Diapos-CM 4

(1)

DESCRIPTIVES BIVARIÉES SUITE ET FIN

Julie Scholler - Bureau B246

Décembre 2019

V. Deux caractères quantitatifs

4 8 12 16 20

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Note totale selon la réussite en maths :ρ=0.70

-20 -10 0 10

20 30 40 50 60

Sur estimation selon le nombre de bonnes réponses :ρ=-0.30

4 8 12 16 20

20 30 40 50 60

Note selon le nombre de bonnes réponses :ρ=0.99

2 4 6 8 10

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Nombre de bonnes réponses en éco selon l’année :ρ=0.24

5 10 15 20

Note en littérature selon la note en éco :ρ=0.12

0 5 10 15 20

Note en littérature selon la note en géo :ρ=0.48

(2)

4 8 12 16 20

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

X

i

(y

_i

− y ˆ

_i

)

²

minimale

(y₁−yˆ₁)

(y₂−yˆ₂)

(y₃−yˆ₃) (y4−yˆ4)

(y5−yˆ5)

(3)

Ajustement linéaire

(x,y) : couple de variables statistiques quantitatives Droite de régression linéaire (des moindres carrés) Il s’agit de la droite d’équation y = ax + b avec







a = Cov(x,y)

V(x) = Cov(x,y) σ_x² b = y −ax

Note totale selon le nombre de bonnes réponses en maths D_Y_/X : y = 0.78x + 6.64

4 8 12 16 20

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

(4)

X

i

(y_i − yˆ_i)² minimale

(y1−yˆ1) (y₂−yˆ₂) (y3−yˆ3) (y₄−yˆ₄)

(y₅−yˆ₅)

X

i

(x_i −xˆ_i)² minimale

(x1−ˆx1) (x2−xˆ2) (x3−xˆ3)

(x₄−xˆ₄)

(x5−ˆx5)

Ajustement linéaire

(x,y) : couple de variables statistiques quantitatives Droite de régression linéaire de Y selon X

Il s’agit de la droite d’équation y = ax + b avec







a = Cov(x,y)

V(x) = Cov(x,y) σ_x² b = y −ax

Droite de régression linéaire de X selon Y Il s’agit de la droite d’équation x = a⁰y +b⁰ avec







a⁰ = Cov(x,y)

V(y) = Cov(x,y) σ_y² b⁰ = x −a⁰y

(5)

4 8 12 16 20

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

On a toujours

(x,y) ∈ D_Y_/X et (y,x) ∈ D_X_/Y

Propriété

D_Y_/X et D_X_/Y s’intersectent au point moyen.

Choix entre les deux droites selon le contexte

(6)

4 8 12 16 20

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

-20 -10 0 10

20 30 40 50 60

Sur estimation selon le nombre de bonnes réponses :ρ=-0.30

5 10 15 20

20 30 40 50 60

Note selon le nombre de bonnes réponses :ρ=0.99

2 4 6 8 10

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Nombre de bonnes réponses en éco selon l’année :ρ=0.24

5 10 15 20

0 5 10 15 20

Note en littérature selon la note en éco :ρ=0.12

5 10 15 20

0 5 10 15 20

Note en littérature selon la note en géo :ρ=0.48

Quand est-il justifié de faire une régression linéaire ?

• expérience, allure générale du nuage

• méthode de statistique inférentielle (économétrie)

• angle entre les deux droites de régression

• + il est fermé + la liaison est intense

• attention à l’échelle des axes

• observations des résidus (écarts à la droite)

(7)

Qualité de la régression

• (x,y) : couple de variables statistiques quantitatives

• (x_i,y_i) : couples d’observations

• D_Y_/X : y = ax +b

• yb_i = ax_i + b Question

Que gagne-t-on à estimer une valeur de y par la droite de régression plutôt que par la valeur moyenne ?

Erreur si estimation par la moyenne : y_i − y Erreur si estimation via la droite : y_i −y_b_i

Qualité de la régression

Somme des carrés des résidus : SCR =

n

X

i=1

(y_i − _by_i)²

Somme des carrés totaux : SCT =

n

X

i=1

(y_i − y)²(= nV(y))

Part des écarts à la moyenne non expliquée par la droite de régression linéaire

SCR SCT =

Pn

i=1(y_i −y_b_i)² P_n

i=1 (y_i − y)²

(8)

Part des écarts à la moyenne expliquée par la droite de régression linéaire

SCT − SCR

SCT = Cov(x,y)²

V(x)V(y) = ρ²_xy

→ coefficient de détermination Propriétés

• 0 6 ρ²_xy 6 1

• ρ²_xy = a × a⁰

• Quand ρ² = 1, a = 1

a⁰. Les deux droites sont confondues.

Exemple 3 Exemple 4

Exemple 1 Exemple 2

5 10 15 5 10 15

5.0 7.5 10.0 12.5

Pour tous : ρ '0.82 et ρ² ' 0.67

(9)

Exemple 3 Exemple 4

Exemple 1 Exemple 2

5 10 15 5 10 15

5.0 7.5 10.0 12.5

Pour tous : ρ '0.82 et ρ² ' 0.67

Observation des résidus

https://gallery.shinyapps.io/slr_diag/

(10)

Corrélation n’est pas causalité.

Murders by steam

Age of Miss America

Age of Miss America

correlates with

Murders by steam, hot vapours and hot objects

Murders by steam Age of Miss America

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

2 murders 4 murders 6 murders 8 murders

18.75 yrs 20 yrs 21.25 yrs 22.5 yrs 23.75 yrs 25 yrs

tylervigen.com

Margarine consumed

Divorce rate in Maine

Divorce rate in Maine

correlates with

Per capita consumption of margarine

Margarine consumed Divorce rate in Maine

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

2lbs 4lbs 6lbs 8lbs

3.96 per 1,000 4.29 per 1,000 4.62 per 1,000 4.95 per 1,000

tylervigen.com

Uranium US power plants

Math doctorates

Math doctorates awarded

correlates with

Uranium stored at US nuclear power plants

Uranium US power plants Math doctorates

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

40 million pounds 60 million pounds 80 million pounds 100 million pounds

800 degrees 1200 degrees 1600 degrees 2000 degrees

tylervigen.com

(11)

Régression non linéaire

• Le lien n’est pas toujours linéaire.

• On cherche une relation parmi les fonctions classiques

• exponentielles

• puissances

• logarithmes

• Comment choisir : observation, multiples essais puis observation

Exemple

200 400 600

10 20 30 40

y selon x :ρ= 0.97

5.0 5.5 6.0 6.5

10 20 30 40

ln(y) selon x : ρ= 0.98

(12)

Cas exponentiel

Modèle de la forme : y = β × α^x Relation linéaire entre : ln(y) et x

y = β × x^α ⇐⇒ ln(y) = ln(β) + ln(α)x

• Le logarithme de y est fonction linéaire de x.

On part de la relation : ln(y) = ax + b.

20

X

i=1

x_i = 462

20

X

i=1

x_i² = 14392

20

X

i=1

ln(y_i) = 114.2279

20

X

i=1

ln(y_i)x_i = 2819.005

On obtient a ' 0.04848 et b ' 4.5915 : ln(y) ' 0.04848x + 4.5915.

D’où

y ' 98.64× 1.05^x

(13)

200 400 600

10 20 30 40

y selon x

200 400 600

0 10 20 30 40

y selon x

Cas puissance

Modèle de la forme : y = β × x^α Relation linéaire entre : ln(y) et ln(x)

y = β ×x^α ⇔ ln(y) = ln(β) +αln(x)

• Le logarithme de y est fonction linéaire du logarithme de x.

• Cas des fonctions à élasticité constante.

• Contient plein de cas selon la valeur de a.

(14)

xkcd.com