CM-Diapos-C1

(1)

L

ICENCE

1 C

ALCUL

& L

OGIQUE

2

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2020

(2)

.

Contenu

• Ensemble et dénombrement

• Nombres complexes

• Suites numériques Prérequis

• Calcul & Logique 1

• et/ou de bonnes bases en maths du lycée

(3)

.

Fonctionnement et organisation

Comme pour Calcul & Logique 1 et Statistiques Descriptives Pour tous : 6 séances de cours magistraux de 2h

+ Examen terminal

Pour les L1 Économie : 4 séances de travaux dirigés de 2h + 2 QCM lors des séances 2 et 4

Supports pédagogiques sur Celene

• polycopié de cours

• fascicule d’exercices (correction partielles au fur et à mesure)

• QCM d’entraînement en ligne sur les bases(pour tous)

(4)

.

Fonctionnement et organisation

Comme pour Calcul & Logique 1 et Statistiques Descriptives Pour tous : 6 séances de cours magistraux de 2h

+ Examen terminal

Pour les L1 Économie : 4 séances de travaux dirigés de 2h + 2 QCM lors des séances 2 et 4

Supports pédagogiques sur Celene

• polycopié de cours

• fascicule d’exercices (correction partielles au fur et à mesure)

• QCM d’entraînement en ligne sur les bases(pour tous)

(5)

C

HAPITRE

1. E

NSEMBLES ET DÉNOMBREMENT

Julie Scholler - Bureau B246

Janvier 2020

(6)

I. Vocabulaire ensembliste

Ensemble

collection d’objets appelés éléments En extension E1 ={0,1,2}

Par compréhension E2 ={x ∈N, 06x 64}

De manière paramétrique E3 ={2k, k ∈N}

Ensembles particuliers

• l’ensemble ne contenant aucun élément appelé l’ensemble vide, noté ∅

• les ensembles ne contenant qu’un seul élément appelés les singletons (par exemple {2})

(7)

Ensemble

collection d’objets appelés éléments En extension E1 ={0,1,2}

Par compréhension E2 ={x ∈N, 06x 64}

De manière paramétrique E3 ={2k, k ∈N} Ensembles particuliers

• l’ensemble ne contenant aucun élément appelé l’ensemble vide, noté ∅

• les ensembles ne contenant qu’un seul élément appelés les singletons (par exemple {2})

(8)

E

×x

Appartenance

Si un élémentx appartient à un ensembleE, alors on notex ∈E. On dira indifféremment que

• x appartient àE

• x est unélément deE

• x est dansE

• E contient x

Non appartenance

Six n’appartient pas à E, alors on notex ∈/E.

E

×x

(9)

Égalité d’ensembles

Deux ensemblesA etB sont égaux si et seulement si les ensembles Aet B ont exactement les mêmes éléments.

Exemple

nx ∈R, x²= 1^o={1,−1}

(10)

A B

Inclusion

Aest inclus dansB, et on noteA⊂B, si et seulement si tout élément deA appartient àB

A⊂B ⇐⇒ ∀x ∈A, x ∈B On dira indifféremment que

• A est inclusdansB

• A est unepartiedeB

• A est unsous-ensembledeB

• B contientA

(11)

SoitA={a,b}.

Choisir le bon symbole entre∈et ⊂.

• a. . .A • {a}. . .A • ∅. . .A

(12)

SoitA={a,b}.

Choisir le bon symbole entre∈et ⊂.

• a∈A • {a}⊂A • ∅⊂A

Attention : bien distinguer l’appartenance et l’inclusion.

• l’inclusion concerne des objets de même échelle

• l’appartenance concerne des objets qui ne sont pas à la même échelle

(13)

SoientA=ⁿ(x,y,z)∈R³, x+y−z = 0^oet B={(a,a,2a), a∈R}.

Aet B sont-ils égaux ?

Non,B ⊂Amais A6⊂B SoitC ={(a,b,a+b), a,b∈R}.

Aet C sont-ils égaux ? Double inclusion

A=B ⇐⇒ A⊂B et B⊂A

(14)

Aet B sont-ils égaux ? Non,B⊂Amais A6⊂B

SoitC ={(a,b,a+b), a,b∈R}. Aet C sont-ils égaux ?

Double inclusion

(15)

Aet B sont-ils égaux ? Non,B⊂Amais A6⊂B SoitC ={(a,b,a+b), a,b∈R}.

Aet C sont-ils égaux ?

Double inclusion

(16)

Aet B sont-ils égaux ? Non,B⊂Amais A6⊂B SoitC ={(a,b,a+b), a,b∈R}.

Aet C sont-ils égaux ? Double inclusion

(17)

II. Opérations sur les parties deE

Ensemble des parties de E

On noteP(E) l’ensemble des partiesd’un ensemble E A⊂E ⇐⇒ A∈ P(E)

Exemple

SoitE ={1,2,3}, alors P(E) =ⁿ ∅

|{z}

0 élément

;{1};{2};{3}

| {z }

1 élément

;{1; 2};{1; 3};{2; 3}

| {z }

2 éléments

;{1; 2; 3}

| {z }

3 éléments

o.

(18)

SoitAune partie d’un ensemble E. Complémentaire deA dans E

la partie deE égale à l’ensemble des éléments deE qui ne sont pas dansA

A=ⁿx ∈E x ∈/ A^o

E

A A

Exemple

DansN,A={0,2,4,6, . . .} etA={1,3,5,7, . . .}

(19)

SoitAune partie d’un ensemble E. Complémentaire deA dans E

la partie deE égale à l’ensemble des éléments deE qui ne sont pas dansA

A=ⁿx ∈E x ∈/ A^o

E

A A

Exemple

DansN,A={0,2,4,6, . . .} etA={1,3,5,7, . . .}

(20)

SoientAet B deux parties d’un ensembleE. Réunion de A et deB

l’ensemble des éléments qui sont dansAou dansB A∪B=ⁿx∈E x∈Aoux ∈B^o E

A B A∪B

Exemple

DansE =J1; 15K,A={3,6,9,12,15} etB ={5,10,15} A∪B={3,5,6,9,10,12,15}

(21)

A B A∪B

Exemple

DansE =J1; 15K,A={3,6,9,12,15} etB ={5,10,15}

A∪B={3,5,6,9,10,12,15}

(22)

A B A∪B

Exemple

DansE =J1; 15K,A={3,6,9,12,15} etB ={5,10,15}

A∪B={3,5,6,9,10,12,15}

(23)

SoientAet B deux parties d’un ensembleE. Intersection de A et deB

l’ensemble des éléments qui sont à la fois dansAet dansB A∩B=ⁿx ∈E x ∈Aet x∈B^o

E

A B A∩B

Exemple

DansE =J1; 15K,A={3,6,9,12,15} etB ={5,10,15} A∩B={15}

(24)

SoientAet B deux parties d’un ensembleE. Intersection de A et deB

l’ensemble des éléments qui sont à la fois dansAet dansB A∩B=ⁿx ∈E x ∈Aet x∈B^o

E

A B A∩B

Exemple

DansE =J1; 15K,A={3,6,9,12,15} etB ={5,10,15}

A∩B ={15}

(25)

Propriétés de la réunion

• A⊂A∪B

• A∪B =B∪A

• A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

• A∪A=E et A∪∅=A

• si A⊂B, alors A∪B =B

Propriétés de l’intersection

• A∩B⊂A

• A∩B=B∩A

• A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

• A∩A=∅etA∩E =A

• siA⊂B, alors A∩B=A

(26)

Réunion finie de A₁, . . . ,A_n :

n

[

i=1

A_i

l’ensemble des éléments deE qui sont dansau moins undes ensemblesA1, . . . ,An. Autrement dit,

x ∈

n

[

i=1

Ai ⇐⇒ ∃i ∈J1,nK, x∈Ai.

Intersection finie deA1,A2, . . . ,An :

n

\

i=1

Ai

l’ensemble des éléments deE qui sont danstousles ensembles A₁, . . . ,A_n. Autrement dit,

x ∈

n

\

i=1

A_i ⇐⇒ ∀i ∈J1,nK, x∈A_i. Exemple

Pour toutk∈J1; 100K, A_k =

−1 k; k

. Que vaut

100

[

k=1

A_k?

100

\

k=1

A_k?

(27)

Réunion finie de A₁, . . . ,A_n :

n

[

i=1

A_i

l’ensemble des éléments deE qui sont dansau moins undes ensemblesA1, . . . ,An. Autrement dit,

x ∈

n

[

i=1

Ai ⇐⇒ ∃i ∈J1,nK, x∈Ai.

Intersection finie deA1,A2, . . . ,An :

n

\

i=1

Ai

l’ensemble des éléments deE qui sont danstousles ensembles A₁, . . . ,A_n. Autrement dit,

x ∈

n

\

i=1

A_i ⇐⇒ ∀i ∈J1,nK, x∈A_i. Exemple

Pour toutk∈J1; 100K, A_k =

−1 k; k

. Que vaut

100

[

k=1

A_k?

100

\

k=1

A_k?

(28)

Parties disjointes

Deux partiesA etB d’un ensembleE sontdisjointessi et seulement si leur intersection est vide :

A∩B =∅

E

A B

(29)

Partition deE

une famille finie (Ai)_16i6n de parties deE telle que

• toutes les parties A_i sont non vides : ∀i ∈J1,nK, A_i 6=∅

• les parties sont deux à deux disjointes :

∀i ∈J1,nK, ∀j ∈J1,nK, i 6=j =⇒Ai ∩Aj =∅

• leur réunion est égale à E :

n

[

i=1

A_i =E

Exemples

SiA6=∅,ⁿA,A^o est une partition de E.

(30)

SoientAet B deux parties d’un ensembleE. Différence : B privé de A

l’ensemble des éléments deE qui sont dansB mais pas dansA B\A=ⁿx ∈B x ∈/A^o=B∩A

E

A B\A B

(31)

Application

SoientE =R,A= [4; 10],B ={x ∈R, |x|65} etC =N. Déterminer les ensembles suivants :

1. A∪B 2. A∩B 3. B 4. C \B

(32)

Règles de calculs

Distributivité

Pour toutes partiesA,B et C de E, on a

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Lois de De Morgan

A∪B=A∩B et A∩B=A∪B Exemple

SoientE =R,A= [4; 10],B ={x ∈R, |x|65} etC =N. A∩(B∪C), A∪(B∩C)

(33)

Couple dex et y

la donnée de deux objetsx et y non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x,y)

(x,y) = x⁰,y⁰ ⇐⇒ x=x⁰ ety =y⁰.

n-uplet de x1,x2, . . .xn

la donnée den objetsx1,x2, . . .xn non nécessairement distincts dans un ordre déterminé, noté (x₁,x₂, . . .x_n)

(34)

Produit cartésien de deux ensembles X et Y

l’ensemble des couples (x,y) où x est dansX ety est dansY X ×Y ^def= ⁿ(x,y), x ∈X,y ∈Y^o

Produit cartésien d’un nombre fini n d’ensembles X₁, . . . ,X_n l’ensemble formé de tous lesn-uplets (x₁, . . . ,x_n) où x₁ est dans X1, . . . ,xn est dans Xn

X1× · · · ×Xndef

= ⁿ(x1, . . . ,xn) ∀i ∈J1,nK,xi ∈Xi

o

Exemples

• {0,1} × {0,1,2}=ⁿ(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2)^o

• R² =R×R=(x,y) x∈R,y ∈R

• ⁿ(x,y)∈R²|x²+y² 61^one peut pas être écrit comme un produit cartésien

(35)

III. Cardinal d’un ensemble fini

Ensemble fini

ensemble ne contenant qu’un nombre fini d’éléments Cardinal d’un ensemble fini

nombre d’éléments que contient l’ensemble Exemples

• J1; 10Kest fini et card (J1; 10K) = 10

• [1; 10] n’est pas fini

• card(∅) = 0

• card ({0,2,8,6,2,2,6}) = 4

(36)

SoientAet B deux parties finies d’un ensembleE. Cardinal d’une sous-partie

A⊂B =⇒ card(A)6 card(B)

Cardinal d’une réunion disjointe

SiA∩B=∅, alors on a card(A∪B) = card(A) + card(B)

Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA= card(E)− card(A)

(37)

SoientAet B deux parties finies d’un ensembleE. E

A B A∩B

Cardinal d’une réunion quelconque

card(A∪B) = card(A) + card(B)− card(A∩B).

(38)

SoientE et F deux ensembles finis non vides.

Cardinal d’un produit cartésien

card(E ×F) = card(E)× card(F).

Cas particulier

card (Eⁿ) = ( card(E))ⁿ

(39)

Exemples

J={lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche}

• card(J) = 7

• card(∅) = 0

• card(J1; 58K) = 58

• N?

(40)

Cours de Droit en L1

• E ={les étudiants en L1 à la fac de DESS de Tours}

• P ={les étudiants deE inscrits en L1 de Droit}

• M ={les étudiants deE ayant choisi le module 3 de Droit}

• D={les étudiants deE suivant des cours de Droit}

Lien entre les cardinaux des différents ensembles ?

(41)

Cardinal d’une sous partie deE SiA⊂E, alors on a card(A)6 card(E).

Remarque

SiA⊂E et card(A) = card(E), alorsA=E.

Cardinal d’une union disjointe

SoientAet B deux ensembles finis disjoints. Alors card(A∪B) = card(A) + card(B)

(42)

Cours de Droit en L2

• E₂ ={les étudiants en L2 à la fac de DESS de Tours}

• P₂={les étudiants deE₂ inscrits en L2 de Droit}

• M2={les étudiants deE2 ayant choisi le module 3 de Droit}

• D2 ={les étudiants deE2 suivant des cours de Droit}

Combien d’étudiants ne suivent pas de cours de Droit ?

(43)

Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA= card(E)− card(A)6 card(E)

Cardinal d’une union quelconque

card(A∪B) = card(A) + card(B)− card(A∩B) E

A B A∩B

(44)

Nombre d’inscriptions différentes en L2 (hors filières sélectives)

• L=ⁿDroit, Économie, Gestion, Géographie^o

• S =ⁿDroit, Éco, Gestion, Géo, Sciences Po, MCI^o

• C ={tous les choix d’inscription possibles}

Produit cartésien :C =L×S Cardinal d’un produit cartésien

card(E×F) = card(E)× card(F)

(45)

Nombre d’inscriptions différentes en L2 (hors filières sélectives)

• L=ⁿDroit, Économie, Gestion, Géographie^o

• S =ⁿDroit, Éco, Gestion, Géo, Sciences Po, MCI^o

• C ={tous les choix d’inscription possibles}

Produit cartésien :C =L×S Cardinal d’un produit cartésien

card(E×F) = card(E)× card(F)

(46)

Malheureusement le nombre d’éléments des ensembles de bases ne sont pas toujours

simples à compter.

(47)

IV. Dénombrement

• Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?

• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?

• Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?

• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?

• etc.

(48)

Listes

p-liste d’éléments de E

unp-uplet constitué d’éléments deE, c’est-à-dire un élément deE^p Exemples un digicode

les jours de fermeture des 4 boulangeries de la ville

Nombre dep-listes

card(E^p) = ( card(E))^p

Remarque

Par défaut dans une liste

• l’ordre est important

• les répétitions sont autorisées

(49)

Listes

Remarque

(50)

Listes

Remarque

(51)

p-liste sans répétition d’éléments deE

unp-uplet constitué d’éléments deE deux à deux distincts Exemples un podium

un classement des étudiants d’un groupe de TD

Nombre dep-liste sans répétition d’éléments de E Si card(E) =n, le nombre de p-listes sans répétition est

n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1)

Cas particulier

Nombre den-listes d’un ensemble àn éléments : n! =

n

Y

k=1

k =n×(n−1)× · · · ×2×1 Ce nombre est appeléfactoriel den.

(52)

un classement des étudiants d’un groupe de TD Nombre dep-liste sans répétition d’éléments de E Si card(E) =n, le nombre de p-listes sans répétition est

n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1)

Cas particulier

n

Y

k=1

k =n×(n−1)× · · · ×2×1 Ce nombre est appeléfactoriel den.

(53)

un classement des étudiants d’un groupe de TD Nombre dep-liste sans répétition d’éléments de E Si card(E) =n, le nombre de p-listes sans répétition est

n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1)

Cas particulier

n

Y

k=1

k=n×(n−1)× · · · ×2×1 Ce nombre est appeléfactoriel den.

(54)

Combien existe-il de digicodes de 4 caractères parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C :

• sans lettres ?

• commençant ou finissant par une lettre ?

• au moins un chiffre ?

• au moins deux chiffres identiques ?

(55)

× Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?

• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?

× Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?

• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?

(56)

k-combinaison de E une partie àk éléments deE

Exemples une poignée de main

un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD

Nombre dek-combinaisons n

k

!

= n!

k!(n−k)! =

kfacteurs

z }| {

n(n−1)· · ·(n−k+ 1) k(k−1)· · ·1

| {z }

kfacteurs

Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu «k parmi n» Remarque

Dans une combinaison

• il n’y a pas d’ordre

• les répétitions ne sont pas autorisées

(57)

un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD Nombre dek-combinaisons

n k

!

= n!

k!(n−k)! =

kfacteurs

z }| {

n(n−1)· · ·(n−k+ 1) k(k−1)· · ·1

| {z }

kfacteurs

Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu «k parmi n»

Remarque

(58)

un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD Nombre dek-combinaisons

n k

!

= n!

k!(n−k)! =

kfacteurs

z }| {

n(n−1)· · ·(n−k+ 1) k(k−1)· · ·1

| {z }

kfacteurs

Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu «k parmi n» Remarque

(59)

Valeurs particulières n 0

!

= 1 n

1

!

=n n

n

!

= 1

Propriété de symétrie

∀n∈N, ∀p ∈J0,nK, n p

!

= n

n−p

!

(60)

!

= 1 n

1

!

=n n

n

!

= 1

!

= n

n−p

!

(61)

!

= 1 n

1

!

=n n

n

!

= 1

!

= n

n−p

!

(62)

Pour les JPO le 2 mars, le département d’Économie a besoin de 7 étudiants. 8 étudiants de Master, 10 de L3 et 12 de L2 sont volontaires.

• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?

En fait, il faut 4 étudiants sur le stand (2 Master, 2 Licence 3) et 3 étudiants de L2 pour l’accueil.

Finalement sur le stand je décide de mettre 2 Master et 2 Licence et n’importe quels étudiants à l’accueil.

(63)

(64)

(65)

Formule de Pascal

∀n ∈N^?,∀k ∈J0,n−1K, n k

!

+ n

k+ 1

!

= n+ 1 k+ 1

!

0 0

! 1 0

! 1 1

! 2

0

! 2 1

! 2 2

! 3

0

! 3 1

! 3 2

! 3 3

! 4

0

! 4 1

! 4 2

! 4 3

! 4 4

! 5

0

! 5 1

! 5 2

! 5 3

! 5 4

! 5 5

!

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

(66)

Formule de Pascal

∀n ∈N^?,∀k ∈J0,n−1K, n k

!

+ n

k+ 1

!

= n+ 1 k+ 1

!

0 0

! 1 0

! 1 1

! 2

0

! 2 1

! 2 2

! 3

0

! 3 1

! 3 2

! 3 3

! 4

0

! 4 1

! 4 2

! 4 3

! 4 4

! 5

0

! 5 1

! 5 2

! 5 3

! 5 4

! 5 5

!

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

(67)

Formule du binôme de Newton

∀(a,b)∈C²,∀n∈N, (a+b)ⁿ=

n

X

k=0

n k

! a^kb^n−k