• E2 ={les étudiants en L2 à la fac de DESS de Tours}
• P2={les étudiants deE2 inscrits en L2 de Droit}
• M2={les étudiants deE2 ayant choisi le module 3 de Droit}
• D2 ={les étudiants deE2 suivant des cours de Droit}
Combien d’étudiants ne suivent pas de cours de Droit ?
III. Cardinal d’un ensemble fini
Cardinal d’une partie et de son complémentaire cardA= card(E)− card(A)6 card(E)
Cardinal d’une union quelconque
card(A∪B) = card(A) + card(B)− card(A∩B) E
A B A∩B
III. Cardinal d’un ensemble fini
Nombre d’inscriptions différentes en L2 (hors filières sélectives)
• L=nDroit, Économie, Gestion, Géographieo
• S =nDroit, Éco, Gestion, Géo, Sciences Po, MCIo
• C ={tous les choix d’inscription possibles}
Produit cartésien :C =L×S Cardinal d’un produit cartésien
card(E×F) = card(E)× card(F)
III. Cardinal d’un ensemble fini
Nombre d’inscriptions différentes en L2 (hors filières sélectives)
• L=nDroit, Économie, Gestion, Géographieo
• S =nDroit, Éco, Gestion, Géo, Sciences Po, MCIo
• C ={tous les choix d’inscription possibles}
Produit cartésien :C =L×S Cardinal d’un produit cartésien
card(E×F) = card(E)× card(F)
III. Cardinal d’un ensemble fini
Malheureusement le nombre d’éléments des ensembles de bases ne sont pas toujours
simples à compter.
IV. Dénombrement
• Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?
• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?
• Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?
• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?
• etc.
IV. Dénombrement
Listes
p-liste d’éléments de E
unp-uplet constitué d’éléments deE, c’est-à-dire un élément deEp Exemples un digicode
les jours de fermeture des 4 boulangeries de la ville
Nombre dep-listes
card(Ep) = ( card(E))p
Remarque
Par défaut dans une liste
• l’ordre est important
• les répétitions sont autorisées
IV. Dénombrement
Listes
p-liste d’éléments de E
unp-uplet constitué d’éléments deE, c’est-à-dire un élément deEp Exemples un digicode
les jours de fermeture des 4 boulangeries de la ville
Nombre dep-listes
card(Ep) = ( card(E))p
Remarque
Par défaut dans une liste
• l’ordre est important
• les répétitions sont autorisées
IV. Dénombrement
Listes
p-liste d’éléments de E
unp-uplet constitué d’éléments deE, c’est-à-dire un élément deEp Exemples un digicode
les jours de fermeture des 4 boulangeries de la ville
Nombre dep-listes
card(Ep) = ( card(E))p
Remarque
Par défaut dans une liste
• l’ordre est important
• les répétitions sont autorisées
IV. Dénombrement
p-liste sans répétition d’éléments deE
unp-uplet constitué d’éléments deE deux à deux distincts Exemples un podium
un classement des étudiants d’un groupe de TD
Nombre dep-liste sans répétition d’éléments de E Si card(E) =n, le nombre de p-listes sans répétition est
n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1)
Cas particulier
Nombre den-listes d’un ensemble àn éléments : n! =
n
Y
k=1
k =n×(n−1)× · · · ×2×1 Ce nombre est appeléfactoriel den.
IV. Dénombrement
p-liste sans répétition d’éléments deE
unp-uplet constitué d’éléments deE deux à deux distincts Exemples un podium
un classement des étudiants d’un groupe de TD Nombre dep-liste sans répétition d’éléments de E Si card(E) =n, le nombre de p-listes sans répétition est
n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1)
Cas particulier
Nombre den-listes d’un ensemble àn éléments : n! =
n
Y
k=1
k =n×(n−1)× · · · ×2×1 Ce nombre est appeléfactoriel den.
IV. Dénombrement
p-liste sans répétition d’éléments deE
unp-uplet constitué d’éléments deE deux à deux distincts Exemples un podium
un classement des étudiants d’un groupe de TD Nombre dep-liste sans répétition d’éléments de E Si card(E) =n, le nombre de p-listes sans répétition est
n×(n−1)× · · · ×(n−p+ 1)
Cas particulier
Nombre den-listes d’un ensemble àn éléments : n! =
n
Y
k=1
k=n×(n−1)× · · · ×2×1 Ce nombre est appeléfactoriel den.
IV. Dénombrement
Combien existe-il de digicodes de 4 caractères parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C :
• sans lettres ?
• commençant ou finissant par une lettre ?
• au moins un chiffre ?
• au moins deux chiffres identiques ?
IV. Dénombrement
× Combien de classements des 30 étudiants d’un groupe de TD ?
• Combien de serrages de main dans un groupe de TD de 30 étudiants ?
× Combien de digicodes possibles (4 caractères parmi chiffres et A, B, C) ?
• Combien de façon de faire de lots de 3 cookies (parmi des cookies tout choco, choco blanc, noisettes) ?
IV. Dénombrement
k-combinaison de E une partie àk éléments deE
Exemples une poignée de main
un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD
Nombre dek-combinaisons n
Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu «k parmi n» Remarque
Dans une combinaison
• il n’y a pas d’ordre
• les répétitions ne sont pas autorisées
IV. Dénombrement
k-combinaison de E une partie àk éléments deE
Exemples une poignée de main
un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD Nombre dek-combinaisons
n
Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu «k parmi n»
Remarque
Dans une combinaison
• il n’y a pas d’ordre
• les répétitions ne sont pas autorisées
IV. Dénombrement
k-combinaison de E une partie àk éléments deE
Exemples une poignée de main
un groupe de 5 étudiants parmi les 30 du TD Nombre dek-combinaisons
n
Ce nombre est appelé coefficient binomial et lu «k parmi n» Remarque
Dans une combinaison
• il n’y a pas d’ordre
• les répétitions ne sont pas autorisées
IV. Dénombrement
Propriété de symétrie
∀n∈N, ∀p ∈J0,nK, n
IV. Dénombrement
Propriété de symétrie
∀n∈N, ∀p ∈J0,nK, n
IV. Dénombrement
Propriété de symétrie
∀n∈N, ∀p ∈J0,nK, n
IV. Dénombrement
Pour les JPO le 2 mars, le département d’Économie a besoin de 7 étudiants. 8 étudiants de Master, 10 de L3 et 12 de L2 sont volontaires.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
En fait, il faut 4 étudiants sur le stand (2 Master, 2 Licence 3) et 3 étudiants de L2 pour l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
Finalement sur le stand je décide de mettre 2 Master et 2 Licence et n’importe quels étudiants à l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
IV. Dénombrement
Pour les JPO le 2 mars, le département d’Économie a besoin de 7 étudiants. 8 étudiants de Master, 10 de L3 et 12 de L2 sont volontaires.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
En fait, il faut 4 étudiants sur le stand (2 Master, 2 Licence 3) et 3 étudiants de L2 pour l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
Finalement sur le stand je décide de mettre 2 Master et 2 Licence et n’importe quels étudiants à l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
IV. Dénombrement
Pour les JPO le 2 mars, le département d’Économie a besoin de 7 étudiants. 8 étudiants de Master, 10 de L3 et 12 de L2 sont volontaires.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
En fait, il faut 4 étudiants sur le stand (2 Master, 2 Licence 3) et 3 étudiants de L2 pour l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
Finalement sur le stand je décide de mettre 2 Master et 2 Licence et n’importe quels étudiants à l’accueil.
• Combien j’ai de façon de choisir les étudiants qui vont m’aider pour les JPO ?
IV. Dénombrement
Formule de Pascal
∀n ∈N?,∀k ∈J0,n−1K, n
IV. Dénombrement
Formule de Pascal
∀n ∈N?,∀k ∈J0,n−1K, n
IV. Dénombrement
Formule du binôme de Newton
∀(a,b)∈C2,∀n∈N, (a+b)n=
n
X
k=0
n k
! akbn−k