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ICENCE1
C
ALCUL& L
OGIQUE2
Julie Scholler - Bureau B246
Janvier 2019
.
Contenu
• Ensemble et dénombrement
• Nombres complexes
• Suites numériques
Prérequis
• Calcul & Logique 1
• et/ou de bonnes bases en maths du lycée
.
Fonctionnement et organisation
Comme pour Calcul & Logique 1 et Statistiques Descriptives Pour tous : 6 séances de cours magistraux de 2h
+ Examen terminal
Pour les L1 Économie : 4 séances de travaux dirigés de 2h + 2 QCM lors des séances 2 et 4
Supports pédagogiques sur Celene
• polycopié de cours
• fascicule d’exercices (correction partielles au fur et à mesure)
• QCM d’entraînement en ligne sur les bases(pour tous)
C
HAPITRE1.
E
NSEMBLES ET DÉNOMBREMENTJulie Scholler - Bureau B246
Janvier 2019
I. Vocabulaire ensembliste
Ensemble
collection d’objets appelés éléments
En extension E = {0,1,2}
Par compréhension E = {x ∈ N, 0 6 x 6 4}
Ensembles particuliers
• l’ensemble ne contenant aucun élément appelé l’ensemble vide, noté ∅
• les ensembles ne contenant qu’un seul élément appelés les singletons (par exemple {2})
I. Vocabulaire ensembliste
E
×x
Appartenance
Si un élément x appartient à un ensemble E, alors on note x ∈ E. On dira indifféremment que
• x appartient à E
• x est un élément de E
• x est dans E
• E contient x
Non appartenance
Si x n’appartient pas à E, alors on note x ∈/ E.
E
×x
I. Vocabulaire ensembliste
Égalité d’ensembles
Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si les ensembles A et B ont exactement les mêmes éléments.
Exemple
n
x ∈ R, x2 = 1o = {1,−1}
I. Vocabulaire ensembliste
A B
Inclusion
A est inclus dans B, et on note A ⊂ B, si et seulement si tout élément de A appartient à B
A ⊂ B ⇐⇒ ∀x ∈ A, x ∈ B On dira indifféremment que
• A est inclus dans B
• A est une partie de B
• A est un sous-ensemble de B
• B contient A
I. Vocabulaire ensembliste
Soit A = {a,b}.
Choisir le bon symbole entre ∈ et ⊂.
• a. . .A • {a}. . .A • ∅. . .A
• a∈A • {a}⊂A • ∅⊂A
Attention : bien distinguer l’appartenance et l’inclusion.
• l’inclusion concerne des objets de même échelle
• l’appartenance concerne des objets qui ne sont pas à la même échelle
I. Vocabulaire ensembliste
Soient A = n(x,y,z) ∈ R3, x + y − z = 0o et B = {(a,a,2a), a ∈ R}.
A et B sont-ils égaux ? Non, B ⊂ A mais A 6⊂ B Soit C = {(a,b,a + b), a,b ∈ R}.
A et C sont-ils égaux ? Double inclusion
A = B ⇐⇒ A ⊂ B et B ⊂ A
II. Opérations sur les parties de E
Ensemble des parties de E
On note P(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E A ⊂ E ⇐⇒ A ∈ P(E)
Exemple
Soit E = {1,2,3}, alors P(E) = n ∅
|{z}
0 élément
;{1};{2};{3}
| {z }
1 élément
;{1; 2};{1; 3};{2; 3}
| {z }
2 éléments
;{1; 2; 3}
| {z }
3 éléments
o .
II. Opérations sur les parties de E
Soit A une partie d’un ensemble E. Complémentaire de A dans E
la partie de E égale à l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A
A = nx ∈ E
x ∈/ Ao
E
A A
Exemple
Dans N, A = {0,2,4,6, . . .} et A = {1,3,5,7, . . .}
II. Opérations sur les parties de E
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Réunion de A et de B
l’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B A∪B = nx ∈ E
x ∈ A ou x ∈ Bo E
A B A∪B
Exemple
Dans E = J1; 15K, A = {3,6,9,12,15} et B = {5,10,15}
A∪B = {3,5,6,9,10,12,15}
II. Opérations sur les parties de E
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Intersection de A et de B
l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B A∩B = nx ∈ E
x ∈ A et x ∈ Bo E
A B A∩B
Exemple
Dans E = J1; 15K, A = {3,6,9,12,15} et B = {5,10,15}
A∩B = {15}
II. Opérations sur les parties de E
Propriétés de la réunion
• A ⊂ A∪B
• A∪B = B ∪A
• A∪(B ∪C) = (A∪B) ∪C
• A∪A = E et A∪∅ = A
• si A ⊂ B, alors A∪B = B
Propriétés de l’intersection
• A∩B ⊂ A
• A∩B = B ∩A
• A∩(B ∩C) = (A∩B) ∩C
• A∩A = ∅ et A∩E = A
• si A ⊂ B, alors A∩B = A
II. Opérations sur les parties de E
Réunion finie de A1, . . . ,An :
n
[
i=1
Ai
l’ensemble des éléments de E qui sont dans au moins un des ensembles A1, . . . ,An. Autrement dit,
x ∈
n
[
i=1
Ai ⇐⇒ ∃i ∈ J1,nK, x ∈ Ai.
Intersection finie de A1,A2, . . . ,An :
n
\
i=1
Ai
l’ensemble des éléments de E qui sont dans tous les ensembles A1, . . . ,An. Autrement dit,
x ∈
n
\
i=1
Ai ⇐⇒ ∀i ∈ J1,nK, x ∈ Ai. Exemple
Pour tout k ∈ J1; 100K, Ak =
−1 k ; k
. Que vaut
100
[
k=1
Ak ?
100
\
k=1
Ak ?
II. Opérations sur les parties de E
Parties disjointes
Deux parties A et B d’un ensemble E sont disjointes si et seulement si leur intersection est vide :
A∩B = ∅
E
A B
II. Opérations sur les parties de E
Partition de E
une famille finie (Ai)16i6n de parties de E telle que
• toutes les parties Ai sont non vides : ∀i ∈ J1,nK, Ai 6= ∅
• les parties sont deux à deux disjointes :
∀i ∈ J1,nK, ∀j ∈ J1,nK, i 6= j =⇒ Ai ∩Aj = ∅
• leur réunion est égale à E :
n
[
i=1
Ai = E
Exemples
Si A 6= ∅, nA,Ao est une partition de E.
II. Opérations sur les parties de E
Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Différence : B privé de A
l’ensemble des éléments de E qui sont dans B mais pas dans A B \A = nx ∈ B
x ∈/ Ao = B ∩A
E
A B \A B
II. Opérations sur les parties de E
Application
Soient E = R, A = [4; 10], B = {x ∈ R, |x| 6 5} et C = N. Déterminer les ensembles suivants :
1. A∪B 2. A∩B 3. B 4. C \B
II. Opérations sur les parties de E
Règles de calculs
Distributivité
Pour toutes parties A, B et C de E, on a
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
Lois de De Morgan
A∪B = A∩B et A∩B = A∪B
Exemple
Soient E = R, A = [4; 10], B = {x ∈ R, |x| 6 5} et C = N. A∩(B ∪C), (A∪b) ∩C
II. Opérations sur les parties de E
Couple de x et y
la donnée de deux objets x et y non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x,y)
(x,y) = x0,y0 ⇐⇒ x = x0 et y = y0.
n-uplet de x1,x2, . . .xn
la donnée de n objets x1,x2, . . .xn non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x1,x2, . . .xn)
II. Opérations sur les parties de E
Produit cartésien de deux ensembles X et Y
l’ensemble des couples (x,y) où x est dans X et y est dans Y X × Y def= n(x,y), x ∈ X,y ∈ Yo
Produit cartésien d’un nombre fini n d’ensembles X1, . . . ,Xn l’ensemble formé de tous les n-uplets (x1, . . . ,xn) où x1 est dans X1, . . . ,xn est dans Xn
X1 × · · · ×Xn def= n(x1, . . . ,xn)
∀i ∈ J1,nK,xi ∈ Xio Exemples
• {0,1} × {0,1,2} = n(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)o
• R2 = R× R = (x,y) x ∈ R,y ∈ R
• n(x,y) ∈ R2|x2 + y2 6 1o ne peut pas être écrit comme un produit cartésien
III. Cardinal d’un ensemble fini
Ensemble fini
ensemble ne contenant qu’un nombre fini d’éléments Cardinal d’un ensemble fini
nombre d’éléments que contient l’ensemble Exemples
• J1; 10K est fini et card (J1; 10K) = 10
• [1; 10] n’est pas fini
• card(∅) = 0
• card ({0,2,8,6,2,2,6}) = 4
III. Cardinal d’un ensemble fini
Soient A et B deux parties finies d’un ensemble E. Cardinal d’une sous-partie
A ⊂ B =⇒ card(A) 6 card(B)
Cardinal d’une réunion disjointe
Si A∩B = ∅, alors on a card(A∪B) = card(A) + card(B)
Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA = card(E)− card(A)
III. Cardinal d’un ensemble fini
Soient A et B deux parties finies d’un ensemble E. E
A B A∩B
Cardinal d’une réunion quelconque
card(A∪B) = card(A) + card(B)− card(A∩B).
III. Cardinal d’un ensemble fini
Soient E et F deux ensembles finis non vides.
Cardinal d’un produit cartésien
card(E × F) = card(E)× card(F).
Cas particulier
card (En) = ( card(E))n
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HAPITRE1.
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NSEMBLES ET DÉNOMBREMENT(
SUITE)
Julie Scholler - Bureau B246
Janvier 2019
III. Cardinal d’un ensemble fini
Cardinal d’un ensemble fini
nombre d’éléments d’un ensemble fini
Exemples
J = {lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche}
• card(J) = 7
• card(∅) = 0
• card(J1; 58K) = 58
• N?
III. Cardinal d’un ensemble fini
Cours de Droit en L1
• E = {les étudiants en L1 à la fac de DESS de Tours}
• P = {les étudiants de E inscrits en L1 de Droit}
• M = {les étudiants de E ayant choisi le module 3 de Droit}
• D = {les étudiants de E suivant des cours de Droit}
Lien entre les cardinaux des différents ensembles ?
III. Cardinal d’un ensemble fini
Cardinal d’une sous partie de E
Si A ⊂ E, alors on a card(A) 6 card(E).
Remarque
Si A ⊂ E et card(A) = card(E), alors A = E.
Cardinal d’une union disjointe
Soient A et B deux ensembles finis disjoints. Alors card(A∪B) = card(A) + card(B)
III. Cardinal d’un ensemble fini
Cours de Droit en L2
• E2 = {les étudiants en L2 à la fac de DESS de Tours}
• P2 = {les étudiants de E2 inscrits en L2 de Droit}
• M2 = {les étudiants de E2 ayant choisi le module 3 de Droit}
• D2 = {les étudiants de E2 suivant des cours de Droit}
Combien d’étudiants ne suivent pas de cours de Droit ?
III. Cardinal d’un ensemble fini
Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA = card(E)− card(A) 6 card(E)
Cardinal d’une union quelconque
card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B) E
A B A∩B
III. Cardinal d’un ensemble fini
Nombre d’inscriptions différentes en L2 (hors filières sélectives)
• L = nDroit, Économie, Gestion, Géographieo
• S = nDroit, Éco, Gestion, Géo, Sciences Po, MCIo
• C = {tous les choix d’inscription possibles}
Produit cartésien : C = L× S Cardinal d’un produit cartésien
card(E × F) = card(E)× card(F)
III. Cardinal d’un ensemble fini
Malheureusement le nombre d’éléments des ensembles de bases ne sont pas toujours
simples à compter.
IV. Dénombrement
• Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?
• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?
• Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?
• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?
• etc.
IV. Dénombrement
Listes
p-liste d’éléments de E
un p-uplet constitué d’éléments de E, c’est-à-dire un élément de Ep Exemples un digicode
les jours de fermeture des 4 boulangeries de la ville
Nombre de p-listes
card(Ep) = ( card(E))p
Remarque
Par défaut dans une liste
• l’ordre est important
• les répétitions sont autorisées
IV. Dénombrement
p-liste sans répétition d’éléments de E
un p-uplet constitué d’éléments de E deux à deux distincts Exemples un podium
un classement des étudiants d’un groupe de TD Nombre de p-liste sans répétition d’éléments de E
Si card(E) = n, le nombre de p-listes sans répétition est n × (n −1) × · · · ×(n −p + 1)
Cas particulier
Nombre de n-listes d’un ensemble à n éléments : n! =
n
Y
k=1
k = n × (n −1)× · · · × 2×1
Ce nombre est appelé factoriel de n.
IV. Dénombrement
Combien existe-il de digicodes de 4 caractères parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C :
• sans lettres ?
• commençant ou finissant par une lettre ?
• au moins un chiffre ?
• au moins deux chiffres identiques ?
IV. Dénombrement
× Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?
• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?
× Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?
• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?
IV. Dénombrement
k-combinaison de E
une partie à k éléments de E
Exemples une poignée de main
un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD Nombre de k-combinaisons
n k
!
= n!
k!(n − k)! =
k facteurs
z }| {
n(n − 1)· · ·(n − k + 1) k(k − 1)· · ·1
| {z }
k facteurs
Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu « k parmi n » Remarque
Dans une combinaison
• il n’y a pas d’ordre
• les répétitions ne sont pas autorisées
IV. Dénombrement
Valeurs particulières
n 0
!
= 1 n
1
!
= n n
n
!
= 1
Propriété de symétrie
∀n ∈ N, ∀p ∈ J0,nK, n p
!
= n
n −p
!
IV. Dénombrement
Pour les JPO le 2 mars, le département d’Économie a besoin de 7 étudiants. 8 étudiants de Master, 10 de L3 et 12 de L2 sont
volontaires.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
En fait, il faut 4 étudiants sur le stand (2 Master, 2 Licence 3) et 3 étudiants de L2 pour l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
Finalement sur le stand je décide de mettre 2 Master et 2 Licence et n’importe quels étudiants à l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
IV. Dénombrement
Formule de Pascal
∀n ∈ N?, ∀k ∈ J0,n −1K, n k
!
+ n
k + 1
!
= n + 1 k + 1
!
0 0
! 1 0
! 1 1
! 2
0
! 2 1
! 2 2
! 3
0
! 3 1
! 3 2
! 3 3
! 4
0
! 4 1
! 4 2
! 4 3
! 4 4
! 5
0
! 5 1
! 5 2
! 5 3
! 5 4
! 5 5
!
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
IV. Dénombrement
Formule du binôme de Newton
∀(a,b) ∈ C2, ∀n ∈ N, (a + b)n =
n
X
k=0
n k
!
akbn−k
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OMBRESC
OMPLEXESJulie Scholler - Bureau B246
Janvier 2019
I. Introduction
• x + 2 = 8 et x + 8 = 2
• 2x = 6 et 6x = 2
• x2 = 4 et x2 = 2
• x2 − 1 = 0 et x2 + 1 = 0
I. Introduction
Défi de résolution d’équation du troisième degré
x3 + px +q = 0 Formule de Cardan
Tartaglia 1535-Cardan 1545
x0 = 3 v u u t−q
2 − s
q2
4 + p3 27 + 3
v u u t−q
2 + s
q2
4 + p3 27
Pas de sens si q2
4 + p3 27 < 0
Pour tous réels p et q, la courbe de la fonction f : x 7→ x3 +px +q coupe l’axe des abscisses.
∃x ∈ R, f (x) = 0
I. Introduction
Bombelli
x3 −15x − 4 = 0 Application de la formule de Cardan
x0 = 3 q
2− 11√
−1 + 3 q
2 + 11√
−1 p−1 ?
En posant √
−12 = −1, on a 2− √
−12 = 2− 11√
−1
2 + √
−12 = 2 + 11√
−1
Cela donne x0 = 4 qui est bien une solution de x3 −15x −4 = 0.
II. Construction des nombres complexes
Construction des nombres complexes
On considère un nombre imaginaire, noté i, tel que i2 = −1.
Nombre complexe
nombre de la forme z = a +ib où a et b sont deux réels
• a + ib : forme algébrique du nombre complexe z
• L’ensemble des nombres complexes est noté C.
• i ∈/ R
• Soit x ∈ R. On a x = x + i ×0 donc R ⊂ C
II. Construction des nombres complexes
Représentation graphique
Interprétation géométrique de la forme algébrique
On associe à tout nombre complexe z = a + ib le point M de coordonnées (a,b).
Le nombre complexe z est l’affixe du point M.
Le point M de coordonnées (4,2) a pour affixe 4 + 2i.
1 2 3 4
1 2 3
0
M(4,2) +
II. Construction des nombres complexes
Parties réelle et imaginaire
Soit z un nombre complexe de forme algébrique a +ib.
• Le réel a est appelé la partie réelle de z et est noté Re(z).
• Le réel b est appelé la partie imaginaire de z et est noté Im(z).
Ainsi, z = Re(z) +iIm(z).
~ e1 e~2
O
M(z) +
Re(z) Im(z)
• Re(z) ∈ R et Im(z) ∈ R
• z ∈ R ⇔ Im(z) = 0
• Si Re(z) = 0, alors on dit que z est imaginaire pur.
II. Construction des nombres complexes
Quelques calculs
z1 = 2−i et z2 = 2 + i
• z1 + z2, 2z1, −z1, z1 − z2
• z12, z1 × z2
• 1 z1
II. Construction des nombres complexes
Conjugaison d’un nombre complexe
Conjugué de z = a + ib
le nombre complexe z = a − ib = Re(z)− iIm(z)
O
M(z) +
M0(z) +
Re(z) Im(z)
−Im(z)
II. Construction des nombres complexes
Conjugaison et opérations élémentaires
Involution z = z
Compatibilité avec l’addition z +z0 = z +z0 Compatibilité avec la multiplication zz0 = z z0
Compatibilité avec la division
z z0
= z
z0 si z0 6= 0 Compatibilité avec les puissances entières (zn) = zn si n ∈ N
ou si n ∈ Z?− et z 6= 0
III. Résolution des équations du second degré à coefficients réels
Résolution d’équations du second degré à coefficients réels
Soit a un réel non nul. Soient b et c des réels.
On considère l’équation
ax2 + bx +c = 0 Son discriminant ∆ = b2 −4ac est réel.
1. Si ∆ > 0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : −b + √
∆
2a et −b − √
∆ 2a .
2. Si ∆ = 0, alors l’équation admet une unique solution réelle :
−b 2a .
3. Si ∆ < 0, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées non réelles : −b + i√
−∆
2a et −b − i√
−∆
2a .
III. Résolution des équations du second degré à coefficients réels
Applications
• x2 − 2x + 2 = 0
• x3 − 3x2 + 4x − 2 = 0
Racines d’un polynôme de degré n
Tout polynôme de degré n à coefficients dans R (ou C) admet n racines distinctes ou confondues dans C.
IV. Module d’un nombre complexe
Module du nombre complexe z le réel |z| = pa2 +b2
M(z) +
p a2 +b2
b a
• ∀z ∈ C, |z| ∈ R
• La notation du module est compatible avec la valeur absolue des nombres réels.
• D’après le théorème de Pythagore, le module d’un nombre complexe z est la distance OM de l’origine O du repère au point M d’affixe z.
IV. Module d’un nombre complexe
Compatibilité du module avec produit, quotient et conjugaison
Soient z1 et z2 deux nombres complexes.
Alors les propriétés suivantes sont vérifiées.
Compatibilité avec la multiplication |z1z2| = |z1|·|z2| Compatibilité avec la division
z1 z2
= |z1|
|z2| si z2 6= 0 Compatibilité avec la conjugaison |z| = |z|
IV. Module d’un nombre complexe
Pour tous réels x et y, les nombres complexes
z = x + iy, z = x −iy, −z = −x + iy, −z = −x − iy ont le même module :
q
x2 + y2.
z +
|z| iIm(z)
Re(z) +z
−z+
−z+
V. Nombres complexes et trigonométrie
Ensemble des nombres de module 1
Pour tout réel θ, on note eiθ le nombre complexe eiθ = cos(θ) +i sin(θ)
O cos(θ) eiθ sin(θ)
Reeiθ = cos(θ) et Imeiθ = sin(θ) Exemples
ei0 = 1, eiπ2 = i, eiπ = −1, e−iπ2 = −i, e2iπ = 1
V. Nombres complexes et trigonométrie
On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
Soient θ et φ deux réels. Les propriétés suivantes sont vérifiées.
Le produit de deux éléments de U est dans U eiθeiφ = ei(θ+φ) L’inverse d’un élément de U est dans U
eiθ−1 = e−iθ = eiθ Le quotient de deux éléments de U est dans U eiθ
eiφ = ei(θ−φ) Le conjugué d’un élément de U est dans U eiθ = e−iθ
V. Nombres complexes et trigonométrie
Argument d’un nombre complexe z non nul tout réel θ tel que z = |z|eiθ
Argument principal d’un nombre complexe z non nul l’unique réel θ dans ]− π, π] tel que z = |z|eiθ
on le note arg(z)
~ e1
~ e2
O
θ = arg(z)
|z|
M(z)
Pour z = a + ib ∈ C∗, θ = arg(z) vérifie
cos(θ) = a
|z| sin(θ) = b
|z|
V. Nombres complexes et trigonométrie
Forme trigonométrique de z
une écriture de la forme z = |z|cos(θ) +i sin(θ)
Forme exponentielle de z
une écriture sous la forme z = |z|eiθ
V. Nombres complexes et trigonométrie
Utilisation de l’écriture exponentielle
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HAPITRE2.
N
OMBRESC
OMPLEXES(
SUITE)
Julie Scholler - Bureau B246
Février 2019
IV. Module d’un nombre complexe
Module du nombre complexe z le réel |z| = pa2 +b2
M(z) +
p a2 +b2
b a
• ∀z ∈ C, |z| ∈ R
• La notation du module est compatible avec la valeur absolue des nombres réels.
• D’après le théorème de Pythagore, le module d’un nombre complexe z est la distance OM de l’origine O du repère au point M d’affixe z.
IV. Module d’un nombre complexe
Exemples
Calculer les modules des nombres complexes suivants
3 + 4i, 1−i, −5−2i, −5, 9i, −15− 20i
IV. Module d’un nombre complexe
Compatibilité du module avec produit, quotient et conjugaison
Soient z1 et z2 deux nombres complexes.
Alors les propriétés suivantes sont vérifiées.
Compatibilité avec la multiplication |z1z2| = |z1|·|z2| Compatibilité avec la division
z1 z2
= |z1|
|z2| si z2 6= 0 Compatibilité avec la conjugaison |z| = |z|
IV. Module d’un nombre complexe
Pour tous réels x et y, les nombres complexes
z = x + iy, z = x −iy, −z = −x + iy, −z = −x − iy ont le même module :
q
x2 + y2.
z +
|z| iIm(z)
Re(z) +z
−z+
−z+
V. Nombres complexes et trigonométrie
Ensemble des nombres de module 1
Pour tout réel θ, on note eiθ le nombre complexe eiθ = cos(θ) +i sin(θ)
O cos(θ) eiθ sin(θ)
Reeiθ = cos(θ) et Imeiθ = sin(θ) Exemples
ei0 = 1, eiπ2 = i, eiπ = −1, e−iπ2 = −i, e2iπ = 1
V. Nombres complexes et trigonométrie
Identité d’Euler
e i π + 1 = 0
« Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty. »
Bertrand Russel
V. Nombres complexes et trigonométrie
On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
Propriétés
Soient θ et φ deux réels. Les propriétés suivantes sont vérifiées.
• Le produit de deux éléments de U est dans U eiθeiφ = ei(θ+φ)
• Le conjugué d’un élément de U est dans U : eiθ = e−iθ
• L’inverse d’un élément de U est dans U : eiθ−1 = e−iθ = eiθ
• Le quotient de deux éléments de U est dans U eiθ
eiφ = ei(θ−φ)
Ces propriétés justifient l’emploi de l’exponentielle.
V. Nombres complexes et trigonométrie
Argument d’un nombre complexe z non nul tout réel θ tel que z = |z|eiθ
Argument principal d’un nombre complexe z non nul l’unique réel θ dans ]− π, π] tel que z = |z|eiθ
on le note arg(z)
e~1 e~2
O
θ = arg(z)
|z|
M(z)
Pour z = a + ib ∈ C∗, θ = arg(z) vérifie
cos(θ) = a
|z| sin(θ) = b
|z|
V. Nombres complexes et trigonométrie
Forme trigonométrique de z
une écriture de la forme z = |z|cos(θ) +i sin(θ)
Forme exponentielle de z
une écriture sous la forme z = |z|eiθ
V. Nombres complexes et trigonométrie
Utilisation de l’écriture exponentielle
Soient z1 =
√2
2 (1 −i) et z2 = 1 + i√ 3.
• Calculer à l’aide de l’écriture exponentielle z1z2 et 1 z1
.
• Calculer à l’aide de l’écriture exponentielle z1
z2 12
.
• Calculer à l’aide des écritures algébriques z1z2.
• En déduire une expression algébrique de cos π
12
.
L
ICENCE1 - C
ALCUL& L
OGIQUE2 C
HAPITRE3.
S
UITES NUMÉRIQUESJulie Scholler - Bureau B246
Février 2019
I. Généralités sur les suites réelles
Définition
Une suite réelle u = (un)n∈N est une fonction dont l’ensemble de départ est N (ou Jn0,+∞J avec n0 ∈ N)
u : N −→ R, n 7−→ un un est appelé le terme général de la suite.
Son indice ou rang est n.
Une suite peut être définie de différentes façons :
• de façon explicite : pour tout entier positif n, on a un = f(n)
• de façon récurrente : pour tout entier positif n, on a un+1 = f (un) ou un+k = f(un+k−1,un+k−2, . . . ,un)
I. Généralités sur les suites réelles
Exemples
• Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n
• vn = 1 1 + n
• wn = 2n + 1 n − 1
• xn = (−1)n
• yn = n!
2n
• zn = cos
1
n
• tn = 5n ×(−1)n
• sn = sin(n) n
• (rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2
I. Généralités sur les suites réelles
Variations d’une suite réelle
On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est
• croissante si
∀n ∈ N, un+1 > un
• strictement croissante si
∀n ∈ N, un+1 > un
• décroissante si
∀n ∈ N, un+1 6 un
• strictement décroissante si
∀n ∈ N, un+1 < un
I. Généralités sur les suites réelles
Variations d’une suite réelle
On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est
• monotone si elle est soit croissante soit décroissante
• strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.
Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.
I. Généralités sur les suites réelles
Exemples
• Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n
• vn = 1 1 + n
• wn = 2n + 1 n − 1
• xn = (−1)n
• yn = n!
2n
• zn = cos
1
n
• tn = 5n ×(−1)n
• sn = sin(n) n
• (rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2
I. Généralités sur les suites réelles
Suites majorées, minorées, bornées
On dit qu’une suite (un)n∈N est majorée si
∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un 6 M.
On dit qu’une suite (un)n∈N est minorée si
∃m ∈ R, ∀n ∈ N, un > m.
On dit qu’une suite (un)n∈N est bornée si elle est minorée et majorée :
∃m ∈ R, ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, m 6 un 6 M.
ou de manière équivalente
∃M ∈ R, ∀n ∈ N, |un| 6 M.
I. Généralités sur les suites réelles
Exemples
• Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n
• vn = 1 1 + n
• wn = 2n + 1 n − 1
• xn = (−1)n
• yn = n!
2n
• zn = cos
1
n
• tn = 5n ×(−1)n
• sn = sin(n) n
• (rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2
II. Nature d’une suite
Suite convergente
Une suite (un)n∈N est dite convergente s’il existe un nombre ` ∈ R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pour n assez grand), un va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de `.
`
` + ε
` − ε
n0 +
+ + + + + +
+
+ + + + + +
+
Notations on note lim
n→+∞un = ` ou un −→
n→+∞ `
II. Nature d’une suite
Propriétés
• Toute suite convergente est bornée.
• Quand une suite est convergente, sa limite est unique.
II. Nature d’une suite
Exemples
• Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n
• vn = 1 1 + n
• wn = 2n + 1 n − 1
• xn = (−1)n
• yn = n!
2n
• zn = cos
1
n
• tn = 5n ×(−1)n
• sn = sin(n) n
• (rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2
II. Nature d’une suite
Suite divergente
Une suite est divergente si elle n’est pas convergente.
Différents types de suites divergentes
• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus grandes : on dit qu’elles ont pour limite +∞;
• celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus petites : on dit qu’elles ont pour limite −∞;
• celles qui ne convergent pas mais n’ont pas non plus pour limite +∞ ou −∞.
II. Nature d’une suite
On dit qu’une suite (un)n∈N
• a pour limite +∞, et on note lim
n→+∞un = +∞ ou un −−−−→
n→+∞ +∞, si et seulement si
∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, un > A.
• a pour limite −∞, et on note lim
n→+∞un = −∞ ou un −−−−→
n→+∞ −∞, si et seulement si
∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, un < A.
II. Nature d’une suite
Exemples
• Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n
• vn = 1 1 + n
• wn = 2n + 1 n − 1
• xn = (−1)n
• yn = n!
2n
• zn = cos
1
n
• tn = 5n ×(−1)n
• sn = sin(n) n
• (rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2
II. Nature d’une suite
Nature d’une suite
On appelle nature d’une suite son caractère convergent ou divergent.
III. Étude de la nature
Limite de la somme de deux suites
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites qui admettent une limite.
Alors la limite de la suite (un +vn)n∈N, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.
n→+∞lim un
n→+∞lim vn
−∞ ` ∈ R +∞
−∞ −∞ −∞ F.I.
`0 ∈ R −∞ `+`0 +∞
+∞ F.I. +∞ +∞
III. Étude de la nature
Limite du produit de deux suites
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites admettant une limite.
Alors la limite de la suite (unvn)n∈N, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.
n→+∞lim un
n→+∞lim vn
−∞ ` < 0 0 ` > 0 +∞
−∞ +∞ +∞ F.I. −∞ −∞
`0 < 0 +∞ −∞
0 F.I. ``0 F.I.
`0 > 0 −∞ +∞
+∞ −∞ −∞ F.I. +∞ +∞
III. Étude de la nature
Limite de l’inverse d’une suite
Soit (un)n∈N une suite qui ne s’annule pas et qui admet une limite.
Alors la limite de la suite inverse, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.
n→+∞lim un −∞ ` < 0 0− 0 0+ ` > 0 +∞
n→+∞lim 1
un 0− 1
` −∞ F.I. +∞ 1
` 0+
III. Étude de la nature
Limite du quotient de deux suites
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites admettant une limite, la suite (vn)n∈N ne s’annulant pas. Alors la limite de la suite
un
vn
n∈N
, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.
n→+∞lim vn
lim
n→+∞un
−∞ ` < 0 0 ` > 0 +∞
−∞ F.I. 0+ 0 0− F.I.
`0 <0 +∞ `
`0 0 `
`0 −∞
0− F.I. +∞ F.I. −∞ F.I.
0 F.I. F.I. F.I. F.I. F.I.
0+ F.I. −∞ F.I. +∞ F.I.
`0 >0 −∞ `
`0 0 `
`0 +∞
+∞ F.I. 0− 0 0+ F.I.
III. Étude de la nature
Exemples
• Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n
• vn = 1 1 + n
• wn = 2n + 1 n − 1
• xn = (−1)n
• yn = n!
2n
• zn = cos
1
n
• tn = 5n ×(−1)n
• sn = sin(n) n
• (rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2
III. Étude de la nature
Encadrement
Pour la convergence
Si les suites (un)n∈N et (wn)n∈N admettent la même limite réelle ` et si
∀n ∈ N, un 6 vn 6 wn
alors la suite (vn)n∈N converge et admet pour limite `.
III. Étude de la nature
Inégalité simple
Pour montrer l’existence d’une limite infinie
• Si lim
n→+∞un = +∞ et si ∀n ∈ N, un 6 vn, alors la suite (vn)n∈N diverge et
n→+∞lim vn = +∞
• Si l lim
n→+∞vn = −∞ et si ∀n ∈ N, un 6 vn, alors la suite (un)n∈N diverge vers −∞.et
n→+∞lim un = −∞