Fondements mathématiques 1 : l'essentiel de la partie analyse du cours

Fondements mathématiques 1 : l'essentiel de la partie analyse du cours

Emmanuel Militon

Table des matières

1 Généralités sur les fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles 3

1.1 Premières dénitions . . . . 3

1.2 Monotonie . . . . 7

1.3 Parité/périodicité . . . 10

1.4 Fonctions majorées, minorées, bornées . . . 12

2 Fonctions usuelles 13 2.1 Les fonctions sinus et cosinus . . . 13

2.2 La fonction logarithme népérien . . . 18

2.3 La fonction exponentielle . . . 20

2.4 Les fonctions puissance, exponentielle en base a > 0 et logarithme en base a > 0 . . 22

3 Limites, continuité 24 3.1 Dénitions . . . 24

3.2 Opérations sur les limites . . . 27

3.2.1 Limite d'une somme . . . 27

3.2.2 Limite d'un produit . . . 28

3.2.3 Opérations sur les fonctions continues . . . 28

3.2.4 Limites et composition . . . 29

3.3 Croissances comparées . . . 30

3.4 Limites et inégalités . . . 31

3.5 Fonctions monotones et limites . . . 34

3.6 Continuité sur un intervalle . . . 35

4 Dérivation 37 4.1 Dénitions . . . 37

4.1.1 Nombre dérivé . . . 37

4.1.2 Interprétation géométrique et tangente . . . 39

4.1.3 Dérivées à droite et à gauche . . . 41

4.1.4 Lien avec la continuité . . . 42

4.2 Opérations sur les dérivées . . . 43

4.2.1 Combinaisons linéaires . . . 43

4.2.2 Produits . . . 43

4.2.3 Composition . . . 44

4.3 Théorème des accroissements nis . . . 45

4.3.1 Extrema locaux . . . 45

4.3.2 Théorème de Rolle . . . 46

4.3.3 Théorème des accroissements nis . . . 47

4.4 Applications du théorème des accroissements nis . . . 48

4.4.1 Variations d'une fonction . . . 48

4.4.2 Prolongement de la dérivée . . . 49

4.4.3 Inégalité des accroissements nis . . . 50

4.5 Dérivées successives . . . 50

5 Fonctions réciproques 54 5.1 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . 54

5.2 Application réciproque . . . 56

5.3 Théorèmes généraux . . . 57

5.4 Fonctions réciproques des fonctions usuelles . . . 59

5.4.1 Fonction exponentielle . . . 59

5.4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . 59

Chapitre 1

Généralités sur les fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles

1.1 Premières dénitions

Une application f est la donnée 1. d'un ensemble de départ E ; 2. d'un ensemble d'arrivée F ;

3. d'une règle qui, à tout élément x de E , associe un unique élément de F , noté f (x) . Une telle application est notée

f : E → F x 7→ f(x) .

Si, pour un élément x de E et un élément y de F , on a y = f (x) , l'élément y est appelé l'image par f de x et l'élément x est appelé un antécédent de y par f .

Exemple 1.1. L'application f dénie par

f : R → R x 7→ x ² associe, à 0 , le nombre 0 ² = 0 , à 2 le nombre 2 ² = 4 , etc...

L'application

f : R ⁺ = [0, +∞[ → R x 7→ x ²

est une autre application : son ensemble de départ n'est pas le même. De même, l'application f : R → R +

x 7→ x ²

est distincte de f puisque son ensemble d'arrivée est distinct de celui de f .

Les passages en petit sont des passages facultatifs destinés aux lecteurs curieux. Formellement, une application est la donnée d'un triplet(E, F, G), où EetFsont des ensembles etGest une partie de l'ensembleE×Fdes couples(e, f)avece∈Eetf∈Ftelle que, pour tout élémentedeE, il existe un unique élémentfdeF tel que(e, f)appartient àG.

La notion de fonction d'un ensemble E vers un ensemble F est un peu diérente de celle d'application en ce que les éléments de E n'ont pas forcément d'image bien dénie. Pour une fonction f , on appelle ensemble de dénition de f l'ensemble des points x de E pour lesquels f (x) est bien dénie. Ainsi, une fonction dénit une application de son ensemble de dénition vers F . On dira que f est dénie sur A si l'ensemble de dénition de f est A .

Dans ce cours, on ne va considérer que des fonctions ou applications d'un sous- ensemble de R vers un autre sous-ensemble de R.

Dans des exercices, une fonction f sera parfois dénie par une expression faisant intervenir des nombres réels. Dans ce cas, on conviendra que l'ensemble de dénition de f est l'ensemble des points de R où l'expression a un sens.

Exemple 1.2. La fonction f dénie par f (x) = x ² est dénie sur R puisque l'on peut prendre le carré de tout nombre réel.

Par contre, la fonction g dénie par g(x) = _x ¹ a pour ensemble de dénition R ^∗ = R \ {0}

puisque l'on ne peut pas diviser par 0 . Enn, la fonction h dénie par h(x) = √

x est dénie sur R + = [0, +∞[ (on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre strictement négatif).

Notation : Dans le cadre de ce cours, étant donnés deux ensembles A et B , on notera f : A → B une fonction dont l'ensemble de dénition est A et est à valeurs dans B . Elle dénit donc une application A → B .

Dénition 1.3 (Graphe d'une fonction). Soit f : A → B une fonction dénie sur A et à valeurs dans B . On appelle graphe de f l'ensemble

{(x, f(x)) | x ∈ A} .

Si A ⊂ R et B ⊂ R, lorsque le plan est muni d'un repère orthonormé direct, cet ensemble s'identie à l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)) pour x ∈ A dans ce repère.

Dans la suite de ce cours, le plan sera muni d'un repère orthonormé direct.

Exemple 1.4. On représente ci-dessous le graphe de la fonction R → R

x 7→ x ² .

x y

−3 −2 −1 0 1 2 3 1

2 3 4 5 6 7 8 9

Par exemple les points de coordonnées (2, 2 ² ) = (2, 4) et (−1, (−1) ² ) = (−1, 1) appartiennent à ce graphe.

Voici maintenant une représentation du graphe de R ⁺ → R x 7→ √

x .

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4

Enn, voici le graphe de

R ^∗ = R \ {0} → R

x 7→ ¹ _x .

x y

0 1 2 3

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

Dénition 1.5. Soit f : A → B une application d'un ensemble A vers un ensemble B . Soit A ⁰ ⊂ A et B ⁰ ⊂ B . On appelle image de A ⁰ par f le sous-ensemble de B

f (A ⁰ ) = {f (x) | x ∈ A ⁰ } . On appelle image réciproque de B ⁰ par f le sous-ensemble de A

f ⁻¹ (B ⁰ ) = {x ∈ A | f (x) ∈ B ⁰ } . Exemple 1.6. Considérons la fonction

f : R → R

x 7→ 2x + 1 . Déterminons f([−1, 1]) . Pour tout nombre réel y , on a

y ∈ f ([−1, 1]) ⇔ ∃x ∈ [−1, 1], y = f(x)

⇔ ∃x ∈ [−1, 1], y = 2x + 1

⇔ ∃x ∈ [−1, 1], y − 1 = 2x

⇔ ∃x ∈ [−1, 1], ^y−1 ₂ = x

⇔ −1 ≤ ^y−1 ₂ ≤ 1

⇔ −2 ≤ y − 1 ≤ 2

⇔ −1 ≤ y ≤ 3.

Ainsi

f ([−1, 1]) = [−1, 3].

Déterminons maintenant f ⁻¹ ([−1, 1]) . Pour tout nombre réel x , on a x ∈ f ⁻¹ ([−1, 1]) ⇔ f(x) ∈ [−1, 1]

⇔ −1 ≤ f (x) ≤ 1

⇔ −1 ≤ 2x + 1 ≤ 1

⇔ −2 ≤ 2x ≤ 0

⇔ −1 ≤ x ≤ 0.

Ainsi f ⁻¹ ([−1, 1]) = [−1, 0] .

Dénition 1.7 (Restriction d'une application). Soit f : A → B une application entre deux en- sembles A et B . Soit A ⁰ ⊂ A . On appelle restriction de f à A ⁰ l'application

A ⁰ → B x 7→ f(x) . Exemple 1.8. L'application

R + → R x 7→ x ² est la restriction de l'application

R → R x 7→ x ² à R + .

Dénition 1.9 (Composée de deux applications). Soient f : A → A ⁰ et g : B → B ⁰ des ap- plications. On suppose que f(A) ⊂ B . On peut alors dénir la composée de g par f , qui est l'application A → B ⁰ notée g ◦ f dénie par

∀x ∈ A, g ◦ f (x) = g(f (x)).

Exemple 1.10. On note

f : R → R x 7→ x ²

et g : R → R

x 7→ exp(x) . On a bien f ( R ) ⊂ R donc l'application g ◦ f est bien dénie et

∀x ∈ R , g ◦ f (x) = g(f(x)) = g(x ² ) = exp(x ² ).

De même g( R ) ⊂ R donc f ◦ g est bien dénie et

∀x ∈ R , f ◦ g(x) = f(g(x)) = f (exp(x)) = (exp(x)) ² (= exp(2x)).

1.2 Monotonie

Soit I une partie de R.

Dénition 1.11. Soit f : I → R une application dénie sur I et à valeurs dans R. On dit que f est croissante si, pour tous points x 1 et x 2 de I ,

x ₁ < x ₂ ⇒ f (x ₁ ) ≤ f (x ₂ );

f est strictement croissante si, pour tous points x ₁ et x ₂ de I ,

x ₁ < x ₂ ⇒ f (x ₁ ) < f (x ₂ );

x1 x2

f(x1) f(x2)

Figure 1.1 La fonction f représentée ci-dessus est strictement croissante.

a b

Figure 1.2 La fonction f représentée ci-dessus est croissante mais pas strictement croissante : elle est constante sur [a, b] .

f est décroissante si, pour tous points x ₁ et x ₂ de I , x ₁ < x ₂ ⇒ f (x ₁ ) ≥ f (x ₂ );

f est strictement décroissante si, pour tous points x ₁ et x ₂ de I , x ₁ < x ₂ ⇒ f (x ₁ ) > f (x ₂ );

f est monotone si elle est croissante ou décroissante ;

f est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Si f : I → R est une application dénie sur I et si J ⊂ I , on dit que f est (stric-

tement) croissante/décroissante/monotone sur J si sa restriction f |J est (strictement) crois-

sante/décroissante/monotone.

Figure 1.3 La fonction f représentée ci-dessus est strictement décroissante.

Figure 1.4 La fonction f représentée ci-dessus est décroissante mais n'est pas strictement dé-

croissante.

1.3 Parité/périodicité

Soit I ⊂ R une partie symétrique de R, c'est-à-dire que, si un point x appartient à I alors son opposé −x appartient aussi à I .

Dénition 1.12. Soit f : I → R une fonction dénie sur I . On dit que f est paire si, pour tout point x de I , f(−x) = f(x) .

f est impaire si, pour tout point x de I , f (−x) = −f (x) .

Géométriquement, une fonction est paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées puisque le point de coordonnées (−x, f (x)) est le symétrique du point de coordonnées (x, f (x)) par rapport à l'axe des ordonnées. Ainsi, il sut de tracer son graphe sur I ∩ [0, +∞[ et de déduire le reste du graphe par symétrie.

x

−x

f(−x) =f(x)

Figure 1.5 La fonction représentée ci-dessus est paire.

Exemple 1.13. La fonction

f : R → R x 7→ x ²

est paire. En eet, pour tout réel x , f(−x) = (−x) ² = x ² = f (x) . D'ailleurs, son graphe, que l'on a déjà rappelé dans ce cours, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Passons maintenant à l'interprétation géométrique de l'imparité. Comme le point de coordonnées (−x, −f(x)) est le symétrique du point de coordonnée (x, f(x)) par rapport à l'origine, une fonction est impaire si et seulement si son graphe est invariant par la symétrie de centre l'origine. Là encore, il sut de tracer le graphe de cette fonction sur I ∩ [0, +∞[ et d'en déduire le reste du graphe en prenant l'image de cette portion de graphe par rapport à cette symétrie centrale.

Exemple 1.14. La fonction

f : R → R x 7→ x ³

est impaire. En eet, en vertu de la règle des signes, pour tout réel x , f (−x) = (−x) ³ = −x ³ =

−f (x) .

x

−x

f(x) f(−x) =−f(x)

Figure 1.6 La fonction représentée ci-dessus est impaire.

Maintenant, xons un réel T > 0 et I ⊂ R tel que, pour tout point x de I , les points x + T et x − T appartiennent aussi à I .

Dénition 1.15. Une fonction f : I → R dénie sur I est dite périodique de période T si, pour tout point x de I ,

f (x + T ) = f (x).

Le réel T est alors appelé une période de la fonction f .

Comme le point de coordonnées (x + T, f (x)) est l'image du point de coordonnées (x, f (x)) par la translation de vecteur − → v de coordonnées (T, 0) , une fonction est périodique de période T si et seulement si son graphe est invariant par la translation de vecteur − → v . On verra des exemples explicites de fonctions périodiques dans le chapitre suivant.

x T x+T

f(x)

Figure 1.7 La fonction représentée ci-dessus est périodique de période T .

1.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

Soit I ⊂ R.

Dénition 1.16. Une fonction f : I → R est dite

minorée s'il existe un nombre réel m tel que, pour tout réel x de I , f(x) ≥ m.

Un tel réel m est alors appelé un minorant de f .

majorée s'il existe un nombre réel M tel que, pour tout réel x de I , f(x) ≤ M.

Un tel réel M est alors appelé un majorant de f . bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Un réel M est le maximum de f si M est un majorant de f et s'il existe un point x ∈ I tel que f(x) = M . Attention : une fonction majorée n'a pas toujours un maximum. Par exemple, la restriction de la fonction inverse à R ^∗ − est majorée par 0 mais n'a pas de maximum, puisque 0 n'est l'inverse d'aucun réel.

Un réel m est le minimum de f si m est un minorant de f et s'il existe un point x ∈ I tel que f (x) = m . Là encore, une fonction peut être minorée sans admettre de minimum.

M1

M2

m1

m2

a b

Figure 1.8 La fonction représentée ci-dessus est bornée.

La fonction représentée sur la gure suivante, qui est dénie sur [a, b] , est bornée. Les nombres

réels M ₁ et M ₂ sont des majorants de cette fonction et les nombres réels m ₁ et m ₂ sont des minorants

de cette fonction. Le réel M ₂ est le maximum de f mais le réel M ₁ est un majorant de cette fonction

qui n'est pas le maximum. Le réel m ₁ est le minimum de f mais le réel m ₂ est un minorant de cette

fonction qui n'est pas le maximum.

Chapitre 2

Fonctions usuelles

Dans cette partie, on s'appuie sur les connaissances de terminale sur les limites et les dérivées.

Ces connaissances seront revues plus en profondeur dans des chapitres ultérieurs du cours.

2.1 Les fonctions sinus et cosinus

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct R = (0, − → OI, −→

OJ) . Pour tout réel x , on note M _x l'unique point du cercle unité (le cercle de centre O et de rayon 1 ) tel que l'angle entre les vecteurs

− →

OI et − −− →

OM _x est égal à x radians (cf gure 2.1). Par dénition, (cos(x), sin(x)) sont les coordonnées du point M _x dans le repère R .

O I

J

x

Mx=Mx+2π

1

cos(x) sin(x)

Figure 2.1 Dénition des fonctions cosinus et sinus

Un angle de 2π correspond à un tour complet. Par conséquent, pour tout angle x , le point M _x est le même point que le point M _x+2π . En particulier, en regardant les coordonnées de ces deux points dans le repère R , on en déduit que

cos(x + 2π) = cos(x)

sin(x + 2π) = sin(x) .

Ainsi, les fonctions cosinus et sinus sont 2π -périodiques. Il sut donc d'étudier ces fonctions sur l'intervalle [−π, π] .

De plus, pour tout nombre réel x , le point M _−x est le symétrique de M _x par rapport à l'axe des abscisses (cf gure 2.1). On en déduit que, pour tout nombre réel x ,

cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) .

O I

J

x

Mx

1

cos(x) sin(x)

M−x

−sin(x)

−x

Figure 2.2 Parité des fonctions cosinus et sinus

Autrement dit, la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. Il sut donc d'étudier chacune de ces deux fonctions sur l'intervalle [0, π] et de déduire le reste des variations des fonctions cosinus et sinus à l'aide de la parité et de la périodicité.

Par dénition du cercle de centre O et de rayon 1 , pour tout angle x , le point M _x est à une distance 1 de l'origine O . Par conséquent, pour tout réel x

1 = OM _x ² = cos(x) ² + sin(x) ² . On peut notamment déduire de cette relation que, pour tout réel x ,

−1 ≤ cos(x) ≤ 1

−1 ≤ sin(x) ≤ 1

En particulier 1 est un majorant des fonctions cosinus et sinus, −1 est un minorant des fonctions cosinus et sinus. Ainsi, ces fonctions sont bornées. Remarquons que 1 est même un maximum pour ces deux fonctions (atteint en 0 pour la fonction cosinus et en ^π ₂ pour la fonction sinus) et −1 est un minimum pour chacune de ces deux fonctions (atteint en π pour la fonction cosinus et en ^−π ₂ pour la fonction sinus)

En utilisant la dénition du cosinus, on voit que la fonction cosinus est strictement décroissante

sur [0, π] : l'abscisse du point M _x diminue lorsque l'on fait varier x de 0 vers π . En utilisant la

dénition du sinus, on voit que la fonction sinus est strictement croissante sur [0, ^π ₂ ] et strictement

décroissante sur [ ^π ₂ , π] .

0 ^π ₂ π Variations 1

de &

cos 0

&

Variations 1 -1

de % &

sin 0 0

Rappelons que, dans un tableau de variations, la èche vers le bas correspond à la stricte décroissance de la fonction et la èche vers le haut à sa stricte croissance.

De ces tableaux de variation et des propriétés de parité et de périodicité de ces fonctions, on peut en déduire l'allure des graphes des fonctions cosinus et sinus. Voici tout d'abord la représentation du graphe de la fonction cosinus.

x y

−π 0 π

−2π − ^3π ₂ − ^π ₂ ^π ₂ ^3π ₂ 2π 1

−1

Et voici maintenant la représentation du graphe de la fonction sinus.

x y

−π π

0

−2π − ^3π ₂ − ^π ₂ ^π ₂ ^3π ₂ 2π 1

−1

Théorème 2.1 (Dérivabilité et dérivée des fonctions sinus et cosinus). Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R de dérivées

cos ⁰ = − sin sin ⁰ = cos .

Comment se souvenir de ces formules (sans se tromper de signe !) ? On peut utiliser la formule suivante vue en terminale S valable pour tout réel x

e ^ix = cos(x) + i sin(x).

Si l'on dérive formellement cette expression (il est possible de justier une telle dérivation mais on ne le fera pas dans ce cours), on obtient, pour tout réel x ,

ie ^ix = cos ⁰ (x) + i sin ⁰ (x).

Or, ie ^ix = − sin(x) + i cos(x) . Ainsi, l'égalité des parties réelles nous donne cos ⁰ (x) = − sin(x) et l'égalité des parties imaginaires nous donne sin ⁰ (x) = cos(x) .

Démonstration géométrique de la dérivabilité des fonctions cosinus et sinus. On donne ici une démonstration qui utilise la notion d'aire vue dans les classes antérieures et utilise la continuité des fonctions sinus et cosinus, que l'on admettra. Cette propriété de continuité peut également se démontrer de manière géométrique mais une telle démonstration nous emmènerait trop loin par rapport au but du cours. On utilisera également les formules d'addition pour le sinus et le cosinus, formules qui ont été vues en lière S.

Le point clé et la partie la plus dicile de cette démonstration consiste à démontrer que la fonctionsinest dérivable en0etsin⁰(0) = 1(= cos(0)). Il s'agit ensuite d'utiliser les formules d'addition pour montrer que les fonctionscosetsinsont dérivables surR.

On veut donc montrer que

lim h→0

sin(h)−sin(0) h−0 = lim

h→0 sin(h)

h = 1.

On xe donc un nombre réelhdans]0,^π₂[. On reprend les notations du début de la section (notamment le pointM_hest bien déni). On noteN_hle point d'intersection de la droite(OM_h)avec la droite d'équationx= 1(voir la gure ci-dessous).

O I J

Nh

Mh

h sin(h)

Le triangleOM_hIa une baseOIqui a pour longueur1et une hauteur correspondante de longueursin(h)puisquesin(h)est la deuxième coordonnée deM_hdans le repèreR. Donc l'aire de ce triangle est ^sin(h)₂ .

Regardons maintenant le secteurSdu disque de rayon1délimité par les segments[OI]et[O, M_h]qui contient l'arc de cercle qui va deIversM_hen parcourant le cercle dans le sens direct. Comme le secteur a un angle dehradian, son aire va être égale à _2π^h multiplié pa rl'aire du disque unité, qui vaut π. L'aire deSvaut donc ^h₂.

Comme le triangleOM_hIest inclus dans le secteurS, on en déduit que l'aire du triangleOM_hIest plus petite que l'aire du secteurSet ^sin(h)₂ ≤^h d'où 2

sin(h)≤h.

Par ailleurs, comme on l'a vu en TD, le pointN_ha pour coordonnées(1,tan(h) = ^sin(h)_cos(h))dans le repèreR. Ainsi, commeOI= 1etIN_h= tan(h), l'aire du triangleOIN_hrectangle enIvaut^tan(h)×1₂ . Comme le secteurD⁰est inclus dans ce triangle rectangleOIN_h, on obtient que^h₂ ≤^tan(h)

2 , ce qui implique, en multipliant par2 cos(h), que

hcos(h)≤sin(h).

Pour résumer, on a démontré que pour tout nombre réelhdans]0,^π₂[,

hcos(h)≤sin(h)≤h.

En divisant parh, on obtient

cos(h)≤sin(h) h ≤1.

On a aussi

cos(−h) = cos(h)≤sin(h)

h = sin(−h)

−h ≤1.

Ainsi, pour tout nombre réelhdans]−^π 2,^π₂[\ {0},

cos(h)≤sin(h) h ≤1.

Or lim

h→0cos(h) = cos(0) = 1(on utilise ici la continuité de la fonction cosinus que l'on a admise) d'où, d'après le théorème des gendarmes,

h→0lim sin(h)

h = 1.

On a obtenu que la fonction sinus est dérivable en0et quesin⁰(0) = 1.

Étudions maintenant la dérivabilité de la fonction cosinus en0. Pour tout nombre réelhdiérent de0, on a

cos(h)−cos(0)

h = ^cos(

h 2+h

2)−cos(0) h

= ^cos(

h 2)2−sin(h

2)2−1 h

= ^{1−2 sin(}

h 2)2−1 h

= ^2h₄ ^sin(

h2)2 (h

2)2

où on a utilisé quecos(^h₂)²+ sin(^h₂)²= 1. Maintenant, le facteur de gauche^2h₄ a pour limite0lorsquehtend vers0et le facteur de droite ^sin(h2)2 (h

2)2 a pour limite1par composition des limites et comme lim

h→0(h

2)²= 0. Ainsi,cosest dérivable en0de dérivée0 = sin(0).

Maintenant, xons un nombre réela. On va démontrer que la fonctionsinest dérivable enade dérivéecos(a). Pourh6= 0, sin(a+h)−sin(a)

h = cos(a) sin(h)+sin(a) cos(h)−sin(a) h

= cos(a)^sin(h)_h + sin(a)^cos(h)−1_h

donc

h→0lim

sin(a+h)−sin(a)

h = cos(a)×1 + sin(a)×0 = cos(a).

On a démontré que la fonction sinus est dérivable surRde fonction dérivée la fonction cosinus.

De même, montrons que la fonctioncosest dérivable ena∈Rde nombre dérivé−sin(a). Pourh6= 0, on a

cos(a+h)−cos(a)

h = cos(a) cos(h)−sin(a) sin(h)−cos(a) h

= cos(a)^cos(h)−1_h −sin(a)^sin(h)_h

donc

lim h→0

cos(a+h)−cos(a)

h = cos(a)×0−sin(a)×1 =−sin(a).

Ainsi, la fonction cosinus est dérivable surRde fonction dérivée−sin.

Maintenant que l'on a introduit les fonctions cosinus et sinus, on peut dénir d'autres fonctions qui vérient des propriétés de symétrie (parité et périodicité).

Exemple 2.2. Étudions la parité et la périodicité de la fonction f dénie sur R par f(x) = (sin(3x)) ³ .

Pour tout x ∈ R, on a

f(−x) = (sin(3(−x))) ³

= (− sin(3x)) ³

= − (sin(3x)) ³

= −f (x),

où on a utilisé l'imparité de la fonction sinus pour passer de la première à la deuxième ligne. Ainsi, la fonction f est impaire. De plus, pour tout nombre réel x ,

f(x + 2π 3 ) =

sin(3(x + 2π 3 ))

3

= (sin(3x + 2π)) ³

= (sin(3x)) ³

= f (x),

où on a utilisé la 2π -périodicité de la fonction sinus pour passer de la deuxième à la troisième ligne.

Ainsi, la fonction f est ^2π ₃ -périodique. Il sut donc de l'étudier sur [0, ^π ₃ ] . En eet, on peut déduire le graphe de f _|[−

3

,0] du graphe de f _|[0,

3

] par symétrie centrale par rapport à l'origine, comme f est impaire. Ensuite, on déduit le graphe de f sur R tout entier à partir du graphe de f |[−

3

,

] à l'aide

de translations de vecteurs ( ^2kπ ₃ , 0) avec k ∈ Z, par ^2π ₃ -périodicité de f .

Exemple 2.3. Étudions la parité et la périodicité de la fonction g dénie sur R par g(x) = (cos(2x)) ² .

Pour tout nombre réel x ,

g(−x) = (cos(−2x)) ² = (cos(2x)) ² = g(x),

par parité du cosinus. Ainsi, la fonction g est paire. De plus, pour tout nombre réel x , g(x + π

2 ) = (cos(2x + π)) ² = (− cos(2x)) ² = (cos(2x)) ² = g(x).

La fonction g est donc ^π ₂ -périodique.

Il sut donc d'étudier la fonction g sur l'intervalle [0, ^π ₄ ] . En eet, on peut déduire le graphe de g _|[−

4

,0] du graphe de g _|[0,

4

] par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, comme g est paire.

Ensuite, on déduit le graphe de g sur R tout entier à partir du graphe de g |[−

4

,

] à l'aide de translations de vecteurs ( ^kπ ₂ , 0) avec k ∈ Z, par ^π ₂ -périodicité de g .

2.2 La fonction logarithme népérien

On admettra le théorème suivant, qui est un cas particulier d'un théorème vu en terminale sur les primitives d'une fonction continue. Ces connaissances sur les primitives seront revues en cours de Fondements 2.

Théorème 2.4 (Dénition du logarithme népérien). Il existe une unique fonction f : R ^∗ + = ]0, +∞[→ R dérivable sur R ^∗ + telle que

∀x > 0, f ⁰ (x) = _x ¹

f (1) = 0 .

Cette fonction est appelée le logarithme népérien et est notée ln .

Ainsi, par dénition, ln(1) = 0 , la fonction ln est dérivable sur R ^∗ + et, pour tout nombre réel x > 0 ,

ln ⁰ (x) = 1 x > 0.

On en déduit immédiatement que le logarithme népérien est strictement croissant sur R ^∗ + .

De cette formule pour la dérivée, on verra dans le chapitre 4 de ce cours que l'on peut déduire le théorème suivant qui a déjà été vu en Terminale.

Théorème 2.5. Soit u : I → R une fonction dénie sur un intervalle I ⊂ R et à valeurs dans R.

Supposons que u est dérivable sur I et que, pour tout nombre réel x de I , u(x) > 0 . Alors ln ◦u est dérivable sur I de fonction dérivée dénie par

∀x ∈ I, (ln ◦u) ⁰ (x) = u ⁰ (x)

u(x) .

Historiquement, le logarithme était utilisé comme un outil de calcul : il transforme les produits (parfois longs à calculer) en des sommes (beaucoup plus rapides à calculer). Cette propriété est résumée ci-dessous.

Théorème 2.6. Pour tous nombres réels x > 0 et y > 0 , ln(xy) = ln(x) + ln(y).

De cette propriété, on peut déduire sans trop de diculté les propriétés suivantes.

Corollaire 2.7. Pour tout nombre réel x > 0 et tout entier n ∈ Z, ln(x ⁿ ) = n ln(x).

Pour tous nombres réels x > 0 et y > 0 , ln

x y

= ln(x) − ln(y).

La démonstration de ces deux propriétés est l'objet de l'exercice suivant.

Exercice 2.8. 1. On xe un nombre réel y > 0 . On note f _y la fonction dénie sur R ^∗ + par

∀x > 0, f _y (x) = ln(xy) − ln(x).

Montrer que la fonction f y est dérivable sur R ^∗ + et calculer sa fonction dérivée.

2. En déduire que, pour tous nombres réels x > 0 et y > 0 , ln(xy) = ln(x) + ln(y) . 3. En déduire que, pour tout nombre réel x > 0 , ln( _x ¹ ) = − ln(x) .

4. En déduire que, pour tout nombre réel x > 0 et pour tout entier relatif n , ln(x ⁿ ) = n ln(x).

On démontrera dans le chapitre suivant que ( lim

x→+∞ ln(x) = +∞

x→0 lim ln(x) = −∞. .

On représente ci-dessous l'allure du graphe de la fonction logarithme népérien.

x y

1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

2.3 La fonction exponentielle

Le théorème suivant est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires, qui sera revu plus tard, et de la stricte croissance du logarithme népérien.

Théorème 2.9. Pour tout nombre réel x , il existe un unique nombre réel strictement positif exp(x) > 0 tel que

ln(exp(x)) = x.

Le nombre exp(x) est appelé l'exponentielle de x et la fonction exp : R → R est appelé la fonction exponentielle.

Autrement dit, le nombre exp(x) est l'unique solution de l'équation d'inconnue y > 0 ln(y) = x.

Cette dénition implique en particulier que

∀x ∈ R , exp(x) > 0.

La théorème suivant sera démontré lors du chapitre 5 de ce cours.

Théorème 2.10. La fonction exp est dérivable sur R de fonction dérivée exp ⁰ = exp .

En particulier, pour tout nombre réel x , exp ⁰ (x) = exp(x) > 0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

De cette formule pour la dérivée, on verra dans le chapitre 4 de ce cours que l'on peut déduire le théorème suivant qui a déjà été vu en Terminale.

Théorème 2.11. Soit u : I → R une fonction dénie sur un intervalle I de R.

On suppose que la fonction u est dérivable sur I . Alors la fonction exp ◦u est dérivable sur I de fonction dérivée dénie par

∀x ∈ I, (exp ◦u) ⁰ (x) = u ⁰ (x) exp(u(x)).

La fonction logarithme népérien transforme les produits en somme. Du fait de sa dénition, il semble alors naturel que l'exponentielle transforme les sommes en produit.

Théorème 2.12. exp(0) = 1 .

Pour tous nombres réels x et y , exp(x + y) = exp(x) exp(y) .

Pour tout nombre réel x et tout entier relatif n , exp(nx) = (exp(x)) ⁿ . Pour tous nombres réels x et y , exp(x − y) = exp(x) exp(−y) = ^exp(x) _exp(y) .

Ce théorème justie que l'on adopte la notation exp(x) = e ^x . En eet, si n et m désigne deux entiers relatifs et a désigne un nombre réel non-nul, a ^n+m = a ⁿ a ^m et la propriété de l'exponen- tielle est une extension de cette propriété des entiers relatifs à des nombres réels quelconques. En particulier, on note e = exp(1) .

Le théorème 2.12 est démontré à l'occasion de l'exercice suivant.

Exercice 2.13. 1. Démontrer que exp(0) = 1 .

2. En utilisant les propriétés du logarithme népérien, démontrer que, pour tous nombres réels x et y , exp(x + y) = exp(x) exp(y) .

3. Démontrer que, pour tout nombre réel x , exp(−x) = _exp(x) ¹ . 4. Montrer que, pour tout entier relatif n , exp(nx) = exp(x) ⁿ . On démontrera dans le chapitre suivant que

lim x→+∞ exp(x) = +∞

lim x→−∞ exp(x) = 0. .

Enn, on représente ci-dessous l'allure du graphe de la fonction exponentielle.

x y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1

2 3 4 5 6 7 8

2.4 Les fonctions puissance, exponentielle en base a > 0 et logarithme en base a > 0

Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n , on a

exp(n ln(a)) = exp(ln(a)) ⁿ = a ⁿ . Par extension, pour tout réel a > 0 et tout réel b , on dénit

a ^b = exp(b ln(a)) = e ^{b ln(a)} .

Les propriétés suivantes seront démontrées en TD et généralisent les propriétés des puissances entières.

Proposition 2.14. Pour tous réels a , b , s > 0 et t > 0 , on a les relations suivantes.

s ^a t ^a = (st) ^a s ^a s ^b = s ^a+b (s ^a ) ^b = s ^ab ln(s ^a ) = a ln(s) 1 ^a = 1 s ⁰ = 1

Cette extension de la notion de puissance nous permet de dénir de nouvelles fonctions qui seront étudiées en TD.

Dénition 2.15 (Les fonctions puissances réelles). On appelle fonction puissance une fonction de la forme

R ^∗ + → R

x 7→ x ^a ,

où a ∈ R.

En particulier, pour un entier naturel n > 0 et un nombre réel x > 0 , rappelons que √

x désigne l'unique solution positive de l'équation, d'inconnue y , y ⁿ = x . Comme (x

) ⁿ = x

= x ¹ = x et comme x

= e

^ln(x) > 0 , on obtient que √

x = x

.

Dénition 2.16 (exponentielle en base a > 0 ). On xe a > 0 . On appelle exponentielle en base a la fonction

exp _a : R → R x 7→ a ^x .

On a toujours la propriété selon laquelle, pour tous nombres réels x et y , exp _a (x + y) = exp _a (x) exp _a (y) . En réalité, on peut démontrer (mais on manque d'outils dans ce cours pour le faire) que, outre la fonction nulle, ces fonctions exponentielles sont les seuls exemples de fonctions continues R → R qui transforment les sommes en produits.

Enn, voici une dernière dénition pour clore ce chapitre.

Dénition 2.17 (logarithme en base a > 0 ). Soit a > 0 avec a 6= 1 . On appelle logarithme en base a la fonction

log _a : R ^∗ + → R x 7→ ^ln(x) _ln(a) .

On a alors, pour tout réel x ,

log _a (a ^x ) = ln(e ^{x ln(a)} )

ln(a) = x ln(a) ln(a) = x.

Ainsi, on a le même lien entre le logarithme en base a > 0 et l'exponentielle en base a > 0 qu'entre l'exponentielle et le logarithme népérien. Ce lien sera précisé plus formellement dans le chapitre 5 de ce cours.

Par ailleurs, on a toujours, pour tous nombres réels x > 0 et y > 0 , log _a (xy) = log _a (x) + log _a (y).

On peut montrer (mais on ne le fera pas pour les mêmes raisons que pour l'exponentielle en

base a ) que les fonctions logarithmes en base a sont les seules fonctions continues non-constantes

R ^∗ + → R qui transforment les produits en sommes.

Chapitre 3

Limites, continuité

Dans cette partie consacrée à la notion de limite et à la continuité, la plupart des résultats seront admis. Pour des démonstrations de ces résultats et une revue plus en profondeur des notions de limite et de continuité, on renvoie le lecteur au cours de Approfondissements mathématiques 1.

3.1 Dénitions

Dans toute la suite, on note f : I → R une fonction dénie sur une partie I de R et à valeurs dans R.

Dénition 3.1 (Limite nie en un point réel). Soient a et ` des nombres réels. On dit que la fonction f a pour limite ` en a si tout intervalle ouvert qui contient ` contient toutes les valeurs f (x) pour x susamment proche de a . Dans ce cas, on note lim

x→a f(x) = `.

Cette dénition peut être formalisée par la phrase logique suivante

∀ >0, ∃α >0, ∀x∈I, |x−a|< α⇒ |f(x)−`|< .

Cela signie que pour >0aussi petit que l'on veut, on peut trouver un petit intervalle autour dea, de la forme]a−α, a+α[tel que, pour toutxdans I∩]a−α, a+α[(i.e. pourxsusamment proche dea)f(x)appartient à l'intervalle]`−, `+[.

Maintenant, pour comprendre l'équivalence de cette phrase logique avec la dénition ci-dessus, il s'agit de remarquer que tout intervalle ouvert qui contient`contient un intervalle de la forme]`−, `+[.

Dénition 3.2 (Continuité en un point). Si a ∈ I et lim

x→a f (x) = f (a) , on dit que f est continue en a .

En réalité, lorsque a ∈ I , il sut que ` = lim

x→a f (x) existe et soit un nombre réel pour que f soit continue en a . En eet, dans ce cas, on a nécessairement ` = f (a) .

En eet, si l'on avait`6=f(a)et si l'on prend un intervalle ouvertJqui contient`et ne contient pasf(a): il ne contient pasf(a)alors queaest aussi proche que l'on souhaite dea, en contradiction avec la dénition de limite en un point d'une fonction.

Dénition 3.3 (Continuité sur un ensemble). On dit que f est continue sur I si f est continue

en tous les points de I .

Exemple 3.4 (admis). Les fonctions exponentielle, logarithme népérien, x → x ⁿ , avec n ∈ Z et x → |x| sont continues sur leur ensemble de dénition.

Dénition 3.5 (Limite innie en un point réel). La fonction f a pour limite +∞ en a si tout intervalle de la forme [A, +∞[ , avec A ∈ R contient toutes les valeurs f(x) pour x susamment proche de a . Dans ce cas, on note lim

x→a f (x) = +∞ . La fonction f a pour limite −∞ en a si tout intervalle de la forme ] − ∞, A] , avec A ∈ R, contient toutes les valeurs f(x) pour x susamment proche de a . Dans ce cas, on note lim

x→a f (x) = −∞ .

Là encore, on peut formaliser la dénition de lim

x→af(x) = +∞par la phrase logique

∀A∈R, ∃α >0, ∀x∈I, |x−a|< α⇒f(x)> A.

De même, on peut formaliser la dénition de lim

x→af(x) =−∞par la phrase logique

∀A∈R, ∃α >0, ∀x∈I, |x−a|< α⇒f(x)< A.

Si lim x→a f (x) = +∞ ou −∞ alors le graphe de f admet pour asymptote la droite d'équation x = a . Les points du graphe d'abscisse proche de a seront proches de cette droite en partant vers le haut (cas où lim x→a f (x) = +∞ ) ou vers le bas (cas où lim x→a f(x) = −∞ ).

On a représenté ci-dessous une fonction f telle que lim

x→a f (x) = +∞ . On a aussi représenté l'asymptote d'équation x = a de ce graphe.

x y

a

Dénition 3.6 (Limite à droite/à gauche). Soient ` ∈ R ∪ {−∞} ∪ {+∞} et a un nombre réel.

On dit que f a pour limite à droite ` en a si la restriction f <sub>|]a,+∞[∩I</sub> a pour limite ` en a . Dans ce cas, on note lim

x→a

f (x) = ` .

On dit que f a pour limite à gauche ` en a si la restriction f |]−∞,a[∩I a pour limite ` en a . Dans ce cas, on note lim

x→a

f (x) = ` .

Exemple 3.7. Par exemple, on peut démontrer en utilisant la dénition que

x→0 lim

1

x = +∞

et que

x→0 lim

1

x = −∞.

Dénition 3.8 (Continuité à droite/à gauche). Soit a ∈ I . On dit que f est continue à droite en a si lim

x→a

f (x) = f (a) .

On dit que f est continue à gauche en a si lim

x→a

f(x) = f(a) .

Proposition 3.9. Soit a ∈ I . Les assertions suivantes sont équivalentes.

1. La fonction f est continue en a .

2. La fonction f est continue à droite et à gauche en a . 3. lim

x→a

f(x) = lim

x→a

f (x) = f (a) .

Dénition 3.10 (Limite nie en l'inni). Soit ` ∈ R.

On dit que f a pour limite ` en +∞ si tout intervalle ouvert contenant ` contient toutes les valeurs f (x) pour x susamment grand. Dans ce cas, on note lim

x→+∞ f(x) = ` . On dit que f a pour limite ` en −∞ si lim

x→+∞ f (−x) = ` . Dans ce cas, on note lim

x→−∞ f(x) = `

Le lecteur curieux qui a vu la formalisation logique des dénitions précédentes est invité à rééchir à une formalisation logique de la dénition ci-dessus avant de lire la réponse ci-dessous. La phrase mathématique lim

x→+∞f(x) =`se traduit par

∀ >0, ∃A∈R, ∀x∈I, x > A⇒ |f(x)−`|< .

La phrase mathématique lim

x→−∞f(x) =`se traduit par

∀ >0, ∃A∈R, ∀x∈I, x < A⇒ |f(x)−`|< .

Si lim

x→+∞ f (x) = ` ou lim

x→−∞ f(x) = ` alors la droite d'équation y = ` est asymptote au graphe de f . On a représenté ci-dessous le graphe d'une fonction f telle que lim

x→+∞ f (x) = ` ainsi que son asymptote d'équation y = ` .

x y

l

Dénition 3.11 (Limite innie en l'inni). On dit que f a pour limite +∞ en +∞ si tout intervalle de la forme [A, +∞[ , avec A ∈ R, contient toutes les valeurs f (x) pour x susamment grand. Dans ce cas, on note lim

x→+∞ f(x) = +∞.

On dit que f a pour limite −∞ en +∞ si tout intervalle de la forme ]−∞, A] , avec A ∈ R, contient toutes les valeurs f(x) pour x susamment grand. Dans ce cas, on note lim

x→+∞ f(x) = +∞.

On dit que f a pour limite +∞ en −∞ si lim

x→+∞ f (−x) = +∞ . Dans ce cas, on note

x→−∞ lim f(x) = +∞.

On dit que f a pour limite −∞ en −∞ si lim

x→+∞ f (−x) = −∞ . Dans ce cas, on note

x→−∞ lim f(x) = −∞.

Là encore, le lecteur curieux est normalement capable de donner lui-même la formalisation logique de cette dénition.

3.2 Opérations sur les limites

Soient f et g des fonctions dénies sur un ensemble I ⊂ R et à valeurs dans R. On note alors f + g la fonction

f + g : I → R

x 7→ f (x) + g(x) et f.g la fonction

f.g : I → R

x 7→ f (x) × g(x) = f(x).g(x) . On xe un élément a de R ∪ {−∞, +∞} et des nombres réels ` et ` ⁰ .

Dans cette section, nous rappelons sans démonstration les diérents théorèmes d'opérations sur les limites. Pour une démonstration et une compréhension plus en profondeur de ces résultats, on renvoie au cours de Approfondissements mathématiques 1.

3.2.1 Limite d'une somme

Le tableau suivant rappelle ce que l'on sait de la limite de la somme de deux fonctions en fonction de la limite de chacune de ces deux fonctions.

Si lim

x→a f(x) = ` ` ` +∞ −∞ +∞

et lim

x→a g(x) = ` ⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors lim

x→a f (x) + g(x) = ` + ` ⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ ? Le point d'interrogation dans le tableau marque le fait que, si l'on sait que lim

x→a f(x) = +∞ et

x→a lim g(x) = −∞ , on ne peut pas conclure a priori sur la limite de f + g en a . On parle alors de

forme indéterminée.

3.2.2 Limite d'un produit

Passons maintenant à la limite d'un produit de fonctions.

Si lim

x→a f(x) = ` ` > 0 ` > 0 ` < 0 ` < 0 +∞ +∞ 0 et lim

x→a g(x) = ` ⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ ou −∞

alors lim

x→a f(x).g(x) = `.` ⁰ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ ?

Retenons que dans le cas où l'une des limites est innie et l'autre existe et est non-nulle, la limite du produit est innie et le signe de cette limite est donnée par la règle des signes (si les signes sont opposés, on a un résultat négatif et, s'ils sont identiques, on a un résultat positif).

Là encore, on a mis un point d'interrogation dans le tableau lorsque l'on ne peut pas conclure quant à la limite de f (x).g(x) en a .

En résumé, les formes indéterminées sont −∞+ +∞ et ∞ × 0 . On verra dans les sections suivantes des techniques pour lever ces indéterminations et déterminer la limite de f + g ou f.g malgré tout.

3.2.3 Opérations sur les fonctions continues

De ces théorèmes sur les opérations sur les limites, on déduit immédiatement des théorèmes d'opérations sur les fonctions continues.

Théorème 3.12. On suppose que a est un point de I . Soient λ et µ des nombres réels.

Si les fonctions f et g sont continues en a , alors λ.f + µ.g est continue en a et f.g est continue en a .

Si les fonctions f et g sont continues sur I , alors λ.f + µ.g est continue sur I et f.g est continue sur I .

Exemple 3.13. En utilisant le fait que la fonction R → R

x 7→ x

et les fonctions constantes sont continues sur R (ce qui peut se démontrer à l'aide de la dénition de la continuité), montrons que, pour tout entier n ∈ N, la fonction

R → R x 7→ x ⁿ est continue sur R.

La propriété est vraie pour n = 0 et n = 1 .

Supposons la propriété vraie pour un entier n ≥ 0 . Comme les fonctions R → R

x 7→ x ⁿ

et

R → R x 7→ x

sont continues sur R (par hypothèse de récurrence pour la première) alors leur produit R → R

x 7→ x ⁿ .x = x ⁿ⁺¹ est continu sur R, d'où la propriété au rang n + 1 . Ceci achève la récurrence.

On appelle fonction polynômiale toute fonction de la forme R → R

x 7→ a ₀ + a ₁ .x + a ₂ .x ² + . . . + a _n .x ⁿ

avec n ∈ N, et où les a _i , pour 0 ≤ i ≤ n , sont des nombres réels. À l'aide d'une récurrence et de la propriété relative à la somme de deux fonctions continues, on démontre que toute fonction polynômiale est continue sur R.

3.2.4 Limites et composition

Soient f : I → R et g : J → R des fonctions dénies respectivement sur des parties I et J de R. On suppose que f(I) ⊂ J de sorte que la composée g ◦ f est bien dénie sur I .

Théorème 3.14 (Limite d'une composée). Soient a , ` et ` ⁰ des éléments de R ∪ {−∞, +∞} . Supposons que

( lim

x→a f (x) = ` lim y→` g(y) = ` ⁰ . Alors

x→a lim g ◦ f (x) = lim

x→a g(f(x)) = ` ⁰ .

Ce théorème s'étend naturellement au cas des limites à gauche ou à droite.

Exemple 3.15. Calculons lim

x→1

√ e ^x + x + 1 . D'après les théorèmes de sommes de limites et par continuité des fonctions polynômiales et de la fonction exponentielle sur R, on a

x→1 lim e ^x + x + 1 = e ¹ + 1 + 1 = 2 + e.

Or

Y lim →2+e = √ 2 + e par continuité de la fonction √

. sur R ⁺ . D'où

x→1 lim

√ e ^x + x + 1 = √

2 + e.

Comme précédemment, le théorème de composition des limites a une conséquence sur les fonc- tions continues.

Théorème 3.16 (Composition de fonctions continues). Soit a un point de I .

Si la fonction f est continue en a et la fonction g est continue en f (a) , alors la fonction g ◦ f est continue en a .

Si la fonction f est continue sur I et la fonction g est continue sur J , alors la fonction g ◦ f est continue sur I .

En particulier, en composant une fonction f quelconque avec la fonction inverse, on en déduit des limites pour l'inverse de f .

Si lim

x→a f (x) = ` 6= 0 0 et f (x) > 0 0 et f (x) < 0 +∞ −∞

alors lim

x→a

1

f (x) = ¹ _` +∞ −∞ 0 0

Si f et g sont deux fonctions dénies sur I , en écrivant ^f(x) _g(x) = f (x). _g(x) ¹ et en utilisant les théorèmes relatifs à la limite d'un produit, on peut en déduire la limite d'un quotient.

3.3 Croissances comparées

Pour lever les indéterminations en pratique, en général, il s'agit de factoriser par le terme dominant. Par exemple, calculons lim

x→+∞ x ² − x + 1 . On tombe ici sur une forme indéterminée ( +∞ + (−∞) ). On factorise donc par le terme dominant en +∞ , qui est x ² . Pour x > 0 , on a

x ² − x + 1 = x ² (1 − 1 x + 1

x ² ).

Or,

lim x→+∞ x ² = +∞

lim x→+∞ 1 − _x ¹ + _x ¹

= 1 − 0 + 0 = 1 , d'où

x→+∞ lim x ² − x + 1 = +∞.

Quand on veut étudier des fonctions faisant intervenir les fonctions exponentielles, logarithme népérien, et les fonctions puissances, on a besoin de connaître les vitesses de croissance respectives de ces fonctions. L'idée générale est que, en +∞ , l'exponentielle l'emporte sur les fonctions puissances qui l'emportent sur le logarithme népérien. Plus précisément, on a le théorème suivant.

Théorème 3.17 (Croissances comparées). Soit a > 0 . On a

x→+∞ lim e ^x

x ^a = +∞ lim

x→−∞ | x | ^a e ^x = 0

x→+∞ lim ln(x)

x ^a = 0 lim

x→0 x ^a ln(x) = 0

Ce théorème sera démontré dans la section suivante de ce chapitre.

En passant à l'inverse, on déduit de ce théorème que

x→+∞ lim x ^a e ^x = 0 et que

x→+∞ lim x ^a

ln(x) = +∞.

De plus, on en déduit que

x→+∞ lim e ^x

ln(x) = lim

x→+∞

e ^x x . x

ln(x) = +∞

et que

x→+∞ lim ln(x)

e ^x = lim

x→+∞

ln(x) x . x

e ^x = 0.

3.4 Limites et inégalités

On note I un intervalle de R.

Notation : On note I l'intervalle I auquel on a rajouté ses extrémités, éventuellement innies.

Ainsi, si I est l'intervalle ]0, 1[ ou [0, 1[ ou ]0, 1] ou [0, 1] , alors I = [0, 1] . Si I =]0, +∞[ , alors I = [0, +∞[∪ {+∞} . Si I =] − ∞, 1] , alors I =] − ∞, 1] ∪ {−∞} .

En particulier, on note R = R ∪ {−∞, +∞} . On étend la relation d'ordre ≤ sur R à R en décrétant que

∀a ∈ R , −∞ < a < +∞

et

−∞ < +∞.

Théorème 3.18 (Passage à la limite dans les inégalités). Soient f : I → R et g : I → R des fonctions dénies sur I et à valeurs dans R. Soit a un point de I .

Supposons que 1. lim

x→a f(x) et lim

x→a g(x) existent dans R ; 2. Pour tout point x de I , f (x) ≤ g(x) . Alors lim

x→a f(x) ≤ lim

x→a g (x) .

Noter que l'on ne peut obtenir qu'une inégalité large en conclusion dans ce théorème. En eet, pour tout x > 0 , 1 − _x ¹ < 1 + ¹ _x , mais, lorsque l'on passe à la limite lorsque x tend vers +∞ , les membres de gauche et de droite de l'inégalité ont la même limite : elle vaut 1 .

Passons maintenant au théorème d'encadrement, appelé aussi théorème des gendarmes.

Théorème 3.19 (Théorème d'encadrement). On note f : I → R, g : I → R et h : I → R des

fonctions dénies sur l'intervalle I et à valeurs dans R. On xe un point a de I .

1. Supposons que

( ∀x ∈ I, f (x) ≤ g(x)

x→a lim f (x) = +∞ . Alors lim

x→a g(x) = +∞.

2. Supposons que

( ∀x ∈ I, g(x) ≤ h(x)

x→a lim h(x) = −∞ . Alors lim

x→a g(x) = −∞.

3. Supposons que

( ∀x ∈ I, f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)

x→a lim f(x) = lim

x→a h(x) = ` ∈ R . Alors lim

x→a g(x) = `.

Dans la gure ci-dessous, on a noté C _f , C _g et C _h les courbes représentatives respectives de f , g et h .

C

C

`

C

Figure 3.1 Les fonctions f , g et h vérient f ≤ g ≤ h .

Sous les hypothèses du troisième point du théorème ci-dessus, la courbe représentative de g est coincée entre les courbes représentatives de f et de h . On voit alors que, nécessairement,

x→+∞ lim g(x) = ` : la courbe représentative de g doit aussi avoir pour asymptote la droite d'équation y = ` .

Les théorèmes de passage à la limite dans les inégalités et d'encadrement sont admis. Ils se démontrent à l'aide de la dénition de la notion de limite. Pour une démonstration, on renvoie au cours de Approfondissements mathématiques 1.

Dans l'exercice suivant, on va appliquer les résultats précédents pour démontrer les théorèmes relatifs aux croissances comparées.

lim x→+∞ e ^x = +∞ lim x→−∞ e ^x = 0 lim _x→+∞ ^e _x

= +∞ lim _x→−∞ | x | ^a e ^x = 0 .

Exercice 3.20. 1. À l'aide d'une étude de fonction, montrer que, pour tout nombre réel x ≥ 0 ,

e ^x − x ≥ 1.

2. En déduire que (a) lim

x→+∞ e ^x = +∞.

(b) lim

x→−∞ e ^x = 0.

(c) lim

x→+∞

e ^x

x

= +∞.

(d) pour tout nombre réel a > 0 , lim

x→+∞

e ^x

x ^a = +∞.

(e) pour tout nombre réel a > 0 , lim

x→−∞ | x | ^a e ^x = 0.

En utilisant les mêmes idées que dans l'exercice ci-dessus, on va démontrer que, pour tout nombre réel a > 0 ,

lim x→0 x ^a ln(x) = 0 et

x→+∞ lim ln(x)

x ^a = 0, ce qui achèvera la démonstration du théorème 3.17.

Fin de la démonstration du théorème 3.17. Notons f la fonction dénie sur R ^∗ + =]0, +∞[ par

∀x > 0, f (x) = x ln(x).

La fonction f est dérivable sur R ^∗ + (en tant que produit de fonctions dérivables sur R ^∗ + ) et

∀x > 0, f ⁰ (x) = 1. ln(x) + x. 1

x = ln(x) + 1.

Comme la fonction ln est strictement croissante sur R ^∗ + , la fonction f ⁰ est strictement croissante sur R ^∗ + . Ainsi, pour x < e ⁻¹ ,

f ⁰ (x) < f ⁰ (e ⁻¹ ) = ln(e ⁻¹ ) + 1 = −1 + 1 = 0.

Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur ]0, e ⁻¹ ] et, pour tout nombre réel x dans ]0, e ⁻¹ ] ,

f (x) = x ln(x) > f (e ⁻¹ ) = −e ⁻¹ .

De plus, comme x > 0 et ln(x) < ln(e ⁻¹ ) < 0 , on a x ln(x) ≤ 0 . On en déduit que

∀x ∈]0, e ⁻¹ ], 0 ≥ x ² ln(x) ≥ −xe ⁻¹ . Comme lim

x→0 −xe ⁻¹ = 0 , alors, d'après le théorème d'encadrement,

x→0 lim x ² ln(x) = 0.

Par conséquent, pour a > 0 , on a

x→0 lim x ^a ln(x) = lim

x→0 (x

) ² 2

a ln(x

) = 0

d'après le théorème de composition des limites car lim

x→0 x ^a = 0 (voir TD pour une démonstration de ceci). Comme

lim x→+∞ 1 x = 0

lim _{X →0} −X ^a ln(X) = 0 , alors, par composition des limites

x→+∞ lim ln(x)

x ^a = lim

x→+∞ − 1

x a

ln 1

x

= 0.

3.5 Fonctions monotones et limites

On note a et b deux éléments de R tels que a < b . On note f :]a, b[→ R une fonction dénie sur un intervalle ]a, b[ . Le théorème suivant est l'analogue continu du théorème concernant les suites monotones.

Théorème 3.21 (Limites et monotonie). 1. Supposons que f est croissante. Alors f admet une limite ` en a et une limite ` ⁰ en b . De plus

∀y ∈]a, b[, ` ≤ f (y) ≤ ` ⁰ .

2. Supposons que f est décroissante. Alors f admet une limite ` en a et une limite ` ⁰ en b . De plus

∀y ∈]a, b[, ` ≥ f (y) ≥ ` ⁰ .

ATTENTION : si l'on souhaite appliquer ce théorème à une fonction dénie sur un intervalle ]a ⁰ , b ⁰ [ qui contient [a, b] , le théorème ne donne que l'existence d'une limite à droite de la fonction en a et une limite à gauche de la fonction en b .

Ainsi, une fonction monotone dénie sur un intervalle a une limite à gauche et à droite en tout point de son ensemble de dénition.

En application de ce théorème, on va démontrer que lim

x→0 ln(x) = −∞ et que lim

x→+∞ ln(x) = +∞ .

x→0 lim ln(x) = −∞ et lim

x→+∞ ln(x) = +∞ . Par dénition de la fonction ln , la fonction ln est dérivable sur R ^∗ + et

∀x > 0, ln ⁰ (x) = 1 x > 0.

Comme la fonction ln a une dérivée strictement positive sur son ensemble de dénition, alors la fonction ln est strictement croissante sur R ^∗ + . D'après le théorème ci-dessus, les limites ` = lim

x→0 ln(x) et ` ⁰ = lim

x→+∞ ln(x) existent. La première ` appartient à R ∪ {−∞} et la deuxième ` ⁰ appartient à R ∪ {+∞} . Mais pour tout entier n relatif, d'après le théorème ci-dessus,

` ≤ ln(2 <sup>n</sup> ) = n ln(2) ≤ ` ⁰ .

Par conséquent, comme ln(2) > ln(1) = 0 donc ln(2) 6= 0 , on a nécessairement ` = −∞ et

` ⁰ = +∞ .

3.6 Continuité sur un intervalle

On note I un intervalle de R (l'hypothèse selon laquelle I est un intervalle et pas une partie quelconque de R est particulièrement importante dans cette section). On xe une fonction f : I → R dénie sur l'intervalle I .

Le théorème suivant, qui est admis, est fondamental.

Théorème 3.22 (Théorème des valeurs intermédiaires). Supposons que la fonction f soit continue sur l'intervalle I . On xe deux points a < b de I . Soit ` un nombre réel compris entre f (a) et f (b) , ce qui signie que f(a) ≤ ` ≤ f (b) ou f (a) ≥ ` ≥ f(b) .

Alors il existe un nombre réel c ∈ [a, b] tel que f(c) = ` .

Pour une démonstration de ce théorème, on renvoie au cours de Approfondissements mathéma- tiques 1.

a b

f(a) f(b)

`

c

Figure 3.2 Illustration du théorème des valeurs intermédiaires. La courbe représentée est le graphe de f .

Le corollaire suivant est en réalité une reformulation du théorème des valeurs intermédiaires.

Corollaire 3.23. Soit J un intervalle de R et g : J → R une fonction continue sur J . Alors g(J) est un intervalle.

Démonstration. Dans cette démonstration, on utilise la caractérisation suivante des intervalles. Une partieAdeRest un intervalle si et seulement si, étant donnés deux pointsy₁< y₂deA, on a[y₁, y₂]⊂A.

Soienty1< y2des points deg(J). Par dénition, il existe des nombres réelsx1etx2dansJtels quey1=f(x1)ety2=f(x2). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre réelldans[y₁, y₂], il existe un nombre réelcentrex₁etx₂tel quef(c) =l. Par conséquentlappartient à f(I)et donc[y1, y2]⊂f(I), ce qui implique quef(I)est un intervalle.

Le théorème suivant est également admis et sera vu plus en profondeur dans le cours de Appro- fondissements mathématiques 1.

Théorème 3.24 (Théorème des bornes). Soient a < b des nombres réels et f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b] . Alors f admet un maximum et un minimum sur [a, b] . Autrement dit, il existe des points x m et x M dans [a, b] tels que, pour tout point x de [a, b] , on a

f (x _m ) ≤ f (x) ≤ f (x _M ).

a b xm

f(xm) xM

f(xM)

Figure 3.3 Illustration du théorème des bornes. La courbe représentée est le graphe de f .

Chapitre 4 Dérivation

4.1 Dénitions

4.1.1 Nombre dérivé

Aux origines de la notion de dérivée, il y a la notion de vitesse instantanée.

0 x(t)

M(t)

Considérons un mobile ponctuel qui se déplace sur la droite réelle au cours du temps. On note M (t) la position du mobile à l'instant t et x(t) l'abscisse du point M (t) . La vitesse (algébrique) moyenne du mobile entre deux instants t ₀ et t ₁ est

x(t ₁ ) − x(t ₀ ) t ₁ − t ₀ .

Pour calculer sa vitesse instantanée du mobile à l'instant t ₀ , on calcule sa vitesse moyenne entre un instant t et t ₀

x(t) − x(t ₀ ) t − t ₀

puis on prend la limite lorsque t tend vers t ₀ . Cette notion de vitesse instantanée se généralise en mathématiques via la notion de nombre dérivé.

On xe un intervalle I de R d'intérieur non-vide (c'est-à-dire qu'il n'est ni vide, ni réduit à un point) et une fonction f : I → R dénie sur I . On xe un nombre réel x 0 dans I .

Dénition 4.1 (Nombre dérivé). On dit que f est dérivable en x ₀ si la limite f ⁰ (x ₀ ) = lim

x→x

f(x) − f(x 0 )

x − x ₀

existe et est un nombre réel. Dans ce cas, le nombre f ⁰ (x ₀ ) est appelé nombre dérivé de f en x ₀ . On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I . Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f la fonction

f ⁰ : I → R x 7→ f ⁰ (x) .

Exemple 4.2. 1. Soit C ∈ R. On veut calculer la dérivée de la fonction f ₁ : R → R

x 7→ C . en un point x ₀ ∈ R. On a, pour x 6= x ₀ ,

f ₁ (x) − f ₁ (x ₀ ) x − x 0

= C − C x − x 0

= 0.

Ainsi, les fonctions constantes sont dérivables en tout point et le nombre dérivé d'une fonction constante en tout point vaut 0 . Au nal, la fonction dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle.

2. Calculons maintenant la fonction dérivée de la fonction f ₂ : R → R

x 7→ 2x . Fixons un point x ₀ ∈ R. On a, pour x 6= x ₀ ,

f ₂ (x) − f ₂ (x ₀ ) x − x 0

= 2x − 2x ₀ x − x 0

= 2. x − x ₀ x − x 0

= 2.

Ainsi, la fonction f ₂ est dérivable en tout point de R de nombre dérivé 2 . La fonction dérivée de f ₂ est la fonction constante égale à 2 . De la même manière, on démontre que, pour tout nombre réel λ , la fonction

R → R x 7→ λx

est dérivable sur R de fonction dérivée la fonction constante égale à λ . 3. Intéressons nous maintenant à la fonction

f ₃ : R → R x 7→ x ² . On xe un nombre réel x ₀ . Pour tout x 6= x ₀ , on a

f

(x)−f

(x

)

x−x

= ^x _x−x

^−x

0

= ^(x−x _x−x

^)(x+x

⁾

0

= x + x 0

donc

x→x lim

f (x) − f (x ₀ )

x − x ₀ = 2x ₀ .