MPSI 2 Semaine 1
Exercice 1 Approximations
Calculer approximativement, à partir des formules du cours, puis comparer avec le résultat donné par une calculatrice. On rappelle quelog10(e)est approximativement égal à 0,43429.
1. 1,021 ,√
1,06,1,043 etlog(1,1). 2. 0,971 ,√
15,1,075 etlog(0,9). 3. 1051 ,√
0,97, 0,934et log(1/1,03). 4. 9981 ,√
10,1,00217 etlog10(1,1). 5. 5051 ,√
120,1014 et1/log(1,2). 6. 0,981 ,√
0,17,0,9986et log10(0,9). Exercice 2 Équations fonctionnelles
Démontrer les identités suivantes, dénies pourxet yréels.
1. Sif(x) = log
1+x 1−x
, alorsf(x) +f(y) =fx+y
1+xy
.
2. Soitaun réel strictement positif, φ(x) = (ax+a−x)/2 et ψ(x) = (ax−a−x)/2. Alorsφ(x+y) = φ(x)φ(y) +ψ(x)ψ(y).
3. Avec les mêmes notations que précédemmentψ(x+y) =φ(x)ψ(y) +ψ(x)φ(y). Exercice 3 Diérences nies de Newton
1. Former le tableau des diérences nies de la fonctiony=x3−5x2+x−1pour les valeursx= 1, 3, 5, 7, 9, 11. Vérier que toutes les diérences nies du troisième ordre sont égales.
2. En utilisant la constance des diérences du quatrième ordre, former le tableau des diérences de la fonction y=x4−10x3+ 2x2+ 3xpour les valeurs entières dextelles que1≤x≤10.
3. On donne le tableau
log(1) log(2) log(3) log(4) log(5) 0,000 0,301 0,477 0,602 0,699
Calculer, par interpolation linéaire puis par la méthode de Newton d'ordre 2, les nombreslog(1,7), log(2,5),log(3,1)et log(4,6). Comparer aux résultats donnés par une calculatrice.
4. On donne le tableau
sin(10◦) sin(11◦) sin(12◦) sin(13◦) sin(14◦) sin(15◦) 0,1736 0,1908 0,2079 0,2250 0,2419 0.2588
Calculer par la méthode de Newton d'ordre 2, les nombres sin(10◦300), sin(11◦300), sin(12◦300), sin(13◦300)et sin(14◦300). Comparer aux résultats donnés par une calculatrice.
5. Former le polynôme d'interpolation de Newton pour la fonction donnée par le tableau
0 1 2 3 4
1 4 15 40 85
6. Former le polynôme d'interpolation de Newton pour la fonction donnée par le tableau
2 4 6 8 10
3 11 27 50 83
et calculer ypour x= 5,5. Pour quelle valeur dex, a-t-ony= 20?
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MPSI 2 Semaine 1
Exercice 4 Trigonométrie
1. Calculercos(π/9) cos(2π/9) cos(4π/9). 2. Montrer sin(π/10) cos(π/5) = 1/4. 3. Montrer
cos(π/12) + sin(π/12) cos(π/12)−sin(π/12) =√
3.
4. Siα, β etγ sont les trois angles au sommet d'un triangle, montrersin(α+β) = sin(γ)et sin(2α) + sin(2β) + sin(2γ) = 4 sin(α) sin(β) sin(γ).
5. Montrer que, pour toutxréel, on a
sin(x) + sin
x+2π 3
+ sin
x+4π
3
= 0.
6. Montrer que, pour toutxréel, on a
sin(x) + 2 sin(3x) + sin(5x) = 4 cos2(x) sin(3x).
Exercice 5 Trigonométrie hyperbolique et fonctions réciproques 1. Montrer ∀x∈R,2 arctan(tanh(x)) = arctan(sinh(2x)). 2. Montrer ∀x∈R,sinh(x) = √tanh(x)
1−tanh2(x) puis résoudre l'équation enx, 2 argsh(x) + argth(1/2) = argch(3).
3. Résoudre l'équation en x,arctan(x)−arctan x3
= arccos x2. Exercice 6 Calcul de racines carrées
Soitaun entier naturel non nul. On poser= (√
a2+ 1−a)/a. 1. Montrer
1 2a− 1
8a3 <p
a2+ 1−a < 1 2a et en déduire que a est l'entier le plus proche de √
a2+ 1. En déduire une valeur approchée de
√
626à 10−5 par excès.
2. On dénit une suite (tn)n∈N par t0 =a et, pour n entier naturel, tn+1 =tn+2a1(a2+ 1−t2n). Montrer comment obtenir graphiquement les termes de la suite (on pourra prendre a= 2dans le graphique).
3. Montrer que la suite ainsi dénie est à valeurs rationnelles et que, si elle converge, sa limite est√ a2+ 1.
4. On pose, pour tout entier natureln,en =|tn−√
a2+ 1|. Montrer que, pour tout entier natureln, en+1=en
√
a2+1+tn
2a −1
etarn+12n ≤en ≤2a1 2a12
n. 5. En déduire que la suite(tn)n∈N est convergente.
6. Montrer que, pour tout entier natureln,en+1=r.en 1 + (−1)n+12aren
et en déduire que la suite de terme généralen/rn est convergente, et que sa limite est un réel strictement positif et strictement inférieur àexp(1/2r(2a2−1))/2a.
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