yxyx -=- PGCDxyPGCDkyxkyxyxPGCDkk (;)(();(1)())(;1) =-+-=-+ x

(1)

Correction de la spé : 1a)

Méthode 1 : décomposition en facteurs premiers

368 = × 3 11

2^et

484 = × 2

²

11

²

PGCD(368 ; 484)=11²

Méthode 2 : utilisation de l’algorithme d’Euclide

484 1 363 121 363 3 121

= × +

= ×

Le dernier reste non nul est 121.

Le PGCD est donc 121 b) 484-363=121=PGCD(368 ;484) donc le couple (363 ,484) appartient à S.

2)

1 ( × + − × = n 1) 1 n 1

, il existe donc deux entiers relatifs u et v tels que :

u × + + × = ( n 1) v n 1

, donc n+1 et n sont premiers entre eux, donc :

PGCD n n ( , + = 1) 1

; de plus

( n + − = 1) n 1

^{, donc}

( n + 1, ) n ∈ S .

3) a) première partie : supposons que

( , ) x y ∈ S

^.

On a alors :

PGCD x y ( ; ) = − y x

Donc

y − x

^divise

x

, donc il existe un entier relatif non nul

k

, tel que :

x = k y ( − x ).

De plus :

y = + − = x ( y x ) k y ( − + − = + x ) ( y x ) ( k 1)( y − x )

Deuxième partie : supposons qu’il existe un entier relatif

k

non nul tel que :

( ) et ( 1)( ) x = k y − x y = + k y − x

Alors :

PGCD x y ( ; ) = PGCD k y ( ( − x ); ( k + 1)( y − x )) = − y x PGCD k k ( ; + 1)

On a supposé que :

x < y

^{, donc}

y − = − x y x

, de plus d’après la question 2

PGCD k ( + 1; ) k = 1

^,

Donc

PGCD x y ( ; ) = − y x et donc ( , ) x y ∈ S

Conclusion :

( , ) x y ∈ S

si et seulement si il existe un entier relatif non nul tel que :

x = k y ( − x ) et y = + ( k 1)( y − x )

b)

PGCD x y ( , ) × PPCM x y ( , ) = × x y

^{, donc}

( y − × x ) PPCM x y ( , ) = × = x y k y ( − x k )( + 1)( y − x )

Donc

PPCM x y ( , ) = k k ( + 1)( y − x )

^(car

x ≠ y

⁾

4a)

228 = × × 2

²

3 19

, donc les diviseurs de 228 sont : 1 ;2 ;3 ;4 ; 6 ;12 ;19 ; 38 ;57 :76 ; 114 ;228 b) D’après la question 2b, ket k+1 divisent 228.

Donc les valeurs possibles de k sont 2 ou 3 Si k=1, alors k+1 =2 et

228 2 1 114 y − = x =

×

, donc d’après 3a

x = × 1 114 114 et = y = × 2 114 = 228

Si k=2, alors k+1 =3 et

228 2 3 38 y − = x =

×

, donc d’après 3a

x = × 2 38 = 76 et y = × 3 38 114 =

Si k=3 alors k+1= 4 et

228 3 4 19 y − = x =

×

^{, donc}

x = × = 3 19 57 et y = × = 4 19 76

Les couples cherchés sont : (76,114) et (57,76) et (114,28)