Limites de fonctions Ce chapitre s’inscrit dans une approche très progressive de la notion de fonction puisqu’il intervient après : —

Limites de fonctions

Ce chapitre s’inscrit dans une approche très progressive de la notion de fonction puisqu’il intervient après :

— Fle cours de première S sur les limites de fonctions Fle cours de terminale S sur les limites de suites

FLes cours sur la dérivation et la continuité qui ont permis de faire des études locales de fonction.

Dans tout ce qui suit, f désigne une fonction définie sur un ensemble de définitionDet on s’intéresse à son comportement aux bornes de celui-ci. En particulierD poura être de la forme]−∞; +∞[ou bien ]−∞;a[,ou bien ]a; +∞[ou encore ]a;b[,ou bien la réunion de plusieurs intervalles de ces types.

1. Définitions

De ces définitions, le plus important est sans doute l’idée, voire le schéma ; la traduction mathématique donnée à chaque fois après le mot définition étant même plutôt hors programme.

Il vous sera éventuellement demandé quand même de conduire un raisonnement utilisant les concepts, sans vous imposer pour autant les écritures mathématiques.

1.1. Limite infinie d’une fonction en l’infini

1.1.1. Limite infinie au voisinage de +∞

Il s’agit ici de définir rigoureusement ce qui est caché derrière la notation lim

x→+∞f(x) = +∞ ou plutôt derrière l’idée que f(x) peut être rendue aussi grande qu’on le désire en choisissant x assez grand (c’est à dire à partir d’une certaine valeur de x).

En d’autres termes, pour tout nombre A,si grand soit-il, il existe un nombre B tel que pour tout x supérieur à B, f(x) sera supérieur àA.

Situation représentée par la figure ci-dessous..

Une petite remarque : B dépend généralement de A (regardez sur la courbe, si on déplace le droite horizontale, B est modifié). On le notera donc BA pour bien insister sur ce lien. D’où la définition :

Définition 1.

x→+∞f(x) = +∞ si et seulement si ∀A >0,∃B_A>0, ∀x∈D, x≥B_A⇒f(x)≥A.

Exemple 1. Démontrer que la fonction x² tend vers +∞ quand x tend vers+∞:

Pour toutA >0,il suffit de choisr x >√

Apour être certain que x² > A.

On a bien prouvé que ∀A >0,∃BA>0( BA=√

A)tel que ∀x∈R, x≥√

A⇒x² ≥A.

Voici comment on démontre rigoureusement ce qui peut (et doit) vous paraître une évidence.

Remarque : vous traduirez à titre d’exercice lim

x→+∞f(x) =−∞,

1.1.2. Limite infinie au voisinage de −∞

Sans plus développer, voici la définition d’une limite infinie au voisinage de−∞,c’est à dire de lim

x→−∞f(x) = +∞ f(x) peut être rendue aussi grande qu’on le désire en prenantx négatif très grand.

Définition 2.

x→−∞f(x) = +∞ si et seulement si ∀A >0,∃B_A<0, ∀x∈D, x≤B_A⇒f(x)≥A.

Remarque : vous traduirez à titre d’exercice lim

x→−∞f(x) =−∞

1.2. Limite

1.2.1. Limite finie au voisinage de +∞

x→lim+∞f(x) =lse traduit par : "on peut rendref(x)aussi voisin delqu’on le désire en choisissant xassez grand".

Ou encore :"tous lesf(x) sont dans un tuyau centré surl et de largeurεaussi petite qu’on veut ( ∀ε >0, l−ε≤f(x)≤l+ε) dès lors que x est supérieur à une certaine valeurA"

Comme précédemment, la valeur deAdépend deε; plus l’entonnoir est serré, plus il faudra s’éloigner vers l’infini, donc plus A sera grand. Là encore on choisra de noter Aε

Définition 3.

x→+∞f(x) =l si et seulement si ∀ε >0, ∃Aε≥0 tel que∀x > Aε, l−ε≤f(x)≤l+ε Exemple 2. Démontrer que lim

x→+∞

x−1

x = 1

On n’utilisera bien sûr pas les opérations sur les limites qu’on n’est encore sensé connaître. On pourra tout de même remarquer que x−1

x = 1−1

x donc, pour toutε >0,prenonsA_ε = 1

ε.Alors,x≥ 1 ε ⇒ 1

x ≤ε⇒1−ε≤1−1

x ≤1+ε.

Ainsi, ∀ε >0,∃A_ε>0, x≥A_ε⇒1−ε≤ x−1

x ≤1 +ε.

1.2.2. Limite finie au voisinage de −∞

x→−∞lim f(x) =l se traduit par : "on peut rendref(x)aussi voisin del qu’on le désire en choisissantx négatif assez grand".

Ou encore :"tous les f(x) sont dans un tuyau centré sur let de largeurεaussi petite qu’on veut (∀ε >0, l−ε≤ f(x)≤l+ε) dès lors quex est inférieure à une certaine valeur négative Aε "

Définition 4.

x→−∞f(x) =l si et seulement si ∀ε >0, ∃Aε<0 tel que∀x≤Aε, l−ε≤f(x)≤l+ε

1.3. Limite infinie d’une fonction en a

xlim→af(x) = +∞ signifie qu’on peut rendref(x) aussi grand qu’on le désire en prenantx assez voisin dea.

Ou encore qu’on peut rendref(x) supérieur à toutA,si grand soit-il en prenantx à l’intérieur d’un tuyau centré en aet dont le diamètreαdépend de A (on le notera doncα_A)

Définition 5.

xlim→af(x) = +∞ si et seulement si : ∀A >0,∃α_A>0 tel que∀x∈D, a−α_A≤x≤a+α_A⇒f(x)≥A

Exemple 3. Démontrer que lim x→2

x >2 1

x−2 = +∞

∀A >0,2< x≤2 + 1

A ⇒0< x−2≤ 1

A ⇒ 1

x−2 ≥A d’où le résultat avec αA= 1 A.

1.4. Limite

xlim→af(x) =b signifie qu’on peut rendref(x) aussi voisin debqu’on le désire en prenantx très voisin de a.

Définition 6.

xlim→af(x) =b si et seulement si :∀ε >0,∃α_ε<0 tel que ∀x∈D, a−α_ε≤x≤a+α_ε⇒b−ε≤f(x)≤b+ε

N’oublions pas que c’est ce qui sous-tend la définition de la continuité d’une fonction ena(lim

x→af(x) =f(a)).

2. Opérations sur les limites

2.1. Limite de la somme de deux fonctions

Dans le tableau donné ci-dessous, il peut indifféremment s’agir de limites en l’infini ou en une valeurafinie.

f

g −∞ a +∞

−∞ −∞ −∞ F I

b −∞ a+b +∞

+∞ F I +∞ +∞

F I désignant une forme indéterminée, cas où on ne peut conclure directement.

Démonstration:Démontrons le cas

( lim

x→+∞f(x) = +∞

x→lim+∞g(x) = +∞ ⇒ lim

x→+∞(f+g)(x) = +∞

En effet, On veut rendre f(x) +g(x) supérieur à tout A, sachanr que f(x) et g(x) peuvent aussi être rendue supérieure à tout nombre. Pour que leur somme soit supérieure à A, il peut êtreintéresant de rendre chacune supérieure à A

2.

D’où

⎧⎪

⎨

⎪⎩

x→lim+∞f(x) = +∞ ⇔ ∀A >0,∃B_A>0,∀x∈D, x≥B_A⇒f(x)≥ A 2

x→lim+∞g(x) = +∞ ⇔ ∀A >0,∃C_A>0,∀x∈D, x≥C_A⇒g(x)≥ A 2

Ainsi, en appelant DAle plus grand des deux nombre BA et CA,pour tout x supérieur àDA les deux inégalités sont vraies.

En les ajoutant membre à membre, on obtient∀A >0,∃DA>0,∀x∈D, x≥BA⇒f(x) +g(x)≥A qui traduit bien que lim

x→+∞(f+g)(x) = +∞

2.2. Limite de kf où k est un réel positif quelconque

limf(x) = +∞ ⇒limkf(x) = +∞ limf(x) =−∞ ⇒limkf(x) =−∞

limf(x) =l⇒limkf(x) =kl

2.3. Limite du produit de deux fonctions

f

g −∞ 0 a >0 +∞

−∞ −∞ F I −∞ −∞

0 F I 0 0 F I

b >0 −∞ 0 ab +∞

+∞ F I +∞ +∞ +∞

Démonstration:Démontrons le cas

( lim

x→+∞f(x) =a

x→lim+∞g(x) =b ⇒ lim

x→+∞(f g)(x) =ab Il suffit de remarquer que (f g)(x)−ab=g(x) (f(x)−a) +a(g(x)−b)

Puis lim g(x) =b⇒g(x) bornée et lim f(x) =a⇒ lim (f(x)−a) = 0

( lim

x→+∞g(x) =b⇒g(x) bornée

x→lim+∞(f(x)−a) = 0 ⇒ lim

x→+∞g(x) (f(x)−a) = 0 De plus lim

x→+∞g(x) =b⇒ lim

x→+∞(g(x)−b) = 0⇒ lim

x→+∞a(g(x)−b) = 0 D’où le résultat d’après le théorème de la limite d’une somme.

3. Limites et inégalités

3.1. Conservation de l’ordre

Théorème 1. Soitf etg deux fonctions définies sur I, on s’intéresse à leur limites au voisinnage de a, apouvant éventuellement être un infini. On montre que si pour tout x de I, f(x)< g(x),alors lim

x→af(x)≤ lim

x→ag(x).

Remarque 1. Remarquez bien les inégalités employées. f peut être majorée au sens strict par g, leurs limites peuvent être égales. Par exemple,f(x) = 1−1

x et g(x) = 1 + 1

x qui sont toutes deux définies sur ]0; +∞[,avec f majorée au sens strict par g . Elles ont pourtant la même limite à l’infini : 1.

Théorème 2. dit des gendarmes

Soit f,g, h trois fonctions définies surI et telles que∀x∈I, g(x)< f(x)< h(x).

Alors lim

x→ag(x) = lim

x→ah(x) =l⇒ lim

x→af(x) =l où apeut être infini.

Démonstration : Puisque lim

x→+∞g(x) =l,pour tout tuyau de centrelet de diamtreε >0,on peut, en choisissantxsupérieur à une certaine valeur A_ε faire rentrerg(x) dans le tuyau.

De même lim

x→+∞h(x) =l,pour ce même tuyau de centrelet de diamtre ε >0,on peut, en choisissant xsupérieur à une certaine valeurBε faire rentrerh(x) dans le tuyau.

On a dès lors que ces deux conditions sont remplies, c’est à dire lorsquex est supérieur à la fois àA_ε etB_ε(c’est à dire au plus grand des deux) : l−ε≤g(x)< f(x)< h(x)≤l+ε

On en déduit donc qu’à partir d’une certaine valeur, le plus grand deA_ε etB_ε, f(x) est dans le tuyau centré enl et de rayonε. C’est bien la définition de lim

x→+∞f(x) =l

Remarque : Le plus grand de deux nombresA etB est noté M ax(A, B)

Une démonstration présentée d’une manière un peu plus mathématique :

x→lim+∞g(x) =l⇒ ∀ε >0,∃Aε>0,∀x > Aε, l−ε≤g(x)≤l+ε

x→lim+∞h(x) =l⇒ ∀ε >0,∃Bε>0,∀x > Bε, l−ε≤h(x)≤l+ε Or ∀x∈R, g(x)< f(x)< h(x)

Donc ∀ε >0,∃Cε >0, Cε=M ax(Aε, Bε),∀x > Cε, l−ε≤g(x)< f(x)< h(x)≤l+ε Qui prouve bien que lim

x→+∞f(x) =l