DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX

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DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX

J.-B. Bellicard

To cite this version:

J.-B. Bellicard. DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX. Journal de Physique Colloques,

1973, 34 (C4), pp.C4-29-C4-41. �10.1051/jphyscol:1973405�. �jpa-00215280�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C4, supplément au no 11-12, Tome 34, Novembre-Décembre 1973, page 29

DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX

J.-B. BELLICARD

Département de Physique Nucléaire à Haute Energie CEN Saclay, BP 2, 9 1 190 Gif-sur-Yvette, France

Résumé. - La diffusion élastique d'électrons et les atomes p-mésiques sont des méthodes impor- tantes et complémentaires pour déterminer la distribution de charge des noyaux. Les nouveaux développements théoriques et spécialement ceux obtenus par la méthode de Hartree-Fock ont suscité des analyses sans modèle des résultats expérimentaux ; la distribution de charge ainsi obtenue est donnée avec des barres d'erreur. Cette nouvelle méthode a déjà obtenu des résultats très prometteurs qui ont permis de confirmer les structures les plus fines de p(r) prévues par la théorie.

Abstract. - Elastic electron scattering and p-mesic atoms are complementary methods to deter- mine nuclear charge densities. Recent theoretical calculations like those using the Hartree-Fock method give an accurate description of the charge density, they have suggested independant mode1 analysis of the experimental date giving p ( r ) with error bars. This new method has already given interesting results which confirms the finest structures given by the theory.

La diffusion élastique d'électrons [l], [2] et les atomes p-mésiques [3], 141, [5], [6] constituent un moyen puissant pour tester la structure nucléaire et spécialement les distributions de charge, de magnéti- sation et de courant dans le noyau.

L'interaction complète entre les leptons et le noyau comprend un terme coulombien prédominant. L'in- teraction magnétique est observée dans les expériences de diffusion d'électrons à 180° et dans le dédouble- ment des niveaux atomiques. Quoique des études fructueuses [7] aient été effectuées sur ce dernier type d'interaction, nous ne nous y attarderons pas car il ne fait pas partie de notre exposé. Nous nous consacrerons essentiellement aux situations où les forces éleclro- statiques prédominent, c'est-à-dire à l'interaction élec- tron-proton (l'interaction avec le neutron n'est pas négligeable et des corrections doivent être effectuées pour en tenir compte comme nous le verrons).

II faut faire des approxinlations pour réduire le problème à plusieurs corps constitué par l'interaction électro-magnétique du lepton avec le noyau au pro- blème a un corps décrit par l'équation de Dirac (c'est-à-dire à l'échange d'un seul proton). La diffé- rence entre les sections efficaces et les énergies données par la solution approchée et les mêmes quantités données par la solution des équations exactes peuvent s'exprimer en une somme de corrections telles que les corrections de recul, les corrections radiatives ou les corrections de dispersion (ou de polarisation nucléàire).

L'influence de ces corrections sera examinée chaque fois, au cours de cet exposé, que l'analyse sera infiuen- cée par leur présence. Nous verrons que certaines sont essentielles (les corrections radiatives ou de recul

par exemple) d'autres comme les corrections de dis- persion sont faibles et ne doivent pas faire l'objet de spéculations hasardeuses.

De gros progrès ont été accomplis ces toutes der- nières années : le développement de Ia méthode de Hartree-Fock [8] nous a fourni des modèles théo- riques intéressants pour la distribution de charge d'une part, d'autre part celle-ci a été mesurée avec de plus en plus de précision par diffusion d'électrons laissant apparaître une structure fine de p(r).

La comparaison de modèles phénoménologiques de plus en plus complexes avec les nouveaux modèles théoriques, dans le cas des noyaux sphériques du moins, nous a conduit à poser la question de savoir qu'elle était la validité des analyses traditionnelles tant pour la diffusion des électrons que pour les atomes p-mésiques. En particulier, les mesures faites jusqu'ici sont-elles vraiment allées au-delà de la connais- sance plus ou moins précise des moments de distri- butions de charge? A partir du moment où cette question a été posée, il fallait mettre au point de nouvelles méthodes d'analyses susceptibles de définir la précision des quantités mesurées. Nous verrons que ces méthodes sont allées bien au-delà de ce que nous pouvions espérer. Elles introduisent essentiellement les analyses sans modèles faites aussi bien pour la diffusion d'électrons que pour les atomes p-mésiques.

Avant d'exposer cette méthode, nous brosserons un tableau des méthodes d'analyses traditionnelles avec leurs résultats les plus saillants. Nous traiterons à part, enfin d'exposé, le cas des déformations nucléaires ; pour des raisons techniques et théoriques, les noyaux déformés sont bien moins connus que les noyaux

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1973405

C4-30 J.-B. BELLICARD sphériques, et leur étude n'a guère débordé les voies

traditionnelles.

1. Analyse phénoménologique des distributions de charge des noyaux sphériques. - L'emploi d'un modèle phénoménologique n'offre qu'un critère limité.

Le modèle utilisé n'est qu'un parmi de nombreux autres qui pourraient rendre compte de l'expérience.

La possibilité de dire quelque chose de plus définitif à partir d'une expérience dépend de l'intuition des connaissances théoriques que l'on souhaiterait voir vérifier. Notre intuition nous fait éliminer les modèles discontinus et l'énergie de liaison à peu près cons- tante par nucléon suggère que l'une des grandes caractéristiques de p(r) est la densité à peu près cons- tante à l'intérieur du rayon moyen.

Cette opinion se consolida quand la diffusion d'élec- trons montra l'avantage d'un modèle de Fermi, c'est- à-dire une densité à peu près constante et un bord diffus.

Ce modèle évolua très vite avec la précision des mesures atteintes pour des transferts moyens

q

<

2 fm-'. Les variantes qui s'imposèrent soit en

laissant envisager une dépression centrale, soit une bosse au centre du noyau, ne suffirent pas à rendre compte des mesures faites à haut transfert disons entre 2,5 et 4 fm-'. La nécessité d'introduire une structure fine dans la structure nucléaire s'im- posa 191, [101, [Ill.

Heisenberg et al. [ I l ] employèrent un grand nombre de variétés fonctionnelles de p(r) pour ajuster les résultats expérimentaux du plomb 208 présentés sur la figure 1 ; les résultats de bas transports (go

<

2,1 fm-l) leur permirent des conclusions déduites de l'emploi simultané de ces modèles : une dépression centrale d'environ 7

%,

une chute rapide de p(r) du bord du noyau (apparemment plus rapide que la décroissance exponentielle du modèle de Fermi). Les résultats de hauts transferts s'expli- quèrent par une modification Ap de la densité de charge p(r). Ap introduit une modulation de la den- sité de charge et n'a pas de composants de Fourier en dessous de 2,l fm-l. Cette modulation est confir- mée par la théorie qui a prévu aussi une bosse cen- trale résultant de la présence des protons de la couche 3 S. Cette bosse tout au moins dans l'ana- lyse de Heisenberg ne figure pas dans le modèle phéno- ménologique (cf. Fig. 2).

L'étude du plomb [ I l ] et celle antérieure des cal- ciums 40 et 48 [9], [IO] mettrait en évidence la possi- bilité de tester le modèle en couche par diffusion d'électrons.

L'idée d'utiliser un modèle à une particule sans mélange de configuration, avec un puits de Saxon- Woods revient à Elton [12], 1131.

Les fonctions d'onde ainsi obtenues, c'est-à-dire en négligeant les interactions résiduelles, sont de bonnes approximations de la méthode de Hartree- Fock dont les résultats seront exposés par d'autres

SCATTERING ANGLE IN DEGREES. 248 M E V DATA M 3 0 4 0 '33 6 0 7 0 80 9 0 100 I l 0 120

1 8 1 , i l , , , IO'

- 1 8

15 2 0 2 5 30 35 4 0 45 5 0 55 60 65 1 0

SCATTERING ANGLE I N DEGREES. 502 MEV DATA

FIG. 1. - Sections efficaces expérimentales pour la diffusion élastique sur le plomb 208 d'électrons de 248,2 et 502,O MeV.

La courbe en trait plein s'obtient partir d'une densitép,(r) telle que

p0(r) = po [ 1 +

y] (

¹

⁺

^exp

[y] )-l .

La courbe en pointillé a nécessité i'addition d'une modulation de la densité de charge visible sur la figure 2. Cette modulation est nécessaire pour expliquer les points de haut transfert.

FIG. 2.

-

Distribution de charge expérimentale du plomb 208 comparée au résultat du modèle en couche utilisant un puits

de Saxon-Woods.

rapports [8]. Le modèle simple fut valable pour les noyaux légers jusqu'au Ca4', au-delà le nombre de paramètres devint si grand qu'il parut nécessaire d'introduire des contraintes additionnelles telles que les énergies de séparation expérimentale fournies par les réactions (p, 2p) et (ee' p).

Un bon exemple pour les noyaux légers est donné pour 24Mg, 28Si et 32S. Une analyse des données de diffusion d'électrons partant d'un potentiel de Saxon- Woods a été effectuée pour Li et al. [14]. Sans mélange

DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX C4-3 1

de configurations, le remplissage de la couche 2 S serait intervenu entre 28Si et 3 2 ~ , laissant apparaître une dépression centrale de p(r) pour 24Mg et "si. Le nombre d'occupations relatif aux couches 2 S-ld fut traité comme au paramètre libre ; les nombres d'oc- cupations résultant de la couche 2 S ainsi déterminés furent respectivement 0,6, 0,9 et 1,4 pour Mg, Si et S respectivement. La figure 3 illustre ces distributions de charge comparées à celle de l'oxygène 16 [15]

et du calcium 40 [9].

FIG. 3.

-

Accord phénoménologique des densités de charge des 24Mg, 28Si, 32s comparées avec des analyses similaires pour 1 6 0 et 4oCa ; les densités obtenues à partir d'un potentiel de Saxon-Woods diffèrent par moins de 0,001 e/fm3 des courbes

données.

Pour les noyaux 138Ba et 142Nd, le modèle en couche donne une dépression centrale plus accentuée que celle prévue par l'expérience (cf. Fig. 4). Ici, le modèle en couches n'a pas d'élévation centrale. Les oscilla- tions trouvées ont la même phase et la même longueur d'onde que dans le modèle théorique mais leur ampli- tude est beaucoup plus faible. Ces oscillations étaient

RADIUS IN F

FIG. 4.

-

Comparaison des densités phénoménologiques du baryum 138 et du néodyme 142 avec les densités théoriques

données par le modèle en couche.

encore plus amorties dans le plomb mais bien plus accentuées dans les calciums [9], [IO] et les nickels [16].

Une très belle structure en couche a été récemment prévue pour les noyaux en dessous du plomb 208 ; pour TIzo5 et H~~~~ ; l'absence de protons de la couche 3 S, va jusqu'à prévoir théoriquement [17]

un trou central dans la distribution de charge. Par mesure comparative entre le Pb et les Tl et le Hg, on peut très bien vérifier dans quelle mesure les prévi- sions théoriques sont valables. Une telle expérience est prévue à Saclay [18].

Puisque nous abordons ici le problème des diffé- rences de charges entre noyaux voisins ; il faut exa- miner les résultats obtenus sur les isotones (celui des isotopes sera évoqué plus tard). En effet, les expé- riences qui donnent des informations sur le chan- gement des distributions de charge quand un proton est ajouté sont d'une valeur particulière pour vérifier la validité des calculs théoriques.

Les atomes p-mésiques [19], [20] aussi bien que la diffusion d'électrons ont abordé cette expérience et tenté de l'analyser.

Je citerai 2 cas analysés récemment en diffusion d'électrons :

K3'Ca4' Sinha et al. [21] trou dans la couche d 312.

Pb208Bi209 Sick et al. [22] proton dans la couche h 912.

Dans le cas des Ca40-K39, les auteurs effectuèrent une analyse phénoménologique en utilisant une densité avec oscillations [9], [IO]. Ils comparent la densité trouvée avec celle du modèle en couche [23] et celle de Hartree-Fock [24]. Le modèle en couche (Fig. 5) donne le nœud de la fonction d'onde et le pic principal apparaît à plus petit rayon. La partie négative en dessous de 2,5 fm représente la dépression de la charge centrale du Ca4' résultant de la répulsion du proton additionnel.

-

_C

o ^0.4

Ph-nologisil

R : O.?

O

FIG. 5. - Différence entre les distributions de charge du 4oCa et du ^39K multipliées par 4 ^nu2 et comparées avec un calcul

de modèle en couche et un calcul de Hartree-Fock.

C4-32 J.-B. BELLICARD Dans le cas des ~ b ~; la zone Ap obtenue ~ ~ B i ~ ~ ~ par Sick est indépendante du modèle car il a utilisé

6 paramétrisations différentes. L'accord obtenu avec Hartree-Fock est remarquable ; on notera que l'effet de polarisation du cœur est montré par la valeur négative de Ap près de l'origine (Fig. 6).

FIG. 6. - Différence entre les distributions de charge du 209Bi et du 208Pb multipliées par 4 zr2 et comparées avec un calcul

de Hartree-Fock.

2. Analyse sans modèle des distributions de charge des noyaux sphériques. - 2 . 1 ANALYSE EN VUE DE LA DÉTERMINATION DES MOMENTS DE LA DISTRIBUTION DE

CHARGE. - Les analyses que nous avons exposées jusqu'ici sont faites à partir de modèles phénomé- nologiques peu flexibles. On ne sait pas si certains détails précis qu'ils apportent tels que la dépression centrale observée dans certains noyaux tels que Pb sont requis par l'expérience ou s'ils sont simplement la conséquence des relations existant entre paramètres du modèle de p(r) utilisé. Là, il faut bien préciser que les détails de structure mis en cause ne semblent pas exister dans les modèles théoriques utilisés. En fait, la comparaison d'une densité p(r) avec la théorie est difficile parce que la plupart du temps la barre d'erreur ne figure pas sur le résultat.

Une des raisons fondamentales pour lesquelles des modèles phénoménologiques ont été utilisés est le moment de transfert maximum atteint q,,, ; pour connaître p(r) on ne peut pas effectuer la transformée de Fourier du facteur de forme puisque celui-ci n'est connu que jusqu'à q,,,. Les composantes de Fourier qui ont une longueur d'onde plus petite que

[A

< 2 n/q,,,] ne sont pas mesurées. Il y a donc là

une restriction, on ne regarde le noyau qu'avec une résolution limitée. Il faudrait en ajouter une autre : seul le potentiel de p(r) entre dans les éq~iations de Dirac, il faut donc reposer le problème.

- Dans un premier stade : il faut savoir quelles quantités moyennes ou quelles quantités intégrales peuvent être déterminées à partir de l'expérience.

- Dans un deuxième stade il faut savoir comment déterminer la fonction p(r) avec ses barres d'erreur.

Lenz [25], [26] a introduit une méthode d'après

laquelle on ne peut déterminer que des quantités moyennes :

et ce qu'il appelle le moment linéaire fonction de la charge intégrée Q à une distance a :

Le problème est de déterminer ces quantités avec des barres d'erreurs qui représentent vraiment la précision de sections efficaces mesurées. Lenz a divisé le noyau en pelures d'oignons avec les condi- tions k. Ar

<

1 (k ⁼ Elhc). Ar représente en fait la résolution :

Chaque couche est représentée par une charge 6 de quantité 5 , sur un rayon

X i

à l'intérieur de Ari.

Dans chaque Ar, la charge Si et son moment linéaire peuvent varier dans la limite où les sections effi- caces ne sont pas affectées au-delà de leur barre d'erreur. On réalise une multitude de jeux d'essais et par un calcul de X2 on ne conserve que celles qui sont compatibles avec l'expérience. Les moments M ( K ) et T(Q) peuvent ainsi être déterminés avec leur limite d'incertitude.

Résultat de l'analyse indépendant du modèle. -

a) Caractéristiques générales [27]. - Deux sortes de limites peuvent être imposées à la zone d'incer- titude des moments M ( K ) . Le problème mathématique a des limites très larges spécialement pour K < O où la zone centrale du noyau contribue. N'importe quoi est possible pour r = O si l'on n'admet pas que la charge dans une certaine région est limitée (Fig. 7 ) .

Les restrictions physiques du problème imposées par la théorie conduisent à une réduction appréciable des zones d'extension des charges spécialement pour K

<

O mais la marge qui subsiste pour les valeurs élevées de K a laissé supposer l'existence du halo problème qui a déjà beaucoup préoccupé les physi- ciens utilisant la diffusion d'électrons comme méthode expérimentale.

En effet, l'incertitude relevée par K

>

2 serait due à une petite quantité de charge située à 12,5 fm.

Ce phénomène n'a pas de signification physique ; il conviendrait de l'exclure tout en oubliant pas qu'il pourrait être le fait des fluctuations statistiques ou plus simplement de l'omission des corrections de dispersion. L'hypothèse du halo a pu conduire à donner au rayon quadratique moyen des valeurs anormalement grandes.

11 faut bien remarquer que la bande étroite pour

DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX C4-33

FIG. 7. — Diagramme schématique des moments M{K) relatif à une expérience effectuée sur le soufre 32 à Mayence. Les courbes pointillées délimitent la bande d'incertitude des moments M(K) si aucune restriction n'est apportée aux sommes ô uti- lisées. La zone hachurée montre ce qu'il reste de la bande d'in- certitude quand des restrictions physiques sont observées.

les grandes valeurs de K peut être encore diminuée si l'expérience s'étend à de plus hauts transferts.

b) Diffusion d'électrons et atomes jÀ-mésiques [27], [29]. — On a vu que des considérations physiques pouvaient restreindre l'incertitude sur les moments M(K) et T(Q). Un moyen supplémentaire d'y parve- nir est d'utiliser les atomes /i-mésiques. Une analyse est présentement en cours pour le fer 56. Six raies du fer 56 ont été mesurées avec grand soin au CERN et sont actuellement analysées avec les résultats d'une expérience de diffusion d'électrons faite à Mayence.

La diffusion d'électrons aussi bien que les atomes u-mésiques peuvent faire indépendamment l'objet d'une analyse sans modèle ; il en résulte (Fig. 8) des bandes d'incertitude pour les moments M{K) dif-

FIG. 8. — Zones d'incertitude des moments M(K) pour une analyse commune des résultats des atomes u-mésiques et de la

diffusion d'électrons dans le cas du fer 56.

férentes : en particulier le minimum d'erreur est obtenu pour des valeurs de K différentes. L'analyse commune conduit à une nouvelle réduction de la bande d'incertitude (par exemple pour K = 0, 2 % pour les données communes ; comparées aux 6 % pour les atomes u-mésiques et aux 4 % pour la diffusion d'électrons seule).

La précision sur < r2 >1 / 2 est environ 10 fois plus faible que les précisions obtenues dans les anciennes analyses effectuées avec le modèle de Fermi.

Barret [30], ainsi que Ford et Rinker [31] ont démontré récemment que les atomes (i-mésiques ne fournissaient pas un certain moment < rK > indé- pendant du modèle mais plutôt un moment généralisé

< rK ear > .

c) Différences entre noyaux voisins. — Les rap- ports de sections efficaces de deux rayons voisins sont mesurés avec d'autant plus de précision que seules les erreurs statistiques interviennent [28], [29] (Fig. 9).

FIG. 9. — Rapport des sections efficaces pour 92Mo et " M o d'une part, pour 92Mo et i°°Mo d'autre part ; l'addition de deux neutrons n'a qu'un petit effet tandis que celle de huit

neutrons a un effet très important.

Bien que ces résultats aient montré de façon remar- quable l'effet isotopique, il n'est pas trivial de donner une bonne interprétation des données.

L'analyse indépendante du modèle est un peu délicate quand elle s'applique à la comparaison de noyaux voisins : en effet, les zones de validité des moments M(K) et T(Q) pour 2 noyaux voisins se recouvrent. Il faut se rappeler que la densité de charge p(r) d'un noyau de (A + 2) nucléons est voi-

C4-34 J.-B. BELLICARD

sine de celle du noyau de A nucléons (exprimée sous forme de somme 6).

Il faut donc partir des sommes 6 valables pour le noyau A et les modifier pour les adapter aux résultats expérimentaux (diffusion d'électrons ou atome p- mésique) obtenus pour le noyau A

+

2.

Le résultat ainsi obtenu est indépendant du modèle puisqu'il part de l'ensemble des sommes 6 valables pour le noyau A.

Sur la figure 10 on donne les rapports relatifs des moments M(K) pour les molybdènes 92 et 94 d'une part ; 92 et 100 d'autre part. Pour K

<

O I'incertitude est grande ; il ne semble pas que la diffusion d'élec- trons à transfert modéré puisse donner des informa- tions sur la zone centrale du noyau. Pour K

>

1 les différences apparaissent bien définies : les moments M(K) de 94Mo sont

-

¹

^%

plus grands que ceux de Mo92 ; les moments de loOMo sont

-

^{3 à 4}

^%

plus grands que de Mo92. Si on avait des lignes hori- zontales pour les rapports relatifs des moments M(K) on pourrait admettre que les Mo94 et Moioo croî- traient uniformément par rapport au Mo9' ; en fait, les moments d'ordre élevé croissent plus vite donc les surfaces de Mo94 et Molo0 sont plus étalées.

Cela pourrait conduire à penser à une déformation de ces deux noyaux.

' 4 ( K ) 9 ~ ~ ~ - M ( ! ) ~ Z , , , ~ M(K)92Mo

ln) + 200 MeV

Lirnits due to counting statistics

0.0 2 Best f ~ t s of different rnodols

FIG. 10. - Variations relatives de la fonction moment M(K) entre 92Mo et 94Mo d'une part, 92Mo et 1ooMo d'autre part.

Regardons ce qui se passe pour un nombre impor- tant de noyaux compris entre les masses 54 et 70.

La figure 11 montre comment varient leurs rayons quadratiques moyens par rapport à celui du fer 54 pris comme référence. La loi A1I3 n'est pas suivie

régulièrement ; ce sont là des effets de structure en couche que la théorie devrait pouvoir expliquer. Il faut noter que l'analyse indépendante du modèle confirme les résultats déjà obtenus avec le modèle de Fermi à 3 paramètres pour les rayons quadratiques moyens de ces noyaux.

FIG. 11. - Rayons quadratiques moyens de la distribution de charge de différents isotopes de la région du fer. Ils ont été déterminés par une analyse indépendante du modèle. Les barres d'erreur comprennent à part égale i'incertitude sur les mesures expérimentales et celle provenant de l'indépendance

du modèle.

La figure 12 montre les rapports des sections effi- caces 56Fe/60Ni et 6 2 ~ i / 6 6 Z n jusqu'au deuxième minimum. Les traits pleins représentent une analyse en modèle de Fermi, les courbes en pointillés corres- pondent au calcul théorique effectué par Chandra [32].

Dans ce calcul, les densités de protons et de neutrons ont été obtenues par un calcul HFB dans les couches 2p, If avec un cœur de Ca4'. L'accord est particuliè- rement frappant pour 56Fe/60Ni.

Remarque. - L'étude comparative d'un groupe d'isotopes ne doit pas faire oublier une contribution.

possible des neutrons. Prenons l'exemple des calciums 40 et 48. Les atomes p-mésiques comme la diffusion d'électrons ont montré que le rayon quadratique moyen du calcium 48 était plus petit que celui du calcium 40 contrairement au calcul de Hartree-Fock Ce dilemme a été éclairci par Bertozzi et al. 1401.

Ils ont calculé la contribution de la charge du neutron ainsi que l'interaction spin-orbite entre les électrons et les neutrons de la couche F 712. Ces effets produisent un déplacement du rms de 0,21 fm comparé au dépla- cement phénoménologique de 0,009 fm. Cela indique que le rayon de charge des protons augmente de

DISTRIBUTION D E CHARGE DES NOYAUX C4-35

c

^{0.5 1.0 1.5 2.0 2.5}

q r e d i n i-' c r o s s section ratios

FIG. 12. - Comparaisons des rapports expérimentaux et théoriques pour les groupes 60Ni-56Fe et 66Zn-62Ni.

0,012 fm en passant du calcium 40 au calcium 48.

Cela peut se comparer au 0,04 fm de Negelé [41]

et au 0,02 fm de Campi [42]. L'incertitude sur le facteur de forme du neutron présente une sérieuse difficulté pour faire des comparaisons précises des modèles théoriques.

La figure 13 montre la densité de charge mesurée du calcium 48 comparée aux différentes contributions des neutrons.

FIG. 13.

-

Densité de charge du calcium 48. Les différentes contributions des neutrons multipliées par un facteur 100 ont

été tracées pour comparaison.

2.2 ANALYSE EN VUE DE LA DÉTERMINATION DE LA DISTRIBUTION DE CHARGE.

-

Sick [33] a remplacé les fonctions 6 par des gaussiennes en prenant la taille du proton ou une fonction d'onde suggérée par le modèle des couches comme modèle de base pour déterminer la demi-largeur

r

de la gaussienne.

A titre d'exemple, on peut prendre parmi les fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique celle qui donne le Y; le plus étroit.

Les gaussiennes employées par Sick permettent des variations locales non corrélées dep(r). Des fonc- tions de base dont l'extension radiale s'étendrait à tout le noyau sont à exclure [34].

La superposition d'un grand nombre de séries de gaussiennes (retenue chacune par la valeur de X2 correspondant) définit la bande de toutes les valeurs possibles de p(r). Cette bande représente une densité indépendante du modèle avec ses barres d'erreurs.

La seule dépendance au modèle est donnée par la valeur de

r.

Examinons les cas du carbone 12 et du soufre 32.

Pour Cl2, l'analyse sans modèle a regroupé les expé- riences de diffusion d'électron d'Amsterdam [35]

(0,2

<

q

<

0,75 fm-l) et de Stanford [15]

Pour S3', l'expérience de diffusion d'électrons de Stanford [14] (0,75

<

q

<

3,8 fm-l) et celle d'atome p-mésique du CERN [36]

(< 3 111,75 = 3,21 f 0,02 fm)

.

Les deux valeurs adoptées pour les largeurs

r

^des

gaussiennes furent

r

⁼ 1'25 fm donné par la taille du proton ;

r

⁼ 1'75 pour

cl2, r

⁼ 1,95 pour S32 donnés par les fonctions d'onde de Hartree-Fock.

Le nombre de gaussiennes fut tel que NG 2 12.

Examinons maintenant en détail les résultats du soufre 32 ; les distributions angulaires expérimentales relatives aux expériences effectuées à Mayence (250 MeV) et à Stanford (250 et 500 MeV) sont données sur la figure 14. Le transfert maximum atteint par l'expérience de Stanford est bien plus élevé. La zone pointillée de la figure 15 est obtenue à partir de sommes de gaussiennes ajustées par l'expérience de Stanford et le résultat des atomes p-mésiques ; sans ces derniers, les barres d'erreurs auraient été deux fois plus grandes. Le modèle classique représenté par des points est en bon accord avec l'analyse sans modèle. La densité correspondant à l'expérience de Mayence faite à plus bas transfert est représentée par les zones hachurées obliques. Les barres d'er- reurs correspondantes sont bien plus grandes. Les corrélations très fortes existant entre les densités à des rayons différents créent des resserrements locaux de la fonction p(r). Pour l'expérience de Mayence, il n'était vraiment pas utile de déterminer une densité à partir des sommes de gaussiennes. L'information était mieux contenue dans les fonctions M ( K ) et

ne).

C4-36 J.-B. BELLICARD

FIG. 14.

-

Distributions angulaires des électrons diffusés par le soufre 32.

. -

duldn (mblrr)

10'

la-'

FIG. 15.

-

Densité de charge du soufre 32 résultant d'une analyse sans modèle. L'expérience de Mayence à faible transfert comporte de grandes barres d'erreur délimitées par les zones hachurées obliques. L'expérience de Stanford [14] complétée par les résultats des atomes p-mésiques est représentée par une zone pointillée où figure en gros points le résultat de l'ana-

lyse semi-phénoménologique de G. Li et al. [14].

250 MeV

- STANFORD

. . ".

^{500 M.V}

-

. ... .. . .

La figure 16 représente p(r) du carbone également ainsi obtenu. Les barres horizontales représentent

r

⁼ 1,25 fm. A petit rayon, les barres d'erreurs crois- santes proviennent d'oscillations de p(r) produisant un pic à O fm et un minimum à 0,7 fm. Les barres verticales correspondent à la largeur

r

donnée par le modèle des couches : les oscillations de courte longueur d'onde sont réduites en amplitude et p(r) est bien déterminé. Les analyses antérieures [15]

(dépendant du modèle) sont en bon accord avec l'analyse sans modèle faite avec des sommes de gaussiennes.

Les barres d'erreurs à grand rayon (Fig. 17) sont plus faibles que celles données par l'analyse dépendant du modèle, cela dépend du transfert maximum q,,

FIG. 16. - Densité de charge du carbone 12 correspondant à deux hypothèses différentes~de l'analyse sans modèle.

FIG. 17. - Densité de charge du carbone 12 pour

r

⁼ 1,75 fm dessiné sur un diagramme semi-logarithmique pour mettre

en valeur le comportement asymptotique de p(r).

DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX C4-37

atteint. Le comportement asymptotique de p(r) à grand rayon peut être prévu si une seule couche contribue à p(r) ; (protons de la couche l p 312) le comportement asymptotique de la fonction d'onde radiale est une fonction de Whittaker dépendant du moment angulaire orbital, de l'énergie de séparation et de Z. Cette fonction corrigée du mouvement du centre de masse et de la taille finie du proton est donnée sur la figure 17. Le comportement prévu est confirmé par les sommes de gaussiennes sur les deux derniers modèles.

La figure 18 représente la fonction moment M ( K ) pour le carbone 12, les données à bas transferts d'Amsterdam sont limitées par les lignes en pointillées, les données à hauts transferts sont représentées par les zones hachurées verticalement et l'assemblage de deux types de données par les zones hachurées

Un résultat physique nouveau et intéressant a été obtenu par Sick [37] qui a appliqué l'analyse sans modèle décrite aux cas de He3 et He4. La densité de charge de ces noyaux légers résulte, comme on le sait, de la convolution de

1

Y

l2

carré de la fonction d'onde de charges ponctuelles avec la charge du proton (rms = 0,8 fm), pour trouver la structure de

1

Y

l2

il faut d'abord déconvoluer, c'est-à-dire diviser le facteur de forme expérimental par celui du proton sinon la structure recherchée serait noyée dans p(r).

La figure 19 représente les facteurs de forme expéri- mentaux ; la figure 20 les fonctions d'onde corres- pondantes. Les zones pointillées de ces figures repré- sentent 80 sommes de gaussiennes qui donnent un excellent X2. La largeur caractéristique des gaus- siennes utilisées était

r

⁼ 0.8 fm.

FIG. 18. - Fonction M ( K ) pour le carbone 12. Les limites correspondent à différentes hypothèses énumérées dans le texte.

horizontalement. La densité dépendant du modèle est indiquée par des points. Il est intéressant de regrouper les valeurs du rayon quadratique moyen donné par ces différents types d'analyse :

Amsterdam [35] avec modèle 2,445 f 0,015 2,453 f 0,008 sans modèle 2,40

-

2,53 Stanford [15] avec modèle 2'46 f 0'02 sans modèle 2,47

-

2,61 Stanford ⁴

Amsterdam sans modèle 2,468 f 0,015

.

FIG. 19. - et l'hélium titude liée

- Facteurs de forme expérimentaux pour l'hélium 3 4. Les zones pointillées correspondent à i'incer- à la détermination de p(r) par une analyse sans

modèle.

Les fonctions d'onde trouvées présentent un mini- mum à r = O. Ce minimum n'aurait pas existé si le second maximum de diffusion n'avait été que le tiers de celui mesuré. Ce minimum de Y 2 à r ⁼ O conduit à un résultat théorique très important : il prouve l'existence d'un cœur répulsif dans l'inter- action nucléon-nucléon prévu par de nombreux travaux théoriques.

Une méthode d'analyse sans modèle différente de celle de Sick mais très originale a été mise au point

C4-38 J.-B. BELLICARD

par Negelé et Friar [43], [44]. Elle consiste à déterminer la correction 6p qu'il faut apporter à une distribution de charge approchée p, pour s'accorder le mieux possible aux données expérimentales (si possible expérience d'atomes p-mésiques et de diffusion d'élec- trons groupés), 6p s'exprime comme une perturbation à partir d'une série de L termes :

FIG. 20. - Densité de charge p(r) de l'hélium 3 et de l'hélium 4 déterminées par une analyse sans modèle. Les zones pointillées correspondent à l'incertitude liée à la détermination expéri-

mentale de p(r).

La détermination p(r) est limitée aux composants de Fourier d'ordre N restreint par la valeur de q,,,.

La détermination du coefficient C, avec leur barre d'erreur s'effectue à partir d'un calcul de pertur- bation. La puissance de la méthode est illustrée sur les figures 20 et 21 dans le cas du plomb 208. Sur la figure 19 on peut voir l'effet au transfert maximum atteint, effet analogue à celui trouvé à partir de la méthode de Sick. L'analyse de NegeIé confirme non seulement une dépression centrale de p(r) (sous réserve que la normalisation de l'expérience soit correcte) mais aussi une bosse centrale de la densité de charge prévue dans les meilleurs calculs théoriques.

Sur la figure 20, l'influence du facteur de normali- sation est particulièrement mis en évidence. Elle peut impliquer non seulement des erreurs pouvant survenir dans la normalisation expérimentale mais aussi l'évaluation des corrections de dispersion. D'après des calculs récents [45], [46], celle-ci n'excèderait pas quelques pourcents mais pourrait entrer en ligne de compte pour déterminer certains détails précis de p(r) comme on peut le voir sur la figure 20.

3. Distribution de charge des noyaux déformés.

-

Les études plus succinctes faites sur les noyaux défor- més ne nous ont pas encore permis d'aboutir à une connaissance de leur densité de charge aussi précise que celle des noyaux sphériques. Pour ces derniers,

FIG. 21. - Résultats d'une analyse sans modèle réalisée par J. W. NegeIe sur les résultats du plomb 208. Cette figure (cf.

l'échelle des ordonnées) ne donne en détail que la partie supé- rieure de la densité de charge. Les barres d'erreur sont portées à la partie inférieure de la figure. La courbe a ne fait appel qu'à des résultats de bas transfert obtenus à Mayence [26].

La courbe b groupe les résultats de Mayence et de Stanford, c'est-à-dire ajoute les hauts transferts [Il]. Les courbes c, d, e, sont obtenues en ajoutant aux résultats de diffusion d'électrons,

ceux des atomes p-mésiques.

Norm Norm *DoIo (248) 1502)

O f 2 3 4 5 6

FIG. 22. - Cette figure montre l'effet de la normalisation sur la forme finale de p(r). La dépression centrale (courbe a et b) est très diminuée par la normalisation des courbes c et d.

DISTRIBUTION DE CHARGE DES NOYAUX C4-3 9

nous avons démontré que l'analyse simultanée des résultats des atomes p-mésiques et de la diffusion d'électrons permettait d'améliorer grandement notre connaissance de la distribution de charge qu'il s'agisse des moments M ( K ) ou de la distribution elle-même.

Cette situation n'existe pas encore pour les noyaux déformés ; il existe de très bonnes mesures faites avec les atomes p-mésiques qu'il s'agisse soit du rayon quadratique moyen, soit du moment quadrupolaire.

11 faut dire et c'est là une importante restriction, que les mesures ont été analysées à partir de variantes du modèle de Fermi pour les noyaux déformés [2].

Prenons d'abord le cas des atomes p-mésiques, dans leur cas, la déformation de p(r) peut entraîner le splitting hyperfin comme dans le cas des spectres atomiques. Une différence cependant avec ces der- niers : dans les atomes p-mésiques les termes du second ordre sont si importants que le splitting peut être observé dans les spectres de noyaux de spin nul.

Les calculs sur le splitting dynamique hyperfin ont été effectués par Wilets [47] et Jacobson [48].

Cette méthode a été particulièrement mise en valeur par Hiltin [49] pour des noyaux allant du néodyme 150 au tungstène 186. L'analyse soignée des résultats a montré l'importance des corrections de polarisation nucléaires.

Je voudrais faire appel à quelques considérations théoriques avant d'aborder i'étude par diffusion d'électrons des noyaux déformés. II faut distinguer le cas des noyaux à spin nul de ceux à spin I 2 1.

Pour un noyau à spin nul (avec une déformation intrinsèque) ; l'état fondamental à symétrie sphé- rique est une superposition linéaire des fonctions d'onde déformées. On doit moyenner les amplitudes de diffusion sur l'angle û de sorte qu'elle devient proportionnelle à Fo(q2).

L'effet de la déformation est complètement pris en compte par la forme radiale effective.

Si le noyau a un spin I 2 1 ; la section efficace doit faire intervenir un terme quadrupolaire. Leur distribution de charge et le facteur de forme corres- pondant peuvent s'exprimer simplement :

A titre d'exemple, nous pourrions citer le cas du lithium 7, l'expérience fut réalisée par Suelzle [52]

et analysée par Bouten [53].

La diffusion des électrons par ailleurs se heurtait dans le cas des noyaux moyens et lourds à un gros obstacle, celui de la résolution expérimentale qui jusqu'à maintenant, à une exception près, ne permet- tait pas de séparer les niveaux rotationnels du fonda- mental ; il fallait donc faire une analyse globale en partant d'un modèle ; ce fut le cas de l'expérience sur le Ta1*' réalisée à Stanford [54]. Deux expériences ont été réalisées dans la zone de transition

elles concernent les isotopes du néodyme et un isotope de samarium.

Les mesures effectuées à Stanford sur les néodymes 142 à 150 [55] ont mis en évidence un accroissement de l'épaisseur de surface consécutif à un accroissement de la déformation (P = 0,104 pour Ndi4', /? = 0,279 pour Nd15'). Toutefois, les mesures effectuées sur le néodyme 150 ont nécessité un calcul de la contribution du 2' situé à 130 keV à partir d'un modèle simple et du B(E 2) connu.

L'expérience la plus remarquable réalisée sur un noyau déformé a été celle de Bertozzi 1561 sur le samarium 152, limitée à bas transfert, elle lui a permis de séparer très distinctement les différents niveaux de la bande rotationnelle (Fig. 23). L'analyse a utilisé

FIG. 23. - Spectre de diffusion d'électrons sur le samarium 152 obtenu avec une résolution de 60 keV.

avec

F L ( ~ ~ ) =

J

^{jL(v) PLW d3r a} un modèle rotationnel, celui de Bohr et Mottelson qui relie les paramètres de déformation aux B(E 2) Si le noyau est polarisé il y a un terme des différents niveaux de la bande rotationnelle. Les entre les termes FL(q2) figurant dans l'ampli- paramètres de déformation furent introduits dans un tude [50], [51]. Si le noyau n'est pas polarisé, les de Fermi modifié :

termes d'interférence s'annulent et la section efficace, ^{- 1}

dans l'approximation de Born, pour un noyau avec p(r, 6) = po [l

+

exp-')] t une déformation quadrupolaire s'écrit :

avec

0%-40 J.-B. BELLICARD

Cette distribution de charge peut s'exprimer aussi sous forme multipolaire :

avec

pL(r) =

1

^{~ ( r ,} 0) YLo(e) d~

pL correspond à la densité de charge de transition correspondant au niveau rotationnel d'ordre L.

pL permet d'exprimer le moment multipolaire d'ordre L et la probabilité de transition réduite correspondante.

La diffusion élastique dépend seulement de po dont une forme approchée peut s'exprimer en fonction de paramètres effectifs :

po(r) = [I

+

exp

(y)] ^{-' .}

Le rayon quadratique moyen étant connu à partir des résultats des atomes p-mésiques, Te,, peut être déduit de la diffusion élastique.

La probabilité transition réduite B(E 2) étant connue à partir d'autres expériences [57], la valeur de /?, peut en être déduite ; quant à la valeur de

p4

elle est déterminée par la courbe d'excitation du niveau 4'.

La figure 22 montre les facteurs de forme du fonda- mental et des premiers états excités : l'accord obtenu

FIG. 24.

-

Analyse des résultats sur le samarium 152 obtenu à partir du modèle rotationnel de Bohr et Mottelson. La dis- tribution angulaire relative au fondamental a permis de déter- miner I'épaisseùr effective ; les distributions angulaires relatives aux niveaux 2+ et 4+ les paramètres déformation /32 et B4.

[l] DEFOREST, T., et WALECKA, J. D., Adv. Nucl. Phys. 15 (1969) 1.

[2] UBERALL, H., Electron Scattering from Complex Nuclei (New York, London, Academic Press), 1971, parties A et B.

souligne la validité du modele simple utilisé : deux restrictions peuvent toutefois être apportées : les mesures n'ont pas dépassé un transfert de 1'1 fm-

'

d'une part ; d'autre part la paramétrisation utilisant le modèle de Fermi peut être discutable.

Une expérience sur les isotopes du samarium est projetée à Saclay, nous prévoyons non seulement d'étudier l'apparition des déformations à travers cette zone de transition mais aussi d'estimer au moins qualitativement les corrections de dispersion d'un isotope par rapport à l'autre en raison du couplage croissant avec A qui existe entre l'état fondamental et la bande rotationnelle.

L'explication des corrections isotopiques due à l'importance des corrections de dispersion a déjà été suggérée par Wall [58], mais la portée de son calcul a été limitée par le fait que les B(E 2) introduits ont été ajustés aux différences expérimentales observées.

Les résultats obtenus jusqu'ici pour les noyaux déformés dépendent étroitement d'un modèle phé- noménologique [55] ou à la rigueur d'un modèle théorique [56] simple : il faut donc être très réservé sur les conclusions que l'on peut en tirer. Des ana- lyses indépendantes du modèle n'existent pas encore pour les noyaux déformés et la voie intéressante mais limitée qui nous reste est la comparaison des sections efficaces de diffusion d'électrons avec celles dérivées d'une théorie microscopique du noyau. Ripka [59]

a fait une telle comparaison à partir de calculs de Hartree-Fock pour les noyaux déformés légers, mais malheureusement il n'a limité sa comparaison qu'à des mesures de bas transferts.

4. Conclusion. - Les analyses indépendantes du modèle commencent à nous délivrer des densités de charge dont les détails les plus fins sont donnés avec des facteurs de précision qui faisaient défaut jusqu'ici.

Les méthodes introduites par Lenz, par Sick et par Négelé, il faut le souligner par des expérimentateurs et par des théoriciens, ces méthodes-là ont déjà obtenu des résultats très prometteurs. La comparaison entre l'expérience et la théorie s'est notablement enrichie.

On a vu que ces analyses dépendaient beaucoup du transfert maximum atteint q,,, dans l'expérience.

II sera intéressant de voir ce que nous apportera dans ce domaine des accélérateurs linéaires comme celui de Saclay et du MIT.

Un autre domaine devient à la portée des physiciens : la spectrométrie à haute résolution

<

100 keV déve- loppée auprès de ces accélérateurs permettra une étude fructueuse des noyaux déformés.

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