a + b Ouv ;; rr 1

www.famillefutee.com

NOMBRES COMPLEXES 1

(Partie 2)

Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct

( O u ; r ; v r )

. I. Argument, module et forme trigonométrique

1) Module

Définition : Soit un nombre complexe

z = a + ib

.

On appelle module de z, le nombre réel positif, noté

z

, égal à

a

²

+ b

² . M est un point d'affixe z.

Alors le module de z est égal à la distance OM.

Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes.

a)

z

²

= zz

b)

z = z

c)

−z = z

Démonstrations :

a)

zz = ( a + ib )( a ib − ) = a

²

− ( ) ib

²

= a

²

− i b

^{2 2}

= a

²

+ b

²

= z

²

b)

z = a

²

+ − ( b )

²

= a

²

+ b

²

= z

c)

^{− z =} ( ^{− a} )

²

^{+ −} ( ^b )

²

^{= a}

²

^{+ b}

²

^{= z}

2) Argument

Définition : Soit un point M d'affixe z non nulle.

On appelle argument de z, notée arg(z) une mesure, en radians, de l'angle

( ^{u OM r ; uuuur} )

^.

www.famillefutee.com

2

Remarques :

- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme

arg( z) + 2k π

,k ∈ℤ. On notera

arg( z)

modulo

2 π

ou

arg( z) 2 _{ } π

- 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle

( ^{u OM r ; uuuur} )

n'est pas défini.

Exemple : Soit

z = 3 + 3i

.

Alors

z = 3 + 3i = 3

²

+ 3

²

= 18 = 3 2

Et

arg( z) = π

4 _{ } 2 π

.

Propriétés : Soit z un nombre complexe non nul.

a) z est un nombre réel

⇔ arg( z) = 0 _{ } π

, b) z est un imaginaire pur

⇔ arg(z) = π

2 _{ } π

. c)

arg( z ) = − arg( z)

d)

arg(−z ) = arg(z) + π

Démonstrations :

a) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des réels.

b) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des imaginaires.

c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie.

www.famillefutee.com

3

3) Forme trigonométrique

Propriété : Soit

z = a + ib

un nombre complexe non nul. On pose :

θ = arg( z)

On a alors :

a = z cos θ

et

b = z sin θ

.

Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture

( cos sin )

z = z θ + i θ

avec

θ = arg( z)

.

Méthode : Ecrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique

Ecrire le nombre complexe

z = 3 + i

sous sa forme trigonométrique.

Solutions :

- On commence par calculer le module de z :

z = 3 + 1 = 2

- En calculant

z

z

, on peut identifier plus facilement la partie réelle de z et sa partie imaginaire :

z

z = 3

2 + 1 2 i

On cherche donc un argument

θ

de z tel que :

cos θ = 3

2

^et

sin θ = 1 2

^.

Comme

cos π 6 = 3

2

^et

sin π 6 = 1

2

^{, on a :}

cos sin

6 6

z i

z

π π

= +

Donc :

2 cos sin

6 6

z  π i π 

=  + 

 

^avec

arg( z) = π

6 _{ } 2 π

.

www.famillefutee.com

4

Avec une calculatrice ou un logiciel, il est possible de vérifier les résultats obtenus :

4) Propriétés

Inégalité triangulaire : Soit z et z ' deux nombres complexes.

z + z ' ≤ z + z '

Démonstration :

Il s'agit d'une traduction de l'inégalité sur les distances.

Propriétés :

Soit z et z ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul.

Produit

zz ' = z z ' arg( zz ') = arg(z) + arg( z ')

Puissance

z

ⁿ

= z

ⁿ

arg( z

ⁿ

) = narg( z)

Inverse

1 1

z z

  =

   

^,

z ≠ 0 1

arg arg( ) z z

  = −

   

^,

z ≠ 0

Quotient

' '

z z

z z

 

  =

 

^,

z ' ≠ 0 arg arg( ') arg( )

'

z z z

z

 

= −

 

 

^,

z ' ≠ 0

Démonstration pour le produit : On pose

θ = arg(z)

et

θ ' = arg( z ')

.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

' cos sin ' cos ' sin '

' cos cos ' sin sin ' sin cos ' cos sin '

' cos ' sin '

zz z i z i

z z i

z z i

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + +

=   − + +  

=   + + +  

Donc le module de

zz '

est

z z '

et un argument de

zz '

est

θ + θ ' = arg( z) + arg(z ')

.

www.famillefutee.com

5

II. Forme exponentielle

1) Définition

Posons

f ( θ ) = cos θ + isin θ

.

En prenant

z = z ' = 1

, on a démontré précédemment que :

( ^{cos θ + i sin θ} )( ^{cos ' θ + i sin ' θ} ) ^{= cos} ( ^{θ + θ '} ) ^{+ i sin} ( ^{θ + θ '} )

^.

Soit :

f ( θ ) f ( θ ') = f ( θ + θ ')

.

On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les exponentielles :

e

^θ

e

^θ'

= e

^{θ +θ'}. Définition : Pour tout réel

θ

, on a :

e

^iθ

= cos θ + i sin θ

.

Remarque :

e

^iθ est le nombre complexe de module 1 et d'argument

θ

. Propriété :

e

^iπ

= −1

Démonstration :

e

^iπ

= cos π + i sin π = −1 + i × 0 = −1

Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783). Elle possède la particularité de relier les grandes branches des mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec le nombre i) et la géométrie (avec le nombre

π

).

Exemples :

e

ⁱ⁰

= cos0 + i sin 0 = 1 + i × 0 = 1 e

ⁱ

π

2

= cos π

2 + i sin π

2 = 0 + i × 1 = i

Définition : Tout nombre complexe z non nul de module

r

et d'argument

θ

s'écrit sous sa forme exponentielle

z = re

^iθ.

Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement 1) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :

a)

z

₁

= −2i

b)

z

₂

= −5

2) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : a)

z

₃

= e

ⁱ

π

6 b)

z

₄

= 4e

ⁱ

π 4

Solutions :

1) a) -

z

₁

= −2i = 2

-

z

₁

z

₁

= −2i

2 = −i

On cherche donc un argument

θ

de z1 tel que

sin θ = −1

.

www.famillefutee.com

Comme

sin 1 6

2

 π 

− = −

 

 

^et

cos 0

2

 π 

− =

 

 

, l'argument

π

2

convient.

1 1

cos sin

2 2

z i

z

π π

   

=  −  +  − 

   

^donc

2

1

2 cos sin 2

2 2

z i e

i

π π

⁻π

     

=   −  +  −   =

   

 

^.

b) -

z

₂

= −5 = 5

-

z

₂

z

₂

= −5

5 = −1

On cherche donc un argument

θ

de z2 tel que

cos θ = −1

. Comme

cos ( ) π = − 1

et

sin ( ) π = 0

, l'argument

π

convient.

( ) ( )

2 2

cos sin

z i

z = π + π

donc

z

2

= 5 cos ( ( ) π + i sin ( ) π ) = 5 e

^iπ.

2) a)

z

₃

= e

ⁱ

π

6

= cos π

6 + i sin π 6 = 3

2 + i 2

b) ₄ ⁴

2 2

4 4 cos sin 4 2 2 2 2

4 4 2 2

z e

i

i i i

π

 π π  ^{ }

= =   +   =    +    = +

^.

2) Propriétés

Propriétés : Pour tous réels

θ

et

θ '

, pour tout entier naturel n non nul, a)

e

^iθ

e

^iθ'

= e

ⁱ

(

^{θ +θ'}

)

b)

( ) ^e

^{iθ n}

^{= e}

^{inθ c)}

¹

e

^iθ

= e

^−iθ d)

e

^iθ

e

^iθ'

= e

ⁱ

(

^{θ −θ'}

)

e)

e

^iθ

= e

^−iθ

Remarque :

La formule b) s'appelle formule de Moivre.

3) Applications à la géométrie

Propriété : A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan d'affixes respectives

z

_A

, z

_B

, z

_C

et z

_D. On a : a)

( u AB ^; ) = ^{arg (} z

B

− z

A

⁾

r uuur

b)

AB = z

_B

− z

_A

c)

( ^; ) ^arg

^{D C}

B A

z z AB CD

z z

 − 

=  

 − 

uuur uuur

Démonstrations :

a) On considère un point E tel que

OE = AB uuur uuur

. Alors E a pour affixe

z

_B

− z

_A.

Donc

( ^{u OE r ; uuur} ) ^{= arg ( z}

^B

^{− z}

^A

⁾

^{et donc}

( ^{u AB r ; uuur} ) ^{= arg ( z}

^B

^{− z}

^A

⁾

www.famillefutee.com b)

z

_B

− z

_A

= z

_E

= OE 7

Comme

OE = AB uuur uuur

,

OE = AB

donc

z

_B

− z

_A

= AB

c)

( ^{uuur uuur AB CD ;} ) ( ^{= uuur AB u ; r} ) ( ^{+ u CD r ; uuur} )

( ) ( )

( ) ( )

; ;

arg arg

arg

D C B A

D C

B A

u CD u AB

z z z z

z z z z

= −

= − − −

 − 

=  

 − 

r uuur r uuur

Méthode : Utiliser les nombres complexes en géométrie

Soit A, B et C trois points d'affixes respectives

z

_A

= −2 − i

,

z

_B

= 1 − 2i

et

z

_C

= −1+ 2i

. 1) Démontrer que le triangle ABC est isocèle en A.

2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

Solutions :

1)

AB = z

_B

− z

_A

= 1 2 − i − − − ( 2 i ) = 3 − = i 9 1 + = 10

( )

1 2 2 1 3 1 9 10

C A

AC = z − z = − + i − − − i = + i = + =

. Donc AB = AC.

2)

( ^; ) ^arg

^{C A}

B A

z z AB AC

z z

 − 

=  

 − 

uuur uuur

( )( )

( )( )

1 3 3

1 3 3

3 3

3 9 3

9 1 10

10

C A

B A

z z i

z z i

i i

i i

i i

i i

− +

− = −

+ +

= − +

+ + −

= +

= =

( ^; ) ^{arg ( ) [ 2 ]}

AB AC i π 2

π

= =

uuur uuur

. On en déduit que l'angle est droit.