Application des nombres complexes

Application des nombres complexes I. Résolution d’équations du second degré à coefficients réels

Soit a, b, c trois nombres réels tels que a≠ 0.

Considérons l’équation du second degré (E) : az²+ bz c+ = 0 Le discriminant de cette équation est ∆ = b² 4− ac.

On distingue alors 3 cas possibles , suivant le signe du discriminant :

S’il est positif, alors les solutions de l’équation sont des nombres réels z tels que 2

z b

a

− ± ∆

= .

S’il est nul, la seule solution est 2 z b

a

= −

Si le discriminant est négatif, alors il existe deux solutions complexes conjuguées : '

2 z b i

a

− − ∆

= ; ''

2 z b i

a

− + ∆

= Démonstration : on utilise la forme canonique

2 2

0 2 0

2 4

az bz c a z b

a a

  ∆ 

+ + = ⇔  +  −  = (E)

2

0

2 2

* Si 0 l'équation (E) se réduit à: 0 soit z .

2 2

( ) admet donc une seule solution notée z . 2

* Si 0 l'équation (E) est équivalente à:

2 2 0 2 2

b b

z a a

E b

a

b b

z z

a a a a

 

∆ =  +  = = −

= −

∆ >

 ∆   ∆ 

 +  −   = ⇔  + −

    

     

1 2

2

2 2 0

2 2 0

Soit z ou z .

2 2

Finalement l'équation ( ) admet deux solutions réelles notées: z et z .

2 2

* Si 0, alors 0 ; et

z b

a a

b b

z z

a a

b b

a a

b b

E a a

i

 + + ∆  =

  

  

 − ∆   + ∆ 

⇔  +     +  =

− ∆ + ∆

= − = −

− − ∆ − + ∆

= =

∆ < − ∆ > − ∆ = ∆ − ∆ = ²

2 2

d'où 2 0 0

2 4 2 2

l'équation ( ) admet deux solutions complexes conjuguées:

z ou z

2 2

i i

b i b i b i

z z z

a a a a

E

b i b i

a a

∆ = ± ∆

   

∆ − ∆ + ∆

 +  + = ⇔  +   +  =

     

     

− − ∆ − + ∆

= =

1

II. Notation exponentielle d’un nombre complexe

Soitθ ∈ ¡et ^f la fonction définie dans l’ensemble des complexes par :

( )

^{cos sin}

f θ = θ + i θ

La fonction ^f possède les propriétés de la fonction exponentielle :

(

^'

) ( ) ( )

^'

f θ θ+ = f θ + f θ

( )

^{0 1}

f =

Démonstration : θ θ^{, '}∈ ¡ et ^f

( )

^{θ = cosθ + isinθ , f}

( )

^{θ ' = cos 'θ + isin 'θ}

Calculons ^f

( ) ( )

^{θ × f θ '}

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

' cos cos ' cos sin ' sin cos ' sin sin ' cos cos ' sin sin ' cos sin ' sin cos '

cos ' sin ' '

f f i i

i

i f

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

× = + + −

= − + +

= + + + = +

^{f(0) cos 0}= + ^{isin 0 1}=

f Vérifie donc les propriétés de la fonction exponentielle, on peut donc écrire :

( )

^{cos sin i}

f θ = θ + i θ = e^θ Propriété

Tout nombre complexe z de module ^z = ^r et d’argument ^argz= θ a pour écriture exponentielle : z re= ^iθ

Formule d’Euler

:

Pour tout réel θ :

cos ; sin

2 2

i i i i

e e e e

i

θ θ θ θ

θ = ^{+ −} θ = ^{− −}

Démonstration : (1) : e^iθ = cosθ + isinθ (2) : e^−iθ = cosθ − isinθ

(1) (2) 2cos cos

2

i i

i i e e

e^θ e ^{θ θ θ}

θ ⁻ θ ^{+ −}

+ ⇒ = + ⇔ =

(1) (2) 2 sin sin

2

i i

i i e e

i e e

i

θ θ

θ θ

θ ⁻ θ ^{− −}

− ⇒ = − ⇔ =

Formule de Moivre

:

Pour tout réel θ et pour tout naturel ⁿ

(

^{cosθ + isinθ}

)

^{n = cosnθ + isinnθ}

Démonstration :

( )

cos sin

cos sin

i

i n i n

i e

e e n i n

θ

θ θ

θ θ

θ θ

+ =

= = +

2

III. Nombres complexes et géométrie

Soit le point M d’affixe z, et M’ d’affixe z’ son image par une transformation ^f , et Ω un point d’affixe ω

a) Translation

Soit T la translation de vecteurwr d’affixe ^a, c’est l’application qui a tout M associe le point M’ tel que _MM^{uuuuur ur}_{'= w}.

Ecriture complexe : z'= +z a.

Démonstration : MMuuuuur ur'= w⇔ z z a'− = ⇔ z'= +z a b) Homothétie

L’homothétie hde centre _Ω et de rapport k est l’application du plan qui a tout point M associe le point M’ tel que : _Ω^uuuuur_{M'= × Ωk} ^uuuur_M .

Son écriture complexe est : ^{z'− =ω k z}

(

^{− ω}

)

^.

Démonstration :

' à pour affixe : ' à pour affixe :

D'où: ' ' ( )

M z

M z

M k M z k z

ω ω

ω ω

Ω −

Ω −

Ω = × Ω ⇔ − = −

uuuuur uuuur

uuuuur uuuur c) Rotation

La rotation R de centre Ω et d’angle ^{θ θ}

(

^{∈ ¡}

)

est l’application du plan qui a tout point M associe le point M’, tel que :

(

^{MM, MM'}

)

^{' θ}

Ω = Ω Ωuuuur uuuuurΩ = Son écriture complexe est : ^{z'− =ω eiθ}

(

^{z− ω}

)

Démonstration

:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

' '

' ' 1 1

, ' , , ' (2 )

, ' , (2 )

arg( ' ) arg( ) (2 )

arg ' (2 )

Donc , ' arg ' (2 )

L

z z

M M z z

z z

M M M u u M

u M u M

z z

z z M M z

z

ω ω

ω ω

ω ω

π π

ω ω π

ω π

ω

θ ω θ π

ω

− −

Ω = Ω ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

− −

Ω Ω = Ω + Ω

= Ω − Ω

= − − −

 − 

=  − 

 − 

Ω Ω = ⇔  −  =

uuuur uuuuur uuuur r r uuuuur uuuuur uuuur

r r

uuuur uuuuur

' '

e nombre complexe s'écrit sous la forme:

D'où l'écriture complexe: ' ( )

i

i

z z

z z e

z e z

θ θ

ω ω

ω ω

ω ω

− − =

− −

− = −

3