Théorie du potentiel newtonien : énergie, capacité, suites de potentiels

B ULLETIN DE LA S. M. F.

H ^ENRI C ^ARTAN

Théorie du potentiel newtonien : énergie, capacité, suites de potentiels

Bulletin de la S. M. F., tome 73 (1945), p. 74-106

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74

THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN : ÉNERGIE, CAPACITÉ, SUITES DE POTENTIELS;

PAR M. HENRI CARTAN.

Le but de ce travail est essentiellement de développer les résul- tats annoncés dans une Note aux Comptes rendus (214?, IQ42) pp. 944-946). Nous avons adopté ici la forme d'un exposé qui, autant que possible, se suffise à lui-même, et avons tâché de dégager quelques faits essentiels et de les rattacher le plus direc- tement possible aux fondements mêmes de la théorie.

Dans un tel exposé, il est fatal que les idées utilisées et les résultats obtenus ne soient pas tous nouveaux. Voici ce qui, à ma connaissance, est nouveau : l'idée de faire jouer au lemme 2 (§ 1) un rôle en théorie du potentiel newtonien; l'analyse, au para- graphe 8, des diverses topologies que l'on peut envisager sur l'espace des distributions d'énergie finie, et le théorème fonda- mental qui en découle (théorème 2), et qui joue. en théorie du potentiel, le rôle que joue en théorie de l'intégrale le théorème de Fischer-Ricsz; la manière d'introduire la « distribution capa- citaire intérieure » et la « distribution capacilaire extérieure » d'un ensemble quelconque (§ 6); les résultats du paragraphe 7 (identité des ensembles polaires et des ensembles de capacité extérieure nulle); enfin, les résultats des paragraphes 8, 9, 10 relatifs aux suites décroissantes de potentiels (ou de fonctions surharmoniques positives) sont nouveaux, en ce sens qu'il s'intro- duit dans ces questions un ensemble exceptionnel dont on savait déjà [Brelot (f) ] qu'il est de capacité intérieure nulle, et dont je prouve ici qu'il est de capacité extérieure nulle; en outre, les théorèmes 4 et 7 sont démontrés ici non seulement pour les suites décroissantes de potentiels, mais pour des familles plus générales (familles « filtrantes décroissantes »).

(1) C. /?. Acad. Se., 207, iQ38, p.*836.

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Nous nous sommes limité au cas du potentiel newtonien, soit dans Pespace euclidien tout entier, soit à Pintérieur d'une boule de cet espace (2) (le potentiel étant alors pris par rapport à la « fonc- tion de Green » de cette boule). La plupart des résultats subsiste- raient sous des hypothèses plus générales : potentiel pris par rap- port à la fonction de Green d^un ensemble ouvert quelconque, potentiel « d^ordre a » de M. Riesz et Frostman (³) (pour a < 2).

Mais les démonstrations devraient subir quelques modifications, et l'agencement de Pensemble de 1a théorie s^en trouverait quelque peu compliqué. C^est pourquoi nous avons renoncé, dans un b u t de simplification, à exposer ici la théorie sous sa forme la plus générale.

SOMMAIRE. — 1. Préliminaires sur les mesures de R a d o n . — 2 . Fonction fondamentale; potentiel newtonien. — 3. Potentiels et fonctions surhar- moniques; familles croissantes de potentiels. — 4. Energie. — 5. L^espace des distributions positives d'énergie finie est complet. — 6. Capacité. — 7. Infinis d'un potentiel. — 8. Familles décroissantes de potentiels. — 9. Limite inférieure d^une suite de potentiels.—40. Familles de fonctions surharmoniqucs.

1. Préliminaires sur les mesures de Radon. — On se place une fois pour toutes dans un espace topologique localement com- pact (⁴) E, dit « espace de base ». En fait, dans la suite de ce travail, Pespace de base sera soit Pespace euclidien, soit une boule ouverte (²) de Pespace euclidien.

On désignera une fois pour toutes par <3 Pensemble des fonc- tions f définies sur E, continues et à valeurs réelles finies, telles que Pensemble des points x de E où f{x) -=^- o soit relativement compact (c^est-à-dire d^adhérence compacte); cette dernière condition exprime qu^il existe un ensemble compact (qui dépend de la fonction / envisagée) en dehors duquel/est identiquement

(2) Nous appelons boude ouverte (resp. fermée) de centre a et de rayon r le lieu des points de l'espace dont la distance euclidienne au point a est

< r (resp.^r). La sphère de centre a et de rayon r est le lieu des points dont la distance à a est égale à r.

(s) 0. FROSTMAN, Thèse (Lund, ig35); M. RIESZ, Intégrales de Riemann-

Liouville et potentiels (Acta de Szeged^ 9, 1908, p. 1-42).

(4) Pour les notions de topologie générale et la terminologie, voir N. BOURBAKI, Actualités scient, et iW., fasc. 858.

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nulle. O⁴" désignera le sous-ensemble de C formé des fonctions qui ne prennent que des valeurs positives (conformément à la terminologie de N. Bourbaki, le nombre zéro est considéré commue

positif).

Les principales notions relatives aux mesures de Radon sur un espace localement compact ont été exposées dans un mémoire antérieur (⁵) auquel nous renvoyons le lecteur. Rappelons ici la définition d'une mesure de Badon positive^ ou distribution de masses positives^ sur l'espace E : c'est une fonction p. définie sur l'ensemble Ê"^, à valeurs réelles (finies) positives, et additive [c'est-à-dire telle que ^f^ +/2) = p-{f\ ) 4- ^(/s)] ; une telle fonction pi est nécessairement linéaire [c'est-à-dire qu'on a, outre l'additivité, p'(^f) == ^^{f) pour toute constante a finie positive].

Une telle fonction |JL se prolonge d'une manière évidente en une fonction linéaire définie sur l'ensemble (3, car toute fonction de C est différence de deux fonctions de C^.

Une mesure de Radon positive étant donnée, on définit l'intégrale d'une fonction « sommable » à valeurs positives [voir le travail cité en (5)] ; il s'agit de sommabilité par rapport à la mesure p. envisagée.

Notons que les valeurs infinies ne sont pas exclues de celles que peut prendre une fonction sommable; mais la valeur de l'intégrale est supposée essentiellement finie. Unefonctionyà valeurs réelles non nécessairement positives est sommable si elle est la différence de deux fonctions sommables positives [auquel cas /+= sup (y, o) et y — = = s u p ( — / , o) sont sommables]; l'intégrale d'une telle fonction se définit d'une manière évidente; elle sera notée I f { x ) dy.{x)^ ou plus brièvement j fdp.. Si / appartient à (S^, y est sommable pour toute mesure de Radon positive /JL, et f fdy.

n'est autre que p-(f)' Lorsque f est semi-continue inférieure- ment^ à valeurs positives (finies ou non), f est sommable si la borne supérieure des intégrales f g d^L relatives aux g de C^ telles que g{oc)^f{x) pour tout x^ est finie; cette borne supérieure n'est alors autre que l'intégrale f fdp.. Lorsque cette borne supé-

(l) BulL Soc. Math. France, 69, 1941, p. 71-96.

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Heure est infinie, nous la noterons encore Çf{x) dp.{x), par abus de langage.

Une mesure de Radon réelle p. est, par définition, la différence de deux mesures de Piadon positives; on démontre l'existence de deux mesures positives ^ et p.~ telles que ^=p+—p.- et que, pour toute décomposition p. = ^ — ^2 (^i et ^3 positives), on ait nécessairement ^^^- et ^3^^- (de deux mesures de Radon positives À et v; on dit que À ^ v si l'on a f / ' d\^ Çfdv pour toute y de (S"1"). Une mesure ^ est nulle si ^-(/) est nul pour toute/' de (5^. Deux mesures sont identiques (ou égales) si leur diffé- rence est nulle.

Dans l'ensemble JTl des mesures de Radon réelles, on définit une topologie, que nous appellerons la topologie vague (par opposition à d'autres topologies qui seront définies au para- graphe 4) : considérons l'intégrale ^(/), pour chaque / € C^, comme une fonction de p. définie sur JTl; la topologie vague sera la moins fine (4) des topologies rendant continues toutes ces fonctions de p.. Autrement dit, un filtre (4) <I> sur 3VL converge vaguement vers un élément ^o de JTl si, pour chaque / de (3"", Pintégrale f fdy.^ considérée comme fonction de ^., a pour limite

I /dp.Q suivant le filtre ^.

Un sous-ensemble (Q de C^ sera dit total si, pour toute fonc- tion/de (34", pour tout ensemble compact R tel q u e / s o i t identi- quement nulle en dehors de K, pour tout voisinage V de R, et pour tout-nombre £ >> o, existe une fonction o, combinaison linéaire de fonctions de CQ à coefficients positifs, telle que : i ° 9 soit identiquement nulle en dehors de V ; 2° \f(x)—<?(^) | ^£

en tout point x de l'espace de base.

On voit sans peine que deux mesures par rapport auxquelles ont même intégrale toutes les fonctions d'un sous-ensemble total de (34', sont identiques. En outre :

Lemme 1. — Pour qu'un filtre 0 sur l'ensemble 3Ti^ des mesures positives converge vaguement, il faut et il suffît que, pour toute fonction 9 d'un sous-ensemble total de (34', / < p dp. ait

~ 7& -

une limite finie (nécessairement positive) solvant 0. Cette limite est alors égale à f 9 rf^o, ^o étant la limite du filtre convergent <Ï>

Signalons enfin un résultat auquel nous aurons à faire appel à maintes reprises ; il vaut lorsque E est un sous-ensemble ouvert de Pespace euclidien :

Lemme 2. — Soit <J3 un sous-ensemble de C^, jouissant des propriétés suivantes : i° (Q contient des fonctions (autres que la constante o) qui s^annulent en dehors d^un voisinage arbitrai- rement.petit d'un point fixe de E; 2° si une fonction 9 appartient à Û3, toute translatée ^ de (p, telle que ^ s^annule identiquement en dehors du sous-ensemble ouvert E de l'espace euclidien, appartient encore à CD. Alors un tel ensemble (D est totale).

(6) Voici brièvement comment on peut démontrer le lemme 2, qui n'est d'ailleurs qu'un cas particulier du « théorème d'approximation n dont il est question dans ma Note sur la mesure de Haar ( C. R. Acad. Se., 211, ig4o, p. 759-762). Ici, dans l'espace euclidien où chaque point x sera identifié au vecteur d'origine 0 et d'extrémité a?, et où la différence de deux vecteurs x et y sera notée x—y, nous nous servirons de la mesure invariante par trans- lation (mesure de « volume )> définie à un facteur constant près) que nous note- rons dx. Soit alors une fonctiolx fçe^ qui s'annule en dehors d'un ensemble compact K ; cherchons à l'approcher à e près par des fonctions de e4- qui s'annulent en dehors d'un voisinage donné V de K. Il existe un voisinage W de l'origine, tel que tout ensemble translaté de W qui rencontre K soit contenu dans V. Alors, si une y e ^ est nulle en dehors de W et satisfait à

/\{x}dx = i , la fonction « composée »

h{x) =/9(^-y)/(y) dy = / y ( y ) / ( ^ ~ y ) dy

est nulle en dehors de W; en outre, si W est assez petit, on a

\f{x)-h{x}\^

en tout point x. Ayant ainsi choisi y, faisons une partition de K en un nombre fini d'ensembles A, (mesurables pour la mesure dx} assez petits pour que, prenant arbitrairement un point y, dans chaque A;, la fonction de x

Y<p(;r—y;) f f ( y ) d y

^ ^A,

différé partout de h{x) d'aussi peu qu'on veut (elle sera encore nulle en dehors de V). Or cette fonction de x est combinaison linéaire finie de « translatées » de la fonction <p(vC). Ceci établit le lemme 2.

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2. Fonction fondamentale; potentiel newtonien. — Dans l'espace euclidien de dimension k ( A ' ^ a ) , considérons une fois pour toutes une origine 0 et une boule ouverte'de centre 0 et de rayon R. Cette boule constituera V espace de hase E. Le rayon R pourra être infini si A^: 3; pour k == 2, R sera supposé essentiel- lement fini.

• x—y désignera le vecteur libre, différence des vecteurs d'ori- gine 0 et d'extrémités respectives x et y; la longueur euclidienne de ce vecteur sera notée \x —y [.

Dans l'espace de base E, on considère une fois pour toutes une fonction/(a?, y) du couple de points a?, y de l'espace E. Ce sera :

si E est l'espace euclidien de dimension k ^ 3,

/(^y)==|^-y|^;

si E est une boule ouverte (de centre Q et de rayon R fini), /(;r,y) sera la « fonction de Green » de celte boule; précisons :

pour k === 2,

I

/(^y)=Iog R^-TT) '

a? et y désignant aussi les nombres complexes, affîxes des points du plan de mêmes noms, et ~x désignant le nombre complexe conjugué de x\ pour k ^ 3,

.-^k

(

f(x, y) = | x -y p-<-- R2- 2 [ x |. \y \ cosO -+- ——^Zl.\

6 désignant l'angle des vecteurs d'origine 0 et d'extrémités res- pectives x et y.

Dans tous les cas, la « fonction fondamentale » / est symé- trique [/(a*, y) ==/(y» -^)L à ^leurs réelles positives (non nulles), finie pour x^-y et infinie pour x=y, continue par rapport à l'ensemble des variables x et y; et lorsque x reste dans un ensemble compact, f ^ x ^ y ) tend vers zéro lorsque |y[ tend vers R. Pour / r = = a , la différence entre /(*y, y) et la fonction log -————- est, pour chaque y e E , une fonction harmonique

x - y \

de c X - e E ; pour k ^3, la différence entre f{x^ y) et la fonc- tion [ x — y l²"^ est, pour chaque y ç E , une fonction harmonique de rceE.

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La fonction fondamentale /(^, y) donne naissance à la théorie du potentiel newtonien (suivant la terminologie employée classi- quement, au moins lorsque R est infini). On appelle potentiel d'une distribution positive p. la fonction

W(^)=y/(^,y)^(y).

Pour chaque x, sa valeur est un nombre positif bien déterminé, fini ou infini [noter que f{x^ y) est semi-continue intérieurement en y]. On montre facilement que V^{x) est une fonction semi- continue inférieurement de x. Si ^ est portée par un ensemble compact K, V^Çx) est une fonction harmonique (donc à valeurs finies) dans l'ensemble ouvert complémentaire de K. Cette cir- constance permet d'étudier le cas où la distribution p. n'est pas portée par un ensemble compact : sur tout ensemble ouvert A.

relativement compact, le potentiel U^ est la somme du potentiel U^

de la restriction v de ^ à l'ensemble A, et de la limite d'une suite croissante de fonctions harmoniques dans A. Or une telle limite est, on le sait, harmonique ou identique à + oo. Ainsi : ou bien le potentiel U^ est infini en tout point de l'espace (cas banal que nous exclurons désormais), ou bien il est, sur tout ensemble ouvert relativement compact, somme d'une fonction harmonique et du potentiel d'une distribution positive portée par un compact.

En particulier, le potentiel U¹¹ est une fonction harmonique sur l'ensemble ouvert, complémentaire du noyau fermé de u. Tous ces faits sont bien connus.

Pour toute boule fermée de centre a et de rayon r, contenue dans l'espace de base E, nous désignerons par £a,r la distribution positive, de masse totale i , répartie uniformément sur la sphère de centre a et de rayon /\ Soit Ça la distribution formée d'une masse i placée au point a. Considérons la différence des poten- tiels de £a et de £a,o comme il est bien connu, cette différence est nulle à l'extérieur de la boule de centre a et de rayon r, et, à l'intérieur, elle est égale à

^———^\ sik=^

\x— a^-k—r2-^ si ^3.

Il résulte de là que les fonctions U^'f—U^ (où a et r varient

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de manière que la boule fermée de centre a et de rayon r reste contenue dans l'espace de base E) forment un ensemble de fonc- tions de (34- qui est total (cf. § 1, lemme 2).

Soient maintenant deux distributions positives quelconques u e t v . Les deux intégrales / U ^ dv et MJ'' dp. ont un sens, puisque U^' et U^ sont des fonctions positives semi-continues intérieurement.

En vertu d/un théorème classique de Lebesgue-Fubini, ces deux intégrales sont égales entre elles et à l'intégrale « double » ff f{^-i y ) dp.{x) rfv(y) (leur valeur commune est finie ou infinie). Telle est la classique « loi de réciprocité » (⁷) .

Pour toute distribution positive (UL de potentiel non identique- ment infini, et toute distribution À de la forme e^n l'inté- grale j U"' d\ est finie. En effet, sur la boule de centre a et de rayon r, U¹¹ est la somme d'une fonction harmonique et du potentiel d'une distribution portée par un compact; il suffit donc de faire la démonstration lorsque p. est portée par un compact.

Or, dans ce cas, Aj11 d\ == AJ^ dp. est égale à l'intégrale, par rapport à p., d'une fonction continue; c'est donc une quantité finie.

Le résultat précédent s'énonce encore ainsi : tout potentiel U^{) v}( ^ = Ê r t , / ) est sommable pour toute distribution positive p. de potentiel non identiquement infini.

Lemme 3. — Soient ^ et v deux distributions positives de potentiels non identiquement infinis; si l'on a j\]^d^== f L P d ^ pour toute distribution 1 de la forme £a,/, on a ^.==v. En outre.

soit <Ï1 un filtre sur l'ensemble des distributions positives de potentiel non identiquement infini; si f U^ rf^ui, considéré comme fonction de p.^ a une limite suivant 0, et cela pour chaque À de la forme £a^i alors la distribution p. converge vaguement, suivant €>, vers une distribution positive p-o telle que / U ^ rf^o == liro / U^rf^i.

(7) DE LA VALLÉE POL-SSIN, Les nouvelles méthodes de la théorie du poten- tiel, etc. (Actualités scient, et ind., fasc. 578); voir p. i5.

LXXI1I. 6

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Ce lemme résulte immédiatement du lemme i (§ 1) et du fait que les différences U ^ f — U ^ forment un sous-ensemble total de e^.

3. Potentiels et fonctions surnarmoniques ; familles croissantes de potentiels. — Rappelons la notion maintenant classique de fonction surharmonique dans un sous-ensemble ouvert A de l'espace euclidien : c'est une fonction semi-continue intérieu- rement, pouvant prendre la valeur 4- oo, et telle que sa valeur en un point quelconque a de A soit au .moins égale à sa moyenne sur toute sphère de centre a et de rayon r, pourvu que la boule fermée de centre a et de rayon r soit contenue dans A. On peut d'ailleurs remplacer cette condition par une autre, en apparence plus faible; mais peu nous importe ici. On montre facilement : pour tout ensemble ouvert B dont l'adhérence B est compacte et contenue dans l'ensemble A où y est définie et surharmonique, toute fonction harmonique qui est majorée par <p sur la frontière de B est aussi majorée par cp en tout point de B (d'où la dénomi- nation de « surharmonique » ).

Le potentiel d'une distribution positive ^ est une fonction sur- harmonique dans l'espace de base E. En effet, il s'agit de montrer

Çwd^-^fwd^r,

ce qui est évident par application de la loi de réciprocité.

On djit à F. Riesz une sorte de réciproque de cette propo- sition; .appelons le théorème de lîiesz (8) :

Soit <p une fonction s ^harmonique dans un sous-ensemble ouvert A de l'espace euclidien, qui ne soit identiquement infinie dans aucune composante connexe de A; alors 9 définit dans l'espace localement compact A, une distribution positive p. et une seule telle que, pour tout compact K. contenu dans A, la res- triction de p. à l'ensemble R ait pour potentiel une fonction dont la différence avec <p soit harmonique à l'intérieur de K.

Nous admettrons sans démonstration ce théorème, qui peut d'ailleurs être établi aujourd^lmi beaucoup plus simplement et

(⁸) F. RIESZ, Acta mathematica^ 54, ipSjo, p. 32i-36o.

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rapidement que ne le faisait F. Riesz; il suffit pour cela d'utiliser les notions relatives aux mesures de Radon, telles par exemple qu'elles sont rappelées au paragraphe 1 de ce travail.

Appliquons le théorème de F. Riesz à la démonstration du résultat suivant, qui est lui aussi connu ( a u moins dans le cas où Vespace de base E est Pespace euclidien tout entier) :

PROPOSITION 1. — Pour qu'une fonction surharmonique positive dans tout F espace E soit le potentiel d^une distribution positive^ il faut et il suffit que sa moyenne sur la sphère de centre 0 et de rayon r tende vers o quand r tend vers R (⁹) . Montrons d^abord que cette condition est nécessaire. Désignons par '£,. la distribution uniforme de la masse i sur la sphère de centre 0 et de rayon r\ si U^ est un potentiel non identiquement infini, Pintégrale f U27" d\^ est finie {cf. § 2); comme la fonc- tion U^ décroît quand /• augmente, et, en chaque point .r. a pour limite o quand r tend vers R, alors, d'après un théorème clas- sique de Lebesgue, f II^e' dy. tend vers zéro q u a n d r tend vers R.

Donc la moyenne f U^ de, du potentiel U" tend vers zéro quand /•

tend vers R.

Reste à prouver que la condition est suffisante. Soit 9 une fonction surharmoniquo positive, telle que Km f ^ de, .==0. Dési-

r a R«7

gnons par ^. la distribution positive que le théorème de F. Puesz lui associe, et par ^,- In restriction de ^ a la boule fermée de centre 0 et de rayon r << R. La fonction 9-(^) — IJ^.z') est sur- harmonique dans tout l^cspace, et harmonique à Pinlérieur de la boule décentre 0 et de rayon /'; comme sa moyenne sur la sphère de centre 0 et de rayon p tend vers o quand p tend vers R, elle est partout ^o. Donc U^.r)^:!!!!! U^''^) est partout ^o^r).

/ • > R

Reste à montrer q u e la difFércnce ^{x} — LJ11'^), qui est harmo- nique et positive dans tout l'espace E, y est identiquement nulle;

(9) Pour le cas où R ~ - + - X ) , voir M. BRRÎ.OT, Ann, h'c. .\orm, sifp., t. LXI, Fuse. 4; P- •)01 (voir théor. 4 ) ; dans le ça;» où R est iiui, la pri»po-;!hoii 'i rcsuite t î ' u n t ^ é o r è î i î c île F. Ilicsz \ loc. c i t . , e t » i ^ ;. p. ,y^- .

• — 84 —

or cela tient à ce que sa moyenne sphérique tend vers o quand r tend vers R.

La proposition 1 étant ainsi démontrée, en voici quelques conséquences importantes :

Premier corollaire. — Toute fonction surharmonique positive dans E, qui est majorée par le potentiel (non identiqucmeut infini) d'une distribution positive, est elle-même le potentiel d'une distribution positive.

Deuxième corollaire. — cp désignant une fonction surharmo- nique positive quelconque (par exemple une constante), et W le potentiel (non identiquement infini) d'une distribution positive, la fonction in^U^, 9) (égale en chaque point à la plus petite des valeurs de U^ et de cp en ce point) est le potentiel d'une distri- bution positive. (En effet, elle est surharmonique, et majorée par le potentiel V^).

La limite d'une suite croissante de fonctions surharmoniqucs est surharmonique : en effet, elle est semi-continue intérieure- ment, et l'inégalité relative aux moyennes sphériques se conserve par passage à la limite. Il est utile de remarquer que cette pro- priété s'étend au cas plus général d'un ensemble filtrant croissant de fonctions surharmoniques; on appelle ainsi un ensemble de fonctions surharmoniques ^i (i parcourant un ensemble quelconque d'indices) tel que, quelles que soient 91 et cpy dans cet ensemble, il existe dans l'ensemble une cp/ qui soit ^ cpi et ^ y/. Ici encore, l'inégalité relative aux moyennes sphériques se conserve par pas- sage à la borne supérieure, bien que le théorème de Lebesgue (qui affirme que l'intégrale de la limite d'une suite croissante de fonc- tions sommables est la limite des intégrales de ces fonctions ) ne soit plus applicable; mais ce théorème s'étend au cas d'un ensemble filtrant croissant de fonctions semi-continues intérieurement.

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème suivant :

THÉORÈME 1. — Si l'on a une suite croissante (ou plus géné- ralement un ensemble filtrant croissant) de potentiels (^{1 ( )}) LJ^"

C1 0} En générai, lorsque nous parlerons de potentiel ( t o u t c o u r t ) , il s agira de p o t e n L i e l d'une d i s t r i b u t i o n positive, ce p o t e n t i e l n ' é t a n t pas i d e n t i q u e m e n t i n f i n i .

— 8î) —

inférieurs à un potentiel fixe^ leur borne supérieure est le potentiel (Vune distribution positive ^, qui est limite vague

des distributions ^j.,i.

En effet, la borne supérieure des V1'1 est une fonction surhar- monique majorée par un potentiel, c'est donc le potentiel d'une distribution positive ^.. Pour prouver que ^ est limite vague des jui/t, il suffit, d'après le lemme 3 (^ 2), de montrer que, pour toute distribution 7 de la forme e^,/ ? on a

flP 6 / ^ = l i m fuW;ji/,,

ou, ce qui revient au même,

Ç\j\^cl\ = l i m ( L^WA,

et, sous cette forme, c^cst évident.

A. Énergie. — La valeur commune des deux intégrales f U^c/y et / U^ d[^^ où ^ et v désignent deux distributions positives (c/. § 2 ) , s'appelle V énergie mutuelle de p. et v. Lorsque ^.=='y, on obtient V énergie f U^ o?^ de la distribution positive JJL.

Remarquons tout de suite que si les potentiels de deux distri- butions positives ^ et v satisfont à V^(x) ^ U^(x) partout, l'énergie de ^JL est au plus égale à celle de v ; en effet

Çwd^ ^ fw d^. == fw o?v ^ A^ ^v.

Nous désignerons par ê⁴' l'ensemble des distributions positives d'énergie finie. Le potentiel d^une distribution de &^ n'est évi- demment pas identiquement infini.

Une propriété fondamentale, classique, de l'énergie est la sui- vante (^{1 1}) : quelles que soient les distributions positives p. et v,

(i) ( Çwd^\^( ç^d^Yi ^u^y

(11) Pour une démonstration, voir par exemple p. 6 du Mémoire de M. Riesz cite en (3); cette démonstration vaut pour l'espace euclidien tout entier, de

- 86 -

II en résulte que la somme do deux distributions de 6^ est une distribution de &^~. Désignons par & l'ensemble des différences

^—y, où p. et v appartiennent à ê^; & est un espace vectoriel sur le corps des nombres réels, et pour toute distribution ?. de &, on peut définir Y énergie de ^ comme étant égale à

f(V^- IP-) (^+- ^A-) = fij^ <A+ -+. FlP- d\- - !> fu^ < / / - ;

c'est un nombre fini bien déterminé, puisque toutes les intégrales du second membre ont une valeur finie. L'énergie d'une ). de &

est essentiellement positive^ comme cela résulte de l'inégalité ( i ) . L'énergie mutuelle AJ^ d^ peut être définie pour ^.€& et y € ê, même si [j. et y ne sont pas positives; c'est une (onction bilinéaire de p. et v, que nous noterons (^, v ) ; on a évidemment

(UL, (JL) = ÇWfî\J..

En écrivant que l'énergie de a^-}-bv est positive quelles q u e soient les constantes réelles a et 6, on obtient P « inégalité de Schwarz »

( ( ^ L , V ) | 2 ^ ( ; J L , Î J L ) . ( V , V ) ,

q u i généralise l'inégalité ( i ).

Il est facile de démontrer que l'énergie d'une distribution de S ne peut être nulle que si cette distribution est nulle. En effet, si (/JL. pi) = o, l'inégalité de Schwarz prouve que (pi, \) == o pour toute distribution >i de ê; si l'on applique ceci aux 7 de la forme £a.,i •? on trouve (lemme 3, § 2) que ^ est nulle.

Pour toute distribution ^ de ê, nous noterons \\^j.\\ la racine carrée positive de Féïiergie de ^. C'est une norme (1 2) sur l'espace vectoriel &. En effet, || ^ [| == o équivaut bien à y. === o ; en

d i m e n s i o n À - ^ 3 ; le cas du potentiel pris par rapport à la fonction de Grecn s'y ramène; enfin, le cas k == 2 se traite à part : le potentiel, pris par rapport à la fonction de Green d'un cercle, d'une distribution positive portée par un compact, est aussi le potentiel logarithmique d'une distribution de masse totale nulle, potentiel qui est justiciable d'une formule de composition de M. Riesz (/oc.

cit.).

(l 2) L'idée de considérer systématiquement cette norme sur l'espace <ë remonte à mon article cité en (5).

-- 87 - outre, si c est un nombre réel, on a

1 1 ^ 1 1 = = M.

enfin

a -h \ ^ UL M- v

comme on le voit en élevant au carré et appliquant Finégalité de Schwarz.

On voit qu'en « complétant » Fespace & pour cette norme, on obtiendrait un espace de Hilbert. On vérifie sans peine que &

lui-même n'est pas complet (^{1 3}) , par contre, nous verrons tout à rheure (^u) que le sous-espace ê⁴" des distributions positives d^énergie finie est complet. Mais avant déborder l'étude qui nous conduira à ce théorème fondamental, notons un résultat important :

PROPOSITION 2. — Soient p une distribution positive d^ énergie finie, et 9 une fonction surharmonique positive dans tout V espace E (espace de base). Si l'inégalité V^Çx) ^<p(.r) a lieu sur un noyau de ^JL, elle a lieu en tout point de I1 espace E.

En effet, inf^U^, (p) est le potentiel LT' d^une distribution v (c/\ 2^e corollaire de la prop. 1, § 3) qui, comme |JL, a une énergie finie. Diaprés les hypothèses, / ( U ^ — U ' ' ) ( r f , m — r f v ) ^ o ; c e c i exige /JL ==iv, donc inf^U^, 9) == U^. c. Q. F. D.

Lorsque 9 est une constante positive, on obtient le fameux

« principe du maximum » (i s) .

(l l) Considérons par exemple, dans l'espace euclidien de dimension 3, la dis- tribution ?.„ formée d'une masse — i répartie uniformément sur la sphère de centre 0 et de rayon i, et d'une masse -t-i répartie uniformément sur la sphère de centre 0 et de rayon i — 4-n• 1^ n'existe aucyne distribution pL de 6 qui soit somme de la série Sp.^ au sens de la norme, bien que la série des normes S || ^ \\

soit convergente; en effet, on voit facilement que le potentiel d'une telle p., si elle existait, devrait être, dans la boule ouverte de centre 0 et de rayon i, égal à .la somme des potentiels des p.,, donc que, à l'intérieur de cette boule, (JL s'obtiendrait par superposition des {i,,, ce qui est absurde, la somme des masses des ?.„ intérieures à la boule étant infinie.

(14) Paragraphe 5, théorème 2.

(l s) FROSTMAN, Thèse^ p. 68. La démonstration de Frostman est foncièrement différente de celle donnée ici.

5. L'espace &~^ est complet. — La distance | ] ^ L — v | [ de deux éléments ^ et v de ê définit une topologie dans ê; nous l'appelle- rons la topologie forte. Une suite [ p ' n \ sera donc fortement convergente vers une ^ de & si |[ ^JL — fJ./i |[ tend vers o. On appelle suite de Cauchy (1 6) une suite { p.n} telle que lim |[|JL^—l^-pl^ °?

n>- w

y » > 0 0

c'est le cas d'une suite fortement convergente. Dire que &^ est complet^ c'est dire que toute suite de Cauchy dont les éléments sont positifs converge fortement vers une distribution positive (17);

c'est ce que nous prouverons à la fin de ce paragraphe.

Conformément aux conventions en usage dans l'espace de Hllbert, une suite de p.n e & sera dite faiblement convergente vers p. e <@, si : i° les normes ||^/i[[ sont bornées; 2° pour chaque ). € <ê, (^, ).) est limite de (p-n-) ^)- Grâce à i\ il suffit que la condition 2° soit vérifiée pour un ensemble d'éléments ^partout dense dans & (« partout dense » s'entendant au sens de la topologie forte).

Si ^ est limite faible d'une suite de \j.n telles que )p-/i|| ^- M,

on a

l ^ l ^ M . En en et,

Ml2^^ ^ } = ^m(^ ^), et |(^ ^n) 1^11 ^||. I I M ^ M- II Ml-

n-^- ao

De là résulte la proposition classique : si une suite de Cauchy converge faiblement^ elle converge fortement. En effet, si |UL est limite faible de la suite de Cauchy ^, ^ — ^ est limite faible des [^a — [J'p (quand n tend vers l'infini), donc

II ^ — ^p I ^ lim sup II ^n — ^p I = s/,,

n > »

et £/^ tend vers zéro quand/) lend vers l'infini.

Comparons maintenant les convergences forte et faible à la convergence vague ( § 1 ) qui, elle, ne fait pas intervenir la

« fonction fondamentale » du potentiel.

(1 6) Plus généralement, on appelle filtre de Cauchy [voir BÔURBAKI, loc. cit' en (4)] tout filtre qui possède des ensembles de diamètre arbitrairement petit (pour la distance déduite de la norme).

(1 7) On montre sans peine que si toute suite de Cauchy est convergente, tout filtre de Cauchy est aussi convergent.

— <SÎ) —

PROPOSITION 3. — La convergence faible entraîne la conver- gence vague (a fortiori^ la convergence forte entraîne la convergence vague).

En effet, si, pour chaque ). € <S, (^/,, /.) tend vers (^-, 7), le lemme 3 (§ 2) permet d'affirmer que ^ est limite vague des ^/,.

Là proposition précédente admet une sorte de réciproque; avant de rétablir, faisons une remarque sur les suites monotones do potentiels de distributions positives.

PROPOSITION 4. — Si U^-QJ-eê^) est, en chaque pointa limite d'une suite croissante ou décroissante de potentiels LJ^"^-,, e ^"), alors ^ est limite forte de la suite ^./c

En effet, si U^ ^ U^, on a

Donc la suite \^n est une suite de Cauchy. 11 suffit alors de montrer que ^/i converge faiblement vers ^, c'est-à-dire que, pour toulc 7 € ê"^

Çw'd\ = lim FU^^A,

J H^wJ

ce qui est évident (passage à la limite sous le signe d'intégration).

Remarque. — La conclusion subsisterait même si l'ensemble des points où U^) n'est pas la limite de U^(.r), au lieu d'être supposé vide, était seulement supposé de mesure nulle pour toute distri- bution d'énergie finie; ceci a un intérêt dans le cas d'une suite décroissante de potentiels. D'autre part, la proposition 4 s'étend évidemment au cas d'un ensemble filtrant croissant (c/. § 3) de potentiels par contre, son extension aux ensembles filtrants décroissants n'est pas immédiate; elle résultera de la suite de ce travail (§ 8, théorème 4).

Une conséquence de la proposition 4 est celle-ci : toute p. de ê^

est limite forte de ses restrictions à des boules fermées ayant pour centre l'origine 0 et contenues dans l'espace de base E. Autre- ment dit, celles des distributions de &~^ qui sont portées par des

— 90—

compacts forment un sous-ensemble de <ê4', partout dense pour la topologie forte.

D^autre part, si une ^ positive est portée par un compact, son potentiel W est limite croissante des potentiels obtenus à partir de U^ par médiations sphériqucs (de rayons assez petits tendant vers zéro), potentiels qui sont continus. Ainsi : les distributions positives qui sont portées par des compacts et dont le potentiel est continu forment un sous-ensemble partout dense de ê^.

Enfin, soit ^ € ê"1", portée par un compact, et de potentiel continu. Posons i n f ( U ^ , ^)--== U^". La suite des U^" est décrois- sante et sa limite est nulle en tout point; donc (prop. 4) p/, converge fortement vers zéro. Ainsi, p. est limite forte des (p.—p-n), distributions de & dont le potentiel appartient à C^ (en effet, on a U^(^) == U^^) hors d'un compact convenable, car U^oc) tend vers o quand la distance de x à l'origine tend vers le rayon R de Pespace de base).

De tout ce qui précède, il résulte que les distributions de &

dont le potentiel appartient à la famille C forment un sous- espace partout dense de ê.

RÉCIPROQUE DE LA PROPOSITION 3. — Si une suite d'éléments p.n de ê^, d'énergies bornées^ converge vaguement vers une distribution ^., cette distribution appartient à S^ et est aussi limite faible des ^n-

Tout d^abord, |JL est bien d^énergie finie^ car si ||jji,i||^ M pour tout n, on a, en vertu de la semi-continuité inférieure de U^,

('Wp d^ ^ lim inf / Wp dy.n ^ IVP,

J •• n>ao J

puis, en vertu de la semi-continuité inférieure de U11, f l J P - < ^ j L ^ ] i m i n f Çwd^^W.

J / ? > » • /

Pour montrer que p. est limite faible de la suite ^n, il suffit alors de prouver que (;UL, À) est limite des (^n, ^) pour chaque ^ d'un sous-ensemble partout dense de <â, en fait pour les X dont le

— 91 —

potentiel appartient à (3; or, pour une telle /-,

Ç\]i d\i = lim fV^ d'in,

d'après la définition même de la convergence vague.

Nous sommes enfin en mesure de démontrer le théorème fondamental :

THÉORÈME 2. — ^espace &^~ {espace des distributions positives d'énergie finie) est complet (l s) .

Soit en effet une suite de Cauchy d'éléments ^n de ê~. Je dis d'abord que les ^,i convergent vaguement vers une certaine distribution positive ^.; en effet, pour tout élément /. de <ê~, la suite des nombres (pt.,,-, À ) a une limite [car c'est une suite de Cauchy, en vertu de l'inégalité de Schwarz

'! ( [J-n — ;^, A ) ! ^ 1 ^n— ^ ||.i A 1 |.

Appliquons ce résultat aux distributions /. de la forme E ( , J '- le lemmc 3 prouve que la suite ^n converge vaguement vers une distribution^. Mais alors pi est aussi limite fa ibie des ^, caria suite des énergies |[^,i|| est évidemment bornée. Enfin, comme la suite /JL,, est une suite de Cauchy, sa limite faible en est aussi limite forte, c. o. F. D.

Terminons ce paragraphe par une remarque au sujet de la proposition 4. Pour qu^une suite croissante (ou un ensemble filtrant croissant) de potentiels U^ (^/< positives) ait pour limite le potentiel d^une distribution y, d^énergie finie^ il faut et il suffit que les énergies des p.n soient bornées. La condition est trivialement nécessaire; elle est suffisante, car si V(^) désigne alors la borne supérieure desU^"^), le critère de la proposition 1 (§ 3) s'applique à V : désignons en effet par e, la distribution uniforme de la masse 1 sur la sphère de centre 0 et de rayon r<^R,

(1 8) Dans l'article cite en (s) , j'avais déjà démontré, par une tout autre voie, un théorème plus faible, à savoir que le sous-espace des distributions positives d'énergie finie portées par un ensemble compact fixe, est complet. Ce résultat était valable pour tous les potentiels « d'ordre a » (o < a < n). J'ignore si l'actuel théorème 2 est valable pour les potentiels d'ordre a lorsque a > 2.

- 92 - et considérons

( V chr = lim r U^. 6/s.. ^ lim || ^ ||, H s,, j ^ M || ^ || ; '^ fc/

comme ||e/.|[ tend vers zéro-quand r tend vers R, la moyenne

/

"

tenJ vers zéro quand r ' ^nd vers R. Ce qui acnève la démonstration.

6. Capacité. — Sans vouloir développer ici ce sujet, sur lequel je me réserve de revenir dans un autre travail, donnons de rapides indications sur les résultats dont nous aurons besoin. Le lecteur pourra reconstituer sans peine le détail des démonstrations; ces résultats sont d'ailleurs pour la plupart connus.

K. désignant un ensemble compact, il existe une distribution positive p.^ et une seule jouissant des propriétés suivantes : ^ est portée par K, son potentiel est partout ^ i , et est égal à i à peu près partout sur K (c'est-à-dire : l'ensemble borélicn des points de K. où le potentiel est 7^ i est de mesure nulle pour toute distri- bution de ê^). On montre Yunicité d'une telle distribution (si elle existe) en remarquant que, parmi les ^ de êjf {&^ désigne l'ensemble des distributions positives d'énergie finie portées par K), elle minimise l'intégrale j (U^— 2) d^\ quant à Yexistence^ on prouve que l'intégrale / ( U ^ — 2 ) dp. atteint effectivement sa borne inférieure [grâce au fait que &~^ est complet (1 1 > >)], et que la distribution minimisante /JL^ est caractérisée par les deux conditions :

^ ( U ^ K — i ) dy. ^ o pour toute \L de ê^;

I ( UP-K — i ) d^ ^ o ( et donc = < ).

La première condition signifie que tJ^^)^! à p. p. p. sur K, la seconde que U^^) == i sur un noyau de ^.K» alors (prop. 2, ç h.\ TTP-K^)^! partout, et le théorème d'existence est ainsi démontré.

(l t )) J'ai indiqué cette méthode de démonstration dans l'article cité en (s).

- 93 -

Nous noterons c(K} la capacité de l'ensemble compact K ; c'est par définition la valeur commune de l'énergie ti^l2 cfc ao ^ masse f d^. La distribution ^ s'appelle distribution capaci- taire de K. La capacité c ( K ) est aussi la borne supérieure' de la mpsse et de P^nergie des distributions positives, portées par K;

dont le potentiel est partout au plus ég'I à i . Dire que c ( K ) == o, c'e->t dir^ que ^p= °? ^c^ qui exprime que K est de mesure nulle pour toute di 'ïibution de d^"; il revient au même de dire 'que K est 'Je mesure ii:ille pour toute distribution positive de potentiel borné.

On défin'l la capacité intérieure^ci{\} d'un ensemble quel- conque A (que A soit ou ne soit pas relativement compact), comme la borne supérieure des capacités des ensembles compacts contenus dans A. C'est aussi la borne supérieure des mesures intérieures de A pour les distributions positives de potentiel ^ i partout. Il en résulte que, pour une famille unie ou dénombrable d'ensembles boréliens A,t, de réunion A, on a

(•2; c,(A)^^c,(A,,).

n

La capacité extérieure Ce(A) est, par définition, la borne inférieure des capacités Intérieures des ensembles ouverts conte- nant A (->0). On a C t ( A ) ^ c ^ ( A ) ; lorsque Ce(A) et c;(A) sont égaux, leur valeur commune s'appelle la capacité (tout court) de A.

C'est notamment le cas lorsque A est ouvert; on démontre que c'est aussi le cas si A est compact. Do la relation ( 2 ) , appliquée à des ensembles ouverts, on déduit

( 3 ) ^ ( B ) ^ ^ ^ ( B / , )

n

peur une fnmîlle finie ou dénombrable d'ensembles quelconques^,^

de réunion B.

Revenons sur la notion de « à peu près partout ». Nous avons dit qu'une propriété des points de l'espace a lieu à p. p. p. sur un

(2 0) On trouve d é j à cette définition chez Brelot (Journ. de Mat/t.. 9* série.

t. 9, ly^o, p. 3n)-337; voir p. 3 2 i ) .

— 94 -

compact K si l'ensemble (supposé borélien) des points de K où elle n'a pas lien est de mesure nulle pour toute distribution deê^.

Il revient au même de dire que cet ensemble est de capacité intérieure nulle. D'une manière générale, nous dirons aucune propriété a lieu à p. p. p. sur A (A étant un ensemble quelconque) si l'ensemble des points de A, où elle n'a pas lieu, est de capacité intérieure nulle.

Ceci nous conduit à une nouvelle notion : on dira qu'une propriété des points de l'espace a lieu quasi-partout sur A, si l'ensemble des points de A on elle n'a pas lieu est de capacité extérieure nulle.

Ainsi, l'ensemble des points d'un compact K où le potentiel capacitaire est <^ i est de capacité extérieure nulle, car cet ensemble est la réunion d^une famille dénombrable d'ensembles compacts à savoir les ensembles U^(^) ^- i — - ? dont chacun est de capacité nulle.

Remarque. — On ignore s'il existe des ensembles boréliens dont la capacité intérieure soit nulle et la capacité extérieure non nulle.

Avant d'en terminer avec la capacité, parlons brièvement des distributions capacitaires « intérieure » et « extérieure » que l'on p e u t d é f i n i r pour un ensemble quelconque (> J 1) . Nous omettons le détail des démonstrations, qui seront publiées ailleurs.

Soit A u n ensemble dont la capacité intérieure c / ( A ) soit finie (A peut n'être pas relativement c o m p a c t ) . Si K désigne un ensemble compact variable contenu dans A, la distribution capa-

' ' - ' ' ) M. tirelot. dans un travail récent [Journ. de Math., 1 9 4 5 ? (sous ^'ressc}]

envisage lui aussi le.-» deux distributions capacitaires intérieure et extérieure.

Il convient, de remarquer que Brelot donne pour fondement à sa tSséorie fe théorème de convergence qui sera précisément démontré au cours du présent t r a v a i l i tî 8. théor. 4 ) : j'avais annoncé ce théorème dans une Note aux Comptes rendus ( ' 2 1 l , î O ^2' - P- 9 ( 4 L t>L Fîi'cîol l'a admis sans a t t e n d r e la publication de nid démonstration. Au contraire la définition que je donne ici des distributions capacitair'1-; intérieure et extérieure est indépendante du théorème de conv'er-

^ c t t C ^ . On notera aussi que in distribution capacitaire intérieure d'un ensenibie brrné a f ? é ^ a S - ' i p ^ n t e n v i s a ^ " " . d'une marsu're assez compliquée,, par F. Vasilcsco ( f^if/. d : ' ^ .v. it'nces M / t t / i . . 2'' série, t. GT, ! 9 ^ 3 , p. 4<'r68L qui, par c o n t r ' ' , ne

- 98 —

•

cita ire ^ tend fortement vers une linnte quand c ( K ) tend vers Ci(A). En effet, si K'et R." désignent deux compacts contenus dans A., tels que K'cK", on a

i^-^r^^K")-^^);

il suffit alors de se servir du fait que Fespace 6 est complet. La limite ^ de p^ [lorsque c(K) tend vers C t ( A ) ] s'appelle la distribution capacitaire intérieure de A; elle n^est pas néces- sairement portée par A ; sa masse et son énergie sont égales à Ci (A).

Pour toute suite de compacts K< c . .. C K/i C . . . telle que H m c ( K » ) = ^/(A),

la suite croissante des potentiels des distributions p.^ a pour limite le potentiel capacitaire intérieur I>A; il en résulte que ce dernier est égal à i en tout point intérieur à A. En particulier, si A est un ensemble ouvert de capacité finie (^{2 0}) , la distribution capaci- taire intérieure de A a un potentiel égal à i en tout point de A.

On prouve, d^une manière analogiie, Inexistence d^une « distri- bution capacitaire extérieure » pour un ensemble A de capacité extérieure finie : c'est la limite forte des distributions capacitaires intérieures des ensembles ouverts B contenant A, lorsque c;(B) tend vers c<?(A). Lorsque Ci(A) == c<.(A) < +00, les deux distri- butions capacitaires (intérieure et extérieure) de A sont identiques.

7. Infinis d'un potentiel. — II est bien connu (2 y) , par la loi de réciprocité, que l'ensemble des points où un polenliel (non identi- quement infini) est infini, est de mesure nulle pour toute distri- bution de potentiel borné; autrement dit, c^est un ensemble de capacité intérieure nulle. Je me propose de montrer qu'il est même do capacité extérieure nulle.

THÉORÈME 3. — Si p. désigne une distribution positive dont le potentiel n'est pas identiquement infinie V ensemble des points x où W(x) est infini est de capacité extérieure nulle.

(3 2) Dans le cas d'un ensemble ouvert borné, la distrit'hition capacittfire a déjà été envisagée par de La Vallée Poussin (ffull. Acad. Roy. Belgique^ nov. igSS, p. 672-689? voir § 4).

(2 a) Voir, par exemple, p. 21 de l'ouvrage de La Vallée Poussin cité en (l î).

- 9^ -

II suffît de montrer que, pour tout compact K, Pensemble des points de K où U^ est infini est de capacité extérieure nulle; or cet ensemble est le même que l'ensemble des points où L^ est infini, v désignant la restriction de ^ à un voisinage compacl d e K . Il suffit donc de démontrer le théorème pour une distribution positive de masse totale finie. Or :

Lemme 4. — Si ^ est une distribution positive de masse totale m, l'ensemble (ouvert) des points x où

\]y-(x) > a (a nombre > o)

a une capacité au plus égale à — -

En effet, pour tout compact K contenu dans cet ensemble, on a

oc c( K ) = a f <^ULR ^ Ç U- <^ULK = I WK dy. ^ / d u . = m.

Co lemme étant établi, soit pi une distribution positive de masse totale m, L'ensemble des points x où U ^ ^ ^ +00 est contenu dans rcnscmble ouvert où U^^) >> a, ensemble de capa- cité ^ — ? donc arbitrairement petite, c. Q. F. n.

THÉORÈME 3 bis (réciproque du théorème 3). — Pour tout ensemble A de capacité extérieure nulle, il existe une distri- bution positive^ d^ énergie arbitrairement petite^ dont le poten- tiel est infini en tout point de A.

En effet, soit 5 un nombre > o arbitraire. Il existe un ensemble ouvert B,, contenant A-, dont la capacité est ^^""^e; sa distri- b u t i o n capacilairc p.n a une énergie ^a"'²^, et son potentiel est égal à i en tout point de B,i, et en particulier en tout point de A.

30

La distribution ^ n / i a une énergie ^£, et son potentiel est infin-i /^=i

on tout point de A. c, Q. F. D.

Appelons, avec Brelot, ensemble polaire tout ensemble A tel qu'il existe une distribi.tioli. positive dont le potentiel soit infini en tout point de A sans être identiquement infini. Alors les théo- rèmes 3 et 3 bis fournissent une caractérisation des ensembles polaires :

- 97 -

Pour qu^un ensemble h. soit polaire^ il faut et il suffit que sa capacité extérieure soit nulle.

Signalons que ce résultat peut s'étendre à des cas plus généraux

<que celui du potentiel newtonlen; par exemple au cas où la

« fonction fondamentale » est \x—y ^"^(o < a <; Â-), fonction qui donne naissance aux « potentiels d'ordre a » de M. Riesz et Frostman (³). Les démonstrations précédentes doivent être alors légèrement retouchées dans le détail, mais subsistent dans leurs traits essentiels.

Remarque. — Le problème se pose de caractériser entièrement l'ensemble des infinis d'un potentiel, c'est-à-dire de trouver un sjstème de conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un ensemble A soit l'ensemble de tous les points où un potentiel convenable (non identiquement infini) est infini.

8. Familles décroissantes de potentiels. — Contrairement à^ce qui a lieu pour les suites croissantes (ou plus généralement les ensembles filtrants croissants) de potentiels de distributions posi- tives, la borne inférieure d'une suite décroissante de potentiels n'est pas, en général, le potentiel d'une distribution positive : par exemple, si un ensemble A est intersection d'une suite décroissante d'ensembles ouverts Bn dont la capacité tend vers o, la suite des potentiels capacitaires des ensembles B^ est une suite décroissante dont la borne inférieure est nulle quasi-partout (comme cela va résulter du lemme 5 qui suit), mais est égale à i en tout point de A;

une telle fonction n'est pas le potentiel d'une distribution positive.

M. Brelot (^{2 A}) a démontré que la borne inférieure d'une suite décroissante de potentiels U^" est à peu près partout égale à un potentiel U^. Sans avoir recours à ce résultat, nous allons démontrer directement ici que l'ensemble exceptionnel [celui des

(u) Note citée en (1) , Brelot étudie, en fait, les fonctions sousharmoniques plutôt que les potentiels (il s'agit alors de suites croissantes de fonctions sous- harmoniques). Le cas des fonctions surharmoniques (dont l'étude est bien entendu équivalente à celle des fonctions sousharmoniques) sera traité ici (§ 9, théorème 6).

LXXIII. 7

— 98 -

points où U^a*) n^esl pas égal à la borne inférieure des U^"^)]

est non seulement de capacité intérieure nulle, mais de capacité extérieure nulle (résultat qui m'avait été signalé par Brelot comme probable, sans qu'il ait pu le démontrer). En outre, le théorème sera étendu au cas plus général d'un ensemble filtrant décroissant de potentiels.

Auparavant, nous aurons besoin d'un résultat préliminaire : Lemme 5. — p. et v désignant deux distributions positives d'énergie finie, Pensemble des points où l'on a

W(x) > U^ (a?) -+- a (a nombre > o)

a une capacité extérieure au plus égale à —,\[f- — v p .

Montrons d'abord que la capacité intérieure de cet ensemble A est ^ —; | p. — v |2, c'est-à-dire que Pon a

c ( K ) ^ ^ [ | ^ - v | |2

pour tout ensemble compact K. en tout point duquel

W ( a ? ) > IP^-t-a.

Désignons par À la distribution capacitaire de K; alors

a . c ( K ) : = a / ^ X ^ ^ ( W — LPQ d\ ^ ) y. — v |. [ X || == ( ^ — v |. \/^K^-

En comparant les membres extrêmes, on obtient le résultat annoncé.

Reste maintenant à majorer la capacité extérieure de A. Or, d'après la proposition 4 (§5), il existe une distribution positive ^ dont le potentiel est continu et partout ^ U^, et une telle distribu- tion v'peut être choisie de manière que [ v — T / | soit arbitrairement petit. L'ensemble des points où U^^U^a?) -h a est ouvert et contient A; sa capacité est au plus égale à-^ | / J L — i / j2, d'après ce qui précède. Donc la capacité extérieure de A est au plus égale à -L j n — y' j2 j et comme | y. — ^ | peut être arbitrairement voisin de Ip.—v|, le lemme est démontré.

— 99 — Faisons tout de suite une application :

PROPOSITION 5. — Pour toute distribution positive p. de potentiel U^ non identiquement infinie on peut retrancher de V espace un ensemble ouvert de capacité arbitrairement petite^

de manière que^ prise sur l'ensemble fermé restante la fonction U^ soit continue.

Supposons d'abord p. d'énergie finie. £ > o étant donné, 11 existe une distribution positive p.n d'énergie finie, de potentiel continu ^ U¹¹, et telle que l'ensemble (ouvert) B^ des points où V^(x) — U^(^) > ^ soit de capacité ^~ Hors la réunion B des B^, dont la capacité est au plus égale à e, la fonction W{x) est limite uniforme de la suite des fonctions continues U^(.r), et par suite U^, considérée comme fonction sur l'ensemble fermé complémentaire de B, est continue,

Reste à examiner le cas général. Il suffit d'examiner le cas où p.

est portée par un ensemble compact. Or, diaprés le lemme 4 (§ 7), il existe un entier/? tel que le potentiel V^= in((U^,p) soit égal à U^ en dehors d'un ensemble ouvert de capacité arbitrai- rement petite; et comme v est d'énergie finie, on peut l u i appliquer le résultat déjà obtenu. Ceci achève de démontrer la proposition 5.

Abordons maintenant l'étude des familles décroissantes de potentiels.

THÉORÈME 4. — Soif une suite décroissante (ou plus généra- lement un ensemble filtrant décroissant) de potentiels V^

(y.n distributions positives de potentiels non identiquement infinis). 77 existe une distribution positive p. et une seule dont le potentiel est partout au plus égal à la borne inférieure V (x) des U1^^), et quasi-partout égal à V(^). Le potentiel U^ est la fonction a régularisée semi-continue inférieurement » de la fonction V. La distribution p. est limite forte des p.n lorsque celles-ci sont rf'énergie finie, limite vague des |JL,, dans le cas général,

Montrons d'abord Yunicité de (JL, si elle existe : si un potentiel (ou plus généralement une fonction surharmonique) esl partout

au plas égal à une fonction V(a?), et quasi-partout (ou même seulement presque-partout au sens de Lebesgue, c'est-à-dire sauf sur un ensemble de mesure spatiale lebesguienne nulle) égal à V(a?), il est identique à la fonction W(x) « régularisée semi- continue intérieurement » (2 5) de V, c'est-à-dire

W ( a - ) = l i m i n f V ( y ) . y>x En effet, soit V^(x) un tel potentiel; on a

U^) = lim infU^(y) ^ W(^), y>x

et W(^) est lui-même au plus égal à la limite des moyennes spatiales de V (ou, ce qui revient au même, de U¹¹) dans des boules de centre x dont le rayon tend vers zéro; or cette limite est précisément ?(.2?), d'où finalement

u^ao^w^^u^),

ce qui établit l'égalité annoncée.

Reste à montrer Yexistence d'une distribution p. jouissant des propriétés indiquées dans Renoncé du théorème. Supposons d'abord que les p.n soient d'énergie finie. Alors elles forment une suite de Cauchy [ou un filtre de Cauchy (^{1 6}) si les U^ forment un ensemble filtrant décroissant général], donc (§ 8, théor. 2) convergent fortement vers une distribution positive p., d'énergie finie. En particulier, p. est limite vague des ^, donc, en tout point a?,

W(^)^liminfUP-"(aQ,

ce qui donne U^-r) ^ V ( y ) , V(^) désignant, comme plus haut, la borne inférieure des U ^ " f r f ) . Pour tout e > o, l'ensemble des points où V(x) > V^(x) + s est contenu dans l'ensemble des points où U^"^) >> U^a?) + e, ensemble dont la capacité exté- rieure tend vers o avec||^—^|[, d'après l e l e m m e 5 ; l'ensemble des points où V(a?) >> U^a*) + e est donc de capacité extérieure nulle. L'ensemble des points où V(;r) > ?(.2?) apparaît alors comme réunion dénombrable d'ensembles de capacité extérieure nulle : c'est un ensemble de capacité extérieure nulle. Et ceci

(2 &) Cf. P. LELONO, Ann. Èc. Norm sup., 58, 1941, P. 88-177; voi^p. 97.

— 101 —

démontre entièrement le théorème A dans le cas où l'énergie des y.n est finie.

Noas allons ramener le cas général à ce cas-là : soit a une distribution positive fixe d'énergie finie; posons, pour chaque entier/?,

inf(U^, pU«) =11^.

p restant fixe, les Vn,p ont pour limite forte une v/,, telle que U^

soit partout au plus égal et quasi-partout égal à inf^jDiP^infU^p.

n

Lorsque/? varie, les U^ forment une suite croissante de potentiels majorés par V, donc (§3, théor. 1) ont pour limite un potentiel U^^V. Enfin, hors d'un ensemble de capacité extérieure nulle, U^ est égal à la limite de la suite des inf(V, pU^, limite qui est précisément V. La démonstration du théorème 4 est ainsi achevée, à cela près qu'il reste à vérifier que la distribution ^ que nous venons d'obtenir est bien limite vague des |JL^.

Pour l'établir, il suffit (Cf. lemme 3, § 2) de montrer que, pour toute distribution X de la forme ta n on a

(4) rWd\==\ïm ÇWnd>..

C'est évident si les U^" forment une suite décroissante, car alors le théorème de Lebesgue sur l'intégrale de la limite d'une suite décroissante est applicable ; mais pour le cas général d'un ensemble filtrant décroissant de U^, le résultat n'est plus évident, et nécessite une démonstration spéciale, que voici.

Nous allons montrer que la relation (4) vaut pour toute distri- bution positive À telle que tout potentiel (non identiquement infini) soit sommable par rapport à \ (en particulier, l'énergie de À est finie). Désignons par UP un potentiel fixe supérieur aux V^y étant donné e > o, il existe un entier/? tel que

f [ U P — inf(UP, pU⁰¹)] dk ^ £

(cela tient à ce que f UP cH est fini}. En conservant les notations ci-dessus, innU^jDU") n'est autre que U^, puisque tous deux sont quasi-partout égaux À in^VïjoU⁰¹). Écrivons désormais u^

— 102 —

au lieu de Vn,p^ et p.' au lieu de Vp. Puisque p/ est limite forte de ^, et que ^ est d^énergie finie, on a

Çwcl\=\ïm ÇWndk,

or

UP-n— IM ^ U P — inf(UP, joU01), donc

f ( W n - l X ) ^ ^ e ,

et

liiiK r U ^ ^ ^ l i m F U ^ < A + £ = f w r f X - 4 - e ^ f u ^ - h e ;

n J n J J J

comme 6 a pu être choisi arbitrairement petit, on a lim Çwnd\^ Çwdk.

L/inégalité inverse est évidente, puisque U^^U11.

c. Q. r. D.

Remarque, — Une autre démonstration de Pinëgalité (4) résulterait du fait suivant : dans FensemDie filtrant décroissant des U^", on peut trouver une suite décroissante dont la limite est quasi-partout la borne inférieure des U^".

COROLLAIRE DU THÉORÈME 4. — Etant donné une famille quelconque de distributions positives^ la borne inférieure de leurs potentiels est quasi-partout égale au potentiel d^une distribution positive^ et partout au moins égale à ce potentiel.

En effet, les bornes inférieures d^un nombre fini quelconque de potentiels de la famille forment un ensemble filtrant décroissant de potentiels, auquel on applique le théorème 4.

9* Limite inférieure d'une suite de potentiels. — Voici une conséquence du théorème 4 :

THÉORÈME 5. — Etant donnée une suite (2 6) quelconque de potentiels W" (non nécessairement décroissante), il existe une

(2 6) Le fait qu'il s'agit d'une suite dénombrable est essentiel, contrairement à ce qui avait lieu pour le théorème 4.

— 103 —

fonction surharmonique y telle que l'on ait y (a?) == lim infU^a?) quasi-partout,

/l>-ao

y (a?) ^ lim infU^»^) partout.

71>-00

En effet, liminflP'" est limite de la suite croissante des

n>ao

fonctions \p(x) = infU^a*). Diaprés le corollaire du théorème 4,

n^p

il existe une distribution positive Vp telle que

\î^p(x) == V^(a?) quasi-partout, U^ (a?) ^ V/, ( x ) partout.

Les U^ forment une suite croissante; leur borne supérieure 9 est sur harmonique, quasi-partout égale à lim Vp(a?), et partout

^limV^(o?). c. Q. r. D.

Complément : pour que 9 soit un potentiel de distribution positive, il suffit que l'une ou Pautre des conditions suivantes soit vérifiée :

i° les U^" sont majorés par un potentiel fixe (non identiquement infini);

ï° les distributions p.n sont de masse totale finie, uniformément bornée.

Pour i°, c^est évident, car alors les U^ sont majorés par un potentiel fixe. Pour 2°, nous allons montrer que le critère de la proposition 1 (§ 3) est alors rempli : on a

r U W e r ^ U W £ r = ÇWrd^p^mMr,

Mr désignant le maximum de U⁸¹', et m une borne supérieure de la masse totale de p.p (valable quel que soit jo). Ceci ayant lieu pour tout p^ on a, à la limite,

/ © û?6r^W.M,.,

et comme Mr tend vers o quand r tend vers B, le critère de la proposition i est bien vérifié.