Relation usinabilité–topographie de la surface usinée. Analyse conventionnelle et par la théorie du chaos

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Maxence BIGERELLE, Jérôme GAVOIS, Alain IOST - Relation usinabilité–topographie de la surface usinée. Analyse conventionnelle et par la théorie du chaos - Mécanique et Industrie - Vol.

9, n°4, p.273-293 - 2008

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Relation usinabilit´ e–topographie de la surface usin´ ee. Analyse conventionnelle et par la th´ eorie du chaos

Maxence Bigerelle

, J´ erˆ ome Gavois

et Alain Iost

1

Arts et M´ etiers ParisTech, ´ Equipe Caract´ erisation et propri´ et´ es de la P´ erisurface, Laboratoire de M´ etallurgie Physique et G´ enie des Mat´ eriaux, CNRS UMR 8517, ENSAM Lille, 8 boulevard Louis XIV, 59046 Lille Cedex, France

2

Laboratoire Roberval, UMR 6253, UTC/CNRS, Centre de Recherches de Royallieu, BP 20529, 60205 Compi` egne, France

3

D´ epartement M2P, ENSAM Lille, 8 boulevard Louis XIV, 59046 Lille Cedex, France Re¸ cu le 14 janvier 2005, accept´ e le 29 aoˆ ut 2008

R´esum´e –

Cet article propose d’analyser l’usinabilit´ e en tournage d’un acier martensitique en fonction de la vitesse de coupe par observation topographique de la surface. Nous d´ ecrivons d’abord une m´ ethodologie pour chercher le param` etre de rugosit´ e le plus pertinent afin de caract´ eriser l’influence de la vitesse de coupe sur la topographie de la surface obtenue. La moyenne des pentes du profil permet d’estimer une vitesse critique qui correspond ` a une transition de r´ egime dans le mode d’usinage. Elle met ´ egalement en ´ evidence l’influence de la vitesse de coupe ` a l’int´ erieur de chacun de ces deux r´ egimes, ce qu’un crit` ere plus conven- tionnel tel que le

ne permet pas de diff´ erencier. Dans une deuxi` eme partie de cette ´ etude, l’usinabilit´ e est analys´ ee en utilisant la th´ eorie du chaos. Partant de la topographie de la surface usin´ ee, nous d´ eveloppons une m´ ethode originale pour construire un attracteur qui s’av` ere ˆ etre bidimensionnel. La construction de cet attracteur r´ esulte de deux fonctions : la premi` ere caract´ erise l’effet de l’´ ecrouissage dˆ u ` a la coupe et la seconde l’effet de l’adoucissement thermique. ` A basse vitesse de coupe, ces deux m´ ecanismes deviennent intimement li´ es et l’attracteur poss` ede un point fixe : la coupe s’effectue par ´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e. Au- del` a d’une vitesse critique, l’attracteur pr´ esente deux ´ etats indiquant l’apparition d’une instabilit´ e de coupe. Deux r´ egimes se succ` edent : l’´ ecrouissage par cisaillement localis´ e puis l’adoucissement caus´ e par l’´ el´ evation de temp´ erature. Cette instabilit´ e est confirm´ ee par une augmentation de la dimension fractale avec la vitesse de coupe du profil reconstruit d’apr` es l’attracteur.

Mots cl´es :

Usinabilit´ e / rugosit´ e / vitesse de coupe / acier martensitique / ´ ecrouissage / adoucissement / fractale / chaos / attracteur / instabilit´ e

Abstract – Relations between cutting mechanisms in turning process and roughness mea- surement. Conventional analysis and chaos theory.

Quality of the cutting machining process of martensitic steel is analysed as a function of the cutting speed. This analysis is performed by topographical measurement of tooled surfaces. A statistical analysis taking into account more than hundred roughness parameters allows us to prove that the mean slope value of the profile is the best parameter to characterise the cutting speed effect on the surface topography. This roughness parameter discriminates the cutting speed threshold between two cutting stages and moreover, discriminates also the cutting process in each stage (the usual

parameter is unable to do it). A mathematical treatment based on the chaos theory is then processed. From the profile of the machined surface, a two-dimensional attractor is constructed.

Thanks to an original method, it is shown that this attractor depends on two mathematical functions: the first one characterises the work hardening during the cutting process and the second is related to thermal softening. For a critical cutting speed, these two mechanisms are linked together and lead to a single attracting final state. This stage is governed by generalised work hardening. Above this critical speed, the attractor will present a two branches bifurcation, which means that the cutting process is now alternat- ing between the two different states. This chaotic mode is related to the instability between work hardening

a

Auteur pour correspondance :

and thermal softening. This instability is confirmed by a fractal analysis based on the reconstructed profiles from the attractor: the higher the cutting speed, the higher the fractal dimension.

Key words:

Turning / roughness / cutting speed / martensitic steel / work hardening / thermal softening / fractals / chaos / attractor / instability

Nomenclature

Ai

: Vecteur de param` etres physiques affect´ es ` a la phase

B

(

) : Bruit uniforme entre 0 et 1

D

: Dimension euclidienne de

l’espace des phases

M1, M2, . . . ., MD

: M´ ecanismes cr´ eant les points dans le diagramme des phases Pr(

) : Probabilit´ e de l’´ ev´ enement

p

ˆ

: Estimateur de

pi

: Probabilit´ e de discrimination du param` etre de rugosit´ e indic´ e par

: Param` etre de rugosit´ e indic´ e par

: Rugosit´ e arithm´ etique du profil

: Etendue de l’amplitude du profil ´

T

: Temp´ erature de coupe

U

(

) : Profil usin´ e mod´ elis´ e

Vc

: Vitesse de coupe

x

: Abscisse du profil

x1, x2, . . . , xD

: Variables dans un espace des phases

(t), x

(t), . . . , x(t)

: Profils construits sur chaque

variable

,

,. . . ,

z(x) :

Amplitude du profil ` a l’abscisse

β

: Facteur compris entre 0 et 100

∂τ

∂γ

: Ecrouissage ´

Δa

: Moyenne des pentes du profil

γ

: D´ eformation de cisaillement

g´ en´ eralis´ ee

τ

: Contrainte de cisaillement

g´ en´ eralis´ ee

1 Introduction

Pour r´ epondre aux contraintes dimensionnelles ou

´

eviter la pr´ esence de d´ efauts pouvant entraˆıner une d´ egradation des propri´ et´ es m´ ecaniques en service (pr´ esence de fissures qui nuisent ` a la tenue en fatigue, taux d’´ ecrouissage ´ elev´ e engendrant des contraintes r´ esiduelles de surface importantes . . . ), la qualit´ e des surfaces usin´ ees se doit d’ˆ etre sans cesse am´ elior´ ee. Par ailleurs, la maˆıtrise de l’´ etat de surface de la pi` ece usin´ ee conditionne l’effi- cacit´ e d’un proc´ ed´ e ult´ erieur (adh´ erence, adh´ esion, com- portement tribologique, etc.). Il est donc n´ ecessaire de connaˆıtre l’influence des param` etres de coupe ou plus pr´ ecis´ ement, l’interaction outil–mati` ere. Nous ´ etudions ce syst` eme en analysant la topographie de la surface usin´ ee sous le seul angle de la rugosit´ e. Dans une premi` ere par- tie, nous analysons l’influence de la vitesse de coupe

`

a l’aide de param` etres conventionnels de rugosit´ e en utilisant une m´ ethode originale d´ evelopp´ ee dans notre

laboratoire. Nous introduisons ensuite la th´ eorie du chaos pour expliquer la transition entre l’´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e et l’´ ecrouissage localis´ e.

2 Mat´ eriaux et m´ ethodes exp´ erimentales

Les surfaces ´ etudi´ ees proviennent d’un acier inoxy- dable martensitique du type Z210CW12 dress´ ees ` a des vitesses de coupe, V

, comprises entre 65 ` a 200 m.min

. L’avance par tour est de 0,15 mm et la profondeur de passe de 0,5 mm. La rugosit´ e des surfaces est mesur´ ee per- pendiculairement aux stries d’usinage ` a l’aide d’un pro- filom` etre m´ ecanique Tencor P10. La longueur d’acquisi- tion de 15 mm est mesur´ ee ` a une vitesse de 400 μm.s

. Pour la fr´ equence d’´ echantillonnage de 1000 Hz, le profil discr´ etis´ e est compos´ e de 37 500 points, soit une mesure d’amplitude tous les 0,4 μm, ce qui est suffisant pour appliquer la transform´ ee de Fourier rapide. La figure 1 pr´ esente des profils obtenus ` a diff´ erentes vitesses de coupe o` u l’altitude (en μm) de la surface est fonction de l’abs- cisse de palpage (en μ m).

3 Analyse conventionnelle de la rugosit´ e

3.1 M´ ethodologie du classement de la pertinence des param` etres de rugosit´ e

L’objet principal des ´ etudes en morphologie des sur- faces consiste ` a r´ esumer l’information de mani` ere opti- male. La surface obtenue par un m´ ecanisme op´ eratoire ou physique peut ˆ etre d´ ecrite par une multitude de pa- ram` etres de rugosit´ e. La recherche des param` etres per- tinents est complexe, et il n’est gu` ere possible en l’´ etat actuel de d´ eterminer une m´ ethode universelle applicable

`

a toutes les ´ etudes de rugosit´ e. Pour cerner le probl` eme li´ e

`

a la d´ etermination des param` etres influents, nous avons montr´ e [1, 2] qu’une ´ etude de rugosit´ e peut ˆ etre mise sous forme d’un syst` eme matriciel. Cette approche per- met d’avoir un nouveau regard sur l’analyse de la variance et de d´ eterminer la pertinence des param` etres. Nous utili- sons la technique (( Bootstrap )) d’analyse de donn´ ees pour les raisons suivantes :

∗ Notre approche statistique n´ ecessite le calcul d’un grand nombre de param` etres d’´ etat de surface pour toutes les mesures effectu´ ees.

∗ La m´ ethode de recherche des param` etres influents doit ˆ etre robuste.

∗ Le nombre important de param` etres interdit d’utiliser

une analyse statistique individuelle et de v´ erifier les

hypoth` eses de l’inf´ erence statistique de l’analyse de

donn´ ees.

Fig. 1.

Altitude des profils de rugosit´ e des surfaces usin´ ees (en

m) obtenus ` a diff´ erentes vitesses de coupe, en fonction de la longueur d’´ evaluation (en

m).

Le principe du Bootstrap, cr´ e´ e en 1979 par Efron [3, 4]

pour interpr´ eter des donn´ ees qui violaient les hypoth` eses de l’inf´ erence statistique, consiste ` a effectuer un sur-

´

echantillonnage des donn´ ees pour calculer un grand nombre de fois l’estimateur de base de la statistique re- cherch´ ee. Les techniques du sur-´ echantillonnage vulga- ris´ ees par Hall [5], Shao et Tu [6], consistent ` a extraire un ´ echantillon ` a partir de la s´ erie de donn´ ees initiale, construire une statistique sur cet ´ echantillon, puis ` a re- produire cette statistique un grand nombre de fois dans le

but d’analyser le comportement de la s´ erie initiale. La dif- ficult´ e majeure de cette technique consiste ` a ne pas (( ou- blier )) que ces donn´ ees ne sont que des r´ epliques et qu’elles n’ont pas la mˆ eme cr´ edibilit´ e que les donn´ ees initiales ; en ce sens, (( bootstraper )) demande une certaine connais- sance de la statistique pour ´ eviter cet ´ ecueil. ´ Ecrire un sur-

´ echantillonnage revient ` a appeler un grand nombre de fois

une proc´ edure de la statistique, ce qui requiert une opti-

misation num´ erique importante au contraire des routines

de logiciel de statistique pr´ evues pour n’ˆ etre appel´ ees

qu’une seule fois. Pour traiter notre probl` eme, nous utili- sons une m´ ethode originale d’analyse de la variance sur-

´

echantillonn´ ee. Notre syst` eme physique est d´ ecrit par un param` etre ` a plusieurs niveaux (vitesse de coupe) et four- nit une multitude de param` etres de sortie (param` etres de rugosit´ e). Pour r´ esoudre ce probl` eme, nous utilisons une extension de la m´ ethode d’analyse de la variance (ANOVA). Le probl` eme est formul´ e en ces termes : parmi n param` etres, k mesures faites sur p ´ echantillons, quel est le param` etre qui discrimine au mieux les p ´ echantillons ? Quel est le param` etre q

qui contient le maximum d’information vis-` a-vis de la classe j ? L’analyse de la va- riance permet d’estimer l’influence d’une classe. Sous l’hy- poth` ese d’une r´ epartition gaussienne et de l’homog´ en´ eit´ e des variances affect´ ees ` a un param` etre, cette m´ ethode d´ efinit une variable de Fisher F

et une probabilit´ e cri- tique p

affect´ ee au param` etre q

repr´ esentant la proba- bilit´ e d’affirmer ` a tort que le param` etre q

est influent.

Plus F

sera grand, et plus le param` etre p

sera discri- minant. La th´ eorie classique de l’analyse de la variance suppose que la variable F

n’est pas en elle-mˆ eme une va- riable al´ eatoire. Or, une variation des donn´ ees entraˆıne une variation de cette probabilit´ e critique. De ce fait, un intervalle de confiance de F

est construit ` a l’aide de la m´ ethode de sur-´ echantillonnage.

3.2 Analyse des r´ esultats par la m´ ethode Bootstrap Nous avons analys´ e la pertinence de 95 param` etres de rugosit´ e pour chacune des 10 vitesses de coupes (et des 30 profils relev´ es par vitesse de coupe) ` a l’aide du logiciel Mesrug, software d´ evelopp´ e par nos soins [1].

Ces param` etres peuvent se classer en 4 cat´ egories : les param` etres d’amplitude (R

, R

,. . . ), de fr´ equence (nombre de pics, moments spectraux, longueur d’auto- corr´ elation. . . ), hybrides (pentes de profils, d´ evelopp´ ee de la surface,. . . ) et finalement les param` etres issus de l’ana- lyse fractale (dimension fractale, pente de la densit´ e spec- trale. . . ). Chacun des 95 param` etres est calcul´ e 30 fois pour chaque vitesse de coupe et regroup´ e dans 10 classes.

Nous pouvons effectuer l’analyse de variance par Boots- trap pour chaque param` etre i , puis proc´ eder au classe- ment par variable F

de Fisher d´ ecroissante. Plus grande est cette valeur, plus discriminant est le param` etre vis-` a- vis du param` etre (( vitesse de coupe )) (Fig. 2). Les trois pa- ram` etres les plus pertinents sont respectivement la valeur moyenne des pentes du profil (F = 1726), la d´ evelopp´ ee du profil (F = 1413) et le R

(F = 1042). Cette diff´ erence est hautement significative car le Bootstrap nous permet de tracer les histogrammes des valeurs de F affect´ ees ` a ces trois param` etres et l’analyse visuelle (Fig. 3) suffit pour constater que le R

n’est pas le param` etre le plus pertinent pour caract´ eriser l’effet de la vitesse de coupe sur l’usinabilit´ e du mat´ eriau. De plus, en analysant les graphiques repr´ esentants les (( Box and Whiskers )) de ces trois param` etres (Fig. 4), force est de constater que le R

poss` ede une dispersion telle que certaines vitesses de coupe donnent statistiquement la mˆ eme valeur (par exemple V

= 95 m.min

et V

= 110 m.min

), ce qui

roughness parameter

F

0 500 1000 1500 2000

DELTA_AL0 LR RA RV

DELTA_QGA

MMA RZ

3

RQ RZ

B_ABOTM0

ZMIN M_M0 TRILN

RK

ORDRE A_

ABOTM2RVK

RV_2_ RV_1_MR2 TRI2

DIM_TRIRWZ

RV_4_ M_P IC A2

RZ_2_AMNLN

RV_3_ RZ_4_ RV_5_

BIGCORIOSCLNTRICORI

S_PIC M_M2

LANDA_ABIGLNROMAXLAC_EXPEBIG2DIM_BIGF1

LAC_AIRE OSCCORI AM

NCORI RZ_3_ RZ_1_AMN2DIM_AMNRPMOSC2DIM_OSCRZ_5_RTANGLE_PRRMAXLANDA_Q

RP_2_ RP_4_

EXPO_T2M_M4SMRP_3_CTE_T2CTE_PCROSRVKSK

MR1 SRK

RP_1_M4SRPKDIMFREQRP_5_GZMAXEXPO_PC

F2 F3 F4

DIMFREQMRPKA1 EK

LAC_PONDZ0REG_T2REG_PC

Fig. 2.

Evolution de la valeur du ´

de Fisher pour les pa- ram` etres de rugosit´ e retenus.

Fig. 3.

Histogramme du

de Fisher pour les trois pa- ram` etres les plus pertinents vis-` a-vis de la vitesse de coupe : la pente moyenne des profils, la surface d´ evelopp´ ee et la rugosit´ e arithm´ etique.

n’est pas le cas ni pour la d´ evelopp´ ee du profil ni pour les pentes moyennes. Deux autres ´ etudes men´ ees sur la per- tinence de ces param` etres confirment ce fait. Nous abou- tissons ` a la mˆ eme conclusion en utilisant un rugosim` etre portable Perthometer M4Pi (rayon de courbure du pal- peur 5 μm, palpeur ` a patin) avec seulement 8000 points de discr´ etisation par profil. Ceci induit deux remarques primordiales : la tendance trouv´ ee sur les pentes ainsi que sur la d´ evelopp´ ee n’est pas un artefact exp´ erimental (effet de l’´ echelle de discr´ etisation, rayon de courbure du palpeur, vitesse de mesure. . . ) li´ e ` a la topographie par- ticuli` ere des surfaces usin´ ees [7]. Cette tendance prouve

´ egalement que la qualit´ e de l’usinabilit´ e peut ˆ etre quan-

tifi´ ee in situ, sans d´ emontage de la pi` ece, ` a l’aide d’un

rugosim` etre portable par analyse des pentes du profil. Il

est donc possible d’optimiser en temps r´ eel les param` etres

de coupe par analyse directe de la surface usin´ ee. Cette

approche ouvre une perspective int´ eressante dans le do-

maine de la mesure (( industrielle )) pour quantifier le po-

tentiel d’usinabilit´ e d’un mat´ eriau. Par une technique de

plans d’exp´ eriences, nous pouvons envisager de bˆ atir un

protocole qui permette (via la mesure de rugosit´ e) de

Vitesse de coupe (en m/mn)

Ra (µm)

1.5 2 2.5 3 3.5 4

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

(a)

Vitesse de coupe (en m/mn)

Surface développée (en %)

100.2 100.8 101.4 102 102.6 103.2 103.8

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

(b)

Vitesse de coupe (en m/mn)

Pente

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

(c)

Fig. 4.

Evolution des 3 param` ´ etres de rugosit´ e les plus perti- nents en fonction de la vitesse de coupe.

choisir les param` etres de coupe (avance, vitesse, profon- deur de passe, lubrifiant, nature de l’outil. . . ) afin d’op- timiser les conditions de coupe menant ` a l’usinabilit´ e op- timale et garantir un certain ´ etat de surface.

Nous allons proposer une interpr´ etation concernant la pertinence de la pente du profil Δ

.

Δ

= 1 L

0

∂z(x)

∂x

d x (1)

Pour une vitesse inf´ erieure ` a 125 m.min

, le profil paraˆıt plus (( d´ esordonn´ e )) alors qu’il pr´ esente nettement une composante p´ eriodique avec un faible (( bruit )) pour une vitesse sup´ erieure ` a cette valeur. Analysons la for- mule (1). L’observation des profils exp´ erimentaux montre que lorsque le bruit diminue (V

croˆıt) Δ

diminue. Sans connaˆıtre l’expression analytique de z ( x ), il n’est gu` ere

´

evident de quantifier l’effet d’un bruit sur les pentes du profil. Pour cela, nous allons proc´ eder ` a une simulation num´ erique en ajoutant un bruit uniforme haute fr´ equence B(x), born´ e entre 0 et 1, ` a des profils U(x) caract´ erisant

Fig. 5.

Evolution de la pente moyenne des profils estim´ ´ ee sur des profils simul´ es avec bruit (B = 0) et sans bruit (B = 100).

l’usinage sans bruit ; puis en faisant varier l’amplitude du bruit tout en gardant l’amplitude globale du profil constante. Le profil simul´ e s’´ ecrit :

z(x) = R

/50 [βU (x) + (100 − β)(B(x) − 0,5)] (2) La figure 5 repr´ esente l’´ evolution de Δ

en fonction du bruit caract´ eris´ e par le coefficient β (0 pour un bruit blanc et 100 pour le profil usin´ e exempt de bruit). Δ

d´ ecroˆıt avec β, c’est-` a-dire avec l’augmentation du bruit. Cette simulation confirme la d´ ependance des pentes des profils vis-` a-vis d’un bruit (ici (( bruit )) dˆ u ` a de l’arrachement de mati` ere plutˆ ot qu’` a un cisaillement localis´ e).

3.3 Interpr´ etation

Dans un premier temps, il est ais´ e de constater que le crit` ere Δ

qui permet de discriminer la zone de transi- tion est plus ´ elev´ e pour les vitesses faibles. Trois raisons peuvent ˆ etre avanc´ ees :

– Quand la vitesse augmente, la coupe paraˆıt plus nette et la question se pose de savoir si la profondeur de passe apparente ne d´ epend pas de la vitesse de coupe.

En d’autres termes, la profondeur des stries d´ epend- elle de la vitesse de coupe ?

– Quand la vitesse d´ ecroˆıt, la coupe est plutˆ ot obte- nue par ´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e qui entraˆıne une aug- mentation de la puissance n´ ecessaire pour effectuer la coupe [8]. Cette puissance dissip´ ee pourrait entraˆıner une vibration basse fr´ equence de la structure suscep- tible d’introduire dans le profil des composantes d’am- plitude basses fr´ equences.

– L’´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e ne permettant pas une coupe

nette, la coupe effectu´ ee par plasticit´ e est moins

nette que celle obtenue par cisaillement localis´ e. Cette

m´ ethode de coupe est donc davantage sujette aux fluc-

tuations du rayon de la zone plastifi´ ee ce qui engendre

un bruit sans signature fr´ equentielle qui est pr´ esent

sur la totalit´ e du profil.

Pour trancher entre ces trois hypoth` eses, nous al- lons effectuer une transform´ ee de Fourier sur les pro- fils usin´ es. La transformation de Fourier est un outil as- sez performant pour analyser un profil de pi` ece usin´ ee car, en premi` ere approche, ce profil peut ˆ etre assimil´ e

`

a une demi-sinuso¨ıde altern´ ee. Or la convergence de la puissance spectrale P (f ) en fonction de la fr´ equence f , qui varie selon la loi P (f ) ∝ 1/f

, pr´ esentera donc un spectre avec un faible nombre d’harmoniques signi- ficatives. Nous effectuons pour chaque profil sa trans- form´ ee de Fourier discr` ete qui fournit un spectre discr´ etis´ e (f

, P (f

)). Disposant de 30 profils par vitesse de coupe, il est alors possible d’effectuer des statistiques par classe de fr´ equences comme par exemple le spectre moyen discr´ etis´ e

j=1

f

/ 30 ,

j=1

P ( f

) / 30

o` u P ( f

) repr´ esente la puissance spectrale affect´ ee ` a la fr´ equence f

du j

profil obtenu pour une vitesse de coupe V

. La figure 6a repr´ esente ce spectre moyen pour chaque vi- tesse de coupe. Chaque spectre contient un pic proche de 150 μm (Fig. 6b) qui correspond ` a l’avance par tour (0,15 mm.tour

). Il serait pertinent d’analyser pr´ ecis´ ement la position de ce maximum en fonction de la vitesse de coupe. La figure 7, repr´ esentant l’´ evolution de l’estimation num´ erique de la p´ eriode pour chaque vitesse de coupe, permet de constater que la valeur th´ eorique de 0,15 mm est atteinte ind´ ependamment de la vitesse de coupe avec une pr´ ecision de ± 0 , 2 μ m. Le d´ esordre ap- parent du profil ne nuit en rien ` a la p´ eriodicit´ e remar- quable du signal, l’avance est donc v´ eritablement bien maˆıtris´ ee dans l’usinage pratiqu´ e, mˆ eme en cas de coupe par ´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e. Nous allons maintenant ana- lyser l’´ evolution de l’amplitude maximale de ce pic (fon- damental) en fonction de la vitesse de coupe (Fig. 8).

L’amplitude du fondamental varie de 4,3 ` a 4,9 et cette variation, bien que significative, est nettement inf´ erieure

`

a la variation du niveau du bruit (i.e. l’amplitude hors des pics, Fig. 6b). Si nous admettons, en premi` ere ap- proximation, que les amplitudes des fondamentaux sont constantes, la rugosit´ e propre ` a la coupe est donn´ ee par la profondeur de passe (l’avance et la forme de l’outil

´

etant inchang´ ees) ce qui permet de rejeter la premi` ere hypoth` ese. De ce fait, l’usinabilit´ e peut se mettre sous forme de la somme de deux fonctions ind´ ependantes : une fonction p´ eriodique de coupe qui d´ epend de l’avance, de la forme de l’outil et de la profondeur de passe ; et une fonction bruit, ap´ eriodique, qui caract´ erise l’usinabilit´ e.

Afin de visualiser ce m´ ecanisme, nous allons simu- ler le profil usin´ e U(x) et lui additionner un bruit blanc unitaire B(x) ∈ [0...1]. Le signal est cr´ e´ e dans les conditions de discr´ etisation identiques (longueur et pas d’´ echantillonnage) ` a celles utilis´ ees pour les profils exp´ erimentaux. La hauteur du profil devient :

z(x) = R

U (x) + β (B(x))

La figure 9 repr´ esente le spectre moyenn´ e sur 5 profils pour β compris entre 0 et 1. L’amplitude du fondamen- tal reste constante quel que soit le bruit (le spectre d’un bruit blanc est constant quelle que soit la fr´ equence). Si le

Fig. 6.

(a) Spectres de puissance des profils (en log 10) de la figure

en fonction de la fr´ equence (en log 10). (b) Zoom des spectres (a) autour de la valeur du fondamental. (c) Analyse de la pente du spectre pour diff´ erentes valeurs de vitesse de coupe.

Vitesse de coupe en m/mn

Fréquence du fondamental

149.5 150 150.5 151

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

Fig. 7.

Graphe de la longueur d’onde du fondamental en fonc-

tion de la vitesse de coupe.

Vitesse de coupe en m/mn Amplitude maximale du fondamental (en log10) 4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

Fig. 8.

Graphe de l’amplitude du fondamental pour diff´ erentes vitesses de coupe.

Fig. 9.

Spectres de puissance des profils simul´ es (en log 10) en fonction de la fr´ equence (en log 10) avec addition d’un bruit blanc unitaire

(

) avec

(

).

spectre d’un profil suit la relation puissance P(f ) ∝ 1/f

alors, sous certaines conditions [9], la dimension fractale du profil est donn´ ee par la relation Δ = (5 − α ) / 2. Pour β = 0, nous obtenons une valeur de pente du spectre α qui conduit ` a une dimension de 1,5 ce qui est faux puisqu’elle devrait ˆ etre ´ egale ` a l’unit´ e pour une sinuso¨ıde.

Cette erreur est syst´ ematique quand la dimension fractale est estim´ ee avec la relation pr´ ec´ edente par la m´ ethode du spectre sur des fonctions sinus (Weierstrass-Mandelbrot) pour des valeurs th´ eoriques inf´ erieures ` a 1,5. Cette erreur qui n’est pas ni due ` a un probl` eme de discr´ etisation, ni

`

a la m´ ethodologie de moyennage du spectre, est analys´ ee par Brewer et al. [10]. L’analyse du spectre des surfaces usin´ ees ne pr´ esente aucun pic pour les basses fr´ equences (log (f ) < −2,5) et de ce fait la croissance du R

` a faible vitesse de coupe ne peut ˆ etre due ` a une vibration de la ma- chine qui, dans ce cas, aurait engendr´ e des composantes p´ eriodiques sur les profils.

Nous devons donc admettre que la valeur ´ elev´ ee du R

`

a faible vitesse de coupe ne peut ˆ etre due qu’` a un bruit caract´ eristique de l’´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e. Il serait donc

Vitesse de Coupe en m/mn

Dimension fractale spectrale

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

Fig. 10.

Evolution de la dimension fractale calcul´ ´ ee d’apr` es le spectre en fonction de la vitesse de coupe.

pertinent d’analyser plus finement les caract´ eristiques de ce bruit en utilisant l’analyse fractale. Les spectres sur la figure 6 pr´ esentent 3 r´ egimes :

R´egime 1 : Basse fr´ equence, puissance spectrale constante. Il n’y a plus corr´ elation entre 2 hauteurs du profil distantes de la p´ eriode associ´ ee ` a cette fr´ equence (hormis pour la forme macroscopique de la surface). De ce fait, le spectre apparaˆıt comme un bruit blanc ca- ract´ erisant la d´ ecorr´ elation spatiale du bruit d’usinage ` a cette ´ echelle.

R´egime 2 : R´ egime fractal, le spectre varie en P (f ) ∝ 1/f

. Nous allons choisir d’analyser la pente des spectres, en coordonn´ ees bi-logarithmiques, pour une fr´ equence sup´ erieure ` a celle du fondamental du profil. Cela re- vient ` a analyser le r´ egime pour une distance inf´ erieure

`

a 0,1 mm ce qui correspond ` a la largeur d’une strie d’usi- nage. La figure 6c repr´ esente ces spectres avec leur droite de r´ egression associ´ ee, et la figure 10 l’´ evolution de la dimension fractale calcul´ ee d’apr` es ces pentes en fonc- tion de la vitesse de coupe. Nous constatons une crois- sance quasi lin´ eaire de la dimension pour des vitesses de coupe inf´ erieures ` a 140 m.min

: de 1,05 (65 m.min

)

`

a 1,25 (125 m.min

). La dimension initiale, proche de

la dimension euclidienne, correspond ` a un profil peu ac-

cident´ e qui tend ` a devenir plus tourment´ e quand la vi-

tesse de coupe augmente. Nous ´ emettons l’hypoth` ese

que l’´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e responsable de la coupe de-

vient de plus en plus h´ et´ erog` ene par h´ et´ erog´ en´ eit´ e de la

r´ epartition des zones plastiques quand la vitesse de coupe

augmente. Pour une vitesse de 140 m.min

, un transi-

toire qui marque un changement de r´ egime apparaˆıt avec

une brusque augmentation de la dimension fractale. La

coupe par ´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e devient une coupe par

cisaillement due ` a un ´ ecrouissage localis´ e. La coupe se

produit alors par instabilit´ e entre deux m´ ecanismes phy-

siques : quand la vitesse de d´ eformation augmente, le

mat´ eriau est vu plus dur, alors que le cisaillement localis´ e

induit une augmentation tr` es importante de temp´ erature

qui adoucit le m´ etal. Ces deux m´ ecanismes s’alternent et

donnent alors un comportement chaotique instable ` a deux

niveaux (nous traiterons plus pr´ ecis´ ement l’usinabilit´ e par

la th´ eorie du chaos dans le chapitre suivant). De ce fait, le profil de coupe contiendra des informations sur ces deux m´ ecanismes successifs et en particulier sur la dimension fractale. Notons que celle-ci est quasi constante dans ce r´ egime et ´ egale ` a 1,5. Cette valeur de dimension corres- pond ` a un spectre caract´ eristique d’un processus brow- nien o` u l’amplitude en un point x d´ epend uniquement de l’amplitude pr´ ec´ edente en un point x – dx ce qui se- rait coh´ erent avec notre approche. Cette approche sera confirm´ ee ` a l’aide de calcul de dimension fractale par une autre m´ ethode (Sect. 4.3, Fig. 27).

R´egime 3 : R´ egime euclidien : aux tr` es hautes fr´ equences, on observe un changement de pente caus´ e par l’effet de lissage relatif au rayon de courbure de la pointe du palpeur. Il s’agit donc d’un artefact de la mesure tac- tile.

4 Analyse par la th´ eorie du chaos

4.1 Approche de la probl´ ematique

Nous avons montr´ e que l’usinabilit´ e peut ˆ etre ca- ract´ eris´ ee par l’utilisation des param` etres conventionnels de rugosit´ e. Parmi une centaine de param` etres, le plus discriminant est la pente moyenne des profils qui met en

´

evidence la transition entre l’´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e (faible vitesse, pentes des profils ´ elev´ ees) et l’´ ecrouissage localis´ e (forte vitesse, pentes des profils faibles) [11]. Dans cette partie, nous allons tenter de montrer que cette transition est relative ` a une instabilit´ e qui peut ˆ etre analys´ ee par la th´ eorie du chaos.

Il est important maintenant de s´ eparer deux types de comportements pouvant entraˆıner une modification de la surface. Le premier, connu sous le terme de broutage, a pour origine un aspect vibratoire de l’outil : le d´ efaut apparent se traduit par la pr´ esence de motifs relative- ment p´ eriodiques de la topographie (sauf en cas d’insta- bilit´ e). La mod´ elisation de ce ph´ enom` ene fait appel ` a la r´ esolution de deux ´ equations diff´ erentielles du deuxi` eme ordre de type propagation. Le syst` eme outil–mati` ere est caract´ eris´ e par un syst` eme masse–ressort qui implique une mod´ elisation dans le domaine ´ elastique. Dans ce cas, un couplage entre ces deux ´ equations peut entraˆıner une si- tuation instable qui est bien caract´ eris´ ee par la th´ eorie du chaos [12–14]. Dans le deuxi` eme cas, la modification de la topographie de la surface est relative ` a un transi- toire dˆ u ` a la comp´ etition entre l’´ ecrouissage et l’adoucis- sement thermique. Une surface s’usinera d’autant mieux que nous serons en pr´ esence d’un cisaillement localis´ e. Par contre la surface devient faiblement usinable et la coupe aura lieu par arrachement de mati` ere si l’´ ecrouissage est pr´ edominant. La transition se produit quand les effets de l’´ ecrouissage du mat´ eriau sont ´ equilibr´ es par ceux de l’adoucissement thermique.

Ces deux approches (broutage et usinabilit´ e) semblent ˆ

etre difficilement reli´ ees. Nous pensons que l’approche (( broutage )) est purement un probl` eme oscillatoire qui va entraˆıner une perturbation de la morphologie de la surface

sur des ´ echelles nettement plus importantes que celles cor- respondant ` a l’interaction outil–mati` ere. Dans ce dernier cas la question se pose de savoir s’il est possible d’aborder la caract´ erisation outil–mati` ere par la th´ eorie du chaos.

Le principe g´ en´ eral de notre approche est le suivant : pour l’´ ecrouissage g´ en´ eralis´ e, le m´ ecanisme d’´ ecrouissage est le seul ph´ enom` ene pr´ epond´ erant alors que pour le cisaille- ment localis´ e nous postulons que deux m´ ecanismes sont en concurrence : l’adoucissement dˆ u ` a la chaleur d´ egag´ ee lors de la coupe et l’´ ecrouissage qui tend ` a durcir le mat´ eriau. Nous nous trouvons en pr´ esence d’une struc- ture instable o` u l’´ ecrouissage va tantˆ ot ˆ etre pr´ edominant et tantˆ ot faible devant l’adoucissement thermique. Deux

´ etats vont alterner et ce d’autant plus que la vitesse de coupe sera importante, ce qui pourra ˆ etre analys´ e par l’observation de la surface usin´ ee. Nous introduirons en- suite bri` evement les concepts de l’analyse de surface par la th´ eorie du chaos avant de proposer une approche originale de traitement des donn´ ees bas´ ee sur des projections ortho- gonales afin de visualiser le comportement chaotique (ou non) du syst` eme. Cette m´ ethodologie sera appliqu´ ee ` a des profils simul´ es (sinuso¨ıde, sinuso¨ıde bruit´ ee, surface brow- nienne, bruit). Dans la derni` ere partie, nous ´ etudierons par la th´ eorie du chaos les surfaces de l’acier martensi- tique usin´ e avec diff´ erentes vitesses de coupe. Apr` es une

´ ebauche d’interpr´ etation, nous ouvrirons les perspectives d’une telle approche.

4.2 Approche de l’usinabilit´ e par la th´ eorie du chaos Comme nous l’avons montr´ e dans la section pr´ ec´ edente, il apparaˆıt une transition d´ esordre–ordre de l’aspect des profils quand la vitesse de coupe aug- mente. Cette transition peut ˆ etre relative ` a la concurrence de deux m´ ecanismes qui introduit des perturbations.

Nous pouvons alors penser que cette transition est ca- ract´ eristique de celles rencontr´ ees dans la th´ eorie du chaos que nous allons tenter d’appliquer [15]. Il est n´ ecessaire de s´ eparer les syst` emes dits hamiltoniens (conservatifs) des syst` emes qui sont le si` ege d’un frottement interne (dissipatifs). Seuls ces derniers poss` edent un attracteur par le fait que la dissipation (ici cr´ eation de disloca- tions, ´ el´ evation de temp´ erature,. . . ) entraˆıne l’existence d’une limite stationnaire avec le temps, lorsque l’´ energie (ici la puissance de coupe) est inject´ ee de l’ext´ erieur. Il serait hors de propos dans cet article de r´ esumer cette th´ eorie en quelques pages et nous nous limiterons aux ou- tils n´ ecessaires ` a sa caract´ erisation et son interpr´ etation.

La surface est cr´ e´ ee par un ou plusieurs m´ ecanismes, que nous supposerons inconnus et not´ es M

, M

, . . . , M

. Ces m´ ecanismes d´ ependent de variables dans un espace des phases que nous noterons x

, x

, . . . , x

. Supposons que le syst` eme puisse se mettre sous la forme :

∂x

( t ) /∂t = M

( A

, x

( t ) , x

( t ) , ..., x

( t )) (3) o` u A

est un vecteur de param` etres physiques pas forc´ ement ind´ ependant de t.

Supposons que x

soit l’amplitude du profil et t la lon-

gueur palp´ ee (car, la vitesse de coupe ´ etant constante, la

longueur du profil est proportionnelle ` a t ). L’attracteur est d´ efini dans le D-volume par (x

(t), x

(t),. . . , x(t)

) qui permet d’´ etudier le comportement du syst` eme M . Il existe cependant deux difficult´ es majeures : comment trouver x

( t ),. . . , x ( t )

et quelle est la dimension du vo- lume de l’espace des phases ? Des techniques r´ ecentes per- mettent de d´ eterminer x

(t),. . . , x(t)

et le choix de D sera fait par une technique originale.

4.3 Bases th´ eoriques

Nous allons choisir d’illustrer les outils qui seront uti- lis´ es par la suite pour analyser les profils usin´ es en les appliquant sur l’un des attracteurs les plus ´ etudi´ es dans la th´ eorie du chaos, ` a savoir l’attracteur de H´ enon.

4.3.1 L’attracteur de H´enon

L’astronome fran¸cais H´ enon (1976) a obtenu un at- tracteur bidimensionnel de l’attracteur de Lorenz (3D) en consid´ erant l’intersection d’un fluide soumis ` a de la convection naturelle avec une section transversale ` a la di- rection du flux [16]. Le syst` eme discr´ etis´ e en temps est donn´ e par :

x (t + 1) = y (t) + 1 − a [x (t)]

(4) y ( t + 1) = b x ( t )

avec a = 1,4 et b = 0,3, le graphe (x, y) repr´ esente l’attracteur qui poss` ede une structure multi-fractale, si- gnifiant que la r´ epartition du fluide dans l’espace n’est pas uniforme. La figure 11a repr´ esente l’attracteur de H´ enon. Nous pouvons ´ egalement tracer la fr´ equence avec laquelle un point de l’attracteur tombe dans une cel- lule de taille fix´ ee. Pour cela nous avons discr´ etis´ e la zone de l’attracteur en un maillage de 1000 × 1000 et simul´ e 10

it´ erations de l’attracteur. La figure 11b repr´ esente la densit´ e de probabilit´ e de pr´ esence dans l’es- pace des phases de l’attracteur qui, comme nous pouvons le constater visuellement, poss` ede une structure multi- fractale. De mˆ eme, il est int´ eressant d’´ etudier le com- portement de l’attracteur en fonction du param` etre a de l’´ equation (4). Pour cela le diagramme de Feigenbaum (Fig. 12) repr´ esente l’´ evolution de x (t) en fonction de a.

Il pr´ esente des divisions successives appel´ ees bifurcations, signes de l’´ emergence du chaos.

4.3.2 Le th´eor`eme des retards

Nous nous int´ eressons maintenant ` a la dynamique res- ponsable des variations spatiales de l’amplitude des profils des surfaces usin´ ees. Dans notre cas l’attracteur n’est pas connu et nous devons le construire ` a l’aide du profil par la m´ ethode des retards [17]. D´ efinissons un vecteur :

z ( n ) = ( y ( n ) , y ( n + kτ ) ,

y (n + 2kτ) , ..., y (n + (D − 1)kτ)) (5)

x

y

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(a)

Fig. 11.

Attracteur de H´ enon dans le plan

(a) et densit´ e de probabilit´ e empirique de pr´ esence des points (x, y) (b).

o` u y (n) repr´ esente l’amplitude du n

point du profil, τ son pas d’´ echantillonnage et k un nombre ` a d´ eterminer.

Le vecteur y (n) pr´ esente une pseudo-phase de l’´ evolution d’un ´ etat vers un autre. Le probl` eme consiste ` a d´ eterminer la longueur caract´ eristique k ainsi que la dimension de l’attracteur D . Parmi les m´ ethodes existantes nous pro- poserons celle qui permet de visualiser des projections de l’attracteur de mani` ere ` a d´ eterminer la dimension D ` a partir de laquelle l’information introduite n’apporte plus d’information. Ce th´ eor` eme affirme que le point z (n) est un point de l’attracteur ` a une homoth´ etie pr` es. Appli- quons ce th´ eor` eme ` a l’attracteur de H´ enon. La figure 13a repr´ esente l’´ evolution de la position sur l’axe x de l’attrac- teur. Nous savons que la dimension de l’attracteur est de 2, ainsi tracer les vecteurs z(n) = (y (n), y(n + 1)) suffit pour recr´ eer l’attracteur ` a un facteur pr` es (Fig. 13b).

4.4 Le th´ eor` eme des projections

Soit E la dimension euclidienne de l’attracteur, et D

celle de l’attracteur d´ efinie par le vecteur des retards

z ( n ) = ( y ( n ) , y ( n + kτ ) , y ( n + 2 kτ ) , ..., y ( n + ( D − 1)

kτ )) avec D > = E . Soit G le graphe avec dim G =

E >= D d´ efini tel que l’inertie du nuage de points

z (1) , z (1) , ..., z (N ) projet´ e sur le sous-espace de dimen-

sion E soit maximale. Alors les dimensions de Renyi (et

Fig. 12.

Diagramme de Feigenbaum de l’attracteur de H´ enon en fonction du param` etre

.

donc le spectre multi-fractal) construits sur G sont iden- tiques aux dimensions de l’attracteur.

En d’autres termes, nous ne changeons pas les ca- ract´ eristiques fractales de l’attracteur pourvu que la di- mension de l’espace projet´ e soit identique ` a celle de l’at- tracteur. L’int´ erˆ et majeur, comme nous le verrons par la suite, consiste ` a visualiser l’attracteur avec le maximum d’information pour rechercher les caract´ eristiques de la dynamique du signal. Cependant il ne faut pas oublier que les vecteurs supportant les axes du plan deviennent des combinaisons lin´ eaires des vecteurs d’origine par cette transformation, c’est-` a-dire que chaque axe sera une com- binaison lin´ eaire des variables de phase de l’attracteur. La figure 14 repr´ esente la projection de l’attracteur de H´ enon sur les deux premiers axes.

4.5 Analyse de profils simul´ es 4.5.1 Analyse d’une sinuso¨ıde

Le profil de la surface usin´ ee contient par essence une p´ eriodicit´ e, mˆ eme si parfois celle-ci n’est pas d´ etectable sans l’emploi de l’outil math´ ematique ad´ equat (trans- form´ ee de Fourier). De ce fait nous allons dans un pre- mier temps illustrer et analyser notre m´ ethode sur une si- nuso¨ıde. Nous calculons les vecteurs des retards et tra¸cons le graphe (y (n

) , y (n

+ 1)) qui repr´ esente l’attracteur en dimension 2 (Fig. 15). La forte corr´ elation lin´ eaire

t

X

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 50 100 150 200 250 300

(a)

X(t+1)

X(t)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(b)

Fig. 13.

Diagramme temporel de l’´ evolution de la coordonn´ ee

de l’attracteur de H´ enon en fonction du temps

et sa re- construction par la m´ ethode de retard.

Fig. 14.

Densit´ e de probabilit´ e empirique de l’attracteur de H´ enon projet´ e orthogonalement sur un espace de deux dimen- sions.

entre les points y (n

) et y (n

+ 1) rend d´ elicat une ana-

lyse visuelle. Pour ´ eviter cette corr´ elation, l’attracteur

projet´ e sur un plan (Fig. 16a) nous apparaˆıt comme

un cercle pour la sinuso¨ıde, prouvant ainsi l’aspect non

fractal du profil initial. L’attracteur poss` ede une trajec-

toire unique : il n’y a pas pr´ esence de chaos dans le si-

gnal. En observant la projection entre le deuxi` eme et le

X0

X1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.5 0 0.5 1

Fig. 15.

Construction de l’attracteur de la sinuso¨ıde par la m´ ethode classique des retards.

Axe factoriel 1 (F1)

Axe factoriel 2 (F2)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(a)

Axe factoriel 2 (F2)

Axe factoriel 3 (F3)

-0.0001 -0.00005 0 0.00005 0.0001

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(b)

Fig. 16.

Construction de l’attracteur de la sinuso¨ıde par notre m´ ethode de projection sur les 2 premiers axes orthogonaux F1–F2 (a) et les 2 axes F2–F3 (b).

troisi` eme axe (Fig. 16b) nous constatons que l’attracteur est alors quasiment limit´ e ` a une droite horizontale pa- rall` ele ` a l’axe 2 ; l’axe 3 semble ne plus contenir d’informa- tion. Pour mieux appr´ ehender ce r´ esultat, il est n´ ecessaire d’introduire un th´ eor` eme fondamental de la projection du nuage de points. Soit F

un sous-espace portant l’inertie maximale, alors le sous-espace de dimension k+ 1 portant

numero de point -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0 5000 10000 15000

Facteur 1 Facteur 2

(a)

numero de point

Facteur 3

-0.0001 -0.00005 0 0.00005 0.0001

0 5000 10000 15000

(b)

Fig. 17.

Reconstruction de la sinuso¨ıde par notre m´ ethode de projection sur les 2 premiers axes orthogonaux F1 et F2 (a) et l’axe F3 (b).

l’inertie maximale est la somme directe de F

et du sous- espace de dimension 1 orthogonal ` a F

portant l’iner- tie maximale. F

est construit de proche en proche en cherchant d’abord le sous espace de dimension 1 d’inertie maximale, puis le sous espace de dimension 1 orthogonal au pr´ ec´ edent d’inertie maximale et ainsi de suite... Ana- lysons l’attracteur de la sinuso¨ıde : si ce dernier est un cercle, alors sa dimension fractale est de 1, et deux dimen- sions suffisent ` a caract´ eriser l’attracteur. Pour confirmer cette analyse, il est possible de reconstruire la s´ erie ` a par- tir de chaque projection. La figure 17a permet la recons- truction de la sinuso¨ıde ` a partie des deux premiers axes, alors que le troisi` eme axe (Fig. 17b) ne contient quasiment aucune information (amplitude tr` es faible). Ces variations n’ont pour origine que le bruit de calcul num´ erique dˆ u ` a l’´ evaluation de valeurs et vecteurs propres n´ ecessaires ` a la projection.

4.5.2 Analyse d’un bruit

Nous allons maintenant nous int´ eresser ` a l’´ etude d’un

bruit blanc. Ce point est important pour notre ca-

ract´ erisation future. En effet toute donn´ ee exp´ erimentale

4 e x A – 3 e x A 2

e x A – 1 e x A

Fig. 18.

Densit´ es de probabilit´ e empiriques et les surfaces de r´ eponse de l’attracteur d’un bruit blanc projet´ e orthogonalement sur un espace de 2 dimensions selon les axes 1–2, puis les axes 3–4.

est entach´ ee d’un bruit qu’il demeure important de quantifier. Le bruit blanc non corr´ el´ e se prˆ ete tr` es mal

`

a l’analyse par la th´ eorie du chaos car il est d´ elicat de s´ eparer le bruit pur d’un (( bruit )) qui est la signature de l’apparition du chaos. Il est donc n´ ecessaire de quantifier la signature du bruit par notre m´ ethode d’analyse. Dans un premier temps analysons ce que donne l’attracteur re- construit par la m´ ethode des retards (delays). Comme un bruit blanc n’est pas autocorr´ el´ e (pour simplifier la suite, nous supposerons le bruit born´ e entre 0 et 1), il n’existe aucune relation entre y (n

) et y (n

+ p), p = 0,

∀i. De ce fait, l’attracteur pr´ esentera des points r´ epartis uniform´ ement dans un carr´ e de [0,1] × [0,1] et apparaˆıtra, comme un plan de dimension fractale 2 pour un nombre de points suffisamment important. Par un raisonnement analogue, si nous nous int´ eressons ` a un volume (attrac- teur construit par les trois coordonn´ ees y (n

), y (n

)+1 et y ( n

+ 2)), l’attracteur sera alors construit par une mul- titude de points uniform´ ement r´ epartis dans le volume [0,1]

de dimension fractale 3. En ´ etendant ce r´ esultat, l’attracteur ´ etudi´ e en dimension n aura une dimension fractale de n. Il est int´ eressant d’analyser ce que devient ce bruit lorsque ce dernier est projet´ e par notre m´ ethode.

Th´eor`eme : soit y ( p ) le vecteur des retards de di- mension p . Soit P ( y, p

) l’op´ erateur de projection ortho- gonale par maximisation de l’inertie du nuage projet´ e sur l’espace de dimension p

, p

≤ p. Soit G (a, e

, e

) la pro- jection orthogonale de a sur le plan d´ efini par les deux

vecteurs de base (e

, e

), i = j ≤ dim a. Soit Ψ

(n, p, p

) l’ensemble des points d´ efini par :

Ψ

(n, p, p

) = {G (P (y

(p) , p

) , e

, e

) ,

G ( P ( y

( p ) , p

) , e

, e

) , ..., G ( P ( y

( p ) , p

) , e

, e

) } (6) Soit Γ

Ψ

(n, p, p

)

la densit´ e de probabilit´ e des points construite sur ( e

, e

). Si y ( p ) est un vecteur al´ eatoire qui suit une densit´ e de probabilit´ e uniforme entre 0 et a alors :

n lim → ∞ p → ∞

Γ

Ψ

( n, p, p

)

= 1

4π e

(7) Ce th´ eor` eme fondamental que nous avons ´ etabli si- gnifie que l’histogramme de la projection des vecteurs de retard d’un bruit blanc sur un sous-espace de dimen- sion 2 (en maximisant l’inertie du nuage projet´ e) pr´ esente l’allure d’une gaussienne bidimensionnelle non corr´ el´ ee quand la taille du sous-espace tend vers l’infini.

Ce th´ eor` eme ne pr´ ecise en rien la vitesse de conver-

gence avec la dimension du sous-espace sur lequel le nuage

est projet´ e. Cependant, nous avons montr´ e que la vitesse

de convergence est la mˆ eme que celle de la somme de n

variables al´ eatoires uniformes de mˆ eme loi. Nous avons

illustr´ e ce propos par une simulation obtenue par la pro-

jection de 50 000 000 vecteurs d´ elais sur un sous-espace de

dimension 2 ` a 4 (Fig. 18).

Longueur d'évaluation (µm)

Amplitude (µm)

-2 0 2 4

0 150 300 450 600 750 900

Fig. 19.

Agrandissement d’un profil de rugosit´ e d’une surface usin´ ee.

4.5.3 Analyse d’une sinuso¨ıde bruit´ee

Le bruit occupe une infinit´ e de dimensions dans l’es- pace des phases et il peut devenir d´ elicat de trouver la v´ eritable dimension d’un attracteur quand celui-ci est construit par une s´ erie temporelle sur laquelle un bruit est additionn´ e. Il est donc primordial de diff´ erencier le bruit intrins` eque du signal du bruit dit chaotique, ca- ract´ eristique de la dynamique non lin´ eaire du syst` eme

´

etudi´ e. Nous allons donc simuler des profils similaires aux profils exp´ erimentaux – dont un zoom est montr´ e en figure 19 – et ajouter un bruit blanc avec diff´ erentes amplitudes afin d’analyser l’effet sur la reconstruction de l’attracteur. La figure 20 repr´ esente l’attracteur projet´ e sur les deux premiers axes en fonction de l’amplitude du bruit ajout´ e. Nous pouvons aboutir aux conclusions sui- vantes :

– Quand le bruit diminue, l’attracteur tend vers une courbe de dimension fractale 1. Le signal devient d´ eterministe et p´ eriodique et la description de l’at- tracteur est curviligne.

– L’allure de l’histogramme n’est pas fondamentale- ment modifi´ ee quand le bruit augmente : l’orienta- tion des deux premiers axes semble donc ind´ ependante du bruit de mesure. Ce fait est crucial : en effet si tel n’´ etait pas le cas, l’attracteur du m´ ecanisme phy- sique projet´ e ne pourrait pas ˆ etre visualis´ e et toute interpr´ etation voire mˆ eme toute mesure construite sur ce dernier serait biais´ ee par le bruit. Ce r´ esultat montre la robustesse de notre m´ ethode originale de visualisation de l’attracteur qui permet de voir dans deux dimensions ad´ equates les propri´ et´ es de la dyna- mique du syst` eme ayant engendr´ e la surface usin´ ee.

– Si nous visualisons (figure non pr´ esente) l’attracteur sur les axes plus ´ elev´ es, nous retrouvons la gaussienne d´ ecrite pr´ ec´ edemment caract´ eristique du bruit. Ceci montre que l’attracteur peut ˆ etre caract´ eris´ e unique- ment par les deux premiers axes, c’est-` a-dire en di- mension 2. Notre m´ ethode permet sur cet exemple de d´ eterminer la dimension o` u la dynamique doit ˆ etre observ´ ee en ayant ˆ ot´ e l’influence du bruit qui, comme

nous l’avons vu, ne permet pas de d´ eterminer la di- mension de l’attracteur.

– Le maximum est toujours situ´ e ` a la mˆ eme position quelle que soit l’intensit´ e du bruit. Cette position semble donc caract´ eristique de la forme du signal sans pr´ esence de bruit.

– L’histogramme est sym´ etrique par rapport ` a une droite parall` ele au premier axe et passant par l’abs- cisse z´ ero du deuxi` eme axe. Ce dernier porte donc la dynamique du profil ind´ ependamment de son ampli- tude.

4.6 Analyse des profils issus des surfaces usin´ ees Les profils exp´ erimentaux des surfaces usin´ ees ` a diff´ erentes vitesses de coupe sont analys´ es suivant la d´ emarche d´ ecrite ci-dessus. N´ eanmoins, alors que pr´ ec´ edemment le signal ´ etait unique, nous disposons ici de plusieurs mesures (30) de surfaces prises dans les mˆ emes conditions de coupe ce qui nous permet d’effectuer les projections orthogonales pour chaque profil et d’obte- nir un attracteur par profil. Pour ceux qui repr´ esentent les mˆ emes conditions d’usinage (les mˆ emes vitesses de coupe) nous estimons l’histogramme de l’attracteur glo- bal en superposant tous les attracteurs de chaque profil pour construire l’histogramme de l’attracteur. Nous avons trac´ e les attracteurs projet´ es sur les deux premiers axes pour les profils relatifs aux dix vitesses de coupe ´ etudi´ ees (Fig. 21). Nous constatons que :

1) L’orientation des histogrammes pr´ esente une certaine logique, ce qui supposerait que la projection de l’at- tracteur initial sur les axes principaux s’effectue sur un sous-espace vectoriel dont les vecteurs propres (qui forment une base dans le nouveau rep` ere) sont iden- tiques, ce qui permet de comparer la forme des histo- grammes sans risque de d´ eformations biais´ ees par les donn´ ees elles-mˆ emes. Pour v´ erifier math´ ematiquement ce fait nous allons analyser les coordonn´ ees du vec- teur du premier axe dans l’ancienne base (base de l’at- tracteur originel). La figure 22 repr´ esente l’´ evolution des coordonn´ es de ce vecteur dans l’ancienne base en fonction de la vitesse de coupe. L’analyse statistique montre une tr` es faible d´ ependance des coordonn´ ees de ce vecteur vis-` a-vis de la vitesse de coupe ce qui im- plique la pertinence de l’analyse de l’attracteur par notre m´ ethode de projection qui est effectu´ ee quasi- ment dans le mˆ eme sous-espace vectoriel. Nous pou- vons donc admettre que les valeurs de ces coordonn´ ees sont constantes : x

= x

= 0,50015

≈ 0,5, ce qui signifie qu’un point de l’attracteur ( x

, x

) se projette sur le premier axe dont les coordonn´ ees sont (0,5x

, 0,5x

). Si nous supposons que le m´ ecanisme chaotique est support´ e par deux axes (dimension D = 2, nous le d´ emontrerons dans le paragraphe suivant), alors le m´ ecanisme chaotique est r´ egi par :

∂x

(t)/∂t = α

M

(A

, x

(t), x

(t))

+ βM

(A

, x

(t), x

(t)) (8)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 100 200 300 400 500 600 700 800

bruit=1/(2¹)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 100 200 300 400 500 600 700 800

bruit=1/(2²)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 100 200 300 400 500 600 700 800

bruit=1/(2³)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 100 200 300 400 500 600 700 800

bruit=1/(2⁵)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0 100 200 300 400 500 600 700 800

bruit=1/(2¹⁰)

Fig. 20.

Profil simulant le profil exp´ erimental de la figure

avec addition d’un bruit blanc ` a diff´ erentes amplitudes, la densit´ e

de probabilit´ e empirique et la surface de r´ eponse de leurs attracteurs projet´ ee orthogonalement sur un espace de 2 dimensions

selon les axes 1–2.

Fig. 21.

Densit´ e de probabilit´ e empirique et surface de r´ eponse des attracteurs projet´ ees orthogonalement sur un espace de 2 dimensions selon les axes 1–2 des profils de surfaces usin´ ees (cf. Fig.

a diff´ erentes vitesse de coupe.

ce qui signifie que le premier axe contient les deux m´ ecanismes M

et M

qui mod´ elisent le syst` eme dy- namique.

2) Les histogrammes ne ressemblent en rien ` a ceux obte- nus par l’analyse du signal qui mod´ elise l’usinage sur lequel nous avons ajout´ e un bruit (voir paragraphe pr´ ec´ edent). Ceci semble montrer que la surface me- sur´ ee n’est pas simplement une surface usin´ ee parfai- tement sur laquelle nous avons ajout´ e un bruit quel- conque. Le bruit visible sur les profils de la figure 1

n’est pas un bruit blanc dont l’amplitude d´ ecroˆıt avec la vitesse de coupe, mais poss` ede une autre signature qui influence la forme macroscopique des surfaces.

3) L’histogramme qui est unimodal pour les faibles vi-

tesses de coupe, devient bimodal quand la vitesse de

coupe croˆıt. La droite perpendiculaire au premier axe

et passant par le point origine x

= 0 d´ epartage

les deux modes de l’histogramme. Il est important

de noter que ce point est la projection du centre de

gravit´ e de l’attracteur d’origine. En effet, trouver le

Vitesse de coupe

x0

0.5001 0.50012 0.50014 0.50016 0.50018 0.5002 0.50022 0.50024

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

(a)

Vitesse de coupe

X1

0.5001 0.50012 0.50014 0.50016 0.50018 0.5002 0.50022 0.50024

65 80 95 110 125 140 155 170 185 200

(b)

Fig. 22.

Coefficient de la premi` ere dimension (a) et de la deuxi` eme dimension (b) de l’attracteur projet´ e sur le premier axe, en fonction de la vitesse de coupe.

centre de gravit´ e en x

= 0 fait que ce point est celui sur lequel pivote l’axe factoriel 1 quand on cherche

`

a maximiser l’inertie du nuage projet´ e. Cette posi- tion poss` ede donc un sens physique : elle est le centre d’inertie des points et donc tout sous-ensemble de points s’´ ecartant de cette position s’´ ecarte de la posi- tion d’´ equilibre. Comment interpr´ eter alors le fait que l’histogramme commence progressivement ` a pr´ esenter deux modes quand la vitesse de coupe croˆıt ? Dans un premier temps, nous allons repr´ esenter la r´ epartition des points projet´ es sur le premier axe en fonction de la vitesse de coupe (Fig. 23). Quand celle-l` a est inf´ erieure ` a 125 m.min

, l’attracteur donne une den- sit´ e unimodale impliquant que le syst` eme dynamique converge vers un point fixe. Alors que la notion de point fixe est plutˆ ot applicable au chaos d´ eterministe, des fluctuations statistiques font que dans notre cas ce point appartient ` a une zone de l’espace des phases avec une probabilit´ e donn´ ee. Le point fixe peut alors ˆ etre consid´ er´ e comme la valeur du mode. Ceci si- gnifie que le syst` eme retourne toujours vers un ´ etat d’´ equilibre : il n’est pas instable. Une perturbation sur ce syst` eme (h´ et´ erog´ en´ eit´ e de la vitesse de coupe, du mat´ eriau) ne changera pas ce r´ egime. Nous pou- vons admettre que les deux m´ ecanismes M

et M

sont

Fig. 23.

Densit´ e de probabilit´ e et surface de r´ eponse du dia- gramme de Feigenbaum du signal reconstruit par projection de l’attracteur sur le premier axe en fonction de la vitesse de coupe.

intimement li´ es, aucun ne domine l’autre au cours du temps : le syst` eme dynamique est stable. ` A partir de V = 125 m.min

, la valeur de x

(t) n’est plus unique : l’attracteur atteint une bifurcation. Le syst` eme oscille entre x

(t) et x

(t) : le syst` eme devient instable mais ne prend qu’un des deux ´ etats au cours du temps ; il est impossible de pr´ evoir pr´ ecis´ ement quel sera l’´ etat

`

a l’instant t. Le syst` eme ´ evolue de l’´ etat A ` a l’´ etat B puis A puis B etc. On peut admettre l’alternance des deux m´ ecanismes M

et M

au cours du temps.

Nous allons maintenant v´ erifier que l’attracteur peut ˆ etre

caract´ eris´ e dans un espace de dimension deux, c’est-` a-

dire que seuls les m´ ecanismes M

et M

d´ ecrivent la dy-

namique de l’usinabilit´ e. Nous allons d’abord regarder la

qualit´ e de la projection sur chaque axe qui caract´ erise

l’attracteur. Pour cela, nous calculons l’inertie du nuage

de points projet´ e, c’est-` a-dire la moyenne pond´ er´ ee des

carr´ es des distances des points au centre de gravit´ e. Plus

ce chiffre est ´ elev´ e, et plus la signification de l’axe est per-

tinente. La figure 24 repr´ esente la valeur de l’inertie pro-

jet´ ee sur chaque axe pour l’attracteur de dimension 10. Le

premier axe porte une inertie tr` es forte, (plus de 99,9 % de

l’inertie du nuage initial) ce qui signifie qu’il contient une

information primordiale et donc corrobore la conclusion

concernant l’´ etude du premier axe. D’apr` es ce graphique,