Stanislas
Exercices
Variables aléatoires
Chapitre VII
2020-2021PSI
Sauf mention contraire, les variables aléatoires considérées sont discrètes et dénies sur un espace probabilisé(Ω,F,P).
I. Lois de probabilité
Exercice 1. (Loi hypergéométrique & Loto,♥)SoientN1, N2, ntrois en- tiers naturels. SoitX une variable aléatoire suivant une loi hypergéomé- trique, i.e.
∀ k∈J0, nK,P(X =k) =
N1
k
N2
n−k
N1+N2
n
.
1.Vérier que la loi hypergéométrique dénit bien une loi de probabilité.
2.Déterminer E[X].
3.Déterminer un exemple de la vie courante où cette loi apparaît.
Exercice 2. (Simulation d’une loi uniforme - Méthode de rejet)Soit n ∈ N∗. On dispose d'un dé équilibré à10faces dont les faces sont numérotées de 0 à 9. L'objectif de cet exercice est de proposer une méthode de simulation d'une loi uniforme surJ0, nKà l'aide de ce dé.
1. Montrer qu'il existe un unique entier naturel k tel que 10k−1 6n 6 10k−1.
Soit(X0, . . . , Xk−1) une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme surJ0,9K. On pose N =
k−1
P
i=0
Xi10i. 2.Déterminer la loi puis l'espérance de N.
Soit (Ni)i∈N? une suite de variables aléatoires indépendantes et iden- tiquement distribuées de même loi que N. Pour tout ω ∈ Ω, on note T(ω) = inf{i∈N? ; Ni(ω)∈J0, nK} où inf∅ = +∞. Enn, pour tout ω∈Ω, on note X(ω) =NT(ω)(ω).
3.Déterminer la loi deT puis celle deX.
Exercice 3. (Loi Zêta,♥) Soit s ∈]1,+∞[. On note ζ(s) =
+∞
P
n=1 1 ns. Soit X une variable aléatoire telle que pour tout entier natureln non nuln, P(X=n) = nζ(s)−s.
1.Soit k∈N?. Montrer queP(k diviseX) =
+∞
P
q=1
P(X=kq) =k−s. 2. Soient p et q deux nombres premiers. Montrer que {p divise X} et {q divise X}sont indépendants.
SoitY une variable aléatoire indépendante et de même loi queX. 3.Montrer que P(X∧Y = 1) = ζ(2s)1 .
II. Inégalités
Exercice 4. (-)SoientX etY deux variables aléatoires discrètes centrées réduites de covarianceρ. Montrer queE
max
X2, Y2 61+p 1−ρ2. Exercice 5. (Inégalité dePALEY-ZYGMUND) [Mines] Soient a ∈ [0,1] et X une variable aléatoire positive admettant un moment d'ordre2. 1.Montrer l'inégalité (1−a)E[X]6E
X1X>aE[X]
. 2.En déduire que P(X>aE[X])>(1−a)2E[X]2
E[X2].
Exercice 6. (Inégalité de CHERNOFF, ♥) Soit X une variable aléatoire discrète non constante de moyenne m. On note ψ : t 7→ lnE
etX . On suppose que ψ est bien dénie. Pour tout a réel, on note h(a) = sup{at−ψ(t), t>0}.
1. Majoration deCHERNOFF.Montrer que, pour toutaréel,P(X>a)6 e−h(a).
2.Pour touta∈[p,1], déterminerh(a)lorsqueXsuit une loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[.
Soientn∈ Net (X1, . . . , Xn) des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètrep∈]0,1[. On noteSn=
n
P
k=1
Xk. 3.Montrer que, pour tout ε∈]0,1−p[,P Snn >p+ε
6e−nh(p+ε). Exercice 7. (♥)Soit(X1, . . . , Xn) des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p et Sn =
n
P
k=1
Xk. On pose q= 1−p.
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Exercices VII PSI
1.Montrer que E[(Sn−np)4] = 3p2q2n(n−1) +npq(p3+q3).
2. En déduire qu'il existe c > 0 tel que pour tout ε > 0, P
n−1Sn−p >ε
6cε−4n−2.
On note B =
ω∈Ω ; lim
n→+∞n−1Sn(ω) =p
et Ck = S
n∈N
T
m>n
m−1Sm−p 6 1k . 3.Montrer que P(B) = lim
k→+∞P(Ck). 4.En déduire que P(B) = 1.
III. Fonctions de répartition
Exercice 8. (-)SoitF une fonction de répartition et r un entier stricte- ment positif. Montrer queFr est une fonction de répartition.
Exercice 9. (Médianes)Soit X une variable aléatoire de fonction de ré- partitionF. Une médiane de X est un réelm tel que lim
y→m−F(y)6 12 6 F(m).
1.Montrer que toute loi de probabilité possède au moins une médiane.
2.Montrer que l'ensemble des médianes deF est un segment deR.
IV. Convergences
Exercice 10.Soit (Xn) une suite de variables aléatoires telle que Xn ∼ B(n, pn). On suppose quenpn→λ >0.
1.Montrer que E h 1
1+Xn
i
= 1−(1−p(n+1)pn)n+1
n . 2.Déterminer la limite de cette quantité.
Exercice 11. (Approximation polynomiale deBERNSTEIN,♥)Soit f une fonctionK-lipschitzienne sur[0,1]. Le polynôme de Bernstein d'ordren associé àf est le polynôme
Bn(x) =
n
X
k=0
f k
n n k
xk(1−x)n−k.
Soit(Xn)n∈Nnune famille de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de moyennex etSn=
Pn
k=1
Xk. 1.ExprimerBn(x) en fonction def Snn
.
2.Soit ε >0. Montrer qu'il existe (M, δ)∈R∗+ tels que
E
f
Sn n
−f(x)
6εP
Sn n −x
< δ
+ 2MP
Sn n −x
>δ
. 3.En déduire que lim
n→∞ sup
x∈[0,1]
|Bn(x)−f(x)|= 0.
Exercice 12. (Distance en variation totale,♥, !) Pour toutes variables aléatoiresX etY à valeurs entières, on note
d(X, Y) =
+∞
X
k=0
|P(X =k)−P(Y =k)|.
1.Montrer que dest symétrique et satisfait l'inégalité triangulaire.
2.Montrer que d(X, Y) = 0 si et seulement siX etY ont même loi.
3.Montrer que d(X, Y) = 2 sup
A⊂N
|P(X∈A)−P(Y ∈A)|.
4. Soient X, X1, . . . , des variables aléatoires. Montrer qu'il y a équiva- lence entre
(i). d(Xn, X)→0.
(ii). ∀ A⊂N,P(Xn∈A)→P(X∈A). (iii). ∀ x∈N,P(Xn=x)→P(X=x).
Exercice 13. [Mines]Soienta, n∈N∗ etN =an. On répartit au hasard N boules dansnurnes avec pour chaque boule éuiprobabilité du choix de l'urne. Pour touti∈J1, nK, soitTi la variable aléatoire prenant la valeur 1si l'urne numéroiest vide et la valeur0dans le cas contraire. On note Yn la variable aléatoire indiquant le nombre d'urnes restant vides après la répartition desN boules, et on pose Sn= Ynn.
1.Donner la loi, l'espérance et la variance deTi.
2.Déterminer l'espérance et la variance deSnainsi que leur limite quand ntend vers+∞.
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V. Pièces, Urnes,. . . Exercice 14. [Mines]
1.Soientp, q∈N. Montrer que Pq
k=p k p
= q+1p+1 .
2.Une urne contientbboules blanches etnboules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l'urne. Soit X la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages eectués jusqu'au retrait de toutes les boules blanches. Déterminer la loi deX. CalculerE[X]etV(X). Exercice 15. (Excursions)Une pièce biaisée dont face apparaît avec pro- babilité p est lancée n fois. Une excursion est une série de lancers qui renvoient le même résultat. Par exemple, dans la séquence FFPFPPF, il y a 5 excursions. On note R le nombre d'excursions. Montrer que E[R] = 1 + 2(n−1)p(1−p) puis calculerV(R).
Indication : ExprimerRen fonction de Ij : le(j+ 1)-ème lancer est diérent duj-ème.
Exercice 16. (!)Un paquet contientmcartes numérotées de1àm. Les cartes sont tirées une à une dans un ordre aléatoire. Sachant que lakème carte tirée du paquet est la plus grande des k premières cartes tirées, quelle est la probabilité que ce soit la plus grande carte du paquet ? Exercice 17. (-)Une pièce est lancée successivement et renvoie pile avec probabilitép. SoitPn, (resp.Fn) le nombre de piles (resp. faces) renvoyés au cours den lancers. Montrer que, pour toutε >0,
n→+∞lim P
2p−1−ε6 Pn−Fn
n 62p−1 +ε
= 1.
Exercice 18. (-)SoientX etY deux variables aléatoires de loi conjointe
f(x, y) = C
(x+y−1)(x+y)(x+y+ 1),(x, y)∈(N∗)2.
1. Déterminer les lois marginales de X, de Y, la constante C puis la covariance deX etY.
2.Déterminer la loi deU =X+Y.
VI. Avec Python
Exercice 19. [Centrale]
1. Programmer une fonction liste_aleatoire(n) qui renvoie une liste den+ 1termes pris aléatoirement dansJ1, nK. Montrer qu'il y a néces- sairement deux éléments de cette liste égaux.
L'indice de répétition k est le plus petit entier tel qu'il existe j < k tel queL[j] =L[k].
2.Écrire une fonction indice_r(liste) qui renvoie l'indice de répétition d'une liste. Si cet entier n'existe pas, la fonction renverra−1.
3. Écrire une fonction indice_moyen(m, n) qui renvoie la valeur moyenne demindices de répétition de listes den termes.
Déterminer cette moyenne pourm= 100etnvariant de10à100. Tracer la fonctionn7→√
n et formuler une conjecture.
SoitXnla variable aléatoire qui représente l'indice de répétition.
4.Montrer que, pour tout j∈J0, n−1K,P(Xn> j) =
j
Q
i=0
1−ni . 5. Montrer que 1 +x 6ex et en déduire que, pour tout j ∈J0, n−1K, P(Xn> j)6e−j
2 2n. 6. Montrer que E[X] =
n−1
P
j=0
P(Xn> j) et en déduire que E[Xn] 6
+∞
P
j=0
e−j
2 2n.
7.Sachant queZ +∞
0
e−x
2 2n dx=
rπn
2 , montrer queE[Xn]61 +pπn
2 .
Mathématiciens
Bernstein Segei Natanovich (5 mar. 1880 à Odessa-26 oct. 1968 à Moscou).
Zygmund Antoni (25 déc. 1900 à Varsovie-30 mai 1992 à Chicago).
Paley Raymond (7 jan. 1907 à Bournemouth-7 avr. 1933 à Ban).
Chernoff Herman (1er juil. 1923 à New York-).
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