I142 - Le plus long des chemins les plus courts..

I142 - Le plus long des chemins les plus courts..

Solution

Le but de l’exercice est de trouver des configurations que nous appellerons MaxMin dans lesquelles on cherche les points les plus éloignés les uns des autres au sein du carré afin d’obtenir la longueur maximale de la ligne brisée qui les relie (recherche du Max) sachant que pour une configuration donnée de n points, on aura préalablement retenu la ligne brisée dont le parcours est le plus court (recherche du Min)

Pour n=3 et n=4, les configurations sont simples à obtenir:

- n = 3 L(CM(3)) = 1 5/2 = 2,1180…

- n = 4 L(CM(4) = 3

Pour n=5, la configuration reste simple . Les cinq points O,A,B,C,D sont situés aux sommets et au centre du carré. D’où L(CM(5))=2+ 2=3,414213..

Pour n=6, la répartition des points dans le carré qui paraît optimale consiste à mettre toujours 4 points aux sommets du carré et les deux derniers points D et E sur la médiatrice des deux côtés OA et BC.

On a deux parcours alternatifs OADEBC et ADOCEB qui sont représentés ci-après en pointillés bleus. En posant x=EM, la longueur de OADEBC est L₁ 32x2 x²1/4 et celle de ADOCEB est L₂ 14 x²1/4. Selon les valeurs de x, la ligne brisée la plus courte sera L (3/8 < x <1/2) ou ₁ L (x<3/8). La configuration MaxMin recherchée est ₂ obtenue quand L =₁ L c’est à dire pour ₂ x²1/4=1-x x=3/8 et dès lors

L(CM(6))=7/2=3,5

On obtient ainsi le parcours rouge dont on a représenté l’une des variantes OADEBC sachant que la distance ADOCEB est la même.

Pour n=7, le nombre de configurations susceptibles d’être optimales augmente de manière significative. On a toujours 4 points aux sommets O,A,B et C du carré et les trois derniers D,E et F sont répartis toujours de façom symétrique par rapport à la médiatrice commune de OA et de BC.

Ci-après les 5 parcours tracés en bleu qui paraissent les plus pertinents à analyser.

Si on désigne par x=OH, y=DH et z=FK (voir le parcours n°1), on calcule pour chacun des parcours la longueur de la ligne brisée passant par les 7 points en fonction de x,y et z . Selon les valeurs de x,y et z, on peut vérifier que l’un de ces parcours donnera la ligne brisée la plus courte. La configuration MaxMin est obtenue si on parvient à trouver x, y et z qui égalisent les 5 distances suivantes :

) 1/4 z x 1 y x 2(

L₁  ² ²    ²

) z) y (1 x) (1/2 y

x 2(1

L₂   ² ²   ²   ²

1/4 z z) y (1 x) (1/2 2x

1 y x 2

L₃   ² ²     ²   ²  ² )

1/4 z y) (1 x y x 2(

L₄  ² ²  ²  ²  ²

2 2

2 2

2 2 2

5 2 x y x (1 y) 1 z 1/4 (1/2 x) (1 y z)

L             

Les valeurs x=3/8, y=1/2 et z(3 22)/7égalisent effectivement les longueurs des 5 parcours qui valent L(CM(7))=5/2 + 137-48 2/7=3,68767…

D’où le tracé en rouge correspondant à l’un de ces parcours pour les valeurs précités de x, y et z.