Simplicité de A

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Simplicité de A

pour n > ⁵

Leçons : 101, 103, 104, 105, 108

[Ulm], exercices 7.10-11 [Per], théorème 8.1 Théorème

Soitn∈_N,n>^5.

A_nest simple.

Démonstration :

Étape 1 : Montrons queA₅est simple.

SoitH/A₅,Hest réunion de classes de conjugaison dansA₅.

On connait les classes de conjugaison dansS₅, déduisons-en celles deA₅. Lemme

Soitn∈N,G=A_nouS_n. On noteσ^G =γσγ⁻¹

γ∈G et ZG(σ) =γ∈G

γσγ⁻¹=σ oùσ∈A_n. On a deux cas :

– Soit #σ^An = ¹

2#σ^Snet ZA_n(σ) =ZS_n(σ); – Soitσ^An =σ^Snet∃α∈S_n\A_n,ασα⁻¹=σ.

Démonstration : On considère ˜ε:

ZS_n(σ) → {±1}

γ 7→ ε(γ) . On a donc deux cas : – Soit ˜εest trivial, alors ZS_n(σ)⊆A_net par suite ZS_n(σ) =_ZAn(σ)_.

Par la relation orbite-stabilisateur pour l’action de conjugaison :

#S_n =#ZS_n(σ)×#σ^Sn et #A_n=#ZA_n(σ)×#σ^An d’où #σ^An = ¹ 2#σ^Sn. – Soit ˜εest non-trivial et ZA_n(σ) =Ker ˜εest d’indice 2 dans ZS_n(σ).

Ainsi, il existeα∈S_n\A_n, tel queασα⁻¹=σ.

De plus, la relation orbite-stabilisateur donne ici : #σ^An =#σ^Snd’oùσ^An =σ^Sn.

D’après le lemme, au passage deS₅àA₅, les classes de conjugaison sont soit conservées, soit coupées en deux. On construit alors le tableau suivant :

Classes dansS₅ Cardinaux dansS₅ Passage dansA₅

Id 1 Conservée car de cardinal impair

(a b c) 20 Conservée car(d e)(a b c)(d e)⁻¹= (a b c)

(a b)(c d) 15 Conservée car de cardinal impair

(a b c d e) 24 Coupée car 24-60 (relation orbite-stabilisateur) OrHest réunion de classes de conjugaison, contient Id et vérifie #H|60 (théorème de Lagrange).

Ainsi, on conclut assez rapidement que #H∈ {1, 60}et doncA₅est simple.¹ Étape 2 : Déduisons-en queA_nest simple pour toutn>5.

SoitH/A_n,H6={Id}.

Soitσ∈ H\{Id}eta∈[[1,n]]tel que :a6=σ(a) =:b.

1. On peut faire autrement ici (on ne le fera pas, parce que c’est plus long même si c’est plus rigolo). A₅ admet 5 classes de conjugaison donc 5 caractères irréductibles : de degrés 1 (pour la représentation triviale), d₂, d₃,d₄ etd₅. On a : 60 =1+d²₂+d²₃+d²₄+d²₅, et on en déduit (en essayant de manière exhaustive, c’est bon hein, 59 c’est pas la mort non plus), qued2=d3=3,d₄=4 etd5=5. SoitCune classe de conjugaison deA₅.1Cétant une fonction centrale, on obtient :

1C=_∑⁵_i=1h_1C,χ_iiχ_i= _#G¹ _∑⁵_{i=1∑g∈G1C}(g)χ_i(g)χ_i=_#G^#C _∑⁵_i=1χ_i(C)χ_i.

Et donc 1 = ^#C_#G∑⁵_i=1|χ_i(C)|². Finalement,∑⁵i=1|χ_i(C)|² = ^#G_#C. Supposons maintenant queC 6= {Id}, et donc ^#G_#C 6^{5, donc}

∀i∈[[2, 5]],|χi(C)|<36χi(Id). Donc∀i∈[[2, 5]], Kerχi={Id}. Donc les seuls sous-groupes distingués deA₅sontA₅et{Id}, doncA₅est simple.

Florian LEMONNIER 1

Diffusion à titre gratuit uniquement. ENS Rennes – Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE

Soitc∈ {/ a,b,σ(b)}, etτ= (a c b)etτ⁻¹= (a b c). On définitρ=τστ⁻¹

| {z }

∈H

σ⁻¹

|{z}

∈H

=τ στ⁻¹σ⁻¹

= (a b c)(σ(a)σ(b)σ(c))∈H.

Donc suppρ={a,b,c,σ(b),σ(c)}, d’où # suppρ65.

Aussiρ6=Id carρ(b) =τστ⁻¹(a) =τσ(b)6=bcarσ(b)6=c=τ⁻¹(b). Soit alorsE⊆[[1,n]], avecE⊇suppρet #E=5.

On définit l’injectioni:

A(E) → A_n

u 7→ u oùu _E=uetu _EC =_Id.

SoitH⁰=i⁻¹(H)_;iest un morphisme de groupes et doncH⁰/A(E)_. Orρ _E 6=Id etρ _E∈H⁰carρ∈H.

Ainsi,H⁰=A(E)carA(E)'A₅est simple.

Soit alorsvun 3-cycle deA(E);v∈Hetvest un 3-cycle deA_n.

Comme on l’a vu précédemment, pourn>5, les 3-cycles sont conjugués dansA_n. DoncHcontient tous les 3-cycles ; mais ils engendrentA_n!

Finalement,H=A_net doncA_nest simple.

Références

[Ulm] F. ULMER–Théorie des groupes, Ellipses, 2012.

[Per] D. PERRIN–Cours d’algèbre, Ellipses, 1996.

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