II . C on ti nui té sur un in ter va lle

(1)

ECE1-B2015-2016 Tableaurécapitulatif. Letableausuivantpermetdefaireunpointsurlesdiﬀérentstypesd’in- tervallespouvantintervenirdansleThéorème10. Naturedel’intervallef(I) ICasfstrictement croissantesurICasfstrictement décroissantesurI [a,b][f(a),f(b)][f(b),f(a)] [a,b[[f(a),lim x!bf(x)[]lim x!bf(x),f(a)] ]a,b]]lim x!af(x),f(b)][f(b),lim x!af(x)[ ]a,b[]lim x!af(x),lim x!bf(x)[]lim x!bf(x),lim x!af(x)[ 28 ECE1-B2015-201

C H X I :É tude gl oba le de s fo nc tio ns ré el le s d’ une va ria bl e ré el le I. P ro pr iét és génér al es des fo nc ti ons f : I ! R

Danslasuite,Iseraunintervalle(mêmesilaplupartdesopérations restentvraiessuruneréuniond’intervalles). I.1.Fonctionspaires/impaires Définition Unefonctionf:I!Restpairesi:8x2I,f(x)=f(x) Pourquecettedéfinitionsoitvalide,ilfautsupposerquelesquantitésf(x) etf(x)sontbiendéfinies.Ilfautdoncquelafonctionfsoitdéfiniesur unintervalleIsymétrique: x2I)x2I Remarque •Lacourbereprésentatived’unefonctionpaireestsymétriqueparrap- portàl’axedesordonnées. •Ainsi,sifpaire,alorsfn’estpasinjective(saufsiI={0}). •Onpeutécrireuneversion«sanslesx»decettedéfinition. SoitIunintervallesymétrique.Unefonctionf:I!Restpairesi: f(id)=f

(2)

ECE1-B2015-201

b)Onintroduitlafonctiong:x7!f(x)x.Laquestionconsisteàdémontrerquel’équationg(x)=0admetuneuniquesolution.

•LafonctiongestcontinuesurRcommesommedesfonctionsfetx7!xquisontcontinuessurR.

•Ilfaudraitalorsfairel’étudedeladérivabilitédef(cfchapitreàvenir)pourpouvoirendéduireletableaudevariationssuivant.

x

Signedeg0(x)

Variationsdeg 1+1

+1+1

11 `0

•Détaillonslesdiﬀérenteslimitesdecetableau.

⇥limx!1 f(x)=0etlimx!1 x=+1. Donclimx!1 g(x)=+1.

⇥limx!+1 f(x)=0etlimx!1 x=1. Donclimx!1 g(x)=1.

•Lafonctiongest:1)continuesur]1,+1[,2)strictementdécroissantesur]1,+1[.Elleréalisedoncunebijectionde]1,+1[surg(]1,+1[).Or:

g(]1,+1[)=]limx!+1 g(x),limx!1 g(x)[=]1,+1[

Comme02]1,+1[,l’équationg(x)=0admetuneuniquesolution`2]1,+1[.

•Or,pardéfinition,`=f(`)2[0, 12]puisquefestàvaleursdans[0,12].

27 CE1-B2015-2016

ExempleOnconsidèrelafonctionf:x7! exe2x+1 . DonnersondomainededéfinitionDfetdémontrerquefestpaire.

•Laquantitéf(x)estdéfiniepourtoutxtelque:e2x+16=0.Ore2x+1>0.OnendéduitqueDf=R.

•Soitx2R.

f(x)= e xe2x+1 = 1ex1e2x+1 = 1ex1+e2xe2x = 1ex e 2x

1+e2x = e xe2x+1 =f(x)

Onendéduitquefestpaire.Sacourbereprésentativeestdoncsymé-triqueparrapportàl’axedesordonnées.

642246

0.5 0.5

DéfinitionSoitIunintervallesymétrique.

Unefonctionf:I!Restimpairesi:8x2I,f(x)=f(x)

Remarque

•Lacourbereprésentatived’unefonctionimpaireestsymétriqueparrap-portàl’origine.

•SoitIunintervallesymétrique.Unefonctionf:I!Restimpairesi:

f(id)=(id)f

2

(3)

ECE1-B2015-2016 Démonstration. a)•OnadéjàdémontréquefestcontinuesurR. •Ilfaudraitalorsfairel’étudedeladérivabilitédef(cfchapitreà venir)pourpouvoirendéduireletableaudevariationssuivant. x Signedef0(x) Variationsdef

10+1 +0 00

1 21 2 00

u 1 4 •Détaillonslesdiﬀérenteslimitesdecetableau. ⇥ex ! x!10ete2x +1! x!11. Ainsilim x!1f(x)=0. ⇥f(0)=e0 e2⇥0+1=1 1+1=1 2 ⇥f(x)=ex e2x+1=ex e2x1 1+1 e2x=1 ex1 1+1 e2x Or1 ex! x!+10et1+1 e2x! x!+11 Ainsi,lim x!+1f(x)=0 •Lafonctionfest: 1)continuesur[0,+1[, 2)strictementdécroissantesur[0,+1[. Elleréalisedoncunebijectionde[0,+1[surf([0,+1[).Or: f([0,+1[)=]lim x!+1f(x),lim x!0f(x)]=]0,1 2[ Comme1 42[0,1 2[,l’équationf(x)=1 4admetuneuniquesolution u2[0,+1[. 26 ECE1-B2015-201 Propriété(jouonsavecladéfinition...) SoientfetgdeuxfonctionsdéfiniessurR. 1)fpaire)gfpaire 2)fetgimpaires)gfimpaire 3)fimpaireetgpaire)gfpaire Démonstration. 1)Soitx2R.Onaalors: gf(x)=g(f(x))=g(f(x))=gf(x) Cequidémontrequegfestpaire. Onauraitpufaireunedémonstration«sanslesx»: (fg)(id)=f(g(id))=fg 2)Soitx2R.Onaalors: gf(x)=g(f(x))=g((f(x)))=g(f(x))=gf(x) Cequidémontrequegfestimpaire. 3)Soitx2R.Onaalors: gf(x)=g(f(x))=g(f(x))=g(f(x))=gf(x) Cequidémontrequegfestpaire.

(4)

ECE1-B2015-201

AutreformulationSif:I!Rvérifieleshypothèsesduthéorèmeonaalors:

•Pourtoutycomprisentref(a)etf(b),l’équationy=f(x)auneuniquesolutiondansl’intervalle[a,b].

•Ouencore:toutélémentycomprisentref(a)etf(b)possèdeununiqueantécédentparfdans[a,b].

Théorème10.SoitIunintervalled’extrémitésaetb(éventuellementinfinies).Soitf:I!RunefonctioncontinueetstrictementmonotonesurI.1)f(I)estunintervalled’extrémitéslimx!a f(x)etlimx!b f(x).

2)Deplus,lesintervallesIetf(I)sontdemêmenature:

⇥fermés(comme[1,2],[1,+1[,]1,2]),

⇥ouverts(comme]1,2[,]1,+1[,]1,2[),

⇥ousemi-ouverts(comme]1,2],[1,2[).

RemarqueLestableauxdevariationconstituentunoutildebasedanslarédactiondesquestionss’appuyantsurlethéorèmedelabijection.Unefoisétabli,unteltableaupermetlalecturerapide:

⇥desintervallesIdestrictemonotoniedef,

⇥desintervallesf(I)correspondants.

ExerciceOnconsidèrelafonctionf:x7! e xe2x+1 . a.Démontrerquel’équationf(x)= 14admetuneuniquesolutionudansl’intervalle[0,+1[.b.Montrerqu’ilexisteununiqueréel`telquef(`)=`.Justifierque:06`6 12 .

25 CE1-B2015-2016

I.2.Bornesd’unefonction

I.2.a)Notiondeminorant/majorant

DéfinitionSoitf:I!R.

1)festminorée(surI)sielleadmetunminorant:

9m2R,8x2I,m6f(x)

2)festmajorée(surI)sielleadmetunmajorant:

9M2R,8x2I,f(x)6M

3)festbornée(surI)sielleestàlafoismajoréeetminorée:

9(m,M)2R 2,8x2I,m6f(x)6M

cequ’onpeutaussiécriresouslaforme:

9M2R +,8x2I,|f(x)|6M

RemarqueSiunefonctionfadmetunmajorantM(resp.unminorantm)alorselleenadmetuneinfinité.Eneﬀet,toutélémentplusgrandqueM(resp.pluspetitquem)estunmajorant(resp.minorant)def.

LesbornesmetMévoquéesdanscesdéfinitionsnesontpasforcémentdesvaleursprisesparf.

Parexemple,lafonctionf:x7! exexex+exestmajoréepar1(doncpar 1.1,1.5,e,37,1018...)mais1n’estpasatteintparf.

4

(5)

ECE1-B2015-2016 III.2.Théorèmedelabijection Théorème9. Soitf:I!Runefonction: 1)continuesurI, 2)strictementmonotonesurI. Onaalors: •f(I)estunintervalle, •f:I!f(I)estuneapplicationbijective, •f1:f(I)!Iestcontinueetstrictementmonotonesurf(I). Plusprécisément,f1possèdelemêmesensdemonotoniequef. Démonstration. •f(I)estunintervallecarc’estl’imaged’unintervalleparunefonction continue(TVI-ter). •Lafonctionf:I!f(I)estbijective(résultatdelaProposition1). •Montronsalorsquef1:f(I)!Iestaussistrictementmonotone. Supposonsfstrictementcroissante(lecasfdécroissanteestsimilaire). Ils’agitdemontrer:8(u1,u2)2(f(I))2,u1<u2)f1(u1)< f1(u2). Soientu1etu2deuxélémentsdef(I).Ainsi: ⇥ilexistex12Itelqueu1=f(x1), ⇥ilexistex22Itelqueu2=f(x2). D’oùf1(u1)=f1(f(x1))=x1etf1(u2)=f1(f(x2))=x2. L’implicationàmontrers’écritdonc:f(x1)<f(x2))x1<x2.On ladémontreparcontraposée:six1>x2alorsf(x1)>f(x2)carfest croissante. •Ilresteàdémontrerquef1estcontinuesurf(I).Admis. 24 ECE1-B2015-201 I.2.b)Notiondeminimum/maximumglobal Définition Soitf:I!R. 1)fadmetunminimumsurl’intervalleIsi: 9x02I,8x2I,f(x)>f(x0) Sitelélémentexiste,onditquefatteintsonminimumaupointx0. 2)fadmetunmaximumsurl’intervalleIsi: 9x02I,8x2I,f(x)6f(x0) Sitelélémentexiste,onditquefatteintsonmaximumaupointx0. Remarque •S’ilexiste,lemaximum(resp.minimum)d’unefonctionsurIestunique. Cependant,cemaximumpeutêtreatteintenplusieurspointsdeI. •Lemaximum(resp.minimum)defsurI,s’ilexiste,estunmajorant (resp.minorant)defquiestatteintparf. x

y x0x1 f(x0)f(x1)

Lafonctionfadmetleminimum3 2. Ceminimumestatteintenlesdeux pointsx0etx1: •f(x0)=3 2. •f(x1)=3 2.

(6)

ECE1-B2015-201

Commeleprouvecetexemple,l’imageparunefonctioncontinued’unintervalleestunintervallequin’estpasforcémentdemêmenature.

Théorème7.(TVI-énoncéquater(!))Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI.Sifestmajorée,onnoteM=supI f.OnnoteM=+1sinon.

Sifestminorée,onnoteM=infI f.OnnoteM=1sinon.

Alorstoutevaleurz2]m,M[estatteinteparfsurI:

8z2]m,M[,9↵2I,z=f(↵)

Théorème8.(théorèmedesbornes)

•Unefonctioncontinuesurunsegmentestbornéeetatteintsesbornes.

•L’imageparunefonctioncontinued’unsegmentestunsegment.Cequ’onécritsouslaforme:«f([a,b])=[m,M]».

Démonstration.LadémonstrationrequiertdesoutilsdontnousnedisposonspasenECE.Admis.

23 CE1-B2015-2016

I.2.c)Notiondeminimum/maximumlocal

DéfinitionSoitf:I!Retx02I.1)Onditquefadmetunmaximumlocalenx0si:

9↵>0,8x2I,|xx0|6↵)f(x)6f(x0) 2)Onditquefadmetunminimumlocalenx0si:

9↵>0,8x2I,|xx0|6↵)f(x0)6f(x)

Remarque

•Unefonctionfpeutadmettreplusieursmaxima(resp.minima)locaux.

•Unmaximum(resp.minimum)locald’unefonctionfestunmajorant(resp.minorant)localdef.

x y

x0x1 x2

f(x0) f(x1)

f(x2) Lafonctionfadmet:

•unminimumlocalenx0.

•unmaximumlocalenx1.

•unminimumlocalenx2.Lafonctionf:

•n’admetpasdemaximum.

•admetunminimum(glo-bal)aupointx0.

Lafonctionfn’admetpasdemajorant.Elleadmetuneinfinitédemino-rants:toutréelm2Rtelquem6f(x0)estunminorantdef.Parmisesminorants,onpeutdistinguerceluiquialeplusd’intérêt.

6

(7)

ECE1-B2015-2016 Théorème6.(TVI-énoncéter) L’imageparunefonctioncontinued’unintervalleestunintervalle. Démonstration. Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI. Soientuetvdeuxélémentsdef(I)={y2R|9x2I,y=f(x)}. Onsuppose(quitteàrenommerceséléments)que:u<v. Pourmontrerquef(I)estunintervalle,ilsuﬃtdedémontrerquetoute valeurcompriseentreuetvestdansf(I). Pardéfinitiondef(I),ilexistea2I,telque:u=f(a). Demême,ilexisteb2Itelquev=f(b). Or,parleTVI(bis),pourtoutz2[f(a),f(b)]ilexiste↵2[a,b]telque z=f(↵).Ainsi,z2f(I). Exemple Onconsidèrelafonctionf:x!1 1+x2définieetcontinuesurR. Ona:f(]1,+1[)=]0,1]. x

y 22

ECE1-B2015-201 I.2.d)Notiondebornesupérieure/inférieure Définition Soitf:I!R. 1)SifestminoréesurI,onappelleborneinférieuredefsurIle plusgranddesminorantsdefsurI.Cetélémentestnotéinf Ifou inf x2If(x). 2)SifestmajoréesurI,onappellebornesupérieuredefsurI,le pluspetitdesmajorantsdefsurI.Cetélémentestnotésup Ifou sup x2If(x). 3)SifestbornéesurI,onpeutdoncdéfinirsup I|f|. Labornesupérieure(resp.inférieure)defn’estpasforcément unevaleuratteinteparf.Sic’estlecasils’agitduminimum (resp.maximum)delafonction. •siinf If2f(I),alorsinf x2If(x)=min x2If(x) •sisup If2f(I),alorssup x2If(x)=max x2If(x) •Considéronslafonctionf:x7!ex. x y •Lafonctionfn’admetpas deminimumsurR. •Elleestminoréepartout réelm60. •Saborneinférieureest: inf Rf=0.

(8)

ECE1-B2015-201 Théorème5.(TVI-énoncébis)Soitf:I!RunefonctioncontinuesurunintervalleI.Soit(a,b)2I2telquea<b.Alorstoutevaleurcompriseentref(a)etf(b)estatteinteparfsur[a,b].

Énoncédanslecasf(a)6f(b):

Siz2[f(a),f(b)]alors9↵2[a,b],z=f(↵).

Énoncédanslecasf(a)>f(b):

Siz2[f(b),f(a)]alors9↵2[a,b],z=f(↵).

Démonstration.Onfaitladémonstrationdanslecasf(a)6f(b)(autrecasanalogue).Soitz2[f(a),f(b)].OnconsidèrealorslafonctiongdéfiniesurIpar:

8x2I,g(x)=f(x)z

⇥g(a)=f(a)z60etg(b)=f(b)z>0,

⇥gestcontinuesurI.ParleTVI(énoncéprécédent),ilexiste↵2[a,b]telque:g(↵)=0.Autrementdit,ona:f(↵)=z.

AutreformulationSif:I!Rvérifieleshypothèsesduthéorèmeonaalors:

•Pourtoutycomprisentref(a)etf(b),l’équationy=f(x)a(aumoins)unesolutiondansl’intervalle[a,b].

•Ouencore:toutélémentycomprisentref(a)etf(b)possède(aumoins)unantécédentparfdans[a,b].

21 CE1-B2015-2016

•Lafonctiong:x7! e xe xex+ex n’admetpasdeminimum/maximum.

x y•Lafonctiongn’admetpasdeminimum/maximum.

•Elleestminoréepartoutréelm61.

•ElleestmajoréepartoutréelM>1.

•infR g=1etsupR g=1.I.3.Fonctionsmonotones

DéfinitionSoitf:I!R.1)LafonctionfestcroissantesurIsi:

8(x,y)2I 2,x6y)f(x)6f(y)

2)LafonctionfeststrictementcroissantesurIsi:

8(x,y)2I 2,x<y)f(x)<f(y)

3)LafonctionfestdécroissantesurIsi:

8(x,y)2I 2,x6y)f(x)>f(y)

4)LafonctionfeststrictementdécroissantesurIsi:

8(x,y)2I 2,x<y)f(x)>f(y)

5)LafonctionfestmonotonesurIsi:

(festcroissantesurI)OU(festdécroissantesurI)

Ondéfinitdemêmelanotiondestrictemonotonie.

8

(9)

ECE1-B2015-2016 Remarque •L’hypothèsef(a)f(b)60signifiequef(a)etf(b)sontdesignesoppo- sés. •Ainsi,onpeutformulerl’énoncécommesuit: 1)fcontinuesurunintervalleI 2)fchangedesignesurI)fs’annulesurI •LefaitqueIsoitunintervalleestprimordial. SiIn’estpasunintervalle,onpeutconsidérerlafonctioninverse: f:R⇤!R x7!1 x ⇥f(1)=1<0etf(1)=1>0, ⇥festcontinuesur]1,0[[]0,+1[. Maisiln’existepasd’élémentc2]1,0[[]0,+1[telquef(c)=0. •Onpeututiliserlacontraposéedeceténoncé. 1)fcontinuesurunintervalleI 2)fnes’annulepassurI)fgardeunsigne constantsurI •LeThéorèmedesValeursIntermédiaires(TVI)peuts’énoncerdeplu- sieursmanièresdiﬀérentes.Nousallonsmaintenantlistercesdiﬀérents énoncés,quisontéquivalentsaupremier. 20 ECE1-B2015-201 Remarque •Unefonctionquin’estpascroissanten’estpasforcémentdécroissante. Lanégationducaractèrecroissantest: 9(x,y)2I2 ,(x6y)ET(f(x)>f(y)) •Ilestimportantdepréciserl’intervalled’étude. x

y •Lafonctioninversen’estpasdé- croissantesurR⇤ . •ElleestdécroissantesurR⇤ . •ElleestdécroissantesurR+⇤. •Sifestcroissante(resp.décroissante)alorsfestdécroissante(resp. croissante).Lerésultatestlemêmeencasdestrictemonotonie. Proposition1. Soitf:I!R. 1)SifeststrictementmonotonesurI,alorsfestinjectivedeIsurR. 2)SifeststrictementmonotonesurI,alorsfréaliseunebijectionde Isurf(I). Démonstration. Onfaitladémonstrationdanslecasdelacroissance(autrecasanalogue). 1)Supposonsfstrictementcroissante.Soit(x1,x2)2I2telquex16=x2. Quitteàrenommerx1etx2,supposonsx1<x2.Parstrictecroissance def,ona:f(x1)<f(x2)etdonc:f(x1)6=f(x2). 2)L’imagedefcoïncideavecsonensembled’arrivée.Lafonctionfest doncsurjective.Étantdeplusinjective(cfprécédent),elleréaliseune bijectiondeIsurf(I).

(10)

ECE1-B2015-201 Onconstruitunesuitedesegmentsemboîtés[an,bn]telsque:

•f(an)60,

•f(bn)>0.Ondéfinitlessuites(an)et(bn)parrécurrence.

0)Initialement,onposea0=a,b0=betc0= a+b2 . 1)Sif(c0)60,onposea1=c0etb1=b.Sif(c0)>0,onposea1=a0etb1=c0.2)...n+1)Onnotecn= an+bn2 .Sif(cn)60,onposean+1=cnetbn+1=bn.Sif(cn)>0,onposean+1=anetbn+1=cn.

Lessuites(an)et(bn)ainsiconstruitessontadjacentes.Eneﬀet:

•an+1>an,

•bn+16bn,

•bnan= bn1an12 =···= b0a02n !n!+1 0. Ainsi,(an)et(bn)sontconvergentesetconvergentverslamêmeli-mitec=supan=infbn.Onnoteaupassagequea=a06c6b0=b.

Or,pardéfinitiondeanetbn,ona:f(an)60etf(bn)>0.Commefestcontinue,f(an)etf(bn)sontconvergentesdelimitef(c).Parpassageàlalimitedanslesinégalitésprécédentes,onobtient:

f(c)60etf(c)>0

Ainsi,onabienexhibéc2[a,b]telquef(c)=0.

19 CE1-B2015-2016

Théorème1.(théorèmedelalimitemonotone)SoitfunefonctionmonotonesurI=]a,b[(a<b).(aveca2R[{1}etb2R[{+1})

1)Six02I:fadmetunelimitefinieàgaucheetàdroiteenx0. 2)Six0=a:fadmetunelimitedansR[{1,+1}enx0. a)sifestcroissante,limx!a f(x)= (infx2I f(x)sifestminorée1sinon b)sifestdécroissante,limx!a f(x)= (supx2I f(x)sifestmajorée

+1sinon

3)Six0=b:fadmetunelimitedansR[{1,+1}enx0. a)sifestcroissante,limx!b f(x)= (supx2I f(x)sifestmajorée

+1sinon

b)sifestdécroissante,limx!b f(x)= (infx2I f(x)sifestminorée1sinon

Démonstration.(CULTURE)Pourfaireladémonstration,ilfautconnaîtrelanotiondebornesupérieure(etinférieure)d’unepartiedeRetsacaractérisation.SiE⇢RalorslepluspetitdesmajorantsdeE,lorsqu’ilexiste,estappelébornesupérieuredeEetestnotéM=supE.OnpeutcaractérisercettebornesupérieureMdelafaçonsuivante.

•8x2E,x6M(Mestunmajorant)

•8">0,9x2E,M"<x(M"n’estjamaisunmajorant)

10

(11)

ECE1-B2015-2016

II I. L es gr ands théo rèm es de la co nt in ui té sur I

III.1.Théorèmedesvaleursintermédiaires Théorème4.(ThéorèmedesValeursIntermédiaires) Soitf:I!RunefonctioncontinuesurunintervalleI. SiaetbsontdeuxpointsdeI(a<b)telsque:f(a)f(b)60. Alorsilexistec2[a,b]telquef(c)=0. Démonstration. a)Casf(a)=f(b)=0:trivial.Prendrec=a. b)Casf(a)60etf(b)>0(l’autrecasestanalogue) Ladémonstrationsebasesuruneméthodedite«dedichotomie» qu’onpeutrésumerparleschémasuivant. a0b0 a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 18 ECE1-B2015-201 Onselimiteiciaucasoùfestcroissante(casfdécroissanteanalogue) etons’intéresseaucasx0=b.Ondistinguealorsdeuxcas: ⇥soitfestmajorée. OnnotealorsM=sup x2If(x)=sup{f(x)|x2I}. Soit">0.Deparlacaractérisationprécédente,onsaitqueM" n’estpasunmajorantde{f(x)|x2I}. Ainsi,ilexisteu2I(i.e.a<u<b)telque:M"<f(u)6M. Pourtoutxtelqueu6x<b,ona,parcroissancedef: M"<f(u)6f(x)6M Ennotant↵=bu>0,onadonc: 8x2I,(b↵6x<b)|f(x)M|6") ⇥soitfestnonmajorée. SoitA2R. Commefnonmajorée,ilexisteu2I(i.e.a<u<b)telque: f(u)>A. Pourtoutxtelqueu6x<b,ona,parcroissancedef: A<f(u)6f(x) Ennotant↵=bu>0,onadonc: 8x2I,(b↵6x<b)f(x)>A) Cecinesignifiepasqu’unefonctionmonotoneadmetunelimite entoutpointde]a,b[.Parexemple,onpeutconsidérerlafonction f:[0,+1[!R x7!

8 > < > :

p xsi06x<3 3six=3 1 3x+3six>3 quiest(strictement)croissantemaisn’admetpasdelimiteen3. 11

(12)

ECE1-B2015-201

ExempleOnconsidèrelafonctionsuivante:

f:[1,5]!R

x7! 8<

: 1xsi16x<38six=33x+5si3<x65

fn’estpascontinuesur[1,5]carellen’estpascontinueaupoint3:

limx!3 f(x)=26=14=limx!3+ f(x) Parcontre,festcontinueparmorceauxsur[1,5].Eneﬀet,sil’onprenda0=1,a1=3,a2=5,ona:

•festcontinuesur]1,3[etsur]3,5[.

•limx!1+ f(x)=limx!1 1x=0(limitefinie) limx!3 f(x)=limx!3 1x=2(limitefinie) limx!3+ f(x)=limx!3 3x+5=14(limitefinie) limx!5 f(x)=limx!5 3x+5=20(limitefinie)

Remarque

•OnpeutétendrecettedéfinitionàunintervalleIquelconque.UnefonctionfestditecontinueparmorceauxsurunintervalleIsielleestcontinueparmorceauxsurtoutsegment[a,b]⇢I.

•Lafonctionx7!bxcestcontinueparmorceauxsurRpuisqu’elleestcontinueparmorceauxsurtoutsegment[a,b](aveca,bdansR).

17 CE1-B2015-2016

Représentationgraphique

x y

3 4p3

Commefestcroissante,leThéorème1permetd’aﬃrmerquelafonctionfadmetunelimiteàgaucheetàdroiteentoutpointx02I.C’estnotammentlecasenx0=32[0,+1[.Détaillonscecas:

•limx!3 f(x)=limx!3 px= p3

•limx!3+ f(x)=limx!3 13 x+3=4 Pourautant,celanesignifiepasquefestcontinueen3.Cen’estpaslecaspuisque:limx!3 f(x)6=limx!3+ f(x).

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ECE1-B2015-2016 II.4.Fonctionscontinuesparmorceaux Définition(continuitéparmorceauxsurunsegment) Soitaetbdeuxréelstelsquea<b. Onditquefestcontinueparmorceauxsur[a,b]s’ilexisteunesub- divisiona0=a<a1<···<an=btellequepourtouti2J0,n1K: 1)f]ai,ai+1[estcontinue(i.e.continuesur]ai,ai+1[), 2)f]ai,ai+1[estprolongeableparcontinuitésurl’intervallefermé[ai,ai+1]. Remarque(biencomprendrecettedéfinition) Naturellement,onaenviedeposerladéfinitionsuivante: «festcontinueparmorceauxsur[a,b]sil’onpeutdécouperl’intervalle enmorceaux(les]ai,ai+1[)telquefestcontinuesurchaquemorceau». Cecicorrespondaupoint1)deladéfinition.Parajoutdupoint2)on imposedeplusquefnepeutadmettreunelimiteinfinieenlespointsai. Définition(équivalente) Lafonctionfestcontinueparmorceauxsur[a,b]s’ilexisteunesubdivi- siona0=a<a1<···<an=btellequepourtouti2J0,n1K: •festcontinuesur]ai,ai+1[, •fadmetunelimitefinieàdroiteenai, •fadmetunelimitefinieàgaucheenai+1. (etceslimitesnesontpasforcémentégalesetpeuventaussiêtrediﬀérentes def(ai)etf(ai+1)) 16 ECE1-B2015-201

II . C on ti nui té sur un in ter va lle

II.1.Continuitéglobale Définition Soitf:I!RunefonctiondéfiniesurunintervalleI. •LafonctionfestcontinuesurIsielleestcontinueentoutpointdeI. •Autrementdit,festcontinuesurIsielleadmetunelimitefinieentout pointdeI.Cecis’écrit: 8x02I,9`2R,8">0,9↵>0,8x2I,(|xx0|6↵)|f(x)`|6") Remarque •Onpeutsimplifierl’écritureprécédente.Eneﬀet,commefestcontinue enx0etdéfinieenx0,ona:«`=f(x0)». •Ainsi,festcontinuesurIsi: 8x02I,8">0,9↵>0,8x2I,(|xx0|6↵)|f(x)f(x0)|6") II.2.Opérationsalgébriquessurlesfonctionscontinues Théorème2. Soientf,g:I!RdeuxfonctionscontinuessurI.Soit2R. Alorslesfonctionsf+g,f,f⇥gsontdesfonctionscontinuessurI. Deplus,signes’annulepassurI,1 getf gsontaussicontinuessurI. Démonstration. OnobtientcerésultatenappliquantàtouslespointsdeIlerésultat analogueénoncédanslechapitreprécédent(continuitéenunpoint). 13

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II.3.Composéededeuxfonctionscontinues

Proposition2.Soitf:I!RcontinuesurunintervalleI.Soitg:J!RcontinuesurunintervalleJ.Onsupposedeplusque:f(I)⇢J(pourquegf:I!Rsoitbiendéfinie).Alorsgf:I!RestcontinuesurI.

Démonstration.Encoreunefois,cerésultatglobalestuncorollairedirectdurésultatduchapitreprécédentsurlalimiteenunpointdelacomposéegf.

Exemple1)SifestcontinuesurI,alors:f2,|f|,exp(f)sontcontinuessurI.2)SifestcontinueetpositivesurI, pfetln(f)sontcontinuessurI.3)Danslapratique,onrédigeracommesuit.a)Considéronslafonctionh:t7!ln(1+t)définiesur]1,+1[.Lafonctionhestcontinuesur]1,+1[carc’estlacomposéede:

⇥g:t7!t+1,continuesur]1,+1[carpolynomiale.Deplus,g(]1,+1[)⇢]0,+1[.

⇥etdef:t7!ln(t),continuesur]0,+1[.

b)Considéronslafonctionh:t7!e ptdéfiniesur[0,+1[.Lafonctionhestcontinuesur[0,+1[carc’estlacomposéede:

⇥g:t7! pt,continuesur[0,+1[.Deplus,g([0,+1[)⇢R.

⇥etdef:t7!e t,continuesurR.

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Théorème3.1)ToutefonctionpolynomialeestcontinuesurR.

2)Toutefonctionrationnellef:x7! P(x)Q(x) estcontinuesurtoutinter-valleIsurlequelQnes’annulepas.

Démonstration.1)Lafonctionx7!1etlafonctionx7!xsontcontinuessurR(ilsuﬃtdeprendre↵=").Onendéduitparsomme,produitetproduitparunréelquelesfonctionspolynomialessontcontinues.2)LafonctionfestcontinuesurIparquotientdefonctionscontinuesdontledénominateurnes’annulepas.

ApplicationDeparcespropositionssurlesopérationsalgébriquesetlacomposition,onpourrarédigercommesuit:festunecontinuesurIcarfestlasomme/produit/quotient(attentionaudénominateur)defonctionscontinuessurI.

Exemple1)Onconsidèrelafonctionf:x7!xln(x)1définiesurR+⇤.LafonctionfestcontinuesurR+⇤carelleestlasommedesfonctions:

⇥x7!xln(x)continuesurR +⇤commeproduitdesfonctions:(i)x7!xpolynomialedonccontinuesurR+⇤,(ii)x7!ln(x)continuesurR+⇤.

⇥x7!1constantedonccontinuesurR+⇤. 2)Onconsidèrelafonctiong:x7! e2x+1e2x1 définienotammentsur

]0,+1[.Lafonctiongestcontinuesur]0,+1[carc’estlequotientde:

⇥lafonctionx7!e2x+1,continuesur]0,+1[.

⇥etdelafonctionx7!e2x1,continuesur]0,+1[etquines’annulepassur]0,+1[.

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