OP4 - Dispositif interférentiel par division du front d’onde : trous d’Young

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OP4 - Dispositif interférentiel par division du front d’onde : trous d’Young

I – Le dispositif des trous d’Young

I-1) Les dispositifs interférentiels

On ne sait pas réaliser deux sources synchrones différentes (nécessaire) pour observer un phénomène d’interférence. L’idée est de générer 2 sources (𝑆𝑆₁) 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑆𝑆₂) secondaires à l’aide d’une seule source. Les dispositifs interférentiels sont classés en 2 types :

- Les dispositifs à division du front d’onde - Les dispositifs à division d’amplitude

Dans le cas des dispositifs à division du front d’onde : les 2 rayons interférant en M sont issus de 2 rayons différents émis par S.

Dans le cas des dispositifs à division d’amplitude : on utilise 1 seul rayon émis par S. Une surface partiellement réfléchissante opère une division énergétique du faisceau. Les 2 rayons résultants interfèrent après avoir parcouru des trajets différents. (Chapitre suivant).

I-2) Le dispositif des trous d’Young

Une source ponctuelle, éclaire un écran opaque percé de deux trous (𝑆𝑆₁) 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑆𝑆₂). La source est placée « à grande distance » de l’écran, mais est équidistante des deux trous. On dispose, aussi à «

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grande distance » au-delà du plan des deux trous, un écran d’observation.

Sur l’écran on observe des franges rectilignes (parallèles à l’axe (Oy).

Remarque : Si on place l’écran sur l’axe (S1S2) On observe des anneaux sombres et brillants, car il y a une symétrie de révolution.

II - Champ d’interférences

II-1) Localisation des franges

Le point M a pour coordonnées (x,y,D). Le champ d’interférences correspond à tout le volume de l’espace où les ondes diffractées par les deux trous se recouvrent. Expérimentalement, on constate que les franges d’interférences sont visibles sur l’écran d’observation quelle que soit sa position au-delà des deux trous. On dit que les interférences sont non localisées. Cette propriété est propre aux dispositifs interférentiels fonctionnant par division du front d’onde. On admet sa généralisation.

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II-2) Différence de marche Soit : 𝛿𝛿 = (𝑆𝑆₂𝑀𝑀) – (𝑆𝑆₁𝑀𝑀)

Or :

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝑆𝑆₂𝑀𝑀 = ��𝑥𝑥 + ^𝑎𝑎₂�² + 𝐷𝐷² + 𝑦𝑦² = 𝐷𝐷�1 + _𝐷𝐷^𝑦𝑦²₂ + �_𝐷𝐷^𝑥𝑥 + _2𝐷𝐷^𝑎𝑎 �² 𝑆𝑆₁𝑀𝑀 = ��𝑥𝑥 − ^𝑎𝑎₂�² + 𝐷𝐷² + 𝑦𝑦² = 𝐷𝐷�1 + ^𝑦𝑦_𝐷𝐷²₂ + �_𝐷𝐷^𝑥𝑥 − _2𝐷𝐷^𝑎𝑎 �²

⇔

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝑆𝑆₂𝑀𝑀~𝐷𝐷 �1 + 1 2�𝑎𝑎𝑥𝑥

𝐷𝐷² + 𝑦𝑦²

𝐷𝐷² + 𝑎𝑎²

4𝐷𝐷² + 𝑥𝑥² 𝐷𝐷²��

𝑆𝑆₁𝑀𝑀~𝐷𝐷 �1 + 1

2�−𝑎𝑎𝑥𝑥

𝐷𝐷² + 𝑦𝑦²

𝐷𝐷² + 𝑎𝑎²

4𝐷𝐷² + 𝑥𝑥² 𝐷𝐷²��

Donc :

𝛿𝛿∼_{𝑛𝑛𝐷𝐷} _× ^{𝑎𝑎𝑥𝑥} 𝐷𝐷²

⇒_𝛿𝛿 ₌ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥} 𝐷𝐷

Les interférences produites par un dispositif interférentiel fonctionnant en division du front d’onde sont non localisées : elles sont observables en tout point du champ d’interférences.

Par conséquent : - 𝛿𝛿(𝑀𝑀) = ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥}_𝐷𝐷 - ∆ϕ_{(𝑀𝑀) =} ²_λ^π

0 δ ₌ ²_λ^π

0

𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥 𝐷𝐷

- 𝑝𝑝(𝑀𝑀) = _λ^δ

0 = ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥}_λ

0𝐷𝐷

- 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 2𝐼𝐼₀�1 + cos�∆ϕ₍_𝑀𝑀₎_��

⇒_𝐼𝐼₍_{𝑀𝑀) = 2𝐼𝐼}₀ _{�1 + cos}_�²λ^π₀ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥}_𝐷𝐷 ^��

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II-3) Interfrange

L’éclairement de ne dépend que de x : on observe donc sur l’écran des franges rectilignes, alternativement sombres et brillantes.

L’éclairement présente une période spatiale qu’on nomme interfrange.

𝑖𝑖 = 𝑥𝑥_𝑝𝑝+1 − 𝑥𝑥_𝑝𝑝 = λ₀_𝐷𝐷

𝑛𝑛𝑎𝑎 = λ_𝑛𝑛_𝐷𝐷 𝑎𝑎

La frange pour p=0 s’appelle frange centrale.

II-4) Fentes d’Young

Dans le cas des trous d’Young, on observe sur l’écran des franges rectilignes parallèles à (Oy) ; la figure d’interférences est donc

L’interfrange s’écrit :

𝑖𝑖 = 𝑥𝑥_𝑝𝑝+1 − 𝑥𝑥_𝑝𝑝 = λ₀_𝐷𝐷

𝑛𝑛𝑎𝑎 = λ_𝑛𝑛_𝐷𝐷 𝑎𝑎

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invariante par translation suivant 𝑢𝑢��⃗._𝑦𝑦 Si on remplace les trous par deux fentes « infinies » rectilignes parallèles à 𝑢𝑢��⃗_𝑦𝑦, le système interférentiel reste invariant suivant (Oy).

La figure d’interférences l’étant déjà, elle le reste.

III – Influence de différents paramètres

III-1) Influence d’une lame à faces parallèles a) Montage de Fraunhofer

On envisage une configuration alternative du dispositif des trous d’Young où la source S et le point d’observation M sont rejetés à l’infini. Pour ce faire, on utilise deux lentilles convergentes : la source

L’intérêt d’utiliser des fentes plutôt que des trous est de faire passer plus de lumière et de renforcer ainsi l’intensité de la figure d’interférences.

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S est placée au foyer principal objet de la lentille 𝐿𝐿₁, et le point d’observation M est placé dans le plan focal image de la seconde lentille 𝐿𝐿₂. Ce montage, est appelé montage de Fraunhofer.

Ainsi, d’après le théorème de Malus :

δ _{= (𝑆𝑆𝑀𝑀}₎₂ ₋ ₍_{𝑆𝑆𝑀𝑀}₎₁ _{= (𝑆𝑆}₂_𝑀𝑀) ₋ _(𝑆𝑆₁_{𝑀𝑀) = (𝑆𝑆}₂_𝐻𝐻) Or :

𝑆𝑆₂𝐻𝐻 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(α_)~𝑎𝑎_tan(α₎ ∼^{𝑎𝑎𝑥𝑥} 𝑓𝑓^′ D’où :

δ ₌ _𝑛𝑛 ^{𝑎𝑎𝑥𝑥} 𝑓𝑓^′

On retrouve les mêmes résultats que précédemment à condition de remplacer D par f’.

b) Différence de marche

Calculons le chemin optique de S à M le long des deux voies de l’interféromètre :

�(𝑆𝑆𝑀𝑀)_{𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣1} = (𝑆𝑆𝐴𝐴₁) + (𝐴𝐴₁𝐵𝐵₁) + (𝐵𝐵₁𝑆𝑆₁) + (𝑆𝑆₁𝑀𝑀) (𝑆𝑆𝑀𝑀)_{𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣2} = (𝑆𝑆𝐴𝐴₂) + (𝐴𝐴₂𝐵𝐵₂) + (𝐵𝐵₂𝑆𝑆₂) + (𝑆𝑆₂𝑀𝑀)

Par rapport au calcul précédent seule la partie (AB) est modifiée d’où :

δ ₌ _𝑛𝑛^{𝑎𝑎𝑥𝑥}

𝑓𝑓^′ + (𝑁𝑁 − 𝑛𝑛)𝑒𝑒 où N indice optique de la lame.

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⇒_𝑝𝑝 ₌ λ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥}₀_𝑓𝑓^′ ⁺ ^{𝑁𝑁 − 𝑛𝑛}λ₀ ^{𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥}^𝑝𝑝 ⁼ ^𝑝𝑝

λ₀_𝑓𝑓^′

��𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑠𝑠𝑎𝑎𝑛𝑛𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙𝑣𝑣

− 𝑒𝑒𝑓𝑓^′ 𝑎𝑎

𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑛𝑛 On remarque que l’interfrange reste inchangé :

𝑖𝑖 = λ₀_𝑓𝑓^′

𝑛𝑛𝑎𝑎 = λ_𝑛𝑛_𝑓𝑓^′ 𝑎𝑎 c) Déplacement des franges

Celles-ci se décalent d’une valeur :

∆𝑥𝑥 = −𝑒𝑒𝑓𝑓^′ 𝑎𝑎

𝑁𝑁 − 𝑛𝑛

En général N > n ⇒ _∆𝑥𝑥 _{< 0} : les franges se décalent vers les x < 𝑛𝑛 0, c’est-à-dire vers le côté où la lame a été placée.

Cependant ∆𝑥𝑥 est difficile à mesurer vu l’apparence identique de toutes les franges.

On peut retenir le résultat, en remarquant que les rayons optiques où la lame est absente, augmentent leur chemin optique pour former la figure d’interférences en M.

L’interfrange est inchangée dans le dispositif de Fraunhofer : 𝑖𝑖 = λ₀_𝑓𝑓^′

𝑛𝑛𝑎𝑎 = λ_𝑛𝑛_𝑓𝑓^′

Mais on constate que les franges se décalent. 𝑎𝑎

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III-2) Elargissement spatial de la source.

a) Déplacement du point source S

On considère une source constituée de deux points 𝑃𝑃₁ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃₂, séparés d’une distance h. Cette source éclaire deux trous d’Young.

Les deux points sources sont incohérents : l’intensité totale sur l’écran sera donc la somme des intensités créées par chacune des sources prise séparément.

On s’intéresse à l’éclairement dû à la source 𝑃𝑃₁ ; la différence de marche totale est :

δ₁_{(𝑀𝑀) = (𝑃𝑃}₁_𝑆𝑆₂_𝑀𝑀₎ ₋ ₍_𝑃𝑃₁_𝑆𝑆₁_{𝑀𝑀) =} _𝑛𝑛 ^𝑎𝑎ℎ

𝐷𝐷_𝑠𝑠 + 𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑥𝑥

𝐷𝐷 = λ₀_𝑝𝑝₁_(𝑀𝑀) L’intensité vaut alors :

𝐼𝐼₁(𝑀𝑀) = 2𝐼𝐼₀₁�1 + cos�2π_𝑝𝑝₁_{(𝑀𝑀)��}

Alors que pour la source 𝑃𝑃₂:

δ₂_{(𝑀𝑀) =} _𝑛𝑛 ^{𝑎𝑎𝑥𝑥}

𝐷𝐷 = λ₀_𝑝𝑝₂_(𝑀𝑀)

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐼𝐼₂(𝑀𝑀) = 2𝐼𝐼₀₂�1 + cos�2π_𝑝𝑝₂_{(𝑀𝑀)��}

Par conséquent vu l’incohérence des sources avec : 𝐼𝐼₀₁ = 𝐼𝐼₀₂ = 𝐼𝐼₀ 𝑒𝑒𝑒𝑒cos𝑝𝑝 + cos𝑞𝑞 = 2 cos�𝑝𝑝 + 𝑞𝑞

2 �cos�𝑝𝑝 − 𝑞𝑞 2 � On obtient :

𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 4𝐼𝐼₀ �1 + cos�π_(𝑝𝑝₁ _{− 𝑝𝑝}₂_)�_cos�π_(𝑝𝑝₁ ₊ _𝑝𝑝₂_{)� �}

⇔ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 4𝐼𝐼₀ �1 + cos� π

λ₀ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎ℎ}_𝐷𝐷_𝑠𝑠 ^�^cos^�² π

λ₀ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥}_𝐷𝐷 ⁺ π

λ₀^{𝑛𝑛𝑎𝑎ℎ}_𝐷𝐷_𝑠𝑠 ^��

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⇔ 𝐼𝐼(𝑀𝑀) = 4𝐼𝐼₀

⎝

⎜⎛

1 + cos� π

λ₀ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎ℎ}_𝐷𝐷_𝑠𝑠 ^�

��

𝑉𝑉𝑣𝑣𝑠𝑠𝑣𝑣𝑉𝑉𝑣𝑣𝑙𝑙𝑣𝑣𝑉𝑉é

cos�2π

λ₀ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎}_𝐷𝐷 ^�𝑥𝑥 ⁺ ^ℎ𝐷𝐷_𝐷𝐷_𝑠𝑠^��

��

𝑉𝑉𝑣𝑣𝑡𝑡𝑙𝑙𝑣𝑣 𝑑𝑑^′𝑣𝑣𝑛𝑛𝑉𝑉𝑣𝑣𝑡𝑡𝑖𝑖é𝑡𝑡𝑣𝑣𝑛𝑛𝑟𝑟𝑣𝑣𝑠𝑠 ⎠

⎟⎞

On reconnaît dans le second cosinus le terme d’interférences des trous d’Young pour une seule source ponctuelle mais translatée d’une quantité :

∆_𝑥𝑥 ₌₋^ℎ𝐷𝐷 𝐷𝐷_𝑠𝑠

Les franges sont donc rectilignes et l’interfrange vaut : 𝑖𝑖 = ^λ_{𝑛𝑛𝑎𝑎}⁰^𝐷𝐷

b) Visibilité des franges

L’autre terme est indépendant du point d’observation. Il est appelé visibilité et noté V :

𝑉𝑉 = 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑣𝑣𝑛𝑛

𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑣𝑣𝑛𝑛 = cos� π

λ₀ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎ℎ}_𝐷𝐷_𝑠𝑠 ^� A l’aide de la différence d’ordre on peut écrire :

∆_𝑝𝑝 ₌ _𝑝𝑝₁_(𝑀𝑀) _{− 𝑝𝑝}₂_{(𝑀𝑀) =} _𝑛𝑛 λ^𝑎𝑎ℎ₀_𝐷𝐷_𝑠𝑠

L’élargissement spatial de la source conserve le même interfrange mais un second terme est apparu qui joue sur le visibilité de la figure d’interférences.

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⇒_𝑉𝑉 ₌ ^𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑣𝑣𝑛𝑛

𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝐼𝐼𝑉𝑉𝑣𝑣𝑉𝑉,𝑙𝑙𝑣𝑣𝑛𝑛 = cos|π ∆_𝑝𝑝| Par conséquent :

La valeur minimale de h qui entraîne de brouillage maximal est notée ℎ_𝑙𝑙 tel que :

∆_𝑝𝑝 ₌ ¹

2 ⇒_𝑛𝑛 λ^𝑎𝑎ℎ₀_𝐷𝐷^𝑙𝑙_𝑠𝑠 ⁼ ¹₂

⇒_ℎ_𝑙𝑙 ₌ λ₀_𝐷𝐷_𝑠𝑠 2𝑛𝑛𝑎𝑎 c) Source étendue spatialement

Considérons maintenant une source en forme de segment lumineux étendu dans la direction 𝑢𝑢��⃗_𝑥𝑥 entre 𝑥𝑥 = −𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = +𝑏𝑏. On peut considérer cette source comme une superposition continue de sources ponctuelles élémentaires incohérentes. Chacune de ces sources ponctuelles produit sur l’écran d’observation un système de franges d’interférences. La figure d’interférences qu’on observe sur l’écran

La visibilité de la figure d’interférences produites par deux sources ponctuelles incohérentes est :

• maximale lorsque ∆_𝑝𝑝 ₌ _{𝑚𝑚 𝑜𝑜ù 𝑚𝑚} _{∈ ℕ} ;

• nulle lorsque ∆_𝑝𝑝 ₌ _𝑚𝑚 ₊ ¹

2 𝑜𝑜ù 𝑚𝑚 ∈ ℕ. (Brouillage maximal)

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résulte de la superposition de tous ces systèmes de franges d’interférences décalés les uns par rapport aux autres.

Le décalage obtenu pour un point source situés à l’extrémité du segment est :

|∆𝑝𝑝| = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑏𝑏 λ₀_𝐷𝐷_𝑠𝑠

Ci-dessous, la visibilité des franges en fonction de ∆𝑝𝑝.

Pour ∆𝑝𝑝 faible, l’alternance des franges sombres et brillantes est clairement visible. Dès que ∆𝑝𝑝 augmente, la visibilité chute et l’on ne distingue plus les franges sombres, des franges brillantes : la figure d’interférences est brouillée.

Les franges d’interférences produites par une source étendue sont bien visibles au point M à condition que :

|𝛥𝛥𝑝𝑝(𝑀𝑀)| = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑏𝑏

λ₀_𝐷𝐷_𝑠𝑠 ^≤ ¹₂

où |𝛥𝛥𝑝𝑝(𝑀𝑀)| est la variation de l’ordre d’interférences en M quand on passe d’une source ponctuelle placée au centre de la source étendue à une source ponctuelle placée au bord de la source étendue.

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d) Cohérence spatiale Soit :

|𝛥𝛥𝑝𝑝(𝑀𝑀)| = 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑏𝑏

λ₀_𝐷𝐷_𝑠𝑠 ^≤ ¹₂

⇔_{𝑎𝑎 ≤} λ₀_𝐷𝐷_𝑠𝑠 2𝑛𝑛𝑏𝑏

Posons : 𝜃𝜃 = ^2𝑉𝑉_𝐷𝐷

𝑠𝑠 où 𝜃𝜃 représente l’angle sous lequel est vue la source étendue depuis O, le centre des deux trous « sources ». On peut s’en servir pour exprimer autrement la condition de visibilité des franges.

D’où :

𝑎𝑎 ≤ λ 𝑛𝑛θ

Plus la source est vue sous un angle faible, plus sa longueur de cohérence spatiale augmente, et plus il est aisé d’obtenir des franges d’interférences visibles.

Les franges d’interférences sont observables avec une bonne visibilité à condition que :

𝑎𝑎 ≤ λ

𝑛𝑛θ ⁼ ^𝑙𝑙^𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 𝜃𝜃 = 2𝑏𝑏 𝐷𝐷_𝑠𝑠

Où 𝑙𝑙_𝑠𝑠 est la longueur de cohérence spatiale de la source.

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III-3) Influence de la largeur spectrale a) Présence d’un doublet

On revient à la situation d’une source ponctuelle S, mais on suppose qu’elle émet un doublet de longueurs d’onde λ₁_{𝑒𝑒𝑒𝑒}λ₂. Nous avons vu que deux ondes lumineuses de pulsations différentes ne peuvent pas interférer. Par conséquent, chacune des deux ondes lumineuses rayonnées par la source S produit une figure d’interférences sur l’écran d’observation.

On y observe que le contraste n’est pas uniforme. Pour certaines valeurs de la différence de marche, deux franges brillantes produites par chaque onde ne se superposent en un même point M. On dit qu’il y a coïncidence. On obtient en ce point M une frange brillante et la visibilité des franges y est égale à celle qui correspond à une seule des deux radiations.

Pour d’autres valeurs de la différence de marche, une frange brillante produite par une onde se superpose en un même point M à une frange sombre produite par l’autre onde. On dit qu’il y a anticoïncidence. On observe en ce point un brouillage des franges d’interférences, c’est-à-dire une diminution de leur visibilité.

Déterminons la distance entre les abscisses x où se réalisent ces brouillages :

- Frange brillante associée à λ₁_:_𝑝𝑝 ₌ ^{𝛿𝛿(𝑀𝑀)}_λ

1

- Frange sombre associée à λ₂ ∶ 𝑞𝑞 + ¹₂ = ^{𝛿𝛿(𝑀𝑀)}_λ

2

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Donc :

𝑞𝑞 + 1

2 − 𝑝𝑝 = 𝛿𝛿(𝑀𝑀)� 1

λ₂ ⁻ λ¹₁^�

⇔_𝑚𝑚 ₊ ¹ 2 =

𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥_𝑙𝑙 𝐷𝐷

∆λ

λ₁λ₂ ⁼ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥}_𝐷𝐷^𝑙𝑙

∆λ

λ_𝑙𝑙² 𝑜𝑜ù 𝑚𝑚 ∈ ℕ

⇔_𝑥𝑥_𝑙𝑙 ₌ ^�𝑚𝑚 ^{+ 12}^{� 𝐷𝐷}λ_𝑙𝑙² 𝑛𝑛𝑎𝑎∆λ D’où l’écart :

∆_𝑥𝑥 _{= |𝑥𝑥}_𝑙𝑙+1 _{− 𝑥𝑥}_𝑙𝑙_{| =} ^𝐷𝐷λ_𝑙𝑙² 𝑛𝑛𝑎𝑎∆λ Or : 𝑖𝑖 = ^λ_{𝑛𝑛𝑎𝑎}^𝑚𝑚^𝐷𝐷

b) Longueur de cohérence temporelle

On envisage maintenant le cas d’une source de faible largeur spectrale. Dans l’intervalle de longueur d’onde [𝜆𝜆 ;𝜆𝜆 + 𝑑𝑑𝜆𝜆 ], la source rayonne un éclairement 𝑑𝑑ε.

On peut considérer que le rayonnement émis, est constitué d’une superposition d’ondes lumineuses monochromatiques de largeur 𝑑𝑑𝜆𝜆. Chacune de ces ondes produit sur l’écran son propre système de franges d’interférences. Comme elles sont incohérentes, on observe la superposition des éclairements.

⇒ Ecart entre deux zones brouillées : ∆_𝑥𝑥 ₌ _𝑖𝑖^λ_∆λ^𝑚𝑚

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Évaluons, en un point M de l’écran, la variation de l’ordre d’interférences p consécutif à une variation ^∆^𝜆𝜆

2 de la longueur d’onde à partir de la valeur moyenne.

𝑝𝑝(𝑀𝑀) = 𝛿𝛿(𝑀𝑀)

𝜆𝜆 ⇒ ∆_{𝑝𝑝(𝑀𝑀) =} δ_� ¹ λ_𝑙𝑙 ₊ ∆λ

2

− 1

λ_𝑙𝑙^�∼ ₋ δ λ_𝑙𝑙²

∆λ 2

On utilise le même critère de brouillage que pour la cohérence spatiale : |∆_{𝑝𝑝(𝑀𝑀)|} _≤ ¹

2 pour que les franges soient visibles d’où : δ

λ_𝑙𝑙²

∆λ 2 ≤ 1

2 ⇔ δ _≤ λ_𝑙𝑙²

∆λ

III-4) Éclairage en lumière blanche

La lumière blanche est constituée des radiations électromagnétiques dont la longueur d’onde est approximativement comprise entre 𝜆𝜆_{𝑙𝑙𝑣𝑣𝑛𝑛} = 400 𝑛𝑛𝑚𝑚 (limite de l’ultraviolet) et 𝜆𝜆_{𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥} = 750 𝑛𝑛𝑚𝑚 nm (limite de l’infrarouge). Avec ces valeurs, on obtient :

- La longueur d’onde moyenne : 𝜆𝜆_𝑙𝑙 = 575𝑛𝑛𝑚𝑚 - La largeur spectrale : 𝛥𝛥𝜆𝜆 = 350 𝑛𝑛𝑚𝑚.

Si on assimile ce spectre à une raie rectangulaire extrêmement large, on peut définir une longueur de cohérence temporelle :

𝑙𝑙_𝑟𝑟 = λ_𝑙𝑙²

∆λ ^{= 0,9}µ_𝑚𝑚

Pour obtenir des franges visibles à partir d’une source de faible largeur spectrale, il faut respecter la condition :

δ _≤ λ_𝑙𝑙²

∆λ ⁼ ^𝑙𝑙^𝑟𝑟

où 𝑙𝑙_𝑟𝑟 est la longueur de cohérence temporelle de la source.

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Cette valeur est très faible ; l’ordre d’interférences des franges visibles doit vérifier :

𝑝𝑝 = δ

λ_𝑙𝑙 ^≤ λ^𝑙𝑙_𝑙𝑙^𝑟𝑟 ∼₂⇔ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥}

𝐷𝐷 ≤ 2λ_𝑙𝑙 𝑆𝑆𝑖𝑖 � 𝑛𝑛 = 1

𝐷𝐷 = 1𝑚𝑚⇔_{𝑥𝑥 ≤} ^1,15.10⁻⁶

La figure d’interférences sera rapidement brouillée au fur et à 𝑎𝑎 mesure qu’on s’éloigne du centre.

La figure suivante représente les éclairements pour 3 longueurs d’ondes différentes :

Suivant la valeur entière ou demi-entière de p certaines longueurs d’ondes sont renforcées, d’autres éteintes ce qui modifie le spectre de la lumière et lui donne une teinte caractéristique de la valeur de δ appelée teinte de Newton.

Eclairé, par une source de lumière blanche, un dispositif interférentiel donne donc des franges irisées, du moins si la différence de marche n’est pas trop élevée.

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Expérimentalement on observe :

- La teinte blanche : au centre de la figure d’interférences (correspondant à une différence de marche nulle), toutes les longueurs d’onde se superposent en phase et reconstituent la lumière blanche de la source :

- Des irisations : en s’éloignant du centre, il n’y a plus de recouvrement exact : la structure des franges disparaît et laisse place à des irisations, c’est-à-dire à un ensemble de couleurs qui forme l’échelle des teintes de Newton.

- Un blanc d’ordre supérieur : la zone de l’écran où la différence de marche dépasse quelques micromètres est uniformément éclairée et blanche. Cette lumière blanche est appelée blanc d’ordre supérieur car l’ordre d’interférences y est supérieur à zéro.

Le blanc d’ordre supérieur se distingue de la lumière blanche parce qu’il a un spectre cannelé. Si l’on envoie la lumière arrivant en un point M du champ d’interférences, où la différence de marche est δ(M), dans un spectroscope, on observe un spectre continu marqué de raies noires, appelées cannelures.

_

Les longueurs d’onde au centre des cannelures sont celles pour lesquelles l’interférence en M est destructive, c’est-à-dire :

δ_{(𝑀𝑀) =} _�𝑚𝑚 ₊ ¹ 2�λ₀

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Exemple : Supposons δ _{= 5}µ_𝑚𝑚 alors : δ

λ_{0,𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥} ⁻ ¹_{2 <} ^𝑚𝑚 ^<

δ

λ_{0,𝑙𝑙𝑣𝑣𝑛𝑛} ⁻ ¹₂ 6,1 < 𝑚𝑚 < 12,0

⇒_𝑚𝑚 = {6,7,8,9,10,11,12}

Donc les cannelures correspondront aux longueurs d’onde : λ₀ = {400,435,476,526,588,667𝑛𝑛𝑚𝑚}

IV – Le réseau

IV-1) Montage de Fraunhofer

On considère un ensemble de N trous d’Young équidistants, dans la configuration du montage de Fraunhofer rencontré précédemment.

On suppose que la source ponctuelle, émet une radiation monochromatique de longueur d’onde λ.

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IV-2) Différence de marche

Le plan orthogonal aux rayons incidents sur le plan des trous d’Young et contenant les points 𝐻𝐻_𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴_𝑙𝑙+1 est un plan d’onde relativement à la source S.

Le plan orthogonal aux rayons émergents et qui contient les points 𝐻𝐻_𝑙𝑙+1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴_𝑙𝑙 est un plan d’onde relativement à une source fictive qui serait placée en M.

D’où la différence de marche :

𝛿𝛿(𝑀𝑀) = (𝐻𝐻_𝑙𝑙+1𝐴𝐴_𝑙𝑙+1) − (𝐻𝐻_𝑙𝑙𝐴𝐴_𝑙𝑙)

⇔_𝛿𝛿₍_{𝑀𝑀) =} _{𝑛𝑛𝑎𝑎}_sin(θ₎ − 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀)

IV-3) Interférences constructives

Les maximas d’éclairement correspondent aux cas où p est un entier donc :

L’éclairement est maximal si on vérifie : 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀ ) = 𝑝𝑝 λ₀

𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑜𝑜ù 𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒 Pour le réseau par transmission on a donc :

- Différence de marche : 𝛿𝛿(𝑀𝑀) = 𝑛𝑛𝑎𝑎�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀)�

- Différence de phase : ∆ϕ(𝑀𝑀) = ²^π_λ^{𝑛𝑛𝑎𝑎}

0 �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀ )�

- Ordre d’interférences : 𝑝𝑝(𝑀𝑀) = ^{𝑛𝑛𝑎𝑎}_λ

0 �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀ )�

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IV-4) Réseau par réflexion

IV-5) Résolution spectrale

Dans le cas d’un doublet, on a donc pour les maximas :

�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₁) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀ ) = 𝑝𝑝 λ₁ 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₂) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀ ) = 𝑝𝑝 λ₂ D’où : 𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₂) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₁ ) = ∆λ 𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑝𝑝

Or le critère de Rayleigh impose, afin de bien visualiser les pics de « diffraction » que :

∆₍∆ϕ₎ _≥ δϕ 2

𝑜𝑜ù

⎩⎨

⎧ δϕ ₌ ⁴π

𝑁𝑁

∆₍∆ϕ_{) =} ²^π_λ^{𝑛𝑛𝑎𝑎}

0 �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₂) − 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₁ )�

L’éclairement est maximal si on vérifie : 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ) +𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛(θ₀ ) = 𝑝𝑝 λ₀

𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑜𝑜ù 𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑛𝑛𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒

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D’où :

⇔ ^{𝑛𝑛𝑎𝑎}_λ

0 �∆λ

𝑛𝑛𝑎𝑎 𝑚𝑚� ≥ 1 𝑁𝑁

⇔ ∆λ

λ₀ ≥ 1 𝑁𝑁

La condition de résolution d’un doublet à l’aide d’un réseau est : 𝑁𝑁𝑝𝑝 ≥ λ₀

∆λ