(X-ENS) Une variable aléatoire discrète X, à valeurs dans N, a une série génératrice G de rayon de convergence R >1 vérifiant : ∀(x, y)∈R2 x2+y2&lt

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16. (X-ENS) Une variable aléatoire discrète X, à valeurs dans N, a une série génératrice G de rayon de convergence R >1 vérifiant : ∀(x, y)∈R² x²+y²< R² ⇒G(x)G(y) = 1

2G x²+y² . a)Déterminer G(0)et montrer que : ∀k∈N P(X= 2k+ 1) = 0.

b)Montrer que Gest solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1, que l’on précisera.

c)En déduire l’expression de G, puis les valeurs deE(X) etV (X).

Solution

a)Avec y= 0, la relation vérifiée parG donne

∀x∈]0, R[ G(x)G(0) = 1 2G(x). Par ailleurs G(1) =

∞

n=0

P(X=n) = 1 d’où, avecx= 1∈]0, R[: G(0) = 1

2. Et maintenant avecy = 1,

∀x∈]0, R[ G(x) = 1

2G x²+ 1 =G(−x).

Gest donc la fonction somme d’une série entière paire, par unicité des coefficients d’une série entière tous les coefficients des puissances impaires de x sont nuls, soit :

∀k∈N P(X = 2k+ 1) = 0.

b)G est C^∞ sur ]−R, R[en tant que fonction somme d’une série entière de rayon de convergence R.

Poury = 1, j’ai

|x|< R²−1⇒G(x) =1

2G x²+ 1 et je peux dériver par rapport à x :

|x|< R²−1⇒G^′(x) = 1 2

√ x

x²+ 1G^′ x²+ 1 . (1) Par ailleurs, pourx fixé tel que |x|<√

R²−1, j’ai

|y|< R²−x²⇒G(x)G(y) = 1

2G x²+y² et je peux dériver par rapport à y :

|y|< R²−x²⇒G(x)G^′(y) = 1 2

y

x²+y²G^′ x²+y² où je peux choisir y= 1puisqueR²−x² >1 :

G(x)G^′(1) = 1 2

√ 1

x²+ 1G^′ x²+ 1 . (2)

En multipliant (2) parx et en tenant compte de(1)j’obtiens

|x|< R²−1⇒G^′(x) =xG^′(1)G(x). Autrement dit,

Gest solution sur −√

R²−1,√

R²−1 dey^′ =xG^′(1)y.

PSI* — 2020/2021 — Préparation aux oraux — Probas n^o 16 Page 2 c)Cette équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 s’intègre à vue : il vient, du fait queG(0) = 1

2 : G(x) = 1

2exp G^′(1)x² 2 .

Nous avons obtenu cette expression sur un voisinage de 0, mais par unicité des coefficients d’une série entière elle est vraie sur tout l’intervalle de convergence. En particulier pour x = 1, sachant que G(1) = 1je trouve

exp G^′(1)

2 = 2 d’où G^′(1) = 2 ln 2 soit finalement

G(x) = 1

2exp x²ln 2 . Il s’avère que R= +∞, doncG est deux fois dérivable en 1 et

G^′(1) = 2 ln 2 car exp (ln 2) = 2 ! De plus

G^′(x) =xln 2 exp x²ln 2 donne G^′′(x) = ln 2 + 2x²(ln 2)² exp x²ln 2 d’où

G^′′(1) = 2 ln 2 (1 + 2 ln 2) =G^′(1) +G^′(1)². Or

G^′(1) =E(X) et G^′′(1) =E X(X−1) =E X² −E(X). Il en résulte

E(X) = 2 ln 2 et V (X) = 4 ln 2.