Essai de théorie qualitative de la relaxation dans les ferromagnétiques au voisinage, du point de Curie

HAL Id: jpa-00205984

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205984

Submitted on 1 Jan 1965

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Essai de théorie qualitative de la relaxation dans les ferromagnétiques au voisinage, du point de Curie

J. Villain

To cite this version:

J. Villain. Essai de théorie qualitative de la relaxation dans les ferromagnétiques au voisinage, du point de Curie. Journal de Physique, 1965, 26 (7), pp.405-408. �10.1051/jphys:01965002607040500�.

�jpa-00205984�

405.

ESSAI DE THÉORIE QUALITATIVE DE LA RELAXATION

DANS LES FERROMAGNÉTIQUES ^AU VOISINAGE, DU POINT DE CURIE Par J. VILLAIN,

S. P. S. R. M., ^{C. E.} N., Saclay.

Résumé. - Notre objet ^est d’étudier le comportement de la fonction

X(R, t) = ~03B20d03BB 03B4Sz0(0) 03B4SzR(t + i012703BB) ^>

en fonction du temps ^t.

Nous rappelons d’abord brièvement les théories anciennes en les critiquant (§ I).

Nous proposons ensuite (§ II) ^une équation différentielle linéaire en X ; ^nous supposons que X satisfait la même équation ^{dans un} domaine de température fini autour de Tc ; ainsi les anomalies

critiques, ^en particulier ^{le «} freinage thermodynamique ^{» de la} relaxation, apparaissent ^comme

des conséquences ^du comportement ^de X(r, t).

Au paragraphe ^{III nous} faisons certaines prévisions quantitatives ^{en ce} qui ^{concerne les solu-}

tions de l’équation différentielle ^en question. ^En particulier ^nous donnons pour la largeur ^{de raie}

une formule qui paraît ^en bon accord avec l’expérience.

Abstract. - Our purpose here is ^to study the time behaviour of the " response function " :

X(R, t) = ~03B20d03BB 03B4Sz0(0) 03B4SzR(t + i012703BB) ^>

which is known to be related to the longitudinal correlation function [2] ^{and to} diffuse magnetic scattering of neutrons.

We first give ^a short outline of former theories and we criticize them (§ I).

We then propose (§ II) ^a linear differential equation ^{for X. The same} equation is assumed to be satisfied in a finite temperature ^{range around Tc. So the critical effects in the relaxation}

of X(r, t) ^are only ^{due to the} behaviour of the static function X(r, 0) ; ^{i.e. the}

thermodynamic slowing ^{down " defined} by ^{De Gennes} [3] appears ^{as a mere} consequence ^{of the} anomaly ^{in the}

static susceptibility.

In § III, ^we deduce some features of X(r, t). ^In particular ^we give for the linewidth ^a formula which appears ^to be in good agreement ^with experiment : ^{at Tc the} linewidth is proportional

to q2, in contrast with earlier theoretical predictions.

PHYSIQUE 26, JUILLET 1965,

Introduction.

^Nous considérerons un système

de N spins ^{SR localises aux} nceuds R d’un reseau de Bravais. Nous les supposerons ^{soumis a une} interaction de Heisenberg f erromagnetique ^entre premiers ^{voisins. Soit Oz la direction de 1’aiman-}

tation. On d6finira (1) :

On sait que les experiences de diffusion magn6- tique ^{des neutrons} fournissent une mesure de la fonction de correlation int6gr6e, utilis6e par

exemple ^dans [2] ^{et dont une seule} composante

nous int6resse ici :

Notons que dans les conditions critiques (aiman-

tation tres faible, temperature ^{T tres} voisine du

point critique Tc) ^{il est} suffisant de connaitre cette

composante.

Expos6 ^{succinct des théories} ant6rieures.

Selon les id6es de Van Hove [1] compl6t6es ^et pr6-

cis6es ensuite par ^{Mori et} Kawasaki [2], X(r, t) satisfait, pour ^t sup6rieur ^{a un certain} temps to

(1) Les caract6res gras repr6sentent des vecteurs.

d’ordre 1ï/ J independant ^de T, ^{a une} equation ^de

diffusion (2) :

Ceci 6tant admis, ^on peut ^montrer que A ⁼ 0 pour T ⁼ Tc. ^{De Gennes et Villain} [3] expliquaient

ce r6sultat par le fait que la relaxation de la ^com-

posante ^{de Fourier}

est frein6e, pour q petit ^{et T voisin de Tc,} par ^un effet thermodynamique ^{du au fait} que de fortes fluctuations d’aimantation provoquent ^{un faible}

accroissement d’énergie libre ; ^{cet effet} s’ajoute ^au freinage ^« ein6matique ^» existant pour q petit ^à

toute temperature ^{et du au fait que Ie} Hamiltonien de Heisenberg ^{conserve le} spin ^total.

CRITIQUE ^DES IDÉES PRECEDENTES.

Les r6sul- tats experimentaux [4, 5] ^{sont en d6saccord avec}

les previsions th6oriques des references [1, 2, 3].

(2) ^Pour simplifier, ^{les formules de cet} article ont 6t6 ecrites pour ^{un reseau} cubique, ^{mais on} peut facilement les etendre a d’autres r6seaux pourvu qu’il n’y ^ait qu’une ^int6- grale d’6change.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01965002607040500

406

En particulier la transformee de Fourier spatio- temporelle Xq(eù) pr6sente ^{a Tc une} largeur propor- tionnelle a q2 ^{et non} a q4 ^comme pr6vu par [2].

II est donc important d’analyser les d6fauts des theories pr6c6dentes :

10 Ces theories admettent que Xq(t) ^{relaxe de} fagon exponentielle pour t > to. ^Une hypoth6se 16g6rement différente telle que :

conduirait a des resultats radicalement different.

20 L’6quation de diffusion surestime la rela- xation pour t petit ^{et r} grand, ^ce qui ^est particu-

li6rement _grave au point critique. ^En effet, pour t petit, ^les points ^assez 6loign6s ^de l’origine ^sont

encore en 6quilibre ^et les courbes X(r, t) ^sont repre-

sentees par ^un reseau du type ^{de la} figure ^{1 dont}

une equation ^{de diffusion ne} rend pas bien compte.

FIG. 1.

Forme des courbes X(r, t).

30 L’hypothese ^{« A ==} 0 pour ^T

Tc » ^{est une} mauvaise façon de rendre compte ^du freinage

« thermodynamique ^{». Ce} freinage ^{est une} simple consequence de la remarque precedente ^{et du fait}

que l’intégrale J ^{d3rX(r, 0) diverge A l’infini}

pour T

T,. Écrire A ⁼ 0 revient donc a tenir

compte ^{deux fois du} freinage thermodynamique.

II. L’equation ^{aux d6rivdes} partielles pour

X(r, t).

Nous 6crirons :

avoc JRR-(t) ^{= 0 si R et R’ ne sont} pas premiers

voisins. Il est 6videmment toujours possible ^de

trouver J RR/( t) ^{si on connait} X(R, t). ^{La conser-}

vation du spin ^{total se} traduit par la condition :

a) JRR,(t)

7p,).

On peut ^en outre montrer en utilisant par

exemple ^le paragraphe ^{VIII de} la r6f6rence [6] que :

b) JRR’(0)

^0.

c) ^toutes les d6riv6es paires JQQI(0) ^{sont nulles}

pour ^t

0.

d) la derivée impaire J(2"+’L)(0) ^est nulle si R

(ou R’) ^n’est pas ^au plus (2n ⁺ 1)eme ^{voisin de} l’ origine.

Enfin, pour que X(r, t) satisfasse a une equation

de diffusion pour t grand, ^nous devrons admettre

I’hypoth6se : e) JRR,(OO) ^{= A.}

Nous assimilerons maintenant X(R, t) ^{a une}

fonction continue ; ]J RR,(t) peut egalement ^etre

consideree comme une fonction continue

et pour t sup6rieur ^{à un temps t1} de l’ordre de AIJ

et independant ^de T, l’équation (II) peut ^{s’6crire :}

Cette equation ^{est valable pour un cristal} cubique ferromagnétique, a 6tant le cote de la maille

cubique.

Nous faisons maintenant une :

Hypothèse fondamentale.

La fonction J(r, t)

varie _peu avec la temperature ; ^en particulier ^on peut la considerer comme ind6pendante ^{de T dans}

un intervalle assez 6troitlautour ^{de Tc. Tous les}

effets critiques ^{sont donc} supposes ^{contenus dans la}

condition initiale X(r, 0).

FIG. 2.

Forme des courbes X(r, t) ^et J(r, t).

D6termination de la f onction J(r, t).

^{La fonc-}

tion J(r, t) ^{valant A} pour ^r petit ^et 0 pour r grand,

on est amene a penser que ^J doit avoir une forme voisine de la fonction echelon :

ou E(x) ^{= 0 ou 1} suivant que x ^{0 ou} que x > 0.

Quelle ^{est la forme de la fonction} b(t) ? ^Les

remarques (b), (c) ^et (d) ^{faites au d6but de ce} para-

graphe ^nous am6nent a penser, si ^{nous nous} rappe- lons les propri6t6s ^fort analogues ^de X(r, t) (cf. ^r6f. [6], § VIII), que les fonctions J(r, t) ^et X(r, t) ^{doivent relaxer « en meme} temps », c’est-a- dire en particulier que les courbes X(r, t) ^et X(r, 0)

doivent se rejoindre pour ^une valeur de r de l’ordre

de bt.

Ceci nous am6ne a penser que, ^a temperature inflnie, ^on aura bt ^N rll2, ^car 1’6quation (I) ^est

alors valable et elle conduit à

On peut ^alors écrire, d’après (IV) :

C’est egalement ^une formule de ce type que l’on attend dans la region des ondes de spin. ^{Si l’on}

admet _que la fonction J(r, t) depend ^{peu de la} temp6rature, ^{il est} normal de considerer la for- mule (V) ^{comme valable aussi a T,.}

Une façon plus ^directe de le voir consiste à poser, pour t grand : bt - tn, ^{d’ou :}

D’autre part [7] :

Si l’on admet que J ^et X doivent relaxer simul-

tanement, ^{on est} amene a penser que 1’6qua-

tion (III) doit admettre au point critique ^{une solu-}

tion de la forme :

En portant ^cette equation ^et 1’6quation (V bis)

dans (III) ^{on voit} que cela n’est possible que si

n

1 /2.

Compte ^{tenu de} (V) (que ^nous consid6rerons

comme vraie meme si J n’est pas exactement ^une fonction echelon) (III) ^{s’écrit :}

III. Propriétés ^{de la} fonction de eorr6lation

X(r, t).

^A. T > Te, ^CHAMP MAGNETIQUE ^{NUL. -}

Nous devons r6soudre 1’equation (VI), ^ce qui ^n6ces-

site 6videmment la connaissance de la valeur initiale X(r, 0). Nous admettrons la formule pro-

posee par Fisher [7] :

ou x varie de 0 a oo quand ^{T varie de Tc a oo et}

ou P(x) ^{est une certaine} fonction, ^finie pour x

0,

et proportionnelle h e pour x grand. ^Le para-

metre n ^{vaut 0 dans} l’approximation ^du champ

mol6culaire et ses ameliorations ; ^il serait de l’ordre de 0,07 selon les calculs th6oriques ^les plus ^r6-

cents [7].

La solution de (VI) satisfaisant a la condi- tion (VII) ^{est :}

ou F(x, t) ^{est la solution de} 1’6quation ^{aux d6riv6es} partielles :

satisfaisant a la condition initiale :

La transformee de Fourier spatiale ^de (VIII)

est de la forme :

ou la fonction G se d6duit ais6ment de la fonc- tion F.

Finalement la transformee de Fourier spatio- temporelle :

est de la forme

ou g ^{est une} nouvelle fonction dont nous ne pr6ei-

serons pas la forme.

La largeur 3m de la courbe x,(w) ^se deduit de la formule (X) ; ^{elle est} de la forme :

Deux cas sont a distinguer :

a) q » ^{x. Si nous} supposons que la fonction f

est d6veloppable ^{en s6rie de} puissances ^de x/q, ^on peut s’attendre a ce que seules les puissances paires ^soient présentes, ^car f ^{est une fonction} paire

de _q. La formule (XI) donne donc :

Ce r6sultat est conforme au r6sultat experimental

de Jacrot et al. [4]. Cependant ^la constante B (qui

doit vraisemblablement etre positive pour tenir

compte ^du freinage thermodynamique) ^{est tr6s}

faible et dans les experiences de Jacrot le second terme de (XII) etait de l’ordre de 1’erreur experi- mentale ; il faut donc attendre des experiences plus pr6cises pour verifier la formule (XII).

b) q ^{« x. Par les memes} raisonnements que

pr6c6demment, ^en supposant que f est ^{cette fois} d6veloppable ^en puissances ^de q jx, ^{on obtient la}

formule :

Les experiences ^{ont ete} jusqu’ici ^faites trop pr6s

de Tc pour que ^cette formule puisse ^{etre v6rifi6e.}

Noter qu’on attend A’ > A 4 cause du freinage thermodynamique.

B. CAS OU L’AIMANTATION N’EST PAS NULLE

(T ^Tc ou H :A 0).

X(r, t) doit etre decom-

posee ^{en deux} parties :

408

X(r, oo) ^{est une constante} proportionnelle ^à

l’aimantation et ind6pendante ^{de r.} C’est donc une

solution de 1’6quation (VI). ^Comme X(r, t) ^{en est}

aussi solution, X*(r, t) ^est egalement ^solution

de (VI). ^Comme 1’expression ^de X*(r, 0) ^{est encore} inconnue, nous nous contenterons de l’approxi-

mation du champ mol6culaire qui ^{donne :}

qui ^{est un cas} particulier ^{de la formule} (VII) ^avec

n ⁼ 0. On peut ^continuer les calculs comme dans le cas precedent ^en remplagant X par X*.

FIG. 3.

Largeur ^{de raie en fonction de} q2 ^{4 diverses} temperatures ^au voisinage ^de Tc.

La figure 3 donne le comportement ^{de la} largeur

de raie de x,(co) ^ou-de xq (w) (transformee ^{de Fourier} spatio-temporelle ^de X*) ^tel qu’on peut ^{le d6duire}

des formules (XII) ^et (XIII).

La principale lacune de la pr6sente ^{theorie est}

sans doute son incapacité ^a pr6voir ^la forme de Ja courbe Xq(t).

NTUDE ^DE Xq(t) ^{POUR T =} Tc.

^On peut

toutefois prevoir ^une int6ressante propriété ^de Xq(t)

au point critique ^{dans le cas} ou n ^{= 0.}

Pour t superieur ^a t1, ^{on a vu} que

ou, ^{en vertu de} (VI), Q(v) satisfait a 1’6quation

differentielle

Q( v) ^est proportionnel ^{a vl+*4} pour v petit ^et

tend vers une limite finie non nulle quand v ^tend

vers oo.

Faisons maintenant q

^{0 et} calculons la d6riv6e

premiere Xq(t) pour t

^0.

qui ^{s’annule en vertu de} (XV). L’egalite Xq(O) ^{== 0}

pour T

Tc, qui traduit le freinage thermody- namique, ^est contradictoire ^avec I’hypoth6se, ^faite

par [1, 2, 3], ^d’une relaxation exponentielle ^au point critique : la relaxation ne peut devenir exponen- tielle qu’au ^{bout d’un temps} proportionnel ^a q--2.

Manuscrit _{regu le} 2 juin ^1965.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^{VAN HOVE} (L.), Phys. Rev., 1954,95,1374.

[2] ^MORI (H.) ^{et KAWASAKI} (K.), Prog. ^Theor. Phys., 1962, 27, n° 3.

[3] ^{DE GENNES} (P.-G.) ^{et VILLAIN} (J.), ^J. Phys. ^Chem.

Solids, 1960, 13, ^10.

[4] ^JACROT (B.), KONSTANTINOVIC (J.), ^PARETTE (G.) ^et

CRIBIER (D.), ^Inelastic scattering ^{of neutrons in}

solids and liquids, publié par l’A. ^{I. E.} A., ^Vienne 1963, ^{vol. II.}

[5] ^PASSEL (L.), ^Journal of Applied Physics, 1964, 35, 3,

933.

[6] VILLAIN (J.), ^J. Physique, 1964, 25, 618.

[7] ^FISHER (M.), Communication au congrès ^{sur les} phéno-

mènes critiques, organisé ^{par le N. B. S.,} Washington,

avril 1965.