CC-Algèbres Normées Préhilbertiennes Vérifiant ||a2||=||a||2

(1)

c 2008 Birkh¨auser Verlag Basel/Switzerland 0188-7009/010033-9,published onlineOctober 6, 2008 DOI 10.1007/s00006-008-0135-2

Advances in

Applied Cliﬀord Algebras

C -Alg` ebres Norm´ ees Pr´ ehilbertiennes V´ erifiant a

²

= a

²

M. R. Hilali, A. Moutassim and A. Rochdi

R´esum´e. Dans ce papier nous montrons que siA est une algèbre complexe, normée, préhilbertienne, algébrique, sans diviseurs de zéro et vérifianta²= a² pour touta∈ A. AlorsA est de dimension finie et isomorphe àC. Ce dernier nous permet de donner des nouveaux résultats plus généraux que ceux du cas absolument valué. De plus nous donnons un exemple d’uneC-algèbre normée, Hilbertienne, sans diviseurs de zéro, de dimension infinie et vérifiant a²=a² pour touta∈A.

Mots clés. Algèbre (préhilbertienne, commutative, associative, alternative, flexible, à puissances associatives, algébrique).

Abstract.In this paper we prove that ifAis a complex, normed, pre-Hilbert, algebraic algebra, without divisor of zero and satisfyinga²=a² for all a ∈ A. Then A is ﬁnite dimensional and isomorphic to C. This last allows us to give some new more general results than those of the case absolute valued. Moreover we give an example of a complex, normed, Hilbert, inﬁnite dimensional algebra, without divisor of zero and satisfying a²=a² for alla∈A.

Keywords.Algebra (pre-Hilbert, commutative, associative, alternative, power associative, ﬂexible, algebraic).

1. Esquisse de L’introduction

SoitA une algèbre complexe. On suppose que l’espace vectorielA est muni d’une norme.préhilbertienne vérifiant a²=a² pour tout a∈A. Alors A est de dimension finie et isomorphe àCdans chacun des cas suivants :

1. Aest normée, algébrique et sans diviseurs de zéro

2. A est normée et contient un élément inversible v tel que vx = xv = vxpour toutx∈A,

(2)

3. Aest unitaire,

4. Aest commutative alg´ebrique, 5. Aest alternative.

De plus nous donnons un exemple d’une C-algèbre, normée, Hilbertienne, sans diviseurs de zéro, de dimension infinie et vérifianta²=a²pour touta∈A.

2. Pr´eliminaires et Notations

Dans ce papier les algèbres sont considérées sur le corpsCdes nombres complexes.

D´efinitions 2.1. 1) SoitB une alg`ebre arbitraire.

i) B est dite alternative si les identit´es (yx)x = yx² et x(xy) = x²y ont lieu pour tousx, y ∈B [6].

ii) B est dite à puissances associative si la sous algèbreB(a) engendrée par un

élémenta∈B est associative, ce qui est équivalent à dire quea^maⁿ =a^m+n pour tousm, n∈N^∗ et pour touta∈B.

iii) B est dite ﬂexible si (x, y, x) = 0 pour tousx, y∈B.

iv) B est dite de division si pour toutx∈ B, x= 0 les opérateurs linéaires de multiplication parxà gauche et à droite

Lx:B→B (x→xy), Rx:B→B (y→yx) sont bijectives.

v) Un élément x∈B est dit algébrique si la sous-algèbreB(x) deB engendrée parxest de dimension finie.B est dite algébrique si chacun de ses éléments est algébrique [1].

vi) B est dite norm´ee (resp. absolument valu´ee) si l’espace vectoriel sous-jacent

`

aBest muni d’une norme.v´eriﬁantxy ≤ xy(resp.xy=xy) pour tousx, y ∈B.

vii) Une algèbreB est dite linéairement préhilbertienne si l’espace vectoriel sous- jacent à B est muni d’une norme. préhilbertienne, c’est à dire (.|.) :B× B→C(x, y)→(x|y) = 4⁻¹(x+y²− x−y²+ix+iy²−ix−iy²), est un produit scalaire associé à la norme., [2, page 175].

2) Soient K un corps commutatif de caractéristique nulle et A et C deux K- algèbres. On dit queAet C sont isotopes s’il existe trois bijections linéairesu, v etwdeAdansC telles que :w(xy) =u(x)v(y) pour tousx, y∈A.

Dorénavant (A,.) désignera une algèbre linéairement préhilbertienne dont le produit scalaire associé est noté (.|.).

Nous avons besoin des r´esultats suivants

Théorème 2.2. [4, page 80] Soit A une C-alg`ebre normée complète, de division linéaire à gauche. Alors A est isomorphe `aC.

(3)

Théorème 2.3. [3, page I.14] Tout espace vectoriel topologique sépar´e E de di- mension finie n sur un corps valué complet et non discret K, est isomorphe à Kⁿ.

Théorème 2.4. [7] Soit (A, .)une C-alg`ebre préhilbertienne unitaire d’unit´e e telle que e= 1 eta² ≤ a² pour tout a∈A. AlorsA est de dimension finie et isomorphe `aC.

Théorème 2.5. [4] TouteC-alg`ebre isotope `aCest isomorphe àC.

3. C-Algèbres Prélbertiennes Algébriques Vérifiant a²=a²

Nous avons le r´esultat important suivant :

Proposition 3.1. Soit (A,.)uneC-alg`ebre linéairement préhilbertienne vérifiant a² = a² pour tout a ∈ A. Alors les ´egalités suivantes ont lieu pour tous

´el´ements orthogonaux x, y∈A: 1. (x²|xy+yx) = 0

2. xy+yx²= 2x²y² 3. (y²|xy+yx) = 0.

D´emonstration. L’´egalit´e(λx+y)²²= (λx+y²)², ou encore

λ²x²+λ(xy+yx) +y²²= (λ²x²+y²)² (1) a lieu pour tous éléments orthogonauxx, y∈Aetλ∈R. Le développement de (1) donne lieu à un plynômeP à coefficients réels de degré≤3 enλ, identiquement nul :

P(λ) = ((x²|xy+yx) + (xy+yx|x²))λ³

+ [(x²|y²) + (y²|x²) +xy+yx²−2x²y²]λ² + ((y²|xy+yx) + (xy+yx|y²))λ= 0.

Ainsi

(x²|xy+yx) = −(xy+yx|x²) (2) (x²|y²) + (y²|x²) +xy+yx² = 2x²y² (3) (y²|xy+yx) = −(xy+yx|y²). (4) Dans les égalités précédentes on remplacexparix

(x²|xy+yx) = (xy+yx|x²) (5)

−(x²|y²)−(y²|x²) +xy+yx² = 2x²y² (6) (y²|xy+yx) = (xy+yx|y²). (7)

(4)

On additionne les égalités deux à deux (x²|xy+yx) = 0

xy+yx² = 2x²y²

(y²|xy+yx) = 0.

Nous ´enon¸cons maintenant le r´esultat :

Théorème 3.2. Soit (A,.) uneC-alg`ebre normée, linéairement préhilbertienne, algébrique, sans diviseurs de zéro et vérifiant a²=a² pour touta∈A. Alors Aest de dimension finie et isomorphe àC.

D´emonstration. Supposons queAest de dimension≥2. PuisqueAest une algèbre normée, algébrique et sans diviseurs de zéro. Alors la sous-algèbre deA, engendrée par un seul élément, est une algèbre normée complète de division linéaire et isomorphe à C(Théorèmes 2.2 et 2.3). Soit alors {a, b} une famille orthonormée de A, alors ils existent deux idempotents orthogonaux non nulse1, e2∈Aetλ, µ∈C tels quea=λe1 etb=µe2. On aA(e1−e2) est isomorphe àC, donc ils existent un idempotent non nulf1∈Aetα∈Ctels que

e1−e2=αf1 (|α|²= 2).

De mˆeme ils existent un idempotent non nul f2∈Aet β∈Ctels que e₁+e₂=βf₂ (|β|²= 2)

Donc

(e₁−e₂)² = α²f₁ e1e2+e2e1 = βf2−α²f1. Ainsi

e₁e₂+e₂e₁² = |β|²+|α|⁴ (car(f₁|f₂) = 0) 2e1²e2² = |β|²+|α|⁴ (Proposition 3.1)

2 = 2 + 4.

Ceci est absurde et par conséquentAest de dimension finie et isomorphe àC. Remarque 1. Dans le théorème précédent l’hypothèse algébrique est nécéssaire.

On donne ici un contre-exemple suivant : SoitA={(z_n)_n≥1, z_n ∈C∀n≥1/

n≥1|z_n|²<+∞}; si (z_n)_n≥1 ∈A, on pose(zn)_n≥1= (

n≥1|zn|²)¹². Alors (A, .) est unC-espace de Hilbert. Soit ϕ:N^∗×N^∗−→N^∗ une bijection, on d´eﬁnit une multiplication dansApar :

(zn)_n≥1,(wn)_n≥1 ∈ A : (zn)_n≥1∗(wn)_n≥1 = (tn)_n≥1 où t_ϕ(m,k) = zmwk; m, k ∈ N^∗. Cette multiplication fait de A une C-algèbre, de plus (A, .) est absolument valuée.

(5)

En eﬀet : Soient (zn)_n≥1,(wn)_n≥1∈A, on a (z_n)_n≥1∗(w_n)_n≥1² =

n≥1

|t_n|²

=

m≥1

k≥1

|z_m|²|w_k|²

=

m≥1

|z_m|²

k≥1

|w_k|²

= (zn)_n≥1²(wn)_n≥1².

(A, .) est donc une C-algèbre, normée hilbertienne, sans diviseurs de zéro, de dimension infinie et vérifianta²=a² pour touta∈A.

Corollaire 3.3. Soit (A, .)une C-alg`ebre lin´eairement pr´ehilbertienne, unitaire d’unit´eeet v´erifiant a²=a² pour touta∈A. AlorsAest de dimension finie et isomorphe `aC.

D´emonstration. Soita∈ {e}^⊥ tel quea= 1, la Proposition 3.1 implique que ae+ea² = 2a²e²

4a² = 2 4 = 2.

Ceci est absurde et par conséquentAest de dimension finie et isomorphe àC. Nous donnons une extension du résultat précédent :

Théorème 3.4. Soit (A, .) une C-alg`ebre normée, linéairement préhilbertienne telle que a² = a² pour tout a ∈ A. On suppose que A contient un élément inversible v tel que vx = xv = vx pour tout x ∈ A. Alors A est de dimension finie et isomorphe `aC.

D´emonstration. On d´eﬁnit sur l’espace vectorielAle nouveau produit x•y=R_v⁻¹(x)L⁻¹_v (y).

L’algèbre (A,•) obtenue est unitaire d’unitév²:=e. De plus, pour toutx∈A, on a x=Lv(L⁻¹_v (x))=v(L⁻¹_v (x))=vL⁻¹_v (x). DoncL⁻¹_v (x)=v⁻¹x, de mêmeR⁻¹_v (x)=v⁻¹x.

Ainsi, pour toutx∈A, on a

x•x=R⁻¹_v (x)L⁻¹_v (x)=R⁻¹_v (x)L⁻¹_v (x)= (v⁻¹x)². La norme (préhilbertienne)|.|définie par

|x|=v⁻²x=v⁻²x

vérifie alors|e|= 1 et |x•x| ≤ |x|², ainsi Aest isotope à C. Le résultat est alors

conséquence des Théorèmes 2.4 et 2.5.

Lemme 3.5. Soit (A,.)uneC-alg`ebre commutative linéairement préhilbertienne et vérifianta²=a² pour touta∈A. AlorsA est sans diviseurs de zéro.

(6)

D´emonstration. Supposons qu’ils existent deux ´el´ements non nuls x, y ∈ A tels quex=y= 1 etxy= 0, on a

(x+y)²² = (2 + (x|y) + (y|x))²

x²+y²² = 4 + 4((x|y) + (y|x)) + ((x|y) + (y|x))² (x²|y²) + (y²|x²) + 2 = 4 + 4((x|y) + (y|x)) + ((x|y) + (y|x))². Ou encore

(x²|y²) + (y²|x²) = 2 + 4((x|y) + (y|x)) + ((x|y) + (y|x))². (8) On remplacey par -y

(x²|y²) + (y²|x²) = 2−4((x|y) + (y|x)) + ((x|y) + (y|x))². (9) On soustrait (8) et (9)

(x|y) + (y|x) = 0. On remplacey pariy

−i(x|y) +i(y|x) = 0. On en d´eduit que (x|y) = 0, donc

0 = 2xy²

= x²y² (Proposition 3.1)

= 1.

Ceci est absurde et par cons´equentA est sans diviseurs de z´ero.

Remarque 2. Le résultat précédent est aussi valable sur le corps R des nombres r´eels.

Ce dernier résultat nous permet d’enlever dans les Théorèmes 3.2, 3.5 et 3.10 de [5] l’hypothèse sans diviseurs de zéro :

Théorème 3.6. [5]Soit (A, .) une R-alg`ebre linéairement préhilbertienne com- mutative unitaire d’unité e. On suppose en outre quee= 1 eta² ≤ a²pour touta∈A. Alors A est de dimension finie≤2 et isomorphe `aRouC.

Théorème 3.7. [5]Soit (A, .) une R-alg`ebre linéairement préhilbertienne com- mutative telle que x² ≤ x² pour tout x ∈ A. On suppose que A contient un élément non nul a tel que ax = ax pour tout x ∈ A. Alors A est de dimension finie≤2 et isomorphe `aR,CouC^∗.

Théorème 3.8. [5]Soit(A,.)uneR-alg`ebre linéairement préhilbertienne commu- tative algébrique telle quea²=a² pour touta∈A. AlorsA est isomorphe `a R,CouC^∗.

Nous étondons maintenant le Théorème (3.8) au cas complexe

Théorème 3.9. Soit (A, .) une C-alg`ebre commutative linéairement préhilber- tienne, algébrique et vérifianta²=a²pour touta∈A. AlorsAest de dimen- sion finie et isomorphe `aC.

(7)

D´emonstration. Il suﬃt de montrer que A est norm´ee. Soient a, b ∈ A tel que a=b= 1, on a

4ab = (a+b)²−(a−b)²

≤ (a+b)²+(a−b)²

≤ a+b²+a−b²

≤ 4.

On en déduit aisément queab ≤ abpour tousa, b∈A, doncAest normée.

AinsiAest de dimension finie et isomorphe àC(Théorème 3.2 et Lemme 3.5).

Corollaire 3.10.Soit(A,.)uneC-alg`ebre linéairement préhilbertienne commuta- tive telle quea²=a²pour touta∈A. On suppose queAcontient un ´elément non nul b tel quebx=bx pour toutx∈A. AlorsA est de dimension finie et isomorphe `aC.

D´emonstration. Soitaun ´el´ement non nul tel que (a|b) = 0. Supposons quea= b= 1, on a

4 = 4ab²

= 2a²b²(Proposition 3.1)

= 2.

Ceci est absurde et par conséquentAest de dimension finie et isomorphe àC. Corollaire 3.11. Soit (A, .)une C-alg`ebre linéairement préhilbertienne flexible, sans diviseurs de zéro et vérifiant a²=a² pour tout a∈A. On suppose que A contient un élément central non nul b tel que bx=bx pour tout x∈A. AlorsAest de dimension finie et isomorphe àC.

D´emonstration. Soitaun élément non nul, alors la sous algèbreA(a, b) deA est commutative. Ainsi A(a, b) est isomorphe à C (Corollaire 3.10), donc le résultat

est conséquence du Théorème 3.2.

Proposition 3.12. Soit(A,.)uneC-alg`ebre lin´eairement pr´ehilbertienne commu- tative et associative telle quea²=a²pour touta∈A. AlorsA est isomorphe

` aC.

D´emonstration. Pour tous ´el´ements orthonormauxx, y∈A, on a x²−y²² = (x−y)(x+y)²

2 + (x²|y²)−(y²|x²) = 1

2x−y²x+y² (Proposition 3.1) (x²|y²)−(y²|x²) = 0.

Puisque (x²|y²) + (y²|x²) = 0 (Proposition 3.1 ´egalit´es (3) et (6)), alors (x²|y²) = 0.

(8)

Donc

x²y²² = 1

2x²²y²² (Proposition 3.1) (xy)²² = 1

2 xy⁴ = 1 2 1

4x⁴y⁴ = 1

2 (Proposition 3.1) 1

4 = 1

2.

Ceci est absurde et par conséquentAest de dimension finie et isomorphe àC. Nous avons besoin du résultat préliminaire suivant :

Lemme 3.13. Soit (A,.)une C-alg`ebre lin´eairement pr´ehilbertienne alternative v´erifianta²=a² pour touta∈A. Alors Aest sans diviseurs de z´ero.

D´emonstration. Soit a un élément non nul de A et soit b un élément de A tel que ab = 0. La sous-algèbre A(a, b) de A engendrée par {a, b} est associative en vertu du Théorème d’Artin ([6] page 29). Supposons a = b = 1, on a ba²=(ba)²=baba= 0 doncba=ab= 0. AinsiA(a, b) est commutative et associative, donc le Théorème 3.9 achève la démonstration.

Théorème 3.14. Soit (A,.) uneC-alg`ebre linéairement préhilbertienne alterna- tive vérifiant a²=a² pour touta∈A. AlorsA est isomorphe `aC.

D´emonstration. Soita ∈A, la sous-algèbreA(a) de Aengendrée par a est commutative associative en vertu du Théorème d’Artin ([6] page 29).

La Proposition 3.12 montre alors queA(a) est isomorphe àC, donc il existe un idempotent non nulf ∈A. Selons le Corollaire 3.3 il suffit de montrer quef est un élément unité de A. Soit b ∈ A, on a f(b−fb) = 0 et (b−bf)f = 0 et puisqueAest sans diviseurs de zéro (Lemme 3.13), alorsfb=bf=b. AinsiAest

de dimension ﬁnie et isomorphe `aC.

Corollaire 3.15. Soit (A, .) une C-alg`ebre linéairement préhilbertienne à puis- sances associatives, sans diviseurs de zéro et vérifianta²=a²pour touta∈A. AlorsAest de dimension finie et isomorphe àC.

D´emonstration. Soit a un élément non nul, alors la sous algèbre A(a) de A est associative. Ainsi A(a) est isomorphe à C (Théorème 3.14), donc le résultat est

conséquence du Théorème 3.2.

Problèmes 3.16. 1. Soit A une C-algèbre normée, commutative, linéairement préhilbertienne et vérifiant a²=a² pour tout a∈A. Est ce que A est de dimension finie (et par conséquent isomorphe àC) ?

(9)

2. SoitAuneC-algèbre normée, flexible, linéairement préhilbertienne, sans diviseurs de zéro et vérifianta²=a²pour touta∈A. Est ce queAest de dimension finie (et par conséquent isomorphe àC) ?

3. Soit (A,.) uneC-algèbre normée de division dont la norme.est préhilber- tienne vérifianta²=a²pour touta∈A. Est ce queAest de dimension finie (et par conséquent isomorphe àC) ?

R´ef´erences

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M. R. Hilali

Département de Mathématiques et Informatique Faculté des Sciences Ain Chock

B.P. 5366, Maarif Casablanca Morocco

e-mail:rhilali@hotmail.com A. Moutassim and A. Rochdi

Laboratoire d’algèbre, d’Analyse et Applications (L3A) Département de Mathématiques et Informatique Université Hassan 2

Facult´e des Sciences Ben M’sik, B.P. 7955, Casablanca Morocco

e-mail:moutassim-1972@hotmail.com abdellatifro@yahoo.fr Received: May 11, 2008.

Accepted: June 11, 2008.