TS DS 6 2012-2013
EXERCICE 1 :Les parties A etB sont indépendantes Partie A :
X suit la loi normale centrée réduiteN(0; 1). Donner une valeur approchée à 10−2 près deaet b.
a 0 b
aire 0,73
aire 0,08
Partie B :
On réalise des pièces, en série, dont une cote cdoit avoir une valeur de 184 mm avec une tolérance de ±1,5 mm.
la production est assurée par une machine et on appelleX la variable aléatoire réelle associée aux valeurs mesurées de la cotec.
1. Avec une machineM1, l’étude des cotes relevées permet de dire queX suit une loi normale d’espérance mathé- matiqueµ= 184 et d’écart-typeσ= 1,685.
Calculer la probabilité qu’une pièce prise au hasard dans la production soit « bonne », c’est à dire dont la cote c est égale à 184 mm avec une tolérance de±1,5 mm.
2. On veut améliorer la qualité de la production en prenant une machineM2présentant moins de dispersion dans sa production, ce qui correspond à changer l’écart-typeσde la loi de X.
Déterminer une valeur approchée de σ à 10−3 près pour que la probabilité qu’une pièce soit « bonne » soit d’environ 0,96.
EXERCICE 2 :
Un réparateur de vélos a acheté 30 % de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40 % à un deuxième et le reste à un troisième.
Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le troisième 85 %.
1. Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
(a) Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875.
(b) Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu’il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10−3.
2. Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.
Quelle est alors la probabilité qu’au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10−3.
3. On noteX la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l’hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètreλ.
On rappelle que, pour tout nombre réelkpositif :P(X 6k) =Rk
0 λe−λx dx (a) Montrer queP(5006X 61000) = e−500λ−e−1 000λ.
(b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et 1 000 kilomètres sans crevaison étant égale à 1
4, déterminer la valeur arrondie à 10−4 du paramètreλ.
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EXERCICE 3 : Partie A :
On considère le polynômeP défini surCpar P(z) =z3− 2 + i√
2
z2+ 2 1 + i√ 2
z−2i√ 2.
1. Montrer que le nombre complexez0= i√
2 est solution de l’équationP(z) = 0.
2. (a) Déterminer les réelsaetbtels que P(z) = z−i√ 2
z2+az+b . (b) En déduire les solutions dansCde l’équation P(z) = 0.
Partie B :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;−→u;−→v). On prendra 2 cm pour unité graphique.
On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives : zA= 1 + i, zB= 1−i, zJ= i√
2 et zK= e3iπ4 .
1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à−√ 2.
3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
4. Soit D le point d’affixezD=−1 + i. Placer le pointD dans le repère.
(a) Calculer l’expression algébrique du nombre complexe zB−zA
zD−zA
. (b) En déduire la nature du triangleABD.
EXERCICE 4 :
La fonctionF :x7−→ln
1−x 3−2x
définie sur [2; +∞[ est-elle une primitive de la fonctionf :x7−→ 1 (2x−3)(1−x) définie sur le même intervalle ? Justifier votre réponse.
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