Les suites arithmétiques
Classe de terminale Stmg
Leonhard Euler - Wikimedia
Le mathématicien Suisse Leonhard Euler (1707-1783) fit d’importantes dé- couvertes dans différents domaines des mathématiques. Il est considéré comme l’un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps.
On lui doit notamment l’introduction de nombreuses notations comme f (x) pour désigner la valeur prise par une fonction pour une valeur de l’argument x, l’utilisation de la lettre grecqueπ pour le calcul du périmètre d’un cercle ou le symbole P
désignant la somme de plusieurs éléments.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) est un mathématicien, physicien et astro- nome allemand dont l’œuvre scientifique est considérable.
À l’age de 9 ans, à l’école, il aurait calculé en quelques secondes la somme des nombres de 1 à 100 à la stupéfaction de son professeur.
I - Définitions
Définitions : Une suite (un) est ditearithmétiquesi il existe un réelr tel que pour toutn∈IN,un+1 = un+ r. Le nombrer est appelé raisonde cette suite.
Exemple : Considérons la suite (un) définie par u0=7 et pour tout n∈IN,un+1 = un−1,5
On a un+1 −un = −1,5 donc (un) est une suite arithmétique de premier terme 7 et de raison -1,5.
Définition : Lamoyenne arithmétique de deux nombres x et y est le nombre x+y 2 .
Remarque : Si trois nombresx, y etz sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique alors, y est la moyenne arithmétique des deux autres nombres x et z.
II - Expression du terme général
Propriété : Expression du terme général
Si (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 alors pour tout entier naturel n : un =u0+nr.
Preuve : Intuitivement,il suffit d’écrire les premiers termes de la suite : u1 = u0+r
u2 = u1+r =u0+r +r =u0+2r u3 = u2+r =u0+2r +r =u0+3r
...
un = un−1+r =u0+(n−1)r +r =u0+nr pour n ∈IN∗
Remarque : Si le premier terme de la suite estu1 alors, on auraun =u1+(n−1)r pour tout n dans IN∗.
Exemple : La suite définie dans l’exemple précédent est donc telle que :
III - Somme des premiers termes
Propriété : La somme desn premiers entiers naturels non nuls est : 1+2+3+....+n= n(n+1)
2
Preuve : Définissons la suite(Sn) telle que pour tout entier n >0, Sn =1+2+3+...+n.
On a alors, en ajoutant les deux lignes ci-dessous :
Sn = 1 + 2 + ... + (n−1) + n
+ Sn = n + (n−1) + ... + 2 + 1
2Sn = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) d’où :2Sn =n×(n+1)et, par suite Sn = n(n+1)
2 Exemple :
1+2+3+...+15= 15×16
2 =120
Propriété : Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique.
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raisonr, on a :
n
X
i=0
ui =u0+u1+....+un =(n+1)³u0+un 2
´
Si (un) est une suite arithmétique de premier terme u1 et de raisonr,on a :
n
X
i=1
ui =u1+u2....+un =n³u0+un 2
´
Preuve : Admise
Remarques : De manière générale, cette propriété peut se résumer de la manière suivante : Sn =(Nombr eDeTer mes)×
µP r emi er Ter me+Der ni er Ter me 2
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