3 Détermination d’une densité d’une var Y

ÉCS2

Variables à densité.

1 Densités et fonctions de répartition

Pour montrer qu’une fonctionf est une densité de probabilité, il suffit de montrer que :

1. f est positive surR;

2. f est continue surR, sauf éventuellement en un nombre fini de point(s) ; 3.

Z +∞

−∞

f(t)dt existe et vaut 1.

Pour montrer queF est la fonction de répartition d’une var à densité, il suffit de montrer que :

1. Fest continue surR;

2. Fest de classeC¹ surR, sauf éventuellement en un nombre fini de point(s) ; 3. Fest croissante (au sens large) surR;

4. lim

t→−∞F(t) = 0et lim

t→+∞F(t) = 1.

Pour déterminerX(Ω)à l’aide d’une densité deX, X(Ω) ={x∈R, fX(x)6= 0}.

Pour déterminer une densitéfX à l’aide deFX, fX= (FX)^′ en tout point oùFX est dérivable.

Pour déterminerFX connaissant une densité fX, Deux méthodes (au choix) :

☞ fX= (FX)^′en tout point oùFXest dérivable. Donc on peut primitiverfX, la primitive n’étant connue qu’à une constante près. On détermine la (ou les) constante(s) en utilisant la continuité deFX et ses limites en∞.

☞ On calculeFX par l’intégraleFX(x) = Z ^x

−∞

fX(t)dt.

2 Calcul de probabilités

N.B. LorsqueXest à densité,P(X =a) = 0et

P(a6X6b) =P(a <X< b) =P(a <X6b) =P(a6X< b).

À l’aide d’une densité,

P(a6X6b) =P(a <X< b) = Z ^b

a

fX(t)dt pour−∞6a6b6+∞.

À l’aide de la fonction de répartition,

P(a6X6b) =P(a <X< b) = FX(b)−FX(a)pour −∞6a6b6+∞.

3 Détermination d’une densité d’une var Y

SiY =g(X)oùX est connue,

1. On détermineY(Ω)à l’aide de X(Ω)(fY(x)sera nulle lorsquex6∈Y(Ω)) ; 2. Pour x∈Y(Ω), on calculeFY(x) =P(Y6x)en fonction de FX;

3. On dériveFY là où elle est dérivable pour obtenirfY (attention à la dérivation des fonctions composées !).

SiY est somme de variables indépendantes de loi stable,

1. SiX1, . . . ,Xⁿ sont indépendantes toutes de loisE(λ), alorsλ(X1+· · ·+ Xⁿ)suit la loiγ(n);

2. Si X1, . . . ,Xⁿ sont indépendantes de lois respectives γ(ν1),..., γ(νⁿ) alors Y = X1+· · ·+ Xⁿ suit la loiγ(ν1+· · ·+νn);

3. Si X1, . . . ,Xⁿ sont indépendantes de lois respectives N m1;σ²₁

, . . . ,N mn;σn²

, alorsY = X1+· · ·+ Xⁿ suit la loiN m1+· · ·+mⁿ;σ₁²+· · ·+σ²n

.

Quelques cas particuliers,

1. X֒→U([ 0 ; 1 ])⇐⇒Y = (b−a)X +a ֒→U([a; b]) 2. X֒→E(1)⇐⇒Y = 1

λX֒→E(λ) 3. X֒→U([ 0 ; 1 ])⇐⇒Y =−ln(X)

λ ֒→E(λ) 4. X֒→N(0; 1)⇐⇒Y =σX +m ֒→N m;σ² 5. X֒→N m;σ²

⇐⇒X^∗=X−m

σ ֒→N(0; 1)

SiY = U + V avec UetV deux variables indépendantes de lois connues, on utilise lethéorème de convolution (Commencer par déterminer Y(Ω)!) : Une densité deYest donnée parx7→fY(x) =

Z +∞

−∞

fU(t)fV(x−t)dt sous réserve que cette fonctionfYsoit continue sauf peut-être en un nombre fini de point(s).

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ÉCS2

Variables à densité.

4 Espérance, variance et moments

Pour calculer un moment deX connaissant une densité, sous réserve de convergence des intégrales,

1. E(X) = Z +∞

−∞

xfX(x)dx; 2. V(X) =

Z +∞

−∞

(x−E(X))²fX(x)dx=E(X²)−(E(X))² (Huygens) ; 3. σ(X) =p

V(X); 4. m^k(X) =E(X^k) =

Z +∞

−∞

x^kfX(x)dx;

5. µ^k(X) = Z +∞

−∞

(x−E(X))^kfX(x)dx.

N.B. Pour toutes ces intégrales (et les suivantes), on commencera par restreindre l’in- tervalle d’intégration aux seules valeurs de x pour lesquelles fX(x) 6= 0, c’est-à-dire à X(Ω):

Z +∞

−∞

. . . fX(x)dx= Z

x∈X(Ω)

. . . fX(x)dx.

Pour calculer l’espérance d’une varY fonction d’une autre,

si Y =g(X)(oùg est continue (par morceaux) surX(Ω)), sous réserve de convergence absolue,E(Y) =E(g(X)) =

Z +∞

−∞

g(x)fX(x)dx.

C’est le théorème de transfert,et l’absolue convergence de l’intégrale est une condition nécessaire et suffisante d’existence de l’espérance deY.

Pour calculer l’espérance d’une v.a.r. somme d’autres v.a.r., si E(X1), . . . ,E(Xⁿ)existent, alors,linéarité de l’espérance, E(a1X1+· · ·+aⁿXⁿ) =a1E(X1) +· · ·+aⁿE(Xⁿ).

Pour calculer la variance d’une v.a.r somme d’autres v.a.r. indépendantes, si X1, . . . ,Xn sont indépendantes etV(X1), . . . ,V(Xn)existent,

alorsV(a1X1+· · ·+anXn) =a²₁V(X1) +· · ·+a²nV(Xn).

5 Lois usuelles

Il arrive que pour les lois uniformes on exclut une borne, voire les deux bornes de l’intervalle. De même pour les lois exponentielles et gamma, on peut exclure 0.

LoiLogoX(Ω)fX:x7→FX:x7→E(X)V(X)Simulation grand (m,n,...) UniformeU([a;b]) (a<b)[a;b]

  

a6x6b:1 b−a sinon:0

      

x<a:0 a6x6b:x−a b−a x>b:1

a+b 2(b−a)2 12“unf”,a,b Expo- nentielleE(λ) (λ>0)R+

( x>0:λe−λx x<0:0

( x>0:1−e−λx x<0:01 λ1 λ2“exp”,1/λ Gammaγ(ν) (ν>0)R+

  

x>0:xν−1 e−x Γ(v) x<0:0−νν− Normale centrée réduiteN(0;1)R1 √ 2π.e⁻

x2 2=ϕ(x)Φ(x)01“nor”,0,1 NormaleNm;σ2 (m∈R,σ>0)

R

1 σ√ 2πe

−1 2

x−m σ

!2 =1 σϕ x−m σ

Φ

x−m σ

mσ2“nor”,µ,σ Quelquesobservations: 1.∀x∈R,Φ(−x)=1−Φ(x); 2.SiX֒→Nm;σ2 ,alorslatabledeΦfournitquelquesvaleursd’usagefréquent: P(|X−m|6σ)≃68,3%,P(|X−m|62σ)≃95,4%,P(|X−m|63σ)≃99,7%, P(|X−m|61,96σ)≃95%etP(|X−m|62,575σ)≃99%. 3.rand()simuleunevariablealéatoiredeloiuniformesur[0;1[.Chaqueappelàcettefonction fournitunevaleurindépendantedesprécédentes.

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ÉCS2

Variables à densité.

6 Quelques courbes

Densité et répartition de la loi normale centrée réduite.

-3 -2 -1 0.00 1 2 3

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

DENSITE

-3 -2 -1 -0.10 1 2 3

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1

REPARTITION

Densité et répartition de la loi normale centrée réduiteN m;s² .

0

m m+s

m-s

DENSITE

0 m 1/2

1

REPARTITION

Densité et répartition de la loiE(λ)avecλ= 2.

-2 -1 0.000 1 2 3 4

0.21 0.42 0.63 0.84 1.05 1.26 1.47 1.68 1.89 2.10

DENSITE 2=lambda

-2 -1 0.00 1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

REPARTITION

Densité et répartition de la loi gammaγ(3).

-1 0 1 2 3 4 5 6

-0.05 -0.01 0.03 0.07 0.11 0.15 0.19 0.23 0.27 0.31 0.35

DENSITE

-1 0.00 1 2 3 4 5 6

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

REPARTITION

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