CRASS1 AID:5714 /FLA Doctopic: Number theory [m3G; v1.175; Prn:15/04/2016; 11:17] P.1 (1-3) C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I•••(••••)•••–•••

Contents lists available atScienceDirect

C. R.

Acad.

Sci.

Paris,

Ser. I

www.sciencedirect.com

Théorie des nombres

Sur

l’exemple

d’Euler

d’une

fonction

complètement

multiplicative

à

somme

nulle

On Euler’s example of a completely multiplicative function with sum 0

Jean-Pierre Kahane

a

,

Éric Saïas

b

a_{Laboratoiredemathématiquesd’Orsay,universitéParis-Sud,CNRS,universitéParis-Saclay,91405Orsay,France}

b_{Laboratoiredeprobabilitésetmodèlesaléatoires,universitéPierre-et-Marie-Curie,4,placeJussieu,75252Pariscedex05,France}

i

n

f

o

a

r

t

i

c

l

e

r

é

s

u

m

é

Historiquedel’article :

Reçule8mars2016 Acceptéle15mars2016 DisponiblesurInternetlexxxx

PrésentéparJean-PierreKahane

Eulerapubliéuneformulequenousécrivonsaujourd’hui∞

1

λ(n)

n =0,λétantlafonction complètementmultiplicativequivaut₋1 surlesnombrespremiers.Ainsi,λ(_nn)estun exempledefonctionC M O (complètementmultiplicativeàsommenulle).Nousétendons cette formule aucas oùλ est définie sur des nombrespremiers etentiers généralisés deBeurling, suivantlaconditionsurlespremiersgénéralisés donnéeparDiamondpour assurer la régularité de la distribution des entiers généralisés (théorème 3). En guise d’application,nousindiquonscommentconstruire,pourtouta entre0 et 1,unefonction

C M O dontladistributiondusupportestdelaformeDxa_{(1+o(1)) (x→ ∞)(théorème 1).}

©2016Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Cetarticleestpubliéen OpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

a

b

s

t

r

a

c

t

Eulerpublishedaformulathatnowreads∞

1

λ(n)

n =0,λbeingthecompletelymultiplicative functionequalto−1 ontheprimenumbers.Thusλ(_nn)isanexampleofaC M O function

(completelymultiplicativewithsum0).Weextendthisformulabyconsideringλasdefined onBeurling’sgeneralizedprimenumbersandintegers,according toDiamond’scondition on generalized primes, whichimplies aregular distribution ofthe generalized integers (théorème 3). Asan application, weshow howto contructaC M O function carriedby aset ofintegerswhosecountingfunctionisoftheformDxa_{(1+o(1)) (x→ ∞),forany} givena between0and1(théorème 1).

©2016Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Cetarticleestpubliéen OpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

Adressese-mail :[email protected](J.-P. Kahane),[email protected](É. Saïas).

http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2016.03.009

1631-073X/©2016Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.CetarticleestpubliéenOpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

JID:CRASS1 AID:5714 /FLA Doctopic: Number theory [m3G; v1.175; Prn:15/04/2016; 11:17] P.2 (1-3)

2 J.-P. Kahane, É. Saïas / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I•••(••••)•••–•••

Nousappelons« fonctioncomplètementmultiplicativeàsommenulle »,quenousnotons C M O ,toutefonction f définie

surlesentiersstrictementpositifs,telleque f

(

1

)

=

1 et f

(

nm

)

=

f

(

n

)

f

(

m

)

pourtoutcouple

(

n

,

m

)

∈ N

∗2(c’estladéfinition d’unefonctioncomplètementmultiplicative),tellequelasérie



∞

1

f

(

n

)

soitconvergenteetaitpoursomme0 : ∞



1

f

(

n

)

=

0

.

(1)

Unetellefonctionestbiendéfinieparlesvaleursqu’elleprendsurlesnombrespremiers.Eulerdonnel’exemple pour tout p premier

,

f

(

p

)

=

−

1

p

etildémontre(1)ensupposantlaconvergencedelasérie[3].Heuristiquement,laformule



f

(

n

)

=



1

+

1 p



−1

donnelerésultat,maisunepreuvecomplèteestnécessaire.Elleaétédonnéededifférentesfaçons :cellequenousdonnons en[4]estbienadaptéeàlaquestionquenousallonstraiterdanscettenote.

L’étude quenousavonsfaiteen[4]metenévidencedesfonctions C M O dontlesupporta unefonctiondedécompte

Suf

(

x

)

=



f(n)=0,n≤x

1,quivérifie Suf

(

x

)

=

x1−o(1)

(

x

→ ∞) .

Étantdonnéa

∈ ]

0

,

1

[

,peut-ontrouverdesfonctionsC M O tellesque Suf

(

x

)

=

xa−o(1)

(

x

→ ∞)

?

Laréponseestfournieparlethéorème1,quirésulteduthéorème 2,quiestuneconséquenceduthéorème 3. Théorème_{1.—Pourtouta}

∈ ]

₀

_,

₁

[

_{,ilexisteunefonctionC M O telleque,pouruncertainD}

_>

_0,Suf

₍

_x

₎

∼

_Dxa

₍

_x

→ ∞)

_. Uneidée naturellepourobtenir lethéorème 1ouun analogueestderemplacertouslesnombres premiers p parleur puissance pA _{ettouslesentiersn parn}A_{,avec A}

₌

1

a.Comme



f

(

nAa

₎

₌



_f

₍

_n

₎

_{,l’exempled’Eulers’appliqueaussi bien}

aux

(

{

pA

_},

_{

_nA

_})

_qu’aux

₍

_{

_p

_},

_{

_n

_})

_{.Ils’agitensuited’approcherles p}A _{pardesnombrespremiers.Leboncadreestceluides}

nombrespremiersetentiersgénéralisésdeBeurling[1].Désormais,nousdésigneronspar

P

unensembledenombresréels

pm

(

m

∈ N

∗

)

multiplicativement libres telsque 1

<

p1

<

p2

<

· · ·

et lim pm

= ∞

,et par

N

le semi-groupe multiplicatif

engendrépar

P

.Ainsiles pA_{,p premier,constituentunensemble}

_P

_.

L’approximationdes pApardesnombrespremiersreposesuruneformerenforcéeduthéorèmedesnombrespremiers, parexemple

π(

x

)

= 

i x

+

O



_x log2x



(2) quivapermettredepasserduthéorème3authéorème2.

Théorème_{2.—Pourtouta}

∈ ]

₀

_,

₁

[

_{,ilexisteunepartieP del’ensembledesnombrespremiersusuelsdontlafonctiondedécompte}

π

P

(

x

)

= (

P

∩ [

1

,

x

])

vérifie ∞



2



π

P

(

t

)

−

ta a log t





dt ta+1

<

∞ .

Soit

λ

P lafonctioncomplètementmultiplicativedéfiniepar

λ

P

(

p

)

= −

1 sip

∈

P ,

λ

P

(

p

)

=

0 sip

∈

/

P .Lafonction λP_n(an) estalors

C M O .

Lethéorème3estrelatifàunsystème

(

P,

N )

définici–dessus.Lesnotations

π

_P

(

t

)

et

λ

_P

(

n

)

s’expliquentd’elles-mêmes :

π

P

(

t

)

estlafonctiondedécomptede

P

,et

λ

_P lafonctioncomplètementmultiplicativesur

N

telleque

λ

_P

(

p

)

= −

1 pour tout p

∈

P

. Théorème_{3.—Supposons} ∞



2



π

P

(

t

)

−

t log t





dt t2

<

∞ .

Alors



n∈N λP(n)

JID:CRASS1 AID:5714 /FLA Doctopic: Number theory [m3G; v1.175; Prn:15/04/2016; 11:17] P.3 (1-3)

J.-P. Kahane, É. Saïas / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I•••(••••)•••–••• 3

Pourpasserduthéorème3authéorème2,onremplace

P

et

N

par

P

Aet

N

A,puis

P

A par P enutilisant(2). L’analysedeFourierintervientdansladémonstrationduthéorème 3.Onintroduitlafonction

ζ

_P

(

s

)

relativeà

P

et

N

:

ζ

_P

(

s

)

=



n∈N 1 ns

=



p∈P



1

−

1 ps



−1

.

Comme



n∈N

λ

_P

(

n

)

ns

=

ζ

_P

(

2s

)

ζ

_P

(

s

)

(

Res

>

1

)

onaformellement



n∈N ,log n≤x

λ

_P

(

n

)

n

=

1

π



R

ζ

_P

(

2

+

2it

)

ζ

_P

(

1

+

it

)

sin xt t dt

.

L’expressionsouslesigne

estcontinuemaisn’estpasintégrable.Ondoitutiliserunprocédédesommationquicontrôle bienlemembrededroiteetnechangepastroplemembredegauche.Celaestréaliséavec

1

π



R

ζ

_P

(

2

+

2it

)

ζ

_P

(

1

+

it

)

γ

a

(

t

)

sin xt t dt où

γ

a

(

t

)

=

√1_2πexp(−t 2_/2a2₎

a .Quanda

>

0 estfixé,cetteintégraletendvers0 quandx

→ ∞

.

Lecontrôledesdeuxmembresreposesurlefaitquel’hypothèseduthéorème 3entraînequelafonctionderépartition de

N

estdelaformeDx

+

o

(

x

)

quandx

→ ∞

;c’estuneformulationéquivalenteauthéorème 2del’article[2]deDiamond. Ledétaildescalculsestdonnédansladémonstrationduthéorème 3,quiseradisponiblesur ArXiv.

Références

[1]A.Beurling,Analysedelaloiasymptotiquedeladistributiondesnombrespremiersgénéralisés,ActaMath.68(1937)255–291.

[2]H.G.Diamond,WhendoBeurlinggeneralizedintegershaveadensity ?,J.ReineAngew.Math.295(1977)22–39.

[3]L.Euler,Variaeobservationescircaseriesinfinitas(1737–1739),in :OperaOmnia,Ser. 1,Vol. 14,Teubner,1925,pp. 216–244,VoirTheorema18,p. 241.