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Texte intégral

(1)

L

ICENCE

1

C

ALCUL

& L

OGIQUE

2

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2019

.

Contenu

Ensemble et dénombrement

Nombres complexes

Suites numériques

Prérequis

Calcul & Logique 1

et/ou de bonnes bases en maths du lycée

(2)

.

Fonctionnement et organisation

Comme pour Calcul & Logique 1 et Statistiques Descriptives Pour tous : 6 séances de cours magistraux de 2h

+ Examen terminal

Pour les L1 Économie : 4 séances de travaux dirigés de 2h + 2 QCM lors des séances 2 et 4

Supports pédagogiques sur Celene

polycopié de cours

fascicule d’exercices (correction partielles au fur et à mesure)

QCM d’entraînement en ligne sur les bases(pour tous)

C

HAPITRE

1.

E

NSEMBLES ET DÉNOMBREMENT

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2019

(3)

I. Vocabulaire ensembliste

Ensemble

collection d’objets appelés éléments

En extension E = {0,1,2}

Par compréhension E = {x ∈ N, 0 6 x 6 4}

Ensembles particuliers

l’ensemble ne contenant aucun élément appelé l’ensemble vide, noté ∅

les ensembles ne contenant qu’un seul élément appelés les singletons (par exemple {2})

I. Vocabulaire ensembliste

E

×x

Appartenance

Si un élément x appartient à un ensemble E, alors on note xE. On dira indifféremment que

x appartient à E

x est un élément de E

x est dans E

E contient x

Non appartenance

Si x n’appartient pas à E, alors on note x/ E.

E

×x

(4)

I. Vocabulaire ensembliste

Égalité d’ensembles

Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si les ensembles A et B ont exactement les mêmes éléments.

Exemple

n

x ∈ R, x2 = 1o = {1,−1}

I. Vocabulaire ensembliste

A B

Inclusion

A est inclus dans B, et on note AB, si et seulement si tout élément de A appartient à B

AB ⇐⇒ ∀x ∈ A, xB On dira indifféremment que

A est inclus dans B

A est une partie de B

A est un sous-ensemble de B

B contient A

(5)

I. Vocabulaire ensembliste

Soit A = {a,b}.

Choisir le bon symbole entre ∈ et ⊂.

a. . .A {a}. . .A . . .A

aA {a}A A

Attention : bien distinguer l’appartenance et l’inclusion.

l’inclusion concerne des objets de même échelle

l’appartenance concerne des objets qui ne sont pas à la même échelle

I. Vocabulaire ensembliste

Soient A = n(x,y,z) ∈ R3, x + yz = 0o et B = {(a,a,2a), a ∈ R}.

A et B sont-ils égaux ? Non, BA mais A 6⊂ B Soit C = {(a,b,a + b), a,b ∈ R}.

A et C sont-ils égaux ? Double inclusion

A = B ⇐⇒ AB et BA

(6)

II. Opérations sur les parties de E

Ensemble des parties de E

On note P(E) l’ensemble des parties d’un ensemble E AE ⇐⇒ A ∈ P(E)

Exemple

Soit E = {1,2,3}, alors P(E) = n

|{z}

0 élément

;{1};{2};{3}

| {z }

1 élément

;{1; 2};{1; 3};{2; 3}

| {z }

2 éléments

;{1; 2; 3}

| {z }

3 éléments

o .

II. Opérations sur les parties de E

Soit A une partie d’un ensemble E. Complémentaire de A dans E

la partie de E égale à l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A

A = nxE

x/ Ao

E

A A

Exemple

Dans N, A = {0,2,4,6, . . .} et A = {1,3,5,7, . . .}

(7)

II. Opérations sur les parties de E

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Réunion de A et de B

l’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B AB = nxE

xA ou xBo E

A B AB

Exemple

Dans E = J1; 15K, A = {3,6,9,12,15} et B = {5,10,15}

AB = {3,5,6,9,10,12,15}

II. Opérations sur les parties de E

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Intersection de A et de B

l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans B AB = nxE

xA et xBo E

A B AB

Exemple

Dans E = J1; 15K, A = {3,6,9,12,15} et B = {5,10,15}

AB = {15}

(8)

II. Opérations sur les parties de E

Propriétés de la réunion

AAB

AB = BA

A∪(B ∪C) = (A∪B)C

AA = E et A∪∅ = A

si AB, alors AB = B

Propriétés de l’intersection

ABA

AB = BA

A∩(B ∩C) = (A∩B)C

AA = ∅ et AE = A

si AB, alors AB = A

II. Opérations sur les parties de E

Réunion finie de A1, . . . ,An :

n

[

i=1

Ai

l’ensemble des éléments de E qui sont dans au moins un des ensembles A1, . . . ,An. Autrement dit,

x

n

[

i=1

Ai ⇐⇒ ∃i ∈ J1,nK, xAi.

Intersection finie de A1,A2, . . . ,An :

n

\

i=1

Ai

l’ensemble des éléments de E qui sont dans tous les ensembles A1, . . . ,An. Autrement dit,

x

n

\

i=1

Ai ⇐⇒ ∀i ∈ J1,nK, xAi. Exemple

Pour tout k ∈ J1; 100K, Ak =

−1 k ; k

. Que vaut

100

[

k=1

Ak ?

100

\

k=1

Ak ?

(9)

II. Opérations sur les parties de E

Parties disjointes

Deux parties A et B d’un ensemble E sont disjointes si et seulement si leur intersection est vide :

AB = ∅

E

A B

II. Opérations sur les parties de E

Partition de E

une famille finie (Ai)16i6n de parties de E telle que

toutes les parties Ai sont non vides : ∀i ∈ J1,nK, Ai 6= ∅

les parties sont deux à deux disjointes :

∀i ∈ J1,nK, ∀j ∈ J1,nK, i 6= j =⇒ AiAj = ∅

leur réunion est égale à E :

n

[

i=1

Ai = E

Exemples

Si A 6= ∅, nA,Ao est une partition de E.

(10)

II. Opérations sur les parties de E

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. Différence : B privé de A

l’ensemble des éléments de E qui sont dans B mais pas dans A B \A = nxB

x/ Ao = BA

E

A B \A B

II. Opérations sur les parties de E

Application

Soient E = R, A = [4; 10], B = {x ∈ R, |x| 6 5} et C = N. Déterminer les ensembles suivants :

1. AB 2. AB 3. B 4. C \B

(11)

II. Opérations sur les parties de E

Règles de calculs

Distributivité

Pour toutes parties A, B et C de E, on a

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Lois de De Morgan

AB = AB et AB = AB

Exemple

Soient E = R, A = [4; 10], B = {x ∈ R, |x| 6 5} et C = N. A∩(B ∪C), (A∪b)C

II. Opérations sur les parties de E

Couple de x et y

la donnée de deux objets x et y non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x,y)

(x,y) = x0,y0 ⇐⇒ x = x0 et y = y0.

n-uplet de x1,x2, . . .xn

la donnée de n objets x1,x2, . . .xn non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x1,x2, . . .xn)

(12)

II. Opérations sur les parties de E

Produit cartésien de deux ensembles X et Y

l’ensemble des couples (x,y) où x est dans X et y est dans Y X × Y def= n(x,y), xX,yYo

Produit cartésien d’un nombre fini n d’ensembles X1, . . . ,Xn l’ensemble formé de tous les n-uplets (x1, . . . ,xn) où x1 est dans X1, . . . ,xn est dans Xn

X1 × · · · ×Xn def= n(x1, . . . ,xn)

∀i ∈ J1,nK,xiXio Exemples

{0,1} × {0,1,2} = n(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)o

R2 = R× R = (x,y) x ∈ R,y ∈ R

n(x,y) ∈ R2|x2 + y2 6 1o ne peut pas être écrit comme un produit cartésien

III. Cardinal d’un ensemble fini

Ensemble fini

ensemble ne contenant qu’un nombre fini d’éléments Cardinal d’un ensemble fini

nombre d’éléments que contient l’ensemble Exemples

J1; 10K est fini et card (J1; 10K) = 10

[1; 10] n’est pas fini

card(∅) = 0

card ({0,2,8,6,2,2,6}) = 4

(13)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Soient A et B deux parties finies d’un ensemble E. Cardinal d’une sous-partie

AB =⇒ card(A) 6 card(B)

Cardinal d’une réunion disjointe

Si AB = ∅, alors on a card(A∪B) = card(A) + card(B)

Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA = card(E)− card(A)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Soient A et B deux parties finies d’un ensemble E. E

A B AB

Cardinal d’une réunion quelconque

card(A∪B) = card(A) + card(B)− card(A∩B).

(14)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Soient E et F deux ensembles finis non vides.

Cardinal d’un produit cartésien

card(E × F) = card(E)× card(F).

Cas particulier

card (En) = ( card(E))n

(15)

L

ICENCE

1 - C

ALCUL

& L

OGIQUE

2 C

HAPITRE

1.

E

NSEMBLES ET DÉNOMBREMENT

(

SUITE

)

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2019

III. Cardinal d’un ensemble fini

Cardinal d’un ensemble fini

nombre d’éléments d’un ensemble fini

Exemples

J = {lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche}

card(J) = 7

card(∅) = 0

card(J1; 58K) = 58

N?

(16)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Cours de Droit en L1

E = {les étudiants en L1 à la fac de DESS de Tours}

P = {les étudiants de E inscrits en L1 de Droit}

M = {les étudiants de E ayant choisi le module 3 de Droit}

D = {les étudiants de E suivant des cours de Droit}

Lien entre les cardinaux des différents ensembles ?

III. Cardinal d’un ensemble fini

Cardinal d’une sous partie de E

Si AE, alors on a card(A) 6 card(E).

Remarque

Si AE et card(A) = card(E), alors A = E.

Cardinal d’une union disjointe

Soient A et B deux ensembles finis disjoints. Alors card(A∪B) = card(A) + card(B)

(17)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Cours de Droit en L2

E2 = {les étudiants en L2 à la fac de DESS de Tours}

P2 = {les étudiants de E2 inscrits en L2 de Droit}

M2 = {les étudiants de E2 ayant choisi le module 3 de Droit}

D2 = {les étudiants de E2 suivant des cours de Droit}

Combien d’étudiants ne suivent pas de cours de Droit ?

III. Cardinal d’un ensemble fini

Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA = card(E)− card(A) 6 card(E)

Cardinal d’une union quelconque

card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B) E

A B AB

(18)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Nombre d’inscriptions différentes en L2 (hors filières sélectives)

L = nDroit, Économie, Gestion, Géographieo

S = nDroit, Éco, Gestion, Géo, Sciences Po, MCIo

C = {tous les choix d’inscription possibles}

Produit cartésien : C = L× S Cardinal d’un produit cartésien

card(E × F) = card(E)× card(F)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Malheureusement le nombre d’éléments des ensembles de bases ne sont pas toujours

simples à compter.

(19)

IV. Dénombrement

Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?

Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?

Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?

Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?

etc.

IV. Dénombrement

Listes

p-liste d’éléments de E

un p-uplet constitué d’éléments de E, c’est-à-dire un élément de Ep Exemples un digicode

les jours de fermeture des 4 boulangeries de la ville

Nombre de p-listes

card(Ep) = ( card(E))p

Remarque

Par défaut dans une liste

l’ordre est important

les répétitions sont autorisées

(20)

IV. Dénombrement

p-liste sans répétition d’éléments de E

un p-uplet constitué d’éléments de E deux à deux distincts Exemples un podium

un classement des étudiants d’un groupe de TD Nombre de p-liste sans répétition d’éléments de E

Si card(E) = n, le nombre de p-listes sans répétition est n × (n −1) × · · · ×(n −p + 1)

Cas particulier

Nombre de n-listes d’un ensemble à n éléments : n! =

n

Y

k=1

k = n × (n −1)× · · · × 2×1

Ce nombre est appelé factoriel de n.

IV. Dénombrement

Combien existe-il de digicodes de 4 caractères parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C :

sans lettres ?

commençant ou finissant par une lettre ?

au moins un chiffre ?

au moins deux chiffres identiques ?

(21)

IV. Dénombrement

× Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?

Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?

× Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?

Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?

IV. Dénombrement

k-combinaison de E

une partie à k éléments de E

Exemples une poignée de main

un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD Nombre de k-combinaisons

n k

!

= n!

k!(nk)! =

k facteurs

z }| {

n(n − 1)· · ·(n − k + 1) k(k − 1)· · ·1

| {z }

k facteurs

Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu « k parmi n » Remarque

Dans une combinaison

il n’y a pas d’ordre

les répétitions ne sont pas autorisées

(22)

IV. Dénombrement

Valeurs particulières

n 0

!

= 1 n

1

!

= n n

n

!

= 1

Propriété de symétrie

∀n ∈ N, ∀p ∈ J0,nK, n p

!

= n

np

!

IV. Dénombrement

Pour les JPO le 2 mars, le département d’Économie a besoin de 7 étudiants. 8 étudiants de Master, 10 de L3 et 12 de L2 sont

volontaires.

Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?

En fait, il faut 4 étudiants sur le stand (2 Master, 2 Licence 3) et 3 étudiants de L2 pour l’accueil.

Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?

Finalement sur le stand je décide de mettre 2 Master et 2 Licence et n’importe quels étudiants à l’accueil.

Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?

(23)

IV. Dénombrement

Formule de Pascal

∀n ∈ N?, ∀k ∈ J0,n −1K, n k

!

+ n

k + 1

!

= n + 1 k + 1

!

0 0

! 1 0

! 1 1

! 2

0

! 2 1

! 2 2

! 3

0

! 3 1

! 3 2

! 3 3

! 4

0

! 4 1

! 4 2

! 4 3

! 4 4

! 5

0

! 5 1

! 5 2

! 5 3

! 5 4

! 5 5

!

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

IV. Dénombrement

Formule du binôme de Newton

∀(a,b) ∈ C2, ∀n ∈ N, (a + b)n =

n

X

k=0

n k

!

akbn−k

(24)

L

ICENCE

1 - C

ALCUL

& L

OGIQUE

2 C

HAPITRE

2.

N

OMBRES

C

OMPLEXES

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2019

I. Introduction

x + 2 = 8 et x + 8 = 2

2x = 6 et 6x = 2

x2 = 4 et x2 = 2

x2 − 1 = 0 et x2 + 1 = 0

(25)

I. Introduction

Défi de résolution d’équation du troisième degré

x3 + px +q = 0 Formule de Cardan

Tartaglia 1535-Cardan 1545

x0 = 3 v u u tq

2 − s

q2

4 + p3 27 + 3

v u u tq

2 + s

q2

4 + p3 27

Pas de sens si q2

4 + p3 27 < 0

Pour tous réels p et q, la courbe de la fonction f : x 7→ x3 +px +q coupe l’axe des abscisses.

∃x ∈ R, f (x) = 0

I. Introduction

Bombelli

x3 −15x − 4 = 0 Application de la formule de Cardan

x0 = 3 q

2− 11√

−1 + 3 q

2 + 11√

−1 p−1 ?

En posant √

−12 = −1, on a 2− √

−12 = 2− 11√

−1

2 + √

−12 = 2 + 11√

−1

Cela donne x0 = 4 qui est bien une solution de x3 −15x −4 = 0.

(26)

II. Construction des nombres complexes

Construction des nombres complexes

On considère un nombre imaginaire, noté i, tel que i2 = −1.

Nombre complexe

nombre de la forme z = a +iba et b sont deux réels

a + ib : forme algébrique du nombre complexe z

L’ensemble des nombres complexes est noté C.

i/ R

Soit x ∈ R. On a x = x + i ×0 donc R ⊂ C

II. Construction des nombres complexes

Représentation graphique

Interprétation géométrique de la forme algébrique

On associe à tout nombre complexe z = a + ib le point M de coordonnées (a,b).

Le nombre complexe z est l’affixe du point M.

Le point M de coordonnées (4,2) a pour affixe 4 + 2i.

1 2 3 4

1 2 3

0

M(4,2) +

(27)

II. Construction des nombres complexes

Parties réelle et imaginaire

Soit z un nombre complexe de forme algébrique a +ib.

Le réel a est appelé la partie réelle de z et est noté Re(z).

Le réel b est appelé la partie imaginaire de z et est noté Im(z).

Ainsi, z = Re(z) +iIm(z).

~ e1 e~2

O

M(z) +

Re(z) Im(z)

Re(z) ∈ R et Im(z) ∈ R

z ∈ R ⇔ Im(z) = 0

Si Re(z) = 0, alors on dit que z est imaginaire pur.

II. Construction des nombres complexes

Quelques calculs

z1 = 2−i et z2 = 2 + i

z1 + z2, 2z1, −z1, z1z2

z12, z1 × z2

1 z1

(28)

II. Construction des nombres complexes

Conjugaison d’un nombre complexe

Conjugué de z = a + ib

le nombre complexe z = aib = Re(z)− iIm(z)

O

M(z) +

M0(z) +

Re(z) Im(z)

−Im(z)

II. Construction des nombres complexes

Conjugaison et opérations élémentaires

Involution z = z

Compatibilité avec l’addition z +z0 = z +z0 Compatibilité avec la multiplication zz0 = z z0

Compatibilité avec la division

z z0

= z

z0 si z0 6= 0 Compatibilité avec les puissances entières (zn) = zn si n ∈ N

ou si n ∈ Z? et z 6= 0

(29)

III. Résolution des équations du second degré à coefficients réels

Résolution d’équations du second degré à coefficients réels

Soit a un réel non nul. Soient b et c des réels.

On considère l’équation

ax2 + bx +c = 0 Son discriminant ∆ = b2 −4ac est réel.

1. Si ∆ > 0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : −b + √

2a et −b − √

∆ 2a .

2. Si ∆ = 0, alors l’équation admet une unique solution réelle :

−b 2a .

3. Si ∆ < 0, alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées non réelles : −b + i

−∆

2a et −b − i

−∆

2a .

III. Résolution des équations du second degré à coefficients réels

Applications

x2 − 2x + 2 = 0

x3 − 3x2 + 4x − 2 = 0

Racines d’un polynôme de degré n

Tout polynôme de degré n à coefficients dans R (ou C) admet n racines distinctes ou confondues dans C.

(30)

IV. Module d’un nombre complexe

Module du nombre complexe z le réel |z| = pa2 +b2

M(z) +

p a2 +b2

b a

∀z ∈ C, |z| ∈ R

La notation du module est compatible avec la valeur absolue des nombres réels.

D’après le théorème de Pythagore, le module d’un nombre complexe z est la distance OM de l’origine O du repère au point M d’affixe z.

IV. Module d’un nombre complexe

Compatibilité du module avec produit, quotient et conjugaison

Soient z1 et z2 deux nombres complexes.

Alors les propriétés suivantes sont vérifiées.

Compatibilité avec la multiplication |z1z2| = |z1|·|z2| Compatibilité avec la division

z1 z2

= |z1|

|z2| si z2 6= 0 Compatibilité avec la conjugaison |z| = |z|

(31)

IV. Module d’un nombre complexe

Pour tous réels x et y, les nombres complexes

z = x + iy, z = xiy, −z = −x + iy, −z = −x − iy ont le même module :

q

x2 + y2.

z +

|z| iIm(z)

Re(z) +z

−z+

−z+

V. Nombres complexes et trigonométrie

Ensemble des nombres de module 1

Pour tout réel θ, on note eiθ le nombre complexe eiθ = cos(θ) +i sin(θ)

O cos(θ) eiθ sin(θ)

Reeiθ = cos(θ) et Imeiθ = sin(θ) Exemples

ei0 = 1, eiπ2 = i, eiπ = −1, e−iπ2 = −i, e2iπ = 1

(32)

V. Nombres complexes et trigonométrie

On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.

Soient θ et φ deux réels. Les propriétés suivantes sont vérifiées.

Le produit de deux éléments de U est dans U eiθeiφ = ei(θ+φ) L’inverse d’un élément de U est dans U

eiθ−1 = e−iθ = eiθ Le quotient de deux éléments de U est dans U eiθ

eiφ = ei(θ−φ) Le conjugué d’un élément de U est dans U eiθ = e−iθ

V. Nombres complexes et trigonométrie

Argument d’un nombre complexe z non nul tout réel θ tel que z = |z|e

Argument principal d’un nombre complexe z non nul l’unique réel θ dans ]− π, π] tel que z = |z|eiθ

on le note arg(z)

~ e1

~ e2

O

θ = arg(z)

|z|

M(z)

Pour z = a + ib ∈ C, θ = arg(z) vérifie

cos(θ) = a

|z| sin(θ) = b

|z|

(33)

V. Nombres complexes et trigonométrie

Forme trigonométrique de z

une écriture de la forme z = |z|cos(θ) +i sin(θ)

Forme exponentielle de z

une écriture sous la forme z = |z|eiθ

V. Nombres complexes et trigonométrie

Utilisation de l’écriture exponentielle

(34)

L

ICENCE

1 - C

ALCUL

& L

OGIQUE

2 C

HAPITRE

2.

N

OMBRES

C

OMPLEXES

(

SUITE

)

Julie Scholler - Bureau B246

Février 2019

IV. Module d’un nombre complexe

Module du nombre complexe z le réel |z| = pa2 +b2

M(z) +

p a2 +b2

b a

∀z ∈ C, |z| ∈ R

La notation du module est compatible avec la valeur absolue des nombres réels.

D’après le théorème de Pythagore, le module d’un nombre complexe z est la distance OM de l’origine O du repère au point M d’affixe z.

(35)

IV. Module d’un nombre complexe

Exemples

Calculer les modules des nombres complexes suivants

3 + 4i, 1−i, −5−2i, −5, 9i, −15− 20i

IV. Module d’un nombre complexe

Compatibilité du module avec produit, quotient et conjugaison

Soient z1 et z2 deux nombres complexes.

Alors les propriétés suivantes sont vérifiées.

Compatibilité avec la multiplication |z1z2| = |z1|·|z2| Compatibilité avec la division

z1 z2

= |z1|

|z2| si z2 6= 0 Compatibilité avec la conjugaison |z| = |z|

(36)

IV. Module d’un nombre complexe

Pour tous réels x et y, les nombres complexes

z = x + iy, z = xiy, −z = −x + iy, −z = −x − iy ont le même module :

q

x2 + y2.

z +

|z| iIm(z)

Re(z) +z

−z+

−z+

V. Nombres complexes et trigonométrie

Ensemble des nombres de module 1

Pour tout réel θ, on note eiθ le nombre complexe eiθ = cos(θ) +i sin(θ)

O cos(θ) eiθ sin(θ)

Reeiθ = cos(θ) et Imeiθ = sin(θ) Exemples

ei0 = 1, eiπ2 = i, eiπ = −1, e−iπ2 = −i, e2iπ = 1

(37)

V. Nombres complexes et trigonométrie

Identité d’Euler

e i π + 1 = 0

« Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty. »

Bertrand Russel

V. Nombres complexes et trigonométrie

On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.

Propriétés

Soient θ et φ deux réels. Les propriétés suivantes sont vérifiées.

Le produit de deux éléments de U est dans U eiθeiφ = ei(θ+φ)

Le conjugué d’un élément de U est dans U : eiθ = e−iθ

L’inverse d’un élément de U est dans U : eiθ−1 = e−iθ = eiθ

Le quotient de deux éléments de U est dans U e

eiφ = ei(θ−φ)

Ces propriétés justifient l’emploi de l’exponentielle.

(38)

V. Nombres complexes et trigonométrie

Argument d’un nombre complexe z non nul tout réel θ tel que z = |z|e

Argument principal d’un nombre complexe z non nul l’unique réel θ dans ]− π, π] tel que z = |z|eiθ

on le note arg(z)

e~1 e~2

O

θ = arg(z)

|z|

M(z)

Pour z = a + ib ∈ C, θ = arg(z) vérifie

cos(θ) = a

|z| sin(θ) = b

|z|

V. Nombres complexes et trigonométrie

Forme trigonométrique de z

une écriture de la forme z = |z|cos(θ) +i sin(θ)

Forme exponentielle de z

une écriture sous la forme z = |z|eiθ

(39)

V. Nombres complexes et trigonométrie

Utilisation de l’écriture exponentielle

Soient z1 =

√2

2 (1 −i) et z2 = 1 + i√ 3.

Calculer à l’aide de l’écriture exponentielle z1z2 et 1 z1

.

Calculer à l’aide de l’écriture exponentielle z1

z2 12

.

Calculer à l’aide des écritures algébriques z1z2.

En déduire une expression algébrique de cos π

12

.

(40)

L

ICENCE

1 - C

ALCUL

& L

OGIQUE

2 C

HAPITRE

3.

S

UITES NUMÉRIQUES

Julie Scholler - Bureau B246

Février 2019

I. Généralités sur les suites réelles

Définition

Une suite réelle u = (un)n∈N est une fonction dont l’ensemble de départ est N (ou Jn0,+∞J avec n0 ∈ N)

u : N −→ R, n 7−→ un un est appelé le terme général de la suite.

Son indice ou rang est n.

Une suite peut être définie de différentes façons :

de façon explicite : pour tout entier positif n, on a un = f(n)

de façon récurrente : pour tout entier positif n, on a un+1 = f (un) ou un+k = f(un+k−1,un+k−2, . . . ,un)

(41)

I. Généralités sur les suites réelles

Exemples

Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n

vn = 1 1 + n

wn = 2n + 1 n − 1

xn = (−1)n

yn = n!

2n

zn = cos

1

n

tn = 5n ×(−1)n

sn = sin(n) n

(rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2

I. Généralités sur les suites réelles

Variations d’une suite réelle

On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est

croissante si

∀n ∈ N, un+1 > un

strictement croissante si

∀n ∈ N, un+1 > un

décroissante si

∀n ∈ N, un+1 6 un

strictement décroissante si

∀n ∈ N, un+1 < un

(42)

I. Généralités sur les suites réelles

Variations d’une suite réelle

On dit qu’une suite réelle (un)n∈N est

monotone si elle est soit croissante soit décroissante

strictement monotone si elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

Une suite constante à partir d’un certain rang est dite stationnaire.

I. Généralités sur les suites réelles

Exemples

Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n

vn = 1 1 + n

wn = 2n + 1 n − 1

xn = (−1)n

yn = n!

2n

zn = cos

1

n

tn = 5n ×(−1)n

sn = sin(n) n

(rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2

(43)

I. Généralités sur les suites réelles

Suites majorées, minorées, bornées

On dit qu’une suite (un)n∈N est majorée si

∃M ∈ R, ∀n ∈ N, un 6 M.

On dit qu’une suite (un)n∈N est minorée si

∃m ∈ R, ∀n ∈ N, un > m.

On dit qu’une suite (un)n∈N est bornée si elle est minorée et majorée :

∃m ∈ R, ∃M ∈ R, ∀n ∈ N, m 6 un 6 M.

ou de manière équivalente

∃M ∈ R, ∀n ∈ N, |un| 6 M.

I. Généralités sur les suites réelles

Exemples

Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n

vn = 1 1 + n

wn = 2n + 1 n − 1

xn = (−1)n

yn = n!

2n

zn = cos

1

n

tn = 5n ×(−1)n

sn = sin(n) n

(rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2

(44)

II. Nature d’une suite

Suite convergente

Une suite (un)n∈N est dite convergente s’il existe un nombre ` ∈ R tel que, si on attend suffisamment (c’est-à-dire pour n assez grand), un va se rapprocher d’aussi près que l’on veut de `.

`

` + ε

` ε

n0 +

+ + + + + +

+

+ + + + + +

+

Notations on note lim

n→+∞un = ` ou un −→

n→+∞ `

II. Nature d’une suite

Propriétés

Toute suite convergente est bornée.

Quand une suite est convergente, sa limite est unique.

(45)

II. Nature d’une suite

Exemples

Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n

vn = 1 1 + n

wn = 2n + 1 n − 1

xn = (−1)n

yn = n!

2n

zn = cos

1

n

tn = 5n ×(−1)n

sn = sin(n) n

(rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2

II. Nature d’une suite

Suite divergente

Une suite est divergente si elle n’est pas convergente.

Différents types de suites divergentes

celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus grandes : on dit qu’elles ont pour limite +∞;

celles qui ont tendance à prendre des valeurs de plus en plus petites : on dit qu’elles ont pour limite −∞;

celles qui ne convergent pas mais n’ont pas non plus pour limite +∞ ou −∞.

(46)

II. Nature d’une suite

On dit qu’une suite (un)n∈N

a pour limite +∞, et on note lim

n→+∞un = +∞ ou un −−−−→

n→+∞ +∞, si et seulement si

∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, un > A.

a pour limite −∞, et on note lim

n→+∞un = −∞ ou un −−−−→

n→+∞ −∞, si et seulement si

∀A ∈ R, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0, un < A.

II. Nature d’une suite

Exemples

Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n

vn = 1 1 + n

wn = 2n + 1 n − 1

xn = (−1)n

yn = n!

2n

zn = cos

1

n

tn = 5n ×(−1)n

sn = sin(n) n

(rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2

(47)

II. Nature d’une suite

Nature d’une suite

On appelle nature d’une suite son caractère convergent ou divergent.

III. Étude de la nature

Limite de la somme de deux suites

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites qui admettent une limite.

Alors la limite de la suite (un +vn)n∈N, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

n→+∞lim un

n→+∞lim vn

−∞ ` ∈ R +∞

−∞ −∞ −∞ F.I.

`0 ∈ R −∞ `+`0 +∞

+∞ F.I. +∞ +∞

(48)

III. Étude de la nature

Limite du produit de deux suites

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites admettant une limite.

Alors la limite de la suite (unvn)n∈N, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

n→+∞lim un

n→+∞lim vn

−∞ ` < 0 0 ` > 0 +∞

−∞ +∞ +∞ F.I. −∞ −∞

`0 < 0 +∞ −∞

0 F.I. ``0 F.I.

`0 > 0 −∞ +∞

+∞ −∞ −∞ F.I. +∞ +∞

III. Étude de la nature

Limite de l’inverse d’une suite

Soit (un)n∈N une suite qui ne s’annule pas et qui admet une limite.

Alors la limite de la suite inverse, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

n→+∞lim un −∞ ` < 0 0 0 0+ ` > 0 +∞

n→+∞lim 1

un 0 1

` −∞ F.I. +∞ 1

` 0+

(49)

III. Étude de la nature

Limite du quotient de deux suites

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites admettant une limite, la suite (vn)n∈N ne s’annulant pas. Alors la limite de la suite

un

vn

n∈N

, si elle existe, est donnée par le tableau suivant.

n→+∞lim vn

lim

n→+∞un

−∞ ` < 0 0 ` > 0 +∞

−∞ F.I. 0+ 0 0 F.I.

`0 <0 +∞ `

`0 0 `

`0 −∞

0 F.I. +∞ F.I. −∞ F.I.

0 F.I. F.I. F.I. F.I. F.I.

0+ F.I. −∞ F.I. +∞ F.I.

`0 >0 −∞ `

`0 0 `

`0 +∞

+∞ F.I. 0 0 0+ F.I.

III. Étude de la nature

Exemples

Investissement sur un compte épargne : un = 1000× 1.05n

vn = 1 1 + n

wn = 2n + 1 n − 1

xn = (−1)n

yn = n!

2n

zn = cos

1

n

tn = 5n ×(−1)n

sn = sin(n) n

(rn)n∈N tel que r0 > 0 et un+1 = un2

(50)

III. Étude de la nature

Encadrement

Pour la convergence

Si les suites (un)n∈N et (wn)n∈N admettent la même limite réelle ` et si

∀n ∈ N, un 6 vn 6 wn

alors la suite (vn)n∈N converge et admet pour limite `.

III. Étude de la nature

Inégalité simple

Pour montrer l’existence d’une limite infinie

Si lim

n→+∞un = +∞ et si ∀n ∈ N, un 6 vn, alors la suite (vn)n∈N diverge et

n→+∞lim vn = +∞

Si l lim

n→+∞vn = −∞ et si ∀n ∈ N, un 6 vn, alors la suite (un)n∈N diverge vers −∞.et

n→+∞lim un = −∞

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