Changement de référentiel

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CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL 1) Hypothèses fondamentales .

Soit (R') un référentiel en mouvement par rapport à un autre référentiel (R).

Soit E₀ l'événement ''l'origine O' de (R') coïncide avec l'origine O de (R)''.

On choisit l'instant de cette coïncidence comme origine des dates pour les horloges de (R) et (R').

L 'événement E₀se produit donc à t=t '=0.

Dans (R), une particule mobile passe en M(x,y,z) à la date t: événement E_Mx, y , z, t. A cette même date, O' passe en Ax_A, y_A, z_A: événement E_Ax_A, y_A, z_A, t.

Ces deux événements E_Met E_Asont dits simultanés dansR.

En mécanique classique, on admet que les deux événements correspondant dans (R'), E_Mx ',y ',z ', t 'et E_A0,0,0, t '_A, sont aussi simultanés: t '=t '_A.

On admet également que les dates t et t' sont les mêmes: on dit que le temps est absolu, c'est-à-dire que la durée séparant deux événements est indépendante du référentiel.

On admet enfin que les longueurs sont aussi absolues, le vecteur AM de (R) et le vecteur O'M deR '

sont égaux :

AM_R=O 'M__{R '} d 'où ∥OM_R−OA__R∥ =∥O' M__{R '}∥;



^^x−xÂ^²^^y−yÂ^²^z−zÂ^²⁼



^{x '}²^^{y '}²^z'²

2) Composition des vitesses .

La vitesse du point M par rapport à (R) (référentiel absolu) est la vitesse absolue de M :

v_aM =



^d^^OM^dt



R

= ˙xi ˙yj ˙zk

La vitesse du point M par rapport à (R') (référentiel relatif) est la vitesse relativede M :

v_rM =



^d^^O'Mdt '



R '

= ˙x'i ' ˙y 'j ' ˙z 'k' Or OM= OO 'O'M d' où v_aM =



^d^^{OO '}^dt



R





^d^^{O 'M}^dt



R

= v_aO'Σx '˙ i 'Σx 'di ' dt.

Soit P le point coïncidant avec M à la date t et qui reste fixe dans (R').

Les coordonnées de P dans (R'), x',y',z', sont donc constantes.

v_aP = v_aO 'Σx'di '

dt ; v_aM = v_rMv_aP.

La vitesse absolue du point coïcidant v_aP s'appelle aussi vitesse d ' entraînementv_e. D'où la loi de composition des vitesses: v_a= v_rv_e

3) Composition des accélérations.

Accélération absolue de M: a_aM =



^ddt^^v^a



R

=a_aO'Σx'¨ i2Σx '˙ di '

dt Σx 'd²i ' dt² Accélération relative de M: a_rM =



^d^{dt '}^^v^r



R '

=Σx '¨ i '.

Accélération d'entraînement: a_e= a_aP =



^d^dt^^v^e



R

= a_aO 'Σx'd²i ' dt² . Le terme 2Σx ' d˙ i '

dt est l ' accélération complémentaire ou accélération de Coriolis a_c. D'où la loi de composition des accélérations: a_a= a_ra_ea_c.

H H'

M A (R) (R')

O'

O

z'

y'

x' z

y x

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2 4) Exemples.

a . Translation.

(R') est en translation par rapport à (R) si tout vecteur fixe dans (R') reste constant dans (R).

Donc pouri ',j ',k' on aura



^ddt^^{i '}



R

=



^ddt^^{j '}



R

=



^ddt^^{k '}



R

= 0 . D' où v_e= v_aO' ; a_e= a_aO' ; a_c= 0 .

Si (R') est animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport àRalors v_aO'est un vecteur constant, a_e= 0, d 'où a_a= a_r.

b . Rotation autour d ' un axe fixe dansR.

Le référentiel relatif (R') tourne autour de l'axe Oz, confondu avec l'axe O'z', avec la vitesse angulaire Ω =Ωk.

Ω Tout point P, fixe dans (R'), est animé d'un mouvement

circulaire de vitesse angulaire Ωet de rayon HP.

Vitesse d ' entraînement : v_e= v_aP = Ω∧HP= Ω∧HO 'O'P = Ω∧O 'P= Ω∧O' M .

v_a= v_r Ω∧O 'M . La relation v_aP =dO' M

dt = Ω∧O 'P est applicable à tout vecteur fixe dans (R'), en particulier aux vecteurs de la base de (R'): di '

dt = Ω∧i ' ; dj '

dt = Ω∧j ' ; dk '

dt = Ω∧k '.

Accélération d 'entraînement :

∣

^^^âââêêê^{= }^{= }^{= }ââââââ^{O 'Σ}^{O 'Σ}^{O '}^d^dt^{x '}^{x ' d}^Ω^^∧^d^dt^dt²^Ω^^{O'M }^^{i '}²^∧^{= }^{i '}â^{Ω∧ }â^{O'Σ}^Σ^x'^Ω∧^Ω∧^ ^{O' M}^{x '}^d^dt^^{i '}^dt^d ^{ }^Ω∧^. ^{i '}^

Avec les axes choisis on a: a_aO' = 0 et Ω∧O 'M= Ω∧O 'HHM = Ω∧HM.

D' où Ω∧ Ω∧O'M = Ω∧ Ω∧HM = −Ω²HM et a_e= dΩ

dt ∧O 'M−Ω²HM.

Accélération complémentaire: a_c=2Σx'˙ di '

dt =2Σx '˙  Ω∧i ' ; a_c=2Ω∧ v_r. c .Cas général .

On démontre qu'un mouvement quelconque de (R') par rapport à (R) est la résultante, à tout instant, d'une rotation autour d ' un axe∆ (axe instantané de rotation) avec une vitesse angulaire Ω et d ' une translation parallèle à l 'axe∆.

Les relations précédentes restent donc valables:

v_a= v_rv_aO' Ω∧O 'M a_a= a_ra_aO 'dΩ

dt ∧O'M Ω∧ Ω∧O 'M2Ω∧ v_r O'

O' z

y x

O

y' z'

x' z'

x'

y'

x' P

H y'

z

y x

O O'

z'