Devoir de Probabilités du 14/10/09, Master MIMATS, durée 1H
Avertissement : Les deux exercices sont indépendants. Les ré- ponses aux questions doivent être soigneusement justifiées. Comme dans le cours, l’abréviation v.a. signifie variable aléatoire.
Exercice 1 : 1) On joue avec une pièce de monnaie telle que la proba- bilité d’obtenir pile est égale àp∈]0,1[(et donc la probabilité d’obtenir face est 1−p). On effectue des lancers successifs et indépendants de cette pièce jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la première fois. Soit X le nombre de lancers effectués.
a) Déterminer la loi de probabilité de la v.a.X . b) Montrer que l’espérance de X est égale à 1p.
2) On suppose maintenant qu’on effectue des lancers indépendants jus- qu’à ce qu’on obtienne pile pour la première fois mais on arrête de jouer si on n’a pas encore obtenu pile au dixième lancer. SoitY le nombre de lancers effectués. La v.a. Y peut prendre les valeurs 1,2, ..., 10.
a) Déterminer la loi de probabilité de la v.a.Y.
(indication : on distinguera bien le calcul de P(Y =k) pour1≤k ≤9 et le calcul de la valeur P(Y = 10).)
b) Calculer l’espérance deY.
Exercice 2 : Un vendeur de téléphones portables sait par expérience qu’il a une probabilité p = 201 de vendre un téléphone à chaque per- sonne qu’il démarche. Il doit visiter une cité universitaire comptant 1000 résidents. Soit X le nombre de personnes visitées qui achèteront effectivement un téléphone.
1) Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X, son espérance et sa variance.
2) On souhaite approcher la loi de X par une loi de Poisson. Est-ce possible ? Préciser alors le paramètre de cette loi de Poisson.
3) Montrer que la probabilité que le vendeur réussisse à vendre plus de 150 téléphones est inférieure ou égale à 0,005.
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