Contrôle d’Algèbre2 SMP-SMC 2016-17

(1)

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ 2016-17

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre 2

durée : 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés .

Exercice 1 :

(14 points)

On considère l’application linéaire f de R3

vers R3 _{définie par :}

∀



x, y, z

_{ ∈ R}3 _:

_f

_

_{x, y, z}

_{  6}

_x

− 4y − 4z, 5x − 3y − 4z, x − y

_.

1) Donner la matrice A de f par rapport à la base canonique B  e1, e2, e3 de R3.

2) Déterminer le rang de f et la dimension de ker f. 3) Montrer que ker f  vecta où a  2, 2, 1. 4) Soient b  e1  e2 et c  e2 − e3.

i) Calculer fb et fc en fonction de b et c.

ii) En déduire que b, c ∈ Imf et que b, c est une base de Imf. 5) Montrer que S  a, b, c est une base de R3_.

6) Donner la matrice D de f par rapport à la base S (sans utiliser les matrices de passages).

7) Déterminer une matrice carrée inversible P telle que D  P−1AP.

8) Déterminer la matrice An _{en fonction de P, P}−1_{, D et n (pour tout entier naturel non} nul n).

9) Calculer l’inverse P−1 de P.

10) En utilisant les deux questions précédentes 8) et 9), calculer An _{(pour tout entier naturel non nul n).}

Exercice 2 :

(6 points)

Soient B  e1, e2, e3, e4 la base canonique de R4,1  3, 1, 1, 2, 2  0, 0, 3, 5,

3  0, 1, 3, 5, 4  1, −1, 2, 3, 5  2, −1, 7, 11,

E  3x, x, x  3y, 2x  5y tq : x, y ∈ R et F  vect3,4,5.

1) Trouver une base de E.

2) Trouver deux nombres réels  et  tels que 5  3  4.

3) Montrer que 3,4 est une base de F.

4) Calculer le déterminant 3 0 0 1 1 0 1 −1 1 3 3 2 2 5 5 3 .

5) En déduire que S  1,2,3,4 est une base de R4 et que E⊕ F  R4.