Analyse des propriétés structurelles d'observabilité de l'état et de l'entrée inconnue des systèmes linéaires par approche graphique

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approche graphique

Sinuhé Martínez Martínez

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Sinuhé Martínez Martínez. Analyse des propriétés structurelles d’observabilité de l’état et de l’entrée inconnue des systèmes linéaires par approche graphique. Autre. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2008. Français. �NNT : 2008NAN10094�. �tel-01748537�

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Analyse des propri´ et´ es structurelles d’observabilit´ e de l’´ etat et de l’entr´ ee

inconnue des syst` emes lin´ eaires par approche graphique

TH` ESE

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 27 mai 2008 pour l’obtention du

Doctorat de l’universit´ e Henri Poincar´ e – Nancy 1

(sp´ecialit´e Automatique)

par

Sinuh´ e Mart´ınez Mart´ınez

Composition du jury

Rapporteurs : Pr. Olivier SENAME Dr. Mohamed DJEMAI

Examinateurs : Pr. Efrain ALCORTA GARC´IA Pr. Didier MAQUIN

Directeurs de th`ese : Pr. Fr´ed´eric HAMELIN Dr. Taha BOUKHOBZA

D´epartement de formation doctorale en Automatique Ecole doctorale IAEM Lorraine´ UFR STMIA

Chapitre 1 Introduction 3

1.1 Syst` emes lin´ eaires structur´ es . . . . 8

1.1.1 Propri´ et´ es g´ en´ eriques . . . . 9

1.1.2 Rang g´ en´ erique d’une matrice structur´ ee . . . . 10

1.2 Repr´ esentation graphique des syst` emes lin´ eaires structur´ es . . . . 11

1.2.1 Graphe orient´ e associ´ e ` a un syst` eme lin´ eaire structur´ e . . . . 12

1.2.2 Notations et d´ efinitions . . . . 14

1.2.3 Graphe biparti associ´ e ` a un syst` eme lin´ eaire structur´ e . . . . 17

1.3 Les probl´ ematiques abord´ ees dans ce travail . . . . 18

Chapitre 2 Observabilit´ e g´ en´ erique de l’´ etat et de l’entr´ ee des syst` emes lin´ eaires structur´ es 23 2.1 Introduction . . . . 23

2.2 Observabilit´ e totale de l’´ etat et de l’entr´ ee d’un syst` eme lin´ eaire structur´ e . 25 2.2.1 Position du probl` eme . . . . 26

2.2.2 Subdivision du syst` eme lin´ eaire structur´ e . . . . 27

2.2.3 Conditions d’observabilit´ e totale de l’entr´ ee et de l’´ etat . . . . 33

2.3 Observabilit´ e partielle de l’´ etat et de l’entr´ ee d’un syst` eme lin´ eaire structur´ e 44 2.3.1 Position du probl` eme . . . . 44

2.3.2 D´ efinitions et notations . . . . 45

2.3.3 Condition d’observabilit´ e d’un ensemble donn´ e de composantes de l’´ etat et de l’entr´ ee . . . . 47

2.3.4 Observabilit´ e forte de l’´ etat d’un syst` eme lin´ eaire structur´ e . . . . 55

2.4 Conclusion . . . . 58

1

Chapitre 3 Placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´ e forte ou d’une partie de l’´ etat et de l’entr´ ee 61

3.1 Introduction . . . . 61

3.2 Placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´ e forte d’une partie de l’´ etat d’un syst` eme . . . . 62

3.2.1 Position du Probl` eme . . . . 63

3.2.2 Recouvrement de la condition de connectivit´ e ` a la sortie . . . . 64

3.2.3 Recouvrement de la condition β . . . . 67

3.3 Placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´ e forte . . . . 71

3.3.1 Position du probl` eme . . . . 72

3.3.2 Recouvrement de la condition de connectivit´ e ` a la sortie . . . . 73

3.3.3 Recouvrement de la condition de couplage . . . . 74

3.3.4 Recouvrement de la condition de distance . . . . 77

3.4 Conclusion . . . . 80

Chapitre 4 Boˆıte ` a outils d’analyse structurelle LISA et divers aspects algorithmiques 83 4.1 Introduction . . . . 83

4.2 Description g´ en´ erale de lisa . . . . 84

4.3 Algorithmes de base de LISA . . . . 87

4.4 Algorithmes pour l’analyse des propri´ et´ es d’observabilit´ e et de diagnosti- cabilit´ e . . . . 95

4.4.1 Impl´ ementation de l’analyse de l’observabilit´ e de l’´ etat et de l’entr´ ee 96 4.4.2 D´ etectabilit´ e et localisabilit´ e des d´ efauts . . . . 97

4.5 Perspectives et algorithmes impl´ ementables ` a court terme dans LISA . . . 101

4.5.1 Observabilit´ e forte de tout l’´ etat . . . . 102

4.5.2 Observabilit´ e forte d’une partie donn´ ee de l’entr´ ee et de l’´ etat . . . 102

4.5.3 Placement de capteurs pour l’observabilit´ e forte de tout l’´ etat . . . 104

4.5.4 Placement de capteurs pour l’observabilit´ e partielle . . . . 104

4.5.5 Impl´ ementation d’outils d’analyse d’autres propri´ et´ es structurelles 105 4.6 Conclusion . . . . 106

Chapitre 5 Conclusions 107

Bibliographie 111

Introduction

L’objectif assez classique de la th´ eorie de l’automatique est la synth` ese de sch´ emas de commande, d’observation, de diagnostic ou de supervision afin de rendre un syst` eme plus performant, plus sˆ ur, plus fiable, plus durable et plus ais´ e ` a maˆıtriser. Une ´ etape im- portante pr´ ealable ` a toute synth` ese est l’analyse du syst` eme ` a consid´ erer. Cette analyse permet de mieux connaˆıtre le syst` eme, ses limites et ses capacit´ es. Elle est fond´ ee sur l’´ e- tude de diverses caract´ eristiques de ce syst` eme. Parmi ces propri´ et´ es, les plus importantes sont la commandabilit´ e, l’observabilit´ e, les rangs, les z´ eros ou la structure de certaines matrices particuli` eres, les dimensions de certains sous-espaces. . . qui peuvent traduire la solvabilit´ e totale ou partielle de plusieurs probl` emes fondamentaux d’automatique.

Ainsi, divers crit` eres de commandabilit´ e, d’observabilit´ e ou de solubilit´ e de probl` emes de d´ ecouplage, rejet de perturbations, de d´ etection et localisation de d´ efauts ont ´ et´ e ´ etablis et font partie des connaissances de base en automatique. Ces crit` eres sont pour la majorit´ e d’entre eux fond´ es sur des approches alg´ ebriques ou g´ eom´ etriques [Zadeh et Desoer, 1963, Rosenbrock, 1970, Kailath, 1980, Wonham, 1985] s’exprimant donc par des conditions de rang de matrices ou de dimension de sous-espaces vectoriels. En effet, la repr´ esentation la plus usuelle des syst` emes lin´ eaires reste la repr´ esentation d’´ etat ou celle par fonctions et matrices de transfert. Il s’est av´ er´ e que, lors de l’analyse d’un syst` eme lin´ eaire num´ erique- ment sp´ ecifi´ e, un grand nombre de caract´ eristiques d´ ependent plus de la structure du

3

syst` eme proprement dite que des valeurs des diff´ erents param` etres constituant les matri- ces de la repr´ esentation d’´ etat par exemple. Il est alors judicieux d’´ etudier ces propri´ et´ es en consid´ erant le syst` eme sans valeur num´ erique pr´ ecise des param` etres. L’´ etude de ce type de syst` emes dits structur´ es ne n´ ecessite alors que la connaissance de la r´ epartition des ´ el´ ements nuls/non-nuls dans les diverses matrices de sa repr´ esentation. Il est alors possible de traiter les syst` emes non-sp´ ecifi´ es num´ eriquement ou non compl` etement sp´ e- cifi´ es, en phase de conception ou encore les syst` emes incertains par exemple. Ce type d’´ etude permet de mieux d´ egager les propri´ et´ es structurelles en se concentrant non plus sur une r´ ealisation donn´ ee par une combinaison num´ erique fixe des param` etres mais sur la structure du syst` eme d´ efinie en grande partie par l’existence ou non des interactions entre les variables qui le caract´ erisent. De plus, l’analyse ainsi men´ ee permet d’´ etudier les syst` emes d` es leur phase de conception. ´ Evidemment, Cette analyse n’autorise pas l’´ etude des propri´ et´ es importantes telles que la stabilit´ e qui est tr` es li´ ee justement ` a la valeur des param` etres.

[Lin, 1974] est la toute premi` ere ´ etude par approche graphique relative ` a la command- abilit´ e des syst` emes structur´ es qui sont caract´ eris´ es par une repr´ esentation d’´ etat o` u toutes les matrices ont, soit des ´ el´ ements nuls fixes, soit des ´ el´ ements non nuls symbolis´ es par des param` etres suppos´ es ind´ ependants. Le syst` eme lin´ eaire est repr´ esent´ e par un graphe orient´ e et les conditions de commandabilit´ e sont exprim´ ees de fa¸con tr` es simple et intu- itive : existence de cycles, de chemins formant des “cactus ” . . . .

L’´ el´ egance, l’originalit´ e et la simplicit´ e des r´ esultats obtenus dans [Lin, 1974]

ont encourag´ e d’autres ´ etudes sur l’analyse structurelle par approche graphique.

Ainsi, les propri´ et´ es structurelles de commandabilit´ e, observabilit´ e, la caract´ erisa-

tion graphique de certains sous-espaces invariants, le rang g´ en´ erique des fonctions

de transfert, la structure ` a l’infini ainsi que le nombre g´ en´ erique de diff´ erents types

de z´ eros des syst` emes structur´ es ont ´ et´ e graphiquement caract´ eris´ es. Plus tard des

conditions de solubilit´ e des probl` emes classiques de d´ ecouplage [Linnemann, 1981,

Yamada et Saga, 1985, Dion et Commault, 1993, Commault et al., 1999], de rejet de per- turbations par retour d’´ etat [van der Woude et Murota, 1995, Commault et al., 1991] ou par retour de sortie [van der Woude, 1996, Commault et al., 1993, Commault et al., 1997, van der Woude, 1993, Dion et al., 1994] et de g´ en´ eration de r´ esidus pour la d´ etection et la localisation de d´ efauts [Commault et al., 2002a] ont ´ et´ e ´ etablis.

Les avantages de la repr´ esentation graphique des syst` emes structur´ es ont ´ et´ e mis en ex- ergue d` es les travaux de [Lin, 1974]. En effet, les graphes, en contenant toute l’information du mod` ele structur´ e, permettent de mieux visualiser certaines propri´ et´ es du syst` eme. L’- expression de divers r´ esultats d’analyse est alors tr` es simple, intuitive et (parfois) ´ el´ egante [Andr¨e, 1985, Murota, 1987, Reinschke, 1988]. Enfin, la v´ erification de ces propri´ et´ es fait appel ` a des algorithmes classiques de la th´ eorie des graphes dont les ordres de complexit´ e restent polynomiaux et non exponentielx. Cela permet notamment d’´ etudier des syst` emes de grande dimension et ce d` es la phase de conception.

Dans ce m´ emoire de th` ese nous nous consacrons ` a l’analyse graphique de cer- taines propri´ et´ es li´ ees ` a l’observabilit´ e de l’´ etat et des entr´ ees de syst` emes lin´ eaires structur´ es ` a entr´ ees inconnues. Les entr´ ees et l’´ etat d’un syst` eme sont g´ en´ eriquement observables lorsque ce dernier est simultan´ ement fortement observable et inversible

`

a gauche [Trentelman et al., 2001]. Les conditions g´ eom´ etriques ou alg´ ebriques, pour la validit´ e de ces propri´ et´ es sont analys´ ees notamment dans [Sain et Massey, 1969, Silverman, 1969, Basile et Marro, 1969, Guidorzi et Marro, 1971, Basile et Marro, 1973, Basile et al., 1981, Hautus, 1983, Kratz, 1995, Hou et Patton, 1998]. Comme le montre le nombre de ces r´ ef´ erences (parmi tant d’autres), ces propri´ et´ es ont ´ et´ e tr` es ´ etudi´ ees, en particulier dans l’objectif d’une synth` ese d’observateurs ` a entr´ ees inconnues et/ou d’une reconstruction d’entr´ ees inconnues.

L’observation conjointe de l’´ etat et des entr´ ees inconnues est d’ailleurs encore un su- jet d’´ etude ouvert comme en t´ emoignent les r´ ecentes publications dans le domaine. Ainsi, [Floquet et Barbot, 2006] d´ emontrent que tout syst` eme fortement observable et inversible

`

a gauche se met sous une forme d’observabilit´ e particuli` ere, puis un observateur ` a modes

glissants est sugg´ er´ e pour une telle forme.

Dans le travail r´ ealis´ e dans cette th` ese, nous ne nous sommes pas int´ eress´ es ` a la synth` ese d’observateurs mais plutˆ ot aux conditions structurelles d’observabilit´ e de tout ou d’une partie choisie de l’´ etat et des entr´ ee. La premi` ere question ` a laquelle nous avons r´ epondu, ` a partir de la repr´ esentation d’un syst` eme structur´ e par un graphe orient´ e, est : les mesures contiennent-elles suffisamment d’information pour permettre de reconstruire, du moins th´ eoriquement, les variables inconnues du syst` eme ? De mani` ere ´ equivalente, est-il pos- sible d’exprimer tout ou une partie des entr´ ees et de l’´ etat du syst` eme uniquement en fonction des mesures et de leurs d´ eriv´ ees ?

Des r´ eponses ` a cette question avaient ´ et´ e donn´ ees, ´ evidemment, par des ´ etudes utilisant des outils alg´ ebriques et g´ eom´ etriques. N´ eanmoins, cela pas encore ´ et´ e r´ ealis´ e par l’approche graphique, qui s’´ etait arrˆ et´ ee ` a la caract´ erisation de l’observabilit´ e classique de l’´ etat pour des syst` emes sans entr´ ee inconnue. Notons que les conditions graphiques d’existence d’un observateur causal ` a entr´ ees inconnues permettant d’estimer l’´ etat d’un syst` eme lin´ eaire avec une dynamique de l’erreur d’estimation ind´ ependante des entr´ ees inconnues ont ´ et´ e donn´ ees dans [Commault et al., 2001]. Elles sont logiquement plus restrictives que les con- ditions d’observabilit´ e de l’´ etat et de l’entr´ ee.

Nos recherches ont abouti ` a l’´ etablissement de conditions graphiques n´ ecessaires et suff- isantes de l’observabilit´ e de tout ou d’une partie donn´ ee de l’´ etat et des entr´ ees inconnues d’un syst` eme lin´ eaire structur´ e.

Le second probl` eme que nous avons abord´ e est celui du placement de capteurs qui perme-

ttrait le recouvrement de l’observabilit´ e d’une partie d´ esir´ ee des entr´ ees et de l’´ etat d’un

syst` eme structur´ e. Deux principales approches sont employ´ ees dans la litt´ erature pour

traiter le probl` eme g´ en´ eral du placement de capteurs. La premi` ere concerne l’utilisation de

techniques d’optimisation d’un crit` ere refl´ etant un grammien d’observabilit´ e ou des fonc-

tions de sensibilit´ e . . . . Elle a fait l’objet de plusieurs travaux dont certains sont rapport´ es

dans [van de Wal et de Jager, 2001, Demetriou, 2005, Khosrowjerdi et al., 2007]. La sec-

onde regroupe des ´ etudes plus structurelles telles que [Liu et al., 2003, Ragot et al., 1992,

Maquin et al., 1994, Meyer et al., 1994] qui pr´ esente une strat´ egie de placement de cap-

teurs et d’actionneurs dans l’objectif de garantir des propri´ et´ es telles que l’inversibilit´ e . . . .

L’´ etude men´ ee ici peut ˆ etre vue comme l’extension aux syst` emes ` a entr´ ees inconnues de [Commault et al., 2005b] qui traitent des conditions graphiques de placement de capteurs pour le recouvrement de la propri´ et´ e d’observabilit´ e d’un syst` eme sans entr´ ees inconnues.

En fait, il s’agit de proposer une strat´ egie de placement de capteurs reposant enti` ere- ment sur la structure du syst` eme et qui permettrait, dans un premier temps, de rendre observables l’´ etat et les entr´ ees du syst` eme. Ce probl` eme reste original par rapport ` a ceux pr´ ec´ edemment cit´ es en raison de la pr´ esence des entr´ ees inconnues qui ne sont pas suppos´ ees constantes ou lentement variables. Deux groupes de conditions sur les capteurs additionnels ont ´ et´ e ´ etablis. Les premi` eres conditions sont n´ ecessaires et les secondes,

´ enonc´ ees sous forme d’un syst` eme de relations graphiques, sont suffisantes.

Enfin, afin de rendre plus concret l’apport de l’analyse structurelle par approche graphique que nous proposons, il a ´ et´ e important, d’impl´ ementer tous les r´ esultats trouv´ es et mˆ eme tous ceux disponibles dans la litt´ erature pour mettre ` a disposition de la commu- naut´ e un outil d’analyse structurelle pertinent pour les syst` emes lin´ eaires et bilin´ eaires.

La boˆıte ` a outils lisa a ´ et´ e con¸cue dans cet esprit. Elle dispose pour l’instant des outils de base et comprend quelques impl´ ementations de r´ esultats sur l’observabilit´ e.

Plus pr´ ecis´ ement, lisa est une boˆıte ` a outils d’analyse structurelle graphique d´ edi´ ee aux syst` emes lin´ eaires et bilin´ eaires structur´ es [Martinez-Martinez et al., 2007]. Elle a comme objectif d’ˆ etre utilis´ ee pour l’analyse et la conception de syst` emes de grande dimension.

Une attention particuli` ere a ´ et´ e port´ ee sur l’optimalit´ e de l’aspect calculatoire, ´ evolutivit´ e,

modularit´ e, portabilit´ e et convivialit´ e.

1.1 Syst` emes lin´ eaires structur´ es

Nous ´ etudions les propri´ et´ es structurelles des syst` emes lin´ eaires invariant dans le temps de la forme :

Σ







˙

x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

(1.1) o` u x(t) ∈ R

repr´ esente le vecteur d’´ etat du syst` eme, u(t) ∈ R

le vecteur des entr´ ees et y(t) ∈ R

le vecteur des sorties. A, B, C et D sont des matrices de dimension appropri´ ee.

Nous supposons que seule est connue la structure du syst` eme, c’est ` a dire l’existence ou non de relations entre les diff´ erentes variables du syst` eme. Lorsqu’il n’y a pas de relation entre les variables, nous inscrivons une valeur z´ ero dans l’´ el´ ement correspondant de la matrice, tandis que l’existence d’une relation est traduite par un ´ el´ ement non nul dans la matrice mat´ erialis´ ee par un param` etre λ r´ eel. Les syst` emes ainsi param´ etr´ es peuvent ˆ etre repr´ esent´ es par le syst` eme lin´ eaire structur´ e d´ enot´ e Σ

d´ ecrit comme suit :

Σ







˙

x(t) = A

x(t) + B

u(t) y(t) = C

x(t) + D

u(t)

(1.2)

o` u les matrices A

, B

, C

, D

du syst` eme structur´ e Σ

sont des matrices dites structur´ ees.

Les param` etres sont rassembl´ es dans le vecteur Λ = {λ

, λ

, ..., λ

}. Les param` etres du vecteur Λ ne pr´ esentent aucune relation commune entre eux et sont dits ind´ ependants.

Ces syst` emes structur´ es peuvent repr´ esenter une grande cat´ egorie de syst` emes lin´ eaires num´ eriquement sp´ ecifi´ es.

Il faut noter qu’ici nous consid´ erons les ´ el´ ements z´ eros des matrices comme ´ etant fixes. D’autres approches consid` erent le cas o` u ces valeurs peuvent ˆ etre diff´ erentes de z´ ero en raison pr´ ecis´ ement des incertitudes du syst` eme. C’est notamment le cas lorsque ces z´ eros proviennent de la diff´ erence de deux valeurs a priori connues et fixent. C’est

´

egalement le cas en ce qui concerne certains param` etres libres, lorsque des composantes

du vecteur d’´ etat impliquent certaines valeurs fixes constantes dans la matrice. C’est le

cas d’une relation de type ˙ x

(t) = x

(t), par exemple. Ces deux cas sont consid´ er´ es dans

[Willems, 1986, Murota, 1987].

Dans certaines parties de ce m´ emoire, nous aurons ` a manipuler syst` emes lin´ eaires repr´ esent´ es par des matrices polynomiales. Cela aidera ` a mieux analyser leur structure.

Ainsi, au syst` eme lin´ eaire structur´ e (1.2), il peut ˆ etre associ´ e une matrice polynomiale

P

(s) =





A

− sI

B

C

D



 (1.3)

appel´ ee faisceau de matrices du syst` eme Σ

. Cette matrice contient une grande partie de l’information importante relative ` a la structure du syst` eme.

1.1.1 Propri´ et´ es g´ en´ eriques

L’un des avantages de l’analyse des propri´ et´ es des syst` emes lin´ eaires structur´ es est la g´ en´ ericit´ e des r´ esultats obtenus. En effet, la validit´ e des propri´ et´ es telles que la com- mandabilit´ e, l’observabilit´ e,· · · est vraie non seulement pour une combinaison donn´ ee des param` etres du syst` eme, mais aussi pour presque toutes les valeurs qu’ils peuvent prendre.

Ces propri´ et´ es, dites structurelles car li´ ees ` a la structure du syst` eme, ont ainsi une validit´ e g´ en´ erique par rapport aux valeurs des param` etres.

Il faut noter que l’aspect g´ en´ erique des propri´ et´ es structurelles par rapport aux param` etres du syst` eme n’implique en rien leur validit´ e pour toutes les combinaisons num´ eriques pos- sibles des param` etres. C’est par exemple le cas pour l’observabilit´ e du syst` eme lin´ eaire structur´ e suivant ayant par entr´ ee connue u(t)

˙ x(t) =



 λ

0

0 λ



 x(t) +



 λ

λ



 u(t)

y(t) = λ

λ

x(t)

(1.4)

La matrice d’observabilit´ e est donn´ ee par O =



 C CA



 o` u

O =





λ

λ

λ

λ

λ

λ





Le syst` eme est observable si le rang de la matrice O est ´ egal ` a 2, c’est ` a dire ` a la dimension du syst` eme. Le d´ eterminant ´ etant donn´ e par

det (O) =λ

λ

λ

− λ

λ

λ

λ

λ

(λ

− λ

)

le syst` eme est donc observable pour toute valeur des param` etres {λ

, λ

, λ

, λ

} sauf pour λ

= 0 ou λ

= 0 ou λ

− λ

= 0. Ainsi, le syst` eme (1.4) est observable pour ”presque toutes” les valeurs de Λ. Dans le cas des syst` emes lin´ eaires structur´ es, il est consid´ er´ e que le syst` eme donn´ e par l’´ equation (1.4) est g´ en´ eriquement observable.

Nous avons parl´ e ci-dessus de la propri´ et´ e d’observabilit´ e, mais aussi du rang d’une matrice. Le rang g´ en´ erique d’une matrice structur´ ee est une notion importante dans ce travail de th` ese. Le paragraphe suivant approfondit cette notion.

1.1.2 Rang g´ en´ erique d’une matrice structur´ ee

Dans le cas des syst` emes num´ eriquement sp´ ecifi´ es, le rang du faisceau de matrices P (s) est le nombre maximal de lignes ou colonnes lin´ eairement ind´ ependantes que l’on peut avoir dans cette matrice. Pour une valeur complexe particuli` ere ˆ s, le rang de P (ˆ s) est naturellement not´ e rang(P (ˆ s)). Le rang normal du faisceau P (s) est alors le rang de P (ˆ s) pour presque toutes les valeurs de ˆ s ∈ C et il est d´ enot´ e par n-rang(P (s)).

Dans le cadre des syst` emes lin´ eaires structur´ es, ` a chaque valeur de l’ensemble des param` etres Λ ∈ R

, il est possible d’associer un syst` eme num´ eriquement sp´ ecifi´ e et une valeur du rang de la matrice de transfert du syst` eme. De la section 1.1.1, nous savons que le rang de la matrice de transfert de tous ces syst` emes sp´ ecifi´ es n’est pas toujours ´ egal au rang normal puisqu’il d´ epend des param` etres. D´ efinissons la matrice de transfert du syst` eme structur´ e comme T

(s) = C

(sI −A

)

B

+D

et assumons que rang(T

(s)) = q. La d´ efi- nition suivante pr´ ecise la notion de rang g´ en´ erique [van der Woude, 1991, van der Woude, 1991].

D´ efinition 1.1. Soit Σ

un syst` eme lin´ eaire structur´ e avec pour matrice de transfert

T

(s) = C

(sI − A

)

B

+ D

. Le rang g´ en´ erique, not´ e g-rang, de T

(s) est d´ efini

comme

g-rang(T

(s)) = max

Λ∈R^k

{rang(T

(s))}

Cela signifie que le rang de la matrice de transfert T

(s) est ´ egal a q pour ”presque toutes” les valeurs de λ ∈ R

, o` u ”presque toutes” doit ˆ etre compris comme toutes les valeurs λ

sauf celles qui se trouvent dans une vari´ et´ e propre [Wonham, 1985].

Jusqu’ici, nous avons parl´ e de l’importance de l’´ etude des propri´ et´ es des syst` emes structur´ es et de la notion de g´ en´ ericit´ e. Nous avons aussi d´ efini le rang g´ en´ erique d’une matrice de transfert pour les syst` emes lin´ eaires structur´ es. La section suivante est con- sacr´ ee ` a la repr´ esentation graphique des syst` emes lin´ eaires structur´ es et, plus pr´ ecis´ ement,

`

a l’association d’un graphe orient´ e ` a tout syst` eme lin´ eaire structur´ e ainsi qu’` a la d´ efinition de certaines notions simples utiles ` a la synth` ese et ` a l’´ enonc´ e des r´ esultats pr´ esent´ es dans ce manuscrit.

1.2 Repr´ esentation graphique des syst` emes lin´ eaires structur´ es

D` es les ann´ ees 1970, une nouvelle approche reposant sur la repr´ esentation par graphe

orient´ e du mod` ele d’´ etat des syst` emes structur´ es, en a autoris´ e une analyse pertinente

et efficace. La propri´ et´ e de commandabilit´ e a ´ et´ e la premi` ere ` a ˆ etre ´ etudi´ ee [Lin, 1974,

Shields et Pearson, 1976, Glover et Silverman, 1976]. Bien que les preuves restent fond´ ees

sur des arguments alg´ ebriques ou g´ eom´ etriques, les r´ esultats ´ enonc´ es sont tr` es simples ` a

appliquer et ` a comprendre. En effet, les crit` eres de commandabilit´ e trouv´ es sont relatifs ` a

l’existence de chemins, de cycles, au calcul du nombre maximal de chemins disjoints . . . .

En outre, ces notions ´ etant assez communes dans la th´ eorie des graphes, des

algorithmes optimis´ es existent pour leur manipulation. La simplicit´ e et le fait que

l’approche graphique permette de se d´ efaire de certaines difficult´ es num´ eriques in-

h´ erentes aux approches g´ eom´ etrique et alg´ ebrique ont conduit ` a une s´ erie d’´ etudes

bas´ ees sur l’approche graphique. Ainsi, apr` es la commandabilit´ e, l’observabilit´ e, la

solubilit´ e des probl` emes de d´ ecouplage, de rejet de perturbations, les dimensions des sous-espaces invariants, la structure finie et ` a l’infini des syst` emes, la d´ etectabil- it´ e, la localisabilit´ e des d´ efauts ont ´ et´ e trait´ es [Murota, 1987, Reinschke, 1988, van der Woude et Murota, 1995, van der Woude, 1996, Dion et al., 2001, Commault et al., 2002a, Commault et al., 2002b, van der Woude et al., 2003]. La majorit´ e des propri´ et´ es des syst` emes lin´ eaires ont ´ et´ e caract´ eris´ ees graphiquement en utilisant le plus souvent les notions de nombre et de longueur de chemins et de cycles disjoints.

D’autres types de repr´ esentations graphiques ont ´ et´ e utilis´ ees pour l’analyse de pro- pri´ et´ es structurelles des syst` emes lin´ eaires. C’est le cas de [Rahmani et al., 1997] o` u les auteurs, en s’appuyant sur la th´ eorie des bond-graphes, proposent une m´ ethode pour l’analyse structurelle de propri´ et´ es telles que la commandabilit´ e et l’observabilit´ e des sys- t` emes lin´ eaires. Une approche bas´ ee sur le comportement du syst` eme est utilis´ ee dans [Blanke et al., 2003],...

Dans ce travail, deux types de repr´ esentations sont utilis´ ees : graphes orient´ es et graphes bipartis. Dans un premier temps, nous pr´ esentons la repr´ esentation par graphes orient´ es, plus amplement utilis´ ee dans ce m´ emoire. Ensuite, la repr´ esentation par graphes bipartis est abord´ ee. La repr´ esentation des syst` emes lin´ eaires structur´ es par graphes ori- ent´ es et bipartis est utilis´ ee classiquement dans les travaux d’analyse structurelle par ap- proche graphique [Murota, 1987, Reinschke, 1988, Dion et al., 2003]. Ensuite, nous don- nons quelques d´ efinitions utiles ` a l’analyse des propri´ et´ es d’observabilit´ e que nous nous proposons de mener.

1.2.1 Graphe orient´ e associ´ e ` a un syst` eme lin´ eaire structur´ e

Un graphe orient´ e d´ enot´ e G(Σ

) peut ˆ etre associ´ e au syst` eme structur´ e Σ

. Il est

compos´ e d’un ensemble de sommets not´ e V et d’un ensemble d’arcs E . L’ensemble des

sommets V est associ´ e aux variables du syst` eme, c’est ` a dire aux composantes de l’´ etat,

aux composantes de l’entr´ ee inconnue (perturbations, d´ efauts, etc.) et aux composantes

des mesures du syst` eme structur´ e. L’ensemble des arcs E repr´ esente l’existence de relations

statiques ou dynamiques entre les variables du syst` eme.

Plus pr´ ecis´ ement : V = X ∪ Y ∪ U o` u X = {x

, . . . , x

} est l’ensemble de sommets-´ etats, Y = {y

, . . . , y

} est l’ensemble de sommets-sorties et U = {u

, . . . , u

} est l’ensemble de sommets-entr´ ees.

L’ensemble d’arcs E = A-arcs ∪ B-arcs ∪ C-arcs ∪ D-arcs est tel que A-arcs =

(x

, x

) | A

(i, j) 6= 0 , B-arcs =

(u

, x

) | B

(i, j) 6= 0 , C-arcs =

(x

, y

) | C

(i, j) 6= 0 , D-arcs =

(u

, y

) | D

(i, j) 6= 0 .

Les matrices A

, B

, C

et D

sont des matrices structur´ ees. L’´ el´ ement (i, j) de la matrice structur´ ee M

est repr´ esent´ e par M

(i, j ).

Pour illustrer le graphe orient´ e propos´ e, nous utilisons un exemple simple de syst` eme structur´ e

Exemple 1.1. Soient les matrices

A

=



































0 0 0 λ

0 0 0 0 0 0 λ

0 0 0 0 0 0 0 λ

0 0 0 0 0 0 0 λ

0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 λ

0 0 0 0 0 λ

0



































, B

=

































 0 0 0 0 0 0 λ

0 λ

0 0 0 0 0

































 ,

C

=











λ

λ

0 0 0 0 0 0 0 λ

λ

0 0 0 0 0

0 0 0 0 λ

0 0 0











et D

=











0 0

0 0

0 λ











Le graphe orient´ e associ´ e ` a un tel syst` eme structur´ e est pr´ esent´ e ` a la figure 1.1.

Fig. 1.1 – Repr´ esentation graphique du syst` eme structur´ e Σ

de l’exemple 1.1

1.2.2 Notations et d´ efinitions

Ci-dessous, nous donnons quelques d´ efinitions utiles aux analyses pr´ esent´ ees lors des paragraphes suivants.

• Un arc e ∈ E est not´ e par e = (v

, v

) o` u v

est le sommet de d´ epart ou initial et v

est le sommet d’arriv´ ee ou final de l’arc e.

• Deux arcs e

= (v

, v

) et e

= (v

, v

) sont v-disjoints si leurs sommets de d´ ebut ainsi que leurs sommets de fin sont mutuellement distincts i.e. v

6= v

et v

6= v

. Des arcs sont v-disjoints s’ils sont v -disjoints deux ` a deux. Il est ` a noter que e

et e

peuvent ˆ etre v-disjoints mˆ eme si v

= v

et v

= v

.

Par exemple, dans la figure 1.1, les arcs (x

, x

) et (x

, x

) ou (x

, y

) et (x

, y

) ne sont pas v-disjoints. En revanche, (x

, x

) et (x

, y

) sont v-disjoints, ainsi que (x

, x

) et (x

, x

).

• Un chemin consiste en une s´ equence d’arcs (v

, v

) ∈ E pour j = 0, 1, . . . , i − 1 et il est not´ e par P = v

→ v

→ · · · → v

• Un chemin est dit simple lorsqu’il ne passe pas deux fois par le mˆ eme sommet.

• Un cycle est un chemin de la forme v

→ v

→ . . . → v

→ v

, o` u tous les sommets v

, v

,. . . , v

sont distincts.

• Un chemin U-racine est un chemin qui a comme sommet de d´ epart un ´ el´ ement de l’ensemble U.

• Un chemin Y-cime est un chemin qui a comme sommet de fin un ´ el´ ement de l’ensemble

Y.

• Des chemins sont disjoints s’ils n’ont aucun sommet commun.

• La longueur d’un chemin est d´ efinie comme le nombre d’arcs qu’il contient, chaque arc

´ etant compt´ e autant de fois qu’il apparaˆıt dans le chemin.

Soient V

et V

deux sous-ensembles de sommets de V . Le cardinal de l’ensemble V

(respectivement V

) est not´ e card(V

) (respectivement card(V

)).

• Un chemin dont le sommet de d´ epart appartient ` a V

et le sommet de fin appartient ` a V

, est appel´ e chemin V

-V

. De plus, s’il n’y a que le sommet de d´ epart du chemin P qui appartient ` a V

et que le sommet de fin qui appartient ` a V

, alors le chemin P est appel´ e chemin V

-V

direct.

• L’ensemble de ` chemins V

-V

disjoints est appel´ e un lien (linking) V

-V

de taille `.

Les liens compos´ es d’un nombre maximal de chemins disjoints sont appel´ es liens V

-V

maximaux. La taille d’un tel lien est d´ efinie comme

ρ(V

, V

) = nombre maximal de chemins V

-V

disjoints

la longueur d’un lien V

-V

est d´ efinie comme ´ etant la somme des longueurs de tous les chemins composant ce lien. La longueur minimale d’un lien est le nombre minimal d’arcs n´ ecessaires pour composer ce lien.

• On d´ efinit aussi µ(V

, V

) par le nombre minimal de sommets appartenant ` a un lien V

-V

maximal et θ V

, V

par le nombre maximal d’arcs v-disjoints dont les sommets de d´ ebut sont dans V

et les sommets de fin dans V

.

Notons que la longueur minimale d’un lien V

-V

maximal est ´ egale ` a µ(V

, V

)−ρ(V

, V

) L’exemple simple suivant illustre les d´ efinitions ´ enonc´ ees ci-dessus.

Exemple 1.2. Consid´ erons le graphe orient´ e G de la figure 1.2.

Fig. 1.2 – Lien maximal d’un graphe

Il existe quatre chemins U-Y possibles : P

: u

→ x

→ x

→ y

,

P

: u

→ x

→ y

, P

: u

→ x

→ x

→ y

, P

: u

→ x

→ x

→ y

Il est possible d’avoir au maximum deux chemins U-Y disjoints. Les liens U-Y maximaux sont alors {P

, P

} et {P

, P

}. On a donc ρ(U, Y) = 2, µ(U, Y) = 7 alors que θ(U, Y) = 0.

• L’ensemble de sommets not´ e V

(V

, V

) regroupe les sommets communs ` a tous les liens V

-V

maximaux. Ces sommets sont dits sommets essentiels dans les liens V

-V

maximaux.

• Un ensemble de sommets S(V

, V

) est appel´ e s´ eparateur entre V

et V

si chaque chemin V

-V

contient au moins un sommet appartenant ` a S. Un s´ eparateur est dit minimal s’il contient un nombre minimal d’´ el´ ements. Ce nombre est ´ egal ` a ρ V

, V

d’apr` es le th´ eor` eme de Menger.

L’union de tous les s´ eparateurs est ´ egale ` a l’ensemble des sommets essentiels V

(V

, V

).

• Il existe deux s´ eparateurs minimaux particuliers et uniques : le s´ eparateur d’entr´ ee et le s´ eparateur de sortie not´ es respectivement S

(V

, V

) et S

(V

, V

) et d´ efinis comme suit : - S

(V

, V

) est l’ensemble des sommets de fin de tous les chemins V

-V

(V

, V

) directs

en prenant en compte les chemins de longueur nulle.

- S

(V

, V

) est l’ensemble des sommets de d´ ebut de tous les chemins V

(V

, V

) − V

directs, en prenant en compte les chemins de longueur nulle.

Une cons´ equence directe de ces d´ efinitions est que V

(V

, V

) ∩ V

⊆ S

(V

, V

) et V

(V

, V

) ∩ V

⊆ S

(V

, V

).

• Une union disjointe de chemins et de cycles est un ensemble de chemins et de cycles

n’ayant aucun sommet commun. Une telle union couvre un sommet v, s’il existe un chemin

appartenant ` a cette union qui passe par v.

• Un graphe partiel de G(Σ

) engendr´ e par un ensemble d’arcs S

⊆ E est not´ e S

= (S

, S

) o` u l’ensemble de sommets S

⊆ V est constitu´ e des sommets de d´ ebut et de fin de tous les arcs de S

.

Exemple 1.3. Consid´ erons le syst` eme structur´ e repr´ esent´ e par le graphe orient´ e de la figure 1.3. Nous constatons qu’il y a au maximum 3 chemins disjoints entre U et Y, ρ(U, Y) = 3. Ainsi, le s´ eparateur minimal est constitu´ e de 3 sommets. Nous pouvons citer quelques s´ eparateurs minimaux compos´ es de trois sommets : S

(U, Y) = {x

, x

, y

}, S

(U, Y) = {x

, x

, x

}, S

(U, Y) = {x

, x

, x

} et S

(U, Y) = {x

, x

, u

} par exem- ple. L’ensemble de sommets essentiels est donn´ e par V

(U, Y) = {x

, x

, x

, x

, x

, x

, u

, y

}.

Fig. 1.3 – Exemple illustrant les sommets essentiels et les separateurs

Parmi les s´ eparateurs minimaux, il est facile de distinguer le s´ eparateur d’entr´ ee comme ´ etant S

(U, Y) = {x

, x

, u

} et le s´ eparateur de sortie S

(U, Y) = {x

, x

, y

}.

1.2.3 Graphe biparti associ´ e ` a un syst` eme lin´ eaire structur´ e

Une autre repr´ esentation graphique utile ` a l’analyse des syst` eme structur´ es est celui de

graphes bipartis. Un graphe biparti d´ enot´ e B(Σ

) peut ˆ etre associ´ e au syst` eme structur´ e

Σ

. Il est compos´ e de deux ensemble de sommets disjoints V

et V

et d’un ensem-

ble d’arcs W . Les ensembles V

et V

sont associ´ es aux composantes de l’´ etat, aux

composantes de l’entr´ ee inconnue et aux composantes des mesures. L’ensemble d’arcs

repr´ esente les relations entre les variables du syst` eme.

Plus pr´ ecis´ ement, l’ensemble de sommets V

= X

∪ U

et V

= Y

∪ X

avec X

= {x

, x

, . . . , x

}, U

= {u

, u

, . . . , u

}, X

= {x

, x

, . . . , x

}, Y

= {y

, y

, . . . , y

}. L’ensemble d’arcs W est d´ efini par

(x

, x

) | A

(i, j) 6= 0 S (u

, x

) | B

(i, j) 6= 0 S

(x

, y

) | C

(i, j) 6= 0 S

(u

, y

) | D

(i, j) 6= 0 . En fait, il existe dans le graphe biparti un arc (v

, v

) s’il existe un arc correspondant (v

, v

) dans le graphe orient´ e G(Σ

).

Un couplage dans un graphe biparti B (Σ

) = (V

, V

, W ) est un ensemble M ⊆ W d’arcs disjoints (et donc v-disjoints car le graphe est biparti). Un couplage est maximal s’il contient un nombre d’arcs ´ egal ` a θ(V

, V

). Nous notons par ∂

M (resp. ∂

M ) l’ensem- ble des sommets de V

(resp. de V

) incidents aux arcs inclus dans M .

Exemple 1.4.

Les deux principaux repr´ esentations graphiques utilis´ ees dans ce document ´ etant d´ ej` a pr´ esent´ ees, le paragraphe suivant est d´ edi´ e ` a l’expos´ e des principaux objectifs et motiva- tions de ce m´ emoire.

1.3 Les probl´ ematiques abord´ ees dans ce travail

– Observabilit´ e forte de l’´ etat et de l’entr´ ee inconnue pour les syst` emes lin´ eaires structur´ es

L’observabilit´ e forte traduisant l’observabilit´ e des variables d’´ etat d’un syst` eme pour

toute valeur d’entr´ ee ainsi que l’observabilit´ e conjointe de l’´ etat et de l’entr´ ee inconnue

restent encore des propri´ et´ es des syst` emes lin´ eaires structur´ es non abord´ ees graphique-

ment. Ces propri´ et´ es un peu plus fortes que l’observabilit´ e de l’´ etat ou que la d´ etection

et la localisation d’entr´ ees inconnues de type d´ efauts sont utiles et pertinentes ` a ´ etudier

au sein de l’´ equipe projet dimodic du cran ` a laquelle j’appartient dont les th´ ematiques

de recherches gravitent autour du diagnostic et de la synth` ese de commandes tol´ erantes

aux d´ efauts avec des applications r´ ecentes aux syst` emes distribu´ es en r´ eseaux. En effet,

les syst` emes ` a entr´ ees inconnues peuvent par exemple repr´ esenter des syst` emes soumis ` a des d´ efauts dont l’estimation pourrait servir dans le cadre de la synth` ese de commandes tol´ erantes aux d´ efauts. De mˆ eme, les syst` emes distribu´ es en r´ eseaux peuvent ˆ etre con- sid´ er´ es comme ´ etant un assemblage de syst` emes ind´ ependants dont les interactions sont repr´ esent´ ees par des entr´ ees inconnues. L’´ etude de l’observabilit´ e forte de l’´ etat consisterait suivant les cas ` a savoir si les d´ efauts symbolis´ es par des entr´ ees inconnues ne d´ et´ eriorent pas la capacit´ e ` a estimer les composantes de l’´ etat ou si un syst` eme distribu´ e en r´ eseau reste observable en distribuant les sch´ emas d’observation localement sur les sous-syst` emes qui le composent.

Ainsi motiv´ ee, notre analyse graphique de l’observabilit´ e des syst` emes ` a entr´ ees in- connues a pris en compte plusieurs cas. En premier lieu, nous nous sommes int´ eress´ es

`

a l’observabilit´ e de toutes les composantes de l’´ etat et de l’entr´ ee. Ensuite, nous avons

´ etudi´ e les conditions d’observabilit´ e forte d’une partie donn´ ee de l’´ etat et/ou de l’entr´ ee.

Enfin, l’observabilit´ e forte de tout l’´ etat est consid´ er´ ee. Cela correspond sommairement aux cas d’´ etudes que nous avons jug´ es les plus int´ eressants dans le contexte des syst` emes

`

a entr´ ees inconnues.

– Placement de capteurs pour le recouvrement de l’observabilit´ e

Le rajout de capteurs pour le recouvrement d’une propri´ et´ e donn´ ee a d´ ej` a ´ et´ e ´ etudi´ e dans le cadre des syst` emes lin´ eaires structur´ es. Dans [Commault et al., 2005b], les au- teurs s’int´ eressent au recouvrement de la propri´ et´ e d’observabilit´ e. Le probl` eme est divis´ e en deux parties. La premi` ere partie consiste ` a assurer que le syst` eme est connect´ e ` a la sortie. Ensuite, il s’agit de faire en sorte qu’il n’y ait aucune contraction dans le graphe associ´ e au syst` eme, ou plus pr´ ecis´ ement, il doit exister un ensemble de chemins et/ou de cycles disjoints qui couvrent tout l’´ etat. Plus r´ ecemment, dans [Commault et Dion, 2007, Commault et al., 2006], les auteurs donnent par approche graphique, une classification des capteurs et de leur localisation permettant de r´ esoudre le probl` eme de d´ etection de d´ efauts ` a base d’observateurs.

D’autres travaux sur le placement de capteurs utilisent des repr´ esentations graphiques

diff´ erentes. Ainsi, les diagrammes de flots de donn´ ees repr´ esentant les informations d’ob-

servation sur les syst` emes sont utilis´ es dans [Maquin et al., 1995, Maquin et al., 1994]

pour r´ esoudre des probl` emes d’observabilit´ e ou de diagnosticabilit´ e. Les graphes bipartis sont employ´ es dans [Frisk et Krysander, 2007, Trav´ e-Massuy` es et al., 2001, Trave-Massuyes et al., 2006], qui comparent la capacit´ e structurelle d’un ensemble donn´ e de configurations de capteurs ` a d´ etecter et localiser des d´ efauts. Citons aussi les approches fond´ ees sur les bond-graphes [Khemliche et al., 2006] qui aboutissent ` a des proc´ edures de placement de capteurs ` a des fins de diagnostic applicables ` a des syst` emes assez complexes.

Dans ce contexte, il nous a paru int´ eressant de compl´ eter notre analyse de l’observ- abilit´ e des syst` emes ` a entr´ ees inconnues par une ´ etude de placement de capteurs pour le recouvrement des propri´ et´ es consid´ er´ ees. L` a aussi, en relation avec les propri´ et´ es ´ etudi´ ees, nous avons consid´ er´ e s´ epar´ ement le recouvrement de l’observabilit´ e forte en pr´ esence d’en- tr´ ees inconnues d’une partie donn´ ee de l’´ etat puis celle de tout l’´ etat.

L’´ etude consiste ` a placer des capteurs de sorte que le syst` eme devienne, suivant le cas, soit compl` etement observable, soit tel qu’un ensemble donn´ e de composantes de l’´ etat et de l’entr´ ee inconnue soit observable. Pour ce faire, il est ´ evident que l’une des premi` eres conditions est la condition de conectivit´ e ` a la sortie puisque il doit ˆ etre garanti que tous les

´

etats et les entr´ ee inconnues ont un lien avec la sortie. Cela signifie que tout changement dans d’´ etats et d’entr´ ees inconnues est refl´ et´ e par les mesures. Ensuite, Il s’agit de sat- isfaire aux conditions d’observabilit´ e forte du syst` eme. Les r´ esultats trouv´ es donnent des conditions n´ ecessaires et suffisantes au placement de capteurs, ` a savoir, leur localisation.

Le nombre minimal de capteurs ` a rajouter pour le recouvrement de l’observabilit´ e forte d’une partie de l’´ etat n’a pas ´ et´ e trouv´ e. Seulement une borne sup´ erieure ` a ce nombre ` a

´

et´ e obtenue.

– Boˆıte ` a outils LISA

Enfin, une fa¸con de concr´ etiser nos travaux a ´ et´ e de participer ` a la conception d’un

logiciel sous la forme d’une boˆıte ` a outils d’analyse structurelle dont l’objectif est de pro-

poser une panoplie d’algorithmes permettant de caract´ eriser des propri´ et´ es structurelles

ou la solubilit´ e de probl` emes classiques de commande.

Nos travaux de th` ese ont donn´ e lieu ` a un article de revue :

T. Boukhobza, F. Hamelin et S. Martinez-Martinez . State and input observ- ability for structured linear Systems : a graph-theoretic approach. Automatica, 43(7), 1204–1210, 2007,

un article de congr` es international avec comit´ e de lecture :

S. Martinez-Martinez, T. Mader, T. Boukhobza et F. Hamelin . LISA : a linear structured system analysis program. Dans IFAC Symposium on System, Structure and Control (SSSC), Foz do Igua¸cu, Br´ esil, 2007,

et ` a la soumission d’un article en revue :

T. Boukhobza, F. Hamelin, S. Martinez-Martinez et D. Sauter . Partial state and input observability for structured linear Systems : a graph-theoretic approach. Soumis

`

a European Journal of Control, 2008.

L’objectif de ce manuscrit est de d´ ecrire les travaux effectu´ es lors de cette th` ese. Les divers r´ esultats sont illustr´ es par des exemples simples permettant aux lecteurs non fam- iliers avec l’approche graphique de mieux comprendre les d´ eveloppements th´ eoriques de notre travail. Le premier chapitre, des trois que comporte ce document, regroupe tous les r´ esultats d’analyse d’observabilit´ e pour les syst` emes ` a entr´ ees inconnues. Le second chapitre traite de l’aspect placement de capteurs pour le recouvrement des propri´ et´ es d’observabilit´ e ´ etudi´ ees. Enfin, le dernier chapitre est d´ edi´ e ` a la pr´ esentation de la boˆıte

`

a outils d’analyse structurelle lisa . Sans rentrer dans les d´ etails de programmation, une description des fonctionnalit´ es et une discussion des ordres de complexit´ e des diff´ erents algorithmes impl´ ement´ es sont expos´ ees. Enfin, une conclusion et quelques perspectives

`

a ce travail, notamment en ce qui concerne les probl` emes de placements de capteurs et

l’enrichissement de lisa , sont donn´ ees.

Observabilit´ e g´ en´ erique de l’´ etat et de l’entr´ ee des syst` emes lin´ eaires

structur´ es

2.1 Introduction

La propri´ et´ e d’observabilit´ e qui consiste ` a garantir que les mesures faites sur un sys- t` eme sont suffisamment informatives pour pouvoir en d´ eduire toutes les variables non mesur´ ees du syst` eme, est une propri´ et´ e fondamentale en automatique. Ainsi, il est im- portant de faire l’´ etude de cette propri´ et´ e lorsqu’il s’agit de construire un observateur permettant l’estimation de l’´ etat et des entr´ ees d’un syst` eme. Cela est ´ evidemment utile dans le contexte de la commande, si les lois de commande doivent utiliser des variables non mesur´ ees mais aussi du diagnostic pour la construction et la g´ en´ eration de r´ esidus, de la commande tol´ erante aux d´ efauts pour laquelle l’observation des amplitudes des d´ e- fauts peut ˆ etre un avantage ou tout simplement dans le cadre de la supervision et de la surveillance de processus.

Aussi, l’observabilit´ e est l’une des premi` eres propri´ et´ es, avec la commandabilit´ e, ` a avoir fait l’objet de caract´ erisations diverses par l’utilisation de multiples outils math´ ematiques.

23

Les conditions classiques d’observabilit´ e pour les syst` emes lin´ eaires utilisent les notions de dimension de sous-espaces vectoriels, de rang de matrices ou de faisceaux de matrices [Zadeh et Desoer, 1963, Kalman, 1968, Kailath, 1980, Rosenbrock, 1970, Wonham, 1985].

Cela est aussi le cas pour l’analyse de l’observabilit´ e des syst` emes ` a entr´ ees inconnues [Sain et Massey, 1969, Basile et Marro, 1969, Guidorzi et Marro, 1971]

[Basile et Marro, 1973, Basile et al., 1981, Hautus, 1983]. Du fait des outils utilis´ es, la majorit´ e des crit` eres d’observabilit´ e n´ ecessitent pour leur application la connaissance des param` etres du syst` eme ´ etudi´ e. Or, d’une part, la valeur des param` etres n’est pas toujours connue, notamment lors de la phase de conception du syst` eme. D’autre part, il est ´ etabli [Willems, 1986] que la propri´ et´ e d’observabilit´ e est une propri´ et´ e qui d´ epend beaucoup plus de la structure du syst` eme consid´ er´ e que de la valeur des param` etres de ce syst` eme.

Aussi, comme cela a ´ et´ e argument´ e dans l’introduction g´ en´ erale de ce manuscrit, l’ap- proche graphique permet d’´ etudier efficacement des syst` emes dont on ne connaˆıt que la structure i.e. la r´ epartition des termes nul/non-nuls dans les matrices d’´ etat par exemple.

Les conditions graphiques de l’observabilit´ e de l’´ etat d’un syst` eme sans entr´ ee inconnue

sont rappel´ ees dans [Murota, 1987, Reinschke, 1988, Dion et al., 2003]. Elles s’expriment

en termes de connectivit´ e ` a la sortie et de couplage maximal dans un graphe biparti ou

par l’existence d’un ensemble de chemins simples et de cycles disjoints recouvrant tous les

sommets d’un graphe. Notre objectif est d’´ etendre l’analyse graphique de l’observabilit´ e

aux syst` emes a entr´ ees inconnues sans faire d’hypoth` eses sur ces derni` eres. En effet, si

nous supposons les entr´ ees lentement variables, le probl` eme ´ etudi´ e se ram` ene, par exten-

sion de l’´ etat du syst` eme, ` a celui de l’´ etude de l’observabilit´ e d’un syst` eme sans entr´ ee

inconnue. Nous consid´ ererons dans ce m´ emoire des entr´ ees inconnues exog` enes sans con-

trainte ou connaissance sur leur dynamique. Une analyse de l’existence d’un observateur

causal permettant l’estimation de l’´ etat en d´ ecouplant l’erreur d’observation des entr´ ees

inconnues a ´ et´ e effectu´ ee dans [Commault et al., 2001]. Ces conditions sont ´ evidemment

des conditions suffisantes d’observabilit´ e forte de l’´ etat. Notre travail d’analyse men´ e ici

est diff´ erent de [Commault et al., 2001], car nous ne nous int´ eressons pas ` a la synth` ese

d’un observateur, bien que ce probl` eme soit ´ egalement d’un grand int´ erˆ et. C’est bien la

propri´ et´ e d’observabilit´ e seule que nous avons tent´ e de cerner, c’est ` a dire la capacit´ e in- formative des mesures effectu´ ees sur le syst` eme. Par ailleurs, il a ´ et´ e prouv´ e dans le cadre des syst` emes singuliers [Hou et M¨ uller, 1999], que l’observabilit´ e forte est une condition n´ ecessaire et suffisante ` a l’existence d’un observateur non causal qui permettrait la recon- struction de l’´ etat mais qui utiliserait les d´ eriv´ ees des signaux de mesure.

Plus pr´ ecis´ ement, nous nous int´ eresserons dans ce chapitre ` a trois cas distincts. Le pre- mier consiste ` a donner les conditions pour que le syst` eme lin´ eaire structur´ e soit totale- ment fortement observable, c’est ` a dire, des conditions pour que toutes les composantes des vecteurs d’´ etat et d’entr´ ee soient observables. Ensuite, lorsque le syst` eme n’est pas compl` etement observable, nous ´ etudierons l’observabilit´ e forte d’une partie donn´ ee des composantes de l’´ etat et de l’entr´ ee inconnue. Enfin, nous nous int´ eresserons ` a la pro- pri´ et´ e d’observabilit´ e forte de l’´ etat qui est notamment utile dans le cadre de la synth` ese d’observateurs pour l’analyse de tol´ erance aux d´ efauts ou de l’autonomie des syst` emes distribu´ es en r´ eseaux.

2.2 Observabilit´ e totale de l’´ etat et de l’entr´ ee d’un syst` eme lin´ eaire structur´ e

Le premier probl` eme abord´ e dans ce chapitre est l’analyse graphique de l’observabilit´ e

g´ en´ erique de l’entr´ ee et de l’´ etat de Σ

. Avant cela, nous donnons d’abord la d´ efinition de

la propri´ et´ e d’observabilit´ e totale. Ensuite, quelques r´ esultats concernant la caract´ erisation

alg´ ebrique et g´ eom´ etrique de cette propri´ et´ e sont rappel´ es. Une subdivision particuli` ere

du syst` eme est alors pr´ esent´ ee avant l’´ enonc´ e de notre principal r´ esultat. A la fin de cette

section, un exemple est pr´ esent´ e pour illustrer l’applicabilit´ e de l’approche propos´ ee.