TES 5 Interrogation 8A : Correction 7 d´ecembre 2017 Exercice 1 :
Soitf la fonction d´efinie sur [−4; 5].
On a trac´e ci-dessous, la courbe de la fonctionf ainsi que la tangente en Ale point de la courbe d’abscisse 0.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1 1 2 3 4 5
0
f
A a
Etudier la convexit´´ e et la concavit´e def sur [−4; 5]
Solution: f est concave sur[4; 0]. f est convexe sur [0; 5].
Exercice 2 :
On a trac´e ci-dessous la repr´esentation graphique de la d´eriv´ee secondek00 d’une fonctionkd´efinie sur [0; +∞[.
Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8
0 x
y Ch
a.
!5
0 h(x) dx=h(5)−h(0) b. 20<
!5
0 h(x) dx<30 c. 15<
!5
0 h(x) dx<20 d.
!5
0 h(x) dx=20
4. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée secondek′′d’une fonction kdéfinie sur [0 ;+∞[.
1 2 3
-1
1 2 3
0
Ck′′
a. kest concave sur l’intervalle [1 ; 2]. b. kest convexe sur l’intervalle [0 ; 2].
c. kest convexe sur [0 ;+∞[. d. kest concave sur [0 ;+∞[.
Exercice 2 5 points
Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes Partie A
Liban 2 31 mai 2016
Que peut-on dire de la concavit´e def?
Solution: f00 est n´egatie sur [0; 2] doncf est concave sur cet intervalle.
f00 est positive sur [2; +∞[ donc f est convexe sur cet intervalle.
Exercice 3 :
Soitf d´efinie sur [−6; 0] parf(x) = (−10x−5)ex. 1. Montrer quef00(x) = (−10x−25)ex
2. ´Etudier la convexit´e et la concavit´e def.
3. f admet-elle un point d’inflexion ?
Solution:
1. f0(x) = (−10x−5)ex−10ex= (−10x−15)ex etf00(x) = (−10x−15)ex−10ex= (−10x−25)ex. 2. f00(x) = 0 si et seulement six=−2,5.
f00(x) est du signe de−10x−25 car exp(x)>0 pour tout r´eelx.
f00(x)>0 sur [−6;−2,5] doncf est convexe sur cet intervalle. De mˆemef est concave sur [−2,5; 0].
3. Oui en−2,5 carf passe de convexe `a concave.
