R´egularit´e des anneaux dans les probl`emes d’excision en K-th´eorie alg´ebrique

UNIVERSIT´ E DENIS DIDEROT - PARIS 7 U.F.R. DE MATH´ EMATIQUES

Ann´ee 2004 N

^◦

TH` ESE DE DOCTORAT SP´ ECIALIT ´ E : MATH ´ EMATIQUES

R´egularit´e des anneaux dans les probl`emes d’excision en K-th´eorie alg´ebrique

pr´ esent´ ee par Mr BIHLER Frank

pour obtenir le grade de docteur

soutenue le 9 juillet 2004 devant le jury compos´e de :

Mr KAROUBI Max Mr KASSEL Christian Mr KELLER Bernhard Mr OLIVER Robert Mr VOGEL Pierre Mr RANICKI Andrew Mr STAFFELDT Ross

directeur de th` ese

rapporteur

rapporteur

A mon grand-p`ere Ferdinando Giacuzzo, `

mineur ` a St-Pierremont ( 1918-2001 ).

Remerciements

Je tiens ` a manifester ici mes plus vifs remerciements ` a l’´egard de mon Directeur de th`ese Mr Pierre VOGEL, qui, toujours plein de patience et de gen- tillesse, a su me faire partager son enthousiasme pour la rigueur et l’exactitude math´ematiques ` a travers les domaines sauvages de la connaissance, qui n’a pas l´esin´e sur son temps pour me communiquer quelques unes de ses m´ethodes et id´ees profondes, et enfin qui a toujours ´et´e l` a pour m’apporter aide et r´econfort dans les moments difficiles ; pour tout cela, et beaucoup d’autres choses encore, Merci Monsieur !

Merci aussi aux deux sp´ecialistes qui ont accept´e de lire mon travail, et d’ˆetre rapporteurs pour cette th`ese : je veux parler de Andrew RANICKI ( ´ Ecosse ), et Ross STAFFELDT ( USA ) ; merci pour leur analyse experte. Merci aussi aux valeureux chercheurs, qui, en d´epit du soleil du mois de juillet, ont accept´e de me faire l’honneur de participer ` a mon jury : il s’agit ici de Mrs Max KAROUBI et Bernhard KELLER de Paris 7, de Mr Christian KASSEL de Strasbourg, et Mr Robert OLIVER de Paris 13 ( Villetaneuse ) ; j’esp`ere me montrer digne de leur auguste assembl´ee lors de ma soutenance.

Je tiens aussi ` a citer les Chercheurs qui m’ont le plus aid´e au cours de mon parcours initiatique : Mr Loday, d’abord, qui a eu la gentillesse de m’accueillir dans son laboratoire ` a Strasbourg lors de mon AMN ; Mr Karoubi, ensuite, pour m’avoir fait aimer la K-th´eorie alg´ebrique, et permis d’assister ` a l’ ´ Ecole d’´et´e

`

a Trieste sur le sujet ; enfin, Mrs Maltsiniotis et Keller, pour leur groupe de travail du mercredi soir, o` u j’ai appris les “ cat´egories de mod`eles ferm´ees ”, et les “ d´erivateurs ”.

Il me faut ensuite citer mes principaux professeurs de math´ematiques, qui ont su cultiver mon amour de l’Art et m’inculquer les bases de cette belle Science : merci ` a Mme Marie, et Mrs Deschamps et Warusfel, tous professeurs en pr´epa au lyc´ee Louis-le-Grand.

Passons maintenant ` a mes pairs, les th´esards du couloir 7C : merci en vrac

`

a Mr Cisinski, Mlle Panichi, ` a Samy, Alexei, Baptiste et au “ groupe de travail

de topologie alg´ebrique ” ( Marco, Jens, Bertrand, Nadia ) ainsi qu’` a mes amis

de l’´ Ecole Normale ( T-Moy

^TM

, Simon ) ou de pr´epa ( B´eroul, Farouk, ´ Eric )

pour leur soutien moral.

Cˆ ot´e logistique, il me faut remercier Mr Tia, Mmes Courtin et Lepage, et surtout Mme Mich`ele Wasse, la bonne f´ee des services administratifs.

Un mot enfin pour citer ma famille, sans qui je ne serais pas ici : merci ` a

Evelyne, Valel et Jean-Louis pour leur patience, ainsi qu’` a m´em´e Dominique qui

trouvera peut-ˆetre un jour le th´eor`eme de Fermat . . .

Table des mati` eres

Remerciements 3

Table des mati` eres 5

Introduction Historique 7

1 La K-th´ eorie alg´ ebrique de Friedhelm WALDHAUSEN 9

1.1 Les axiomes . . . . 9

1.2 Th´eor`emes fondamentaux . . . . 12

1.3 Une application utile . . . . 13

1.4 Architecture de l’article [Wal78] . . . . 14

1.4.1 Motivation g´eom´etrique . . . . 14

1.4.2 Description des 3 cas ´etudi´es . . . . 15

1.4.3 Suites exactes . . . . 16

1.4.4 Cat´egories de Mayer-Vietoris . . . . 17

1.4.5 Les 3 cat´egories Nil . . . . 18

1.4.6 L’obstruction ` a l’excision : ˜ KNil . . . . 19

1.4.7 Le cas coh´erent r´egulier . . . . 19

1.4.8 Classe de Waldhausen . . . . 20

2 Diverses cat´ egories de complexes 22 2.1 Les complexes usuels C

_R

. . . . 22

2.2 Les D

₀

-complexes : C

_D 0

, B , A , B

_n

, A

_n

. . . . 23

2.3 Les D

₀

-complexes r´eduits B

^red

. . . . 24

2.4 Diff´erentes interpr´etations du KNil(R, S) . . . . 29

2.5 Les cat´egories H

_n

. . . . 36

3 Divers foncteurs 39 3.1 Le cas simple : sur B . . . . 39

3.1.1 Le foncteur inclusion i . . . . 39

3.1.2 Le foncteur translation t . . . . 39

3.1.3 Les foncteurs f

j

et g

k

. . . . 40

3.1.4 Le foncteur quotient q . . . . 40

3.1.5 Formulaire sur B . . . . 40

3.2 Le cas difficile : sur A . . . . 41

3.2.1 Le foncteur inclusion i . . . . 41

3.2.2 Le foncteur translation t . . . . 41

3.2.3 Les foncteurs f

j

et g

ⁿ_k

. . . . 41

3.2.4 Les foncteurs cycliques Q

_n

. . . . 41

3.2.5 Formulaire sur H . . . . 46

4 Localisation 48 4.1 Enonc´e du th´eor`eme de localisation . . . . ´ 48

4.2 Calculs d’objets locaux . . . . 53

4.2.1 Suite exacte courte . . . . 53

4.2.2 Morphisme homotope ` a z´ero . . . . 53

4.2.3 Calcul de K( B

_n+1

, B

_n

) . . . . 54

4.2.4 Calcul de K( A

_n+1

, A

_n

) . . . . 56

4.3 Changement d’´equivalences faibles . . . . 62

4.4 Une formule sur les ˜ KNil . . . . 63

4.5 Un th´eor`eme d’excision . . . . 65

5 Anneaux r´ eguliers 68 5.1 Rappels : anneau “ coh´erent r´egulier ” . . . . 68

5.2 D´efinition g´en´erale . . . . 68

5.3 Stabilit´e de la notion de r´egularit´e . . . . 71

5.4 La classe de Vogel . . . . 74

5.5 Liens acyclicit´e-contractibilit´e . . . . 78

5.6 La classe

0

des modules r´eguliers . . . . 81

5.7 Complexes sur un anneau r´egulier . . . . 83

5.8 Complexes stablement r´eductibles . . . . 86

Bibliographie 92

Introduction Historique

Pour avoir une intuition g´eom´etrique des probl`emes abord´es dans cette th`ese,

il faut remonter aux travaux de Novikov ( dans les ann´ees 70 ) sur des obstruc-

tions fines li´ees ` a la chirurgie sur les vari´et´es ; en langage moderne, la conjecture

qu’il a pos´ee se r´eduit ` a deux grands axes majeurs : l’existence d’une “ as-

sembly map ” suffisamment r´eguli`ere, et des propri´et´es d’excision en L-th´eorie

( li´ee aux obstructions de Wall, cette th´eorie ´etudi´ee par Ranicki ( cf [Ran97] ),

consid`ere des modules munis de formes quadratiques ). Ces probl`emes sont dˆ us

en grande partie au gros d´efaut de la K-th´eorie alg´ebrique : contrairement aux

th´eories cohomologiques usuelles, celle-ci ne v´erifie en g´en´eral pas l’axiome d’ex-

cision, sauf dans des cas tr`es particuliers, et avec des hypoth`eses ad hoc. Dans

la droite lign´ee de cet ordre d’id´ees g´eom´etriques, Waldhausen publie en 1978

l’article [Wal78] qui ´etudie la nullit´e des groupes d’obstruction de Whitehead,

dans le cas d’un produit libre d’anneaux. En fait, il y d´eveloppe un ensemble de

conditions favorables sur l’anneau de base C consid´er´e, pour que pour tout C-

bimodule S libre ` a gauche, le spectre ˜ KNil(C; S) soit contractile, autrement dit

pour qu’il y ait excision en K-th´eorie. Parmi ces conditions figure une hypoth`ese

naturelle ` a tout math´ematicien ´evoluant en g´eom´etrie alg´ebrique : l’anneau C

doit ˆetre “ r´egulier ”, c’est-` a-dire usuellement noeth´erien-r´egulier, ou coh´erent-

r´egulier. Le gros probl`eme de cette approche est que le caract`ere coh´erent de

l’anneau n’est pas stable par HNN-extension, ou somme amalgam´ee . . . et alors

la notion de r´egularit´e habituelle perd tout son sens ! D’o` u les tentatives de Mr

Vogel : [Vog83] o` u il d´efinit le ˜ K N il pour des cat´egories de diagrammes, puis

[Vog90] o` u il formalise la notion d’anneau r´egulier, et red´emontre une bonne

partie des r´esultats de Waldhausen avec des hypoth`eses affaiblies. La tactique

utilis´ee, et que nous allons d´evelopper tout au long de cette th`ese, consiste ` a

remplacer syst´ematiquement dans les constructions de Waldhausen les modules

par des complexes de modules, puis les modules munis d’une fl`eche nilpotente

( objets du N il(C; S) ) par des multicomplexes ( cf chapitre 2 ), b´en´eficiant

ainsi de cat´egories de Waldhausen munies de foncteurs-cylindres canoniques

( plus proches ainsi du formalisme de “ complicial biWaldhausen category ” de

Thomason-Trobaugh [Tro90] ). Aid´e alors par un th´eor`eme de localisation puis-

sant, Vogel ram`ene le probl`eme d’excision ` a des calculs d’objets locaux. Mal-

heureusement, faute de r´esultat final, les deux articles ci-dessus n’ont jamais ´et´e

publi´es, et furent l´egu´es tels que ` a ses coll`egues Staffeldt & Schw¨ anzl ` a Bielefeld,

ou Loday ` a Strasbourg. Par la suite, les travaux de Loday se sont tourn´es vers

l’homologie cyclique ( cf [Lod92] ), tandis que Staffeldt & Schw¨ anzl ´etudiaient

les S -modules ( cf [Sch02] ) et la “ brave new algebra ” o` u les probl`emes de

KNil ˜ sont ´elud´es. En conclusion, il fallait mettre ` a plat les diff´erents r´esultats auxquels conduit la notion ( importante ) de Vogel-r´egulier, et ainsi faire avan- cer l’´ Etat de l’Art. Merci ` a Mr Pierre Vogel pour ses nombreux conseils et sa fructueuse collaboration : la plupart des id´ees d´evelopp´ees ici, et les calculs les plus compliqu´es sont de lui, ou lui doivent beaucoup.

Donnons maintenant l’articulation de la th`ese qui va suivre.

Un premier chapitre est consacr´e ` a ´enoncer les axiomes et th´eor`emes principaux de la K-th´eorie alg´ebrique d´evelopp´es par F. Waldhausen dans [Wal85], plus quelques rappels incontournables de D. Quillen dans [Qui73]. On analyse en- suite en d´etails la structure de l’article fondateur [Wal78] sur les produits libres d’anneaux, qui sert de cadre ` a ma th`ese, mettant en ´evidence les endroits o` u apparaissent les hypoth`eses de r´egularit´e sur l’anneau de base C.

Un deuxi`eme chapitre ´etudie diff´erentes cat´egories de ( multi- ) complexes de C-modules et leur manipulation : leur richesse face aux C-modules tient aux nombreuse notions d’´equivalences faibles dont on peut les munir. De plus, ils poss`edent une structure de cat´egorie triangul´ee ( d’o` u interpr´etation plus ais´ee de la cat´egorie d´eriv´ee ) ; mais aussi un foncteur-cylindre naturel qui permet des calculs li´es au th´eor`eme de localisation. Dans le but avou´e de trouver des crit`eres d’annulation du ˜ K N il, on r´einterpr´etera l’obstruction ` a l’excision en termes de cat´egories de ( multi- ) complexes.

Le troisi`eme chapitre introduit toute une s´erie de foncteurs, et leurs relations, en particulier un foncteur “ cyclique ” original d´efini sur les complexes nilpotents.

Leur importance tient dans l’application du th´eor`eme d’additivit´e qui permet alors de scinder le ˜ KNil en morceaux.

Le quatri`eme chapitre est essentiellement une application du th´eor`eme de loca- lisation de Waldhausen, modifi´e par Vogel pour les complexes, afin de calculer des objets “ locaux ”. C’est ` a cet endroit pr´ecis que manque un th´eor`eme de d´evissage, qui permettrait de conclure.

Enfin le cinqui`eme et dernier chapitre d´eveloppe la notion d’anneau “ r´egulier ” au sens de Vogel, sa stabilit´e, son utilisation pour les complexes, la classe des groupes “ r´eguliers ” et la conjecture qui sous-tend toute l’architecture tacite de mes travaux de th`ese :

Conjecture : Soit C un anneau r´egulier au sens de Vogel, et S un C-bimodule, plat ` a gauche. Alors ˜ K N il(C; S) est contractile.

Convention :

D´esormais, dans toute la suite de la th`ese, on supposera tous les anneaux

unitaires et associatifs. Si C est un anneau, on notera M od

C

la cat´egorie des

C−modules ` a droite : sauf mention expresse du contraire, tous les modules

consid´er´es auront une action ` a droite. Tous les spectres de K-th´eorie consid´er´es

dans cette th`ese seront connexes, ` a l’exception notable des chapitres 4.4, 5.2

et 5.4, o` u les spectres non-connexes ( ou “ g´en´eralis´es ” ) seront soulign´es :

K(R), KNil(R; ˜ . . .), W h

^R

(G) sont tous obtenus ` a l’aide du foncteur suspension

Σ de Karoubi d´efini sur la cat´egorie des anneaux.

Chapitre 1

La K-th´ eorie alg´ ebrique de Friedhelm WALDHAUSEN

1.1 Les axiomes

Nous allons donner ici les diff´erents axiomes ´el´ementaires, qui permettent de parler de “ cat´egorie de Waldhausen ” et d’utiliser les th´eor`emes fondamentaux

´enonc´es au paragraphe suivant et dont le lecteur pourra trouver la d´emonstration dans l’article [Wal85]. Le but de ce rappel est seulement d’introduire les nota- tions dont nous allons nous servir tout au long de cette th`ese.

On consid`ere une cat´egorie C “ point´ ee ” : elle poss`ede un objet nul ∗ ( ` a la fois initial et final ). On munit ( C , ∗) d’une classe (co C ⊂ F l C ) de fl`eches not´ees

// // et appel´ees “ cofibrations ”, v´erifiant les axiomes suivants :

[Cof 1] Tout isomorphisme est une cofibration.

[Cof 2] Pour tout objet A de C , la fl`eche (∗ → A) est une cofibration de C . [Cof 3] Pour toute fl`eche (A → C) de C et toute cofibration ( A // // B ) de C ,

la “ somme amalgam´ee ” C `

A

B ( en anglais le “ pushout ” ) existe dans C et la fl`eche induite ( C // // C `

A

B ) est une cofibration de C .

Notation : On dira que ( A //

^f

// B

^g

// // C ) est une “ suite exacte courte ” si dans le pushout suivant : A //

^f

//

B

g

y

∗ // _ _ //

//

B/A

## C

f est une cofibration de C , g ◦ f = 0 et la fl`eche induite (A/B → C) est un isomorphisme.

Une telle fl`eche ( B

^g

// // C ) sera appel´ee “ fibration ”.

Remarque : Cette notion est diff´erente de celle de fibration en topologie, ou dans les cat´egories de mod`eles ferm´ees de Quillen. Toutefois, les “ cofibrations admissibles ” d’une cat´egorie exacte E de Quillen ( les premi`eres fl`eches des suites exactes courtes ) forment une classe de cofibrations co E .

Toute cette structure ( C , ∗, co C ) est appel´ee “ cat´egorie avec cofibrations ”.

On la munit d’une deuxi`eme classe (w C ⊂ F l C ) de fl`eches not´ees

^∼

// et appel´ees “ ´ equivalences faibles ”, v´erifiant les axiomes suivants :

[W eq1] Tout isomorphisme est une ´equivalence faible.

[W eq2] Pour tout diagramme commutatif : C

o

oo A // //

o

B

o

C

⁰

A

⁰

oo // // B

⁰

,

si les fl`eches verticales sont dans w C , alors la fl`eche induite entre les pushouts ( C `

A

B

^∼

// C

⁰

`

A⁰

B

⁰

) est aussi dans w C .

On d´esignera par “ cat´ egorie de Waldhausen ”, aussi appel´ee “ cat´egorie avec cofibrations et ´equivalences faibles ” une telle structure ( C , ∗, co C , w C ).

On appellera foncteur “ exact ” tout foncteur (F : A → B ) respectant chacune de ces structures, c’est-` a-dire F(co A ) ⊂ co B , F(w A ) ⊂ B , et pour tout pushout d´ecrit dans l’axiome [Cof 3], on a : F (C `

A

B) = F (C) `

F(A)

F(B).

Ces axiomes suffisent ` a d´efinir de mani`ere fonctorielle le spectre connexe de K-th´eorie alg´ebrique K(C, w) = Ω|wS.C| dont les groupes d’homotopie posi- tifs redonnent les groupes de K-th´eorie usuels ( pour une cat´egorie exacte E de Quillen ) : K

_i

( E , isom) = π

i+1

(wS. E ) = π

i+1

(Q E ) ; le lecteur int´eress´e pourra trouver les d´etails sur la construction “ S ” de Waldhausen dans [Wal85].

Dans le but de rendre cette K-th´eorie plus facilement calculable, Waldhausen introduit 3 types d’axiomes suppl´ementaires :

[Saturation] Pour tout triangle de fl`eches composables (a, b, ab), si 2 fl`eches sont dans wC, alors la 3

^i`eme

aussi.

[Extension] Pour tout diagramme commutatif : A

o

// // B // //

B/A

o

A

⁰

// // B

⁰

// // B

⁰

/A

⁰

,

si les lignes sont des suites exactes courtes et les fl`eches verticales externes dans wC, alors la fl`eche verticale du milieu ( au niveau des extensions ) est aussi dans wC.

D´ efinition : Soit C une cat´egorie de Waldhausen.

Notons Fl( C ) sa “ cat´egorie des fl`eches ”.

Et soit F

1

( C ) sa “ cat´egorie des cofibrations ”.

Elles sont munies de structures de cat´egorie de Waldhausen exemplaires : A

^f

//

u

B

v

C

_g

// D

Dans F l( C ), une fl`eche (u, v) de f vers g est un diagramme commu- tatif. Une ´equivalence faible est un diagramme o` u u et v sont dans w C . Une cofibration est un diagramme o` u u et v sont dans co C . E //

ⁱ

//

α

F

α⁰

β

y G // _

ⁱ⁰

_ //

$$

j

//

Z

γ

H

Dans F

1

( C ), une fl`eche (α, β) de i vers j est un diagramme commutatif. Une ´equivalence faible est un diagramme o` u α et β sont dans w C . Une cofibration est un diagramme o` u α et γ sont dans co C ( donc aussi α

⁰

et β ! ) : cette condition ´equivaut ` a demander que le conoyau de la fl`eche (α, β) ∈ coF

1

( C ) soit encore une cofibration.

On a alors 2 foncteurs exacts (s, b : Fl( C ) → C ) appel´es “ source ” et “ but ”, qui ` a toute fl`eche (f : A → B) associent respectivement : s(f ) = A et b(f ) = B.

On appelle “ foncteur-cylindre ” T la donn´ee d’un quadruplet (T, j

1

, j

2

, p) form´e d’un foncteur (T : F l( C ) → C ) et de trois transformations naturelles (j

1

: s → T ), (j

2

: b → T ) et (p : T → b) tel que pour toute fl`eche (f : A → B) de C , on a A

^j1

//

f

D D D D D !!

D D T (f )

p

j2

B

oo

zz zz zz z zz zz zz z B

v´erifiant : [Cyl1] le foncteur (Fl( C ) // F

1

( C )) d´efini par : [f // (A ∨ B //

j1∨j2

// T (f ))]

est exact pour les structures ci-dessus.

[Cyl2] T ( ∗

^f

// A ) = (A, f, Id

A

, Id

A

).

Le deuxi`eme type d’axiomes relie alors le foncteur-cylindre ( quand il existe ) et la classe des ´equivalence faibles :

[Cylindre] ∀f ∈ F l(C), (p : T (f )

^∼

// B ) ∈ wC.

Enfin un troisi`eme type d’axiomes, appel´es “ hypoth`eses d’approximation ”, concerne un foncteur (F : A → B) “ exact ” entre 2 cat´egories de Waldhausen :

[App1] ∀α ∈ F lA, (α ∈ wA ⇐⇒ F (α) ∈ wB).

[App2] ∀A ∈ ObA,

∀(β : F (A) → B) ∈ F lB,

∃(ι : A → A

⁰

) ∈ F lA,

∃(θ : F (A

⁰

)

^∼

// B ) ∈ wB

telles que le diagramme ` a droite commute :

F (A)

β

F(ι)

// F (A

⁰

)

θ ∼

{{ww ww ww ww ww ww

B

.

Remarque : D’apr`es une observation de Thomason, si A poss`ede un foncteur-

cylindre, et si la classe wA v´erifie l’axiome [Cylindre], alors il est inutile d’exiger

que ι soit une cofibration dans l’axiome [App2].

1.2 Th´ eor` emes fondamentaux

Dans ce cadre, voici les 3 th´eor`emes principaux, tir´es de [Wal85] : Th´ eor` eme 1 [Additivit´ e]

Soit C une cat´egorie de Waldhausen, on lui associe naturellement la cat´egorie E(C) de ses suites exactes courtes. Alors le foncteur [ (A // // C // // B) 7→ (A, B)]

induit une ´equivalence d’homotopie : K(E(C), w)

^∼

// K(C, w) × K(C, w) . Corollaire 1 .

Soient A, B deux cat´egories de Waldhausen, et soient ( f, g, h : A → B ) trois foncteurs exacts, tels que pour tout objet A de A, on ait une suite exacte courte ( f (A) // // g(A) // // h(A) ) naturelle en A, alors au niveau des groupes positifs de K-th´eorie alg´ebrique, on a l’´egalit´e suivante : [(g

∗

= f

∗

+h

∗

) : K

∗

(A) → K

∗

(B)].

Th´ eor` eme 2 [Fibration]

On consid`ere une cat´egorie avec cofibrations C munie d’un foncteur-cylindre et de deux classes d’´equivalences faibles (vC ⊂ wC), telle que wC v´erifie les

axiomes [Cylindre], [Saturation] et [Extension]. Notons C

^w

= {A ∈ C|(∗ → A) ∈ wC}.

Alors K(C

^w

, w) est contractile, et on a la “ fibration homotopique ” suivante : [ K(C

^w

, v) // // K(C, v) // // K(C, w) ].

Th´ eor` eme 3 [Approximation]

Soient A, B deux cat´egories de Waldhausen, avec wA, wB v´erifiant l’axiome de [Saturation], A poss´edant un foncteur-cylindre et wA v´erifiant l’axiome du [Cylindre]. On consid`ere un foncteur exact (F : A → B) v´erifiant les deux hypoth`eses d’approximation [App1] et [App2]. Alors le foncteur induit au niveau des spectres de K-th´eorie est une ´equivalence d’homotopie : K(A)

^∼

// K(B) . Pour les cat´egories exactes E de D. Quillen, et la structure usuelle de Waldhausen associ´ee : ( coE = d´ebuts de suites exactes de E ), et ( wE = isomorphismes ) ; on dispose de trois th´eor`emes suppl´ementaires tr`es utiles, tir´es de [Qui73].

Th´ eor` eme 4 [Cofinalit´ e]

Soit A une petite cat´egorie exacte, et (B ⊂ A) une sous-cat´egorie additive pleine, contenant 0 et stable par extensions dans A. On dit que B est “ cofinale

” dans A si pour tout objet A de A, il existe un suppl´ementaire A

⁰

dans A tel que la somme directe (A ⊕ A

⁰

) appartienne ` a B. Notons alors G la cat´egorie associ´ee au groupe : G = Coker(K

0

(B) → K

0

(A)). Alors on a une fibration homotopique : [ K(B) // // K(A) // // G ]. En particulier elle induit un isomor- phisme sur les groupes [K

i

(B) ' K

i

(A)], pour tout i ≥ 1, et une injection au dernier cran [ K

0

(B) // // K

0

(A) ].

Remarque : La notion de “ cofinalit´e ” a ´et´e simplifi´ee grˆ ace ` a une remarque

de D. Grayson. La d´emonstration est essentiellement une application du lemme

B de Quillen sur les espaces simpliciaux.

Th´ eor` eme 5 [D´ evissage]

Soit A une petite cat´egorie ab´elienne, et (B ⊂ A) une sous-cat´egorie pleine, non-vide, stable par sous-objets, quotients et produits finis dans A. On suppose que tout objet M de A admet une filtration ( 0 = M

0

⊂ M

1

⊂ . . . ⊂ M

n

= M ) telle que le gradu´e M

j

/M

j−1

appartienne ` a B, pour tout indice j. Alors l’inclusion induit une ´equivalence d’homotopie : K(B)

^∼

// K(A) .

Th´ eor` eme 6 [R´ esolution]

Soit M une petite cat´egorie exacte, et (P ⊂ M) une sous-cat´egorie pleine, contenant 0, et v´erifiant les trois propri´et´es de stabilit´e suivantes :

On consid`ere la suite exacte

(1) : 0 → M

⁰

→ M → M

⁰⁰

→ 0

Si on suppose M

⁰

, M

⁰⁰

dans P, alors M y est aussi.

Si on suppose M dans P, alors M

⁰

y est aussi.

Enfin pour tout objet M

⁰⁰

de M, il existe une suite exacte (1) avec M dans P.

Alors, l’inclusion induit une ´equivalence d’homotopie : K(P)

^∼

// K(M) . Remarque : Trouver une g´en´eralisation au cadre des cat´egories de Waldhausen de ces th´eor`emes de “ d´evissage ” et “ r´esolution ” reste un probl`eme d’actualit´e.

1.3 Une application utile

Nous pr´esentons ici comme application des th´eor`emes g´en´eraux pr´ec´edents une proposition classique, due ` a Gillet-Waldhausen :

Proposition 1 .

Soit R un anneau. Alors si on note P

_R

la cat´egorie des C-modules projectifs de type fini, C

^f_R

la cat´egorie des R-complexes finis, et C

R

la cat´egorie des R-complexes homotopiquement finis, alors on a le mˆeme espace de K-th´eorie K(R) ' K( P

_R

, isom) ' K(C

^f_R

, qis) ' K(C

R

, qis).

D´ emonstration :

1<sup>ere`</sup> ´etape : On applique le th´eor`eme d’approximation au foncteur d’inclusionC^f_R⊂C_R. [Saturation] : Les quasi-isomorphismes sont les fl`eches qui induisent des isomorphismes en homologie ; or les isomorphismes v´erifient cet axiome.

[Cylindre] : Ces deux cat´egories poss`edent un foncteur-cylindre classique. Pour toute fl`eche (f∗:A∗→B∗), on pose [T(f)n=An⊕An−1⊕Bn] muni de la diff´erentielle :d(x, y, z) = (dx+y,−dy, dz−f(y)), et des inclusions canoniques (j1 :A→T(f)) et (j2 :B→T(f)).

Le conoyau dej2 est alors le cˆoneCA, qui est contractile, doncj2 est un qis. La projection (p:T(f)→B) v´erifie [p◦j2=IdB] donc par saturation,pest un qis.

[App1] : Il est ´evident que le foncteur d’inclusion est exact, et pr´eserve et d´etecte les qis.

[App2] : Soit A∗ fini et B∗ homotopiquement fini, avec une fl`eche (f∗ : A∗ → B∗) fix´ee.

Alors il existeB_∗⁰ fini avec (h : B_∗⁰ →B∗) ´equivalence d’homotopie. On remonte la fl`eche f en une fl`eche (g :A→B⁰) grˆace `a l’inverse homotopique deh. Alors (h◦g ∼f) donc (f−h◦g) se factorise par le cˆoneCA, en (e◦i). On pose enfin (α:A→CA⊕B⁰= (i, g)) et (β:CA⊕B⁰= (e, h)) ; on a bien (β◦α=f) etβest un qis, et (CA⊕B⁰) est fini.

Ainsi nous avons v´erifi´e toutes les hypoth`eses du th´eor`eme d’approximation de Waldhausen, donc le foncteur d’inclusion induit une ´equivalence en K-th´eorie :K(C^f_R, qis)'K(CR, qis).

2^i`eme´etape : Notons C^N_M la sous-cat´egorie pleine de C^f_R form´ee des R-complexes C∗ tels

que C_k est nul si k 6∈ [M, N]. La suspension induit bien sˆur une ´equivalence [K(C^N_M) ' K(C^N−M₀ )]. Il suffit donc de consid´erer les cat´egoriesCⁿ₀. On va raisonner par r´ecurrence sur l’indicen.

On utilise le th´eor`eme de fibration avec pour cofibrations : (coCⁿ₀ = morphismes de complexes (Ai

// //

Bi) injectifs en chaque degr´e, dont le conoyau Bi/Ai est dans

P

_R ), et comme classes d’´equivalences faibles : (vCⁿ₀ = isomorphismes en chaque degr´e ), et (wCⁿ₀ = quasi- isomorphismes ). On sait d´ej`a que wCⁿ₀ v´erifie les axiomes de [Saturation] et [Cylindre].

Elle v´erifie aussi l’axiome d’[Extension] d’apr`es le lemme des 5. On obtient donc la fibration homotopique sur les spectres de K-th´eorie : [K(C^n,w₀ , v)

// //

K(Cⁿ₀, w)

// //

K(Cⁿ₀, w) ].

Consid´erons la suite exacte : [ (. . .→C2→Ker(d1)→0)

// //

C∗

// //

(0→C0→C0→0) ].

Elle permet, via le th´eor`eme d’additivit´e, de montrer que le foncteur projection sur le terme (p0:C∗7→C0) induit une suite exacte scind´ee : [K∗(C^n,w₁ , v)

// //

K∗(C^n,w₀ , v) ^p0

// //

K∗(R) ].

Consid´erons alors la suite exacte : [ (0→C0→0)

// //

C∗

// //

(0→Cn→. . .→C1→0) ].

Elle permet, via le th´eor`eme d’additivit´e, de montrer que le foncteur projection sur le terme (p0:C∗7→C0) induit une suite exacte scind´ee : [K∗(Cⁿ₁, v)

// //

K∗(Cⁿ₀, v) ^p0

// //

K∗(R) ].

On obtient ainsi le diagramme commutatif suivant, o`u le carr´e not´e pest “ exact ” ( dans la cat´egorie ab´elienne des spectres, c’est `a la fois un pullback et un pushout homotopiques ) :

K∗(C^n−1,w₀ , v)

// //

o

K∗(Cⁿ⁻¹₀ , v)

// //

o

K∗(Cⁿ⁻¹₀ , w)

o

K∗(C^n,w₁ , v)

// //

K∗(Cⁿ₁, v)

// //

K∗(Cⁿ₁, w)

o

p K∗(C^n,w₀ , v)

// //

K∗(Cⁿ₀, v)

// //

K∗(Cⁿ₀, w)

K∗(R) K∗(R)

Ainsi on d´emontre, par r´ecurrence sur l’indicen, que [K∗(Cⁿ₀, w)'K∗(C⁰₀, w)'K∗(R)].

Enfin on conclut : [K∗(C^f_C)'K∗( lim−→

n∈N

Cⁿ_−n)'lim−→

n∈N

K∗(Cⁿ_−n)'lim−→

n∈N

K∗(C²ⁿ₀ )'K∗(R)].

1.4 Architecture de l’article [Wal78]

1.4.1 Motivation g´ eom´ etrique

Soit G un groupe, et R un anneau. Waldhausen ´etudie des conditions pour que le morphisme de Ω-spectres : BG

⁺

∧ K(R) → K(R[G]) ( c’est-` a-dire la fameuse

“ assembly map ” ) soit un isomorphisme. Pour cela, il construit une fibration homotopique : (BG

⁺

∧ K(R) → K(R[G]) → W h

^R

(G)), naturelle en (R, G), et il d´efinit ainsi les groupes relatifs W h

^R_i

(G) = π

i

W h

^R

(G) qui prolongent les groupes de Whitehead usuels : en effet, W h

^Z₀

(G) = ˜ K

0

( Z G) et W h

^Z₁

(G) = W h(G) [ tout l’int´erˆet de consid´erer tout R est de pouvoir prendre aussi sa suspension ΣR ]. Pla¸cons-nous alors dans le cas d’une somme amalgam´ee :

H // //

G

0

y

G

1

// G

1

∗

H

G

0

Alors on a une suite de Mayer-Vietoris pour la th´eorie homologique associ´ee au Ω-spectre BG

⁺

∧ K( Z ). Donc si on a aussi une suite de Mayer-Vietoris pour K( Z [.]), alors on en d´eduit une autre pour W h

∗

(.). Dans ce cas, la nullit´e de W h

∗

(H),W h

∗

(G

0

) et W h

∗

(G

1

) implique celle de W h

∗

(G

1

∗

H

G

0

). Afin de d´emontrer ces th´eor`emes dans le bon cadre, Waldhausen remplace les notions de “ somme amalgam´ee ” et “ HNN-extension ” de groupes, par les notions de “ produit libre ” et “ extension de Laurent ” pour les anneaux de groupes correspondants [ il s’av`ere alors qu’un 3

^i`eme

cas se traite de la mˆeme fa¸con, celui d’une “ extension polynomiale ” ]. Ainsi posant (C = Z H ), (A = Z G

0

), (B = Z G

1

), et (R = Z G

1

∗

H

G

0

) il obtient le pushout d’anneaux :

C // //

A

y

B // R

avec des injections pures, (A = C ⊕ A

⁰

) comme C-bimodules, A

⁰

libre ` a gauche, et (B = C ⊕ B

⁰

) comme C-bimodules, B

⁰

libre ` a gauche. Waldhausen montre ensuite la nullit´e de W h

∗

(G) sur une certaine classe de groupes, en regardant l’excision au niveau de la K-th´eorie dans les 3 cas de “ produit libre g´en´eralis´e ” ( modulo une hypoth`ese de r´egularit´e, et de coh´erence sur l’anneau de base ).

1.4.2 Description des 3 cas ´ etudi´ es

1. Produit libre

On consid`ere 3 anneaux (A, B, C) munis d’injections (α : C → A) et (β : C → B) “ pures ” [ c’est-` a-dire qu’on suppose les scindages suivants : (A = α(C) ⊕ A

⁰

) et (B = β(C) ⊕ B

⁰

) comme C-bimodules ]. On suppose de plus que A

⁰

et B

⁰

sont libres ` a gauche. On regarde alors le pushout ( en fran¸cais, “ carr´e cocart´esien ” ) d’anneaux suivant :

C

^α

//

β

A

y

B // R

On a la d´ecomposition suivante en C−bimodules :

R = C ⊕ A

⁰

⊕ B

⁰

⊕ (A

⁰

⊗

C

B

⁰

) ⊕ (B

⁰

⊗

C

A

⁰

) ⊕ (A

⁰

⊗

C

B

⁰

⊗

C

A

⁰

) ⊕ . . ..

2. Extension de Laurent

On consid`ere 2 anneaux (C, A) munis de 2 injections pures (α, β : C → A) de compl´ements A

⁰

et A

⁰⁰

libres ` a gauche. On regarde l’ “ extension de Laurent ” R : c’est un anneau contenant A et un ´el´ement inversible t ( formel ) tel que : [α(c)t = tβ(c), ∀c ∈ C]. On montre une d´ecomposition en C−bimodules analogue ` a celle du 1

^er

cas : R est la somme directe de C et de tous les produits tensoriels form´es par les C-bimodules

α

A’

α

,

β

A

α

,

β

A”

β

,

α

A

β

, o` u 2 indices adjacents doivent ˆetre diff´erents.

3. Extension polynomiale

On consid`ere un anneau C et un C-bimodule S libre ` a gauche. On note

R l’alg`ebre tensorielle classique C[S]. On a la d´ecomposition suivante en C−bimodules : R = C ⊕ S ⊕ (S ⊗

C

S) ⊕ (S ⊗

C

S ⊗

C

S) ⊕ . . .

1.4.3 Suites exactes

Dans les 3 cas ci-dessus, Waldhausen donne une description des R−modules en termes de modules sur les anneaux interm´ediaires : D´ efinition 1 .

Nous allons d’abord d´efinir la notion de “ splitting diagram ”.

(1) : c’est la donn´ee de modules ` a droite M

A

, M

B

, M

C

sur les anneaux A, B, C, et d’un fl`eche R-lin´eaire [K : (M

A

⊗

A

R) ⊕ (M

B

⊗

B

R) → (M

C

⊗

C

R)] telle que K(M

A

) ⊂ (M

C

⊗A) et K(M

B

) ⊂ (M

C

⊗B). On peut aussi ´ecrire : K = K

α

−K

β

avec K

α

(M

B

) = 0 et K

β

(M

A

) = 0.

(2) : c’est la donn´ee de modules M

A

, M

C

sur les anneaux A, C , et d’une fl`eche R- lin´eaire [K : (M

A

⊗

A

R) → (M

C

⊗

C

R)] telle que K(M

A

) ⊂ M

C

⊗

C

(A⊕tA). On peut ´ecrire K = K

α

−K

β

avec K

α

(M

A

) ⊂ (M

C

⊗

C

A) et K

β

(M

A

) ⊂ (M

C

⊗

C

tA).

(3) : c’est la donn´ee de modules M

C

, M

_C⁰

sur l’anneau C, et d’une fl`eche R- lin´eaire [K : (M

C

⊗

C

R) → (M

_C⁰

⊗

C

R)] telle que K(M

C

) ⊂ M

_C⁰

⊗

C

(C ⊕ S).

On peut ´ecrire K = K

0

− K

1

avec K

0

(M

C

) ⊂ M

_C⁰

et K

1

(M

C

) ⊂ (M

_C⁰

⊗

C

S).

D´ efinition 2 .

Une pr´esentation de Mayer-Vietoris est une suite exacte courte dans M od

R

dont la fl`eche de droite est le morphisme R-lin´eaire d’un “ splitting diagram ”.

Les pr´esentations de Mayer-Vietoris forment une cat´egorie de Waldhausen : (1) Un morphisme f est la donn´ee de 4 fl`eches (f

R

: M → N ) ∈ F l(M od

R

), (f

A

: M

A

→ N

A

) ∈ F l(M od

A

), (f

B

: M

B

→ N

B

) ∈ F l(M od

B

)

et (f

C

: M

C

→ N

C

) ∈ F l(M od

C

), formant un diagramme commutatif : M

fR

// // M

A

⊗

A

R ⊕ M

B

⊗

B

R // //

0

@

f

A

⊗

R

0

0 f

B

⊗

R

1 A

M

C

⊗

C

R

fC⊗ C

N // // N

A

⊗

A

R ⊕ N

B

⊗

B

R // // N

C

⊗

C

R

Une ´equivalence faible est une fl`eche f = (f

R

, f

A

, f

B

, f

C

) dont les 4 composantes sont des isomorphismes. Une cofibration est une fl`eche f , dont les 4 composantes sont des cofibrations, et dont le conoyau est encore une pr´esentation de Mayer- Vietoris ( condition semblable ` a la structure de F

1

(C) ).

(2) Un morphisme f est la donn´ee de 3 fl`eches (f

R

: M → N ) ∈ F l(M od

R

), (f

A

: M

A

→ N

A

) ∈ F l(M od

A

) et (f

C

: M

C

→ N

C

) ∈ F l(M od

C

)

formant un diagramme commutatif : M

fR

// // M

A

⊗

A

R

fA⊗ R

// // M

C

⊗

C

R

fC⊗ R

N // // N

A

⊗

A

R // // N

C

⊗

C

R

Une ´equivalence faible est une fl`eche f = (f

R

, f

A

, f

C

) dont les 3 composantes

sont des isomorphismes. Une cofibration est une fl`eche f , dont les 3 composantes

sont des cofibrations, et dont le conoyau est encore une pr´esentation de Mayer- Vietoris ( condition semblable ` a la structure de F

1

(C) ).

(3) Un morphisme f est la donn´ee de 3 fl`eches (f

R

: M → N ) ∈ F l(M od

R

), (f

C

: M

C

→ N

C

) ∈ F l(M od

C

) et (f

_C⁰

: M

_C⁰

→ N

_C⁰

) ∈ F l(M od

C

)

formant un diagramme commutatif : M

fR

// // M

C

⊗

C

R

fC⊗ R

// // M

⁰_C

⊗

C

R

f_C⁰⊗ _R

N // // N

C

⊗

C

R // // N

_C⁰

⊗

C

R

Une ´equivalence faible est une fl`eche f = (f

R

, f

C

, f

_C⁰

) dont les 3 composantes sont des isomorphismes. Une cofibration est une fl`eche f , dont les 3 compo- santes sont des cofibrations, et dont le conoyau est encore une pr´esentation de Mayer-Vietoris ( condition semblable ` a la structure de F

1

(C) ).

Proposition 2 [Classification]

On se place dans chacun des 3 cas ´etudi´es ci-dessus, avec ses hypoth`eses. Soit M un R-module ( ` a droite ). Alors il existe des pr´esentations de Mayer-Vietoris : (1) 0 → M → M

A

⊗

A

R ⊕ M

B

⊗

B

R → M

C

⊗

C

R → 0

(2) 0 → M → M

A

⊗

A

R → M

C

⊗

C

R → 0 (3) 0 → M → M

C

⊗

C

R → M

_C⁰

⊗

C

R → 0

De plus, avec des hypoth`eses de finitude ( si l’anneau de base C est noeth´erien, et pour le 3

^i`eme

cas, si S est de pr´esentation finie comme C-module ` a droite ) si M est de pr´esentation finie, on peut garder la mˆeme condition pour tous les autres modules M

C

, M

A

, M

B

, M

C⁰

qui interviennent dans les suites exactes.

1.4.4 Cat´ egories de Mayer-Vietoris

D´ efinition : On notera MV

la cat´egorie des pr´esentations de Mayer-Vietoris () ci-dessus, o` u chacun des modules cit´es est projectif de type fini sur son anneau de base. Il y a un foncteur oubli canonique (f

: MV

→ P

_R

), qui ` a toute suite exacte () associe le R-module M. On notera P

^∗,_R

= Im(f

) et V

= Ker(f

).

Le terme V est la fibre de f au-dessus de l’objet nul ( ses ´el´ements sont appel´es les “ admissible split modules ” dans le jargon de Waldhausen ).

Proposition 3 .

Dans les 3 cas ´etudi´es, la cat´egorie P

^∗,_R

est cofinale dans P

_R

.

On en d´eduit dans chaque cas que l’inclusion induit un isomorphisme pour tout indice (i ≥ 1), K

i

(P

^∗,_R

)

^∼

// K

i

(P

R

) , et une inclusion K

0

(P

^∗,_R

) // // K

0

(P

R

) . Th´ eor` eme 7 .

On a la fibration homotopique : [ K( V

) // // K( MV

) // // K( P

^∗,_R

) ].

Th´ eor` eme 8 .

Les diff´erents foncteurs oublis induisent des ´equivalences d’homotopies :

(1) K(MV

¹

)

^∼

// K(A) × K(B) × K(C) .

(2) K(MV

²

)

^∼

// K(A) × K(C) . (3) K( MV

³

)

^∼

// K(C) × K(C) .

Remarques : Dans la proposition 3, on voit que l’image de f

contient les libres.

Il ne reste alors qu’` a appliquer le th´eor`eme de cofinalit´e. Dans le th´eor`eme 7, il suffit de v´erifier les hypoth`eses du th´eor`eme de fibration. Enfin, le th´eor`eme 8 se r`egle essentiellement grˆ ace au th´eor`eme d’additivit´e.

1.4.5 Les 3 cat´ egories ^N il

Dans chacun des 3 cas d´ecrits ci-dessus, Waldhausen montre une ´equivalence de cat´egories entre la cat´egorie de diagrammes V et une cat´egorie Nil dont les objets sont des modules projectifs munis de fl`eches nilpotentes :

u w w w w w w w w w w w w w w w w w w w v

Produit libre :

N il(C; A

⁰

, B

⁰

) est la cat´egorie des quadruplets (P, Q, p, q) o` u P et Q sont deux C-modules ` a droite projectifs, (p : P → Q ⊗

C

A

⁰

) et (q : Q → P ⊗

C

B

⁰

) deux fl`eches nilpotentes ( c’est-` a-dire (p ◦ q)

ⁿ

est nulle pour n assez grand ).

Extension de Laurent :

Nil(C;

α

A’

α

,

β

A”

β

;

β

A

α

,

α

A

β

) est la cat´egorie des quadruplets (P, Q, p, q) o` u P et Q sont deux C-modules ` a droite projectifs, (p : P → (Q ⊗

C α

A’

α

) ⊕ (P ⊗

C β

A

α

)) et (q : Q → (P ⊗

C β

A”

β

)⊕(Q⊗

C α

A

β

)) deux fl`eches nilpotentes ( c’est-` a-dire (p ⊕ q)

ⁿ

est nulle pour n assez grand ).

Extension polynomiale :

Nil(C; S) est la cat´egorie des paires (M, α) o` u M est un C-module ` a droite projectif, et (α : M → M ⊗S) une fl`eche nilpotente ( c’est-` a-dire α

ⁿ

est nulle pour n assez grand ).

}







































~

Proposition 4 .

a. Il existe un C × C-bimodule X et il existe une ´equivalence de cat´egories : Nil(C; A

⁰

, B

⁰

) ∼ = Nil(C×C; X), induite par le foncteur d´efini par : [(P, Q, p, q) 7→

(P ⊕ Q, p ⊕ q)]. Ce foncteur induit donc une ´equivalence au niveau des spectres connexes de K-th´eorie alg´ebrique.

b. Il existe un C × C-bimodule Y et il existe une ´equivalence de cat´egories : Nil(C;

α

A’

α

,

β

A”

β

;

β

A

α

,

α

A

β

) ∼ = Nil(C × C, Y ), induite par le foncteur d´efini par : [(P, Q, p, q) 7→ (P ⊕ Q, p ⊕ q)]. Ce foncteur induit donc une ´equivalence au niveau des spectres connexes de K-th´eorie alg´ebrique.

D´ emonstration :

a. Il suffit de poserX=A⁰⊕B⁰, o`u le premier facteurCagit surA<sup>0</sup>`a droite viaα, et surB⁰

`

a gauche viaβ; les autres actions sont triviales. Le deuxi`eme facteurC agit surA<sup>0</sup> `a gauche viaα, et surB⁰ `a droite viaβ. Les autres actions sont triviales.

b. On poseY = αA’α⊕βA”β⊕βAα⊕αAβ, o`u le premier facteurCagit sur les termes via α, et le deuxi`eme viaβ( la notation est suggestive ; les autres actions sont triviales ).

Les v´erifications sont ´evidentes. On verra au chapitre 4.4 comment d´efinir des spectres de K-th´eorie non-connexes : dans ce cadre, les ´equivalences ci-dessus se prolongent naturellement aux spectres “ g´en´eralis´es ”.

1.4.6 L’obstruction ` a l’excision : KNil ^˜

• Dans le cas d’une “ extension polynomiale ”, on a le foncteur “ oubli ” [f : N il(C; S) → M od

C

] d´efini par [(M, α) 7→ M]. Il poss`ede une section [i : M od

C

→ N il(C; S)] d´efinie par [M 7→ (M, 0)]. Par le th´eor`eme d’additi- vit´e, on obtient donc le scindage : KNil(C; S) = K(C) × KNil(C; ˜ S).

• Dans le cas d’un “ produit libre ” d’anneaux, on a le foncteur “ oubli ” [f : Nil(C; A

⁰

, B

⁰

) → M od

C

× M od

C

] d´efini par [(P, Q, p, q) 7→ (P, Q)]. Il poss`ede alors une section [i : M od

C

× M od

C

→ Nil(C; A

⁰

, B

⁰

)] d´efinie par [(P, Q) 7→ (P, Q, 0, 0)]. Par le th´eor`eme d’additivit´e, on obtient donc le scindage suivant : KNil(C; A

⁰

, B

⁰

) = K(C) × K(C) × KNil(C; ˜ A

⁰

, B

⁰

).

• Dans le cas d’une “ extension de Laurent ”, on a le foncteur “ oubli ”

[f :

N

il(C;αA’α,βA”β;βAα,αAβ)→M odC×M odC]

d´efini par [(P, Q, p, q) 7→ (P, Q)].

Il poss`ede une section

[i:M odC×M odC→

N

il(C;αA’α,βA”β;βAα,αAβ)]

d´efinie par [(P, Q) 7→ (P, Q, 0, 0)]. Par le th´eor`eme d’additivit´e, on obtient le scindage :

K

N

il(C;αA’α,_βA”β;βAα,_αAβ) =K(C)×K(C)×K˜

N

il(C;αA’α,_βA”β;βAα,_αAβ)

.

• Enfin, tout objet de type fini de l’une des cat´egories N il poss`ede une filtration finie par des sous-objets de type fini, de quotients appartenant tous ` a Im(i).

Th´ eor` eme 9 [Obstruction]

On se place dans chacun des cas ´etudi´es en 1.4.2 [ avec ses hypoth`eses ]. De plus, on supposera dans le 3

^i`eme

cas, que S est projectif de type fini ` a droite.

u w w w w w w w w w w w w w w w v

Produit libre :

Le spectre ΩK(R) est homotopiquement ´equivalent ` a la somme du spectre d’obstruction K ˜ N il(C; A

⁰

, B

⁰

)

et de la fibre homotopique de [(K(α), −K(β)) : K(C) → K(A) × K(B)].

Extension de Laurent :

Le spectre ΩK(R) est homotopiquement ´equivalent ` a la somme du spectre d’obstruction K ˜ N il(C;

α

A’

α

,

β

A”

β

;

β

A

α

,

α

A

β

) et de la fibre homotopique de [(K(α) − K(β)) : K(C) → K(A)].

Extension polynomiale :

Le spectre ΩK(R) est homotopiquement ´equivalent ` a la somme du spectre d’obstruction KNil(C; ˜ S) et du spectre ΩK(C).

}































~

1.4.7 Le cas coh´ erent r´ egulier

D´etaillons la r´eduction du cas du “ produit libre ” d’anneaux, sous l’hypoth`ese suppl´ementaire que l’anneau de base C est coh´erent r´egulier.

1

^ere`

´etape :

Notons M

^pf_C

la cat´egorie des C-modules de pr´esentation finis. Comme C est r´egulier coh´erent, c’est une cat´egorie ab´elienne, o` u tout objet a une dimension projective finie. Par le th´eor`eme de r´esolution, on a donc : K(P

C

) ' K(M

^pf_C

).

2

^i`eme

´etape :

Notons V

^pf

la mˆeme cat´egorie de diagrammes que V mais o` u tous les modules qui interviennent sont de pr´esentation finie. Tout objet de V

^pf

peut ˆetre r´esolu par des objets de V ( toujours car C est r´egulier coh´erent ). Par le th´eor`eme de r´esolution, on a donc : K(V) ' K(V

^pf

).

3

^i`eme

´etape :

Tout objet de V

^pf

admet une filtration finie de quotients dans i(M

^pf_C

× M

^pf_C

).

En effet, dans la filtration ´evoqu´ee plus haut, tout sous-objet d’un objet de pr´esentation finie est de pr´esentation finie ( car C est coh´erent ). Par le th´eor`eme de d´evissage, on a donc : K( M

^pf_C

) × K( M

^pf_C

) ' K( V

^pf

).

4

^i`eme

´etape :

Le diagramme commutatif : K( P

_C

) × K( P

_C

) //

o

K( V )

o

K( M

^pf_C

) × K( M

^pf_C

)

^∼

// K(V

^pf

)

conclut.

Th´ eor` eme 10 [R´ eduction]

On garde les hypoth`eses du th´eor`eme d’[Obstruction]. Supposons de plus, que l’anneau de base C est “ coh´erent r´egulier ” ( cf rappels au chapitre 5.1 ). Alors chacun des spectres d’obstruction KNil(C; ˜ . . .) ci-dessus devient contractile.

u w w w w w w w w w w w w w w w w w v

Produit libre :

La fibration homotopique : ( ΩK(R) // // K(C)

^(α,−β)

// // K(A) × K(B) ) fournit une suite exacte longue d’homotopie :

(. . . K

i

(C) → K

i

(A) ⊕ K

i

(B) → K

i

(R) → K

i−1

(C) . . .).

Extension de Laurent :

La fibration homotopique : ( ΩK(R) // // K(C)

^α−β

// // K(A) ) fournit une suite exacte longue d’homotopie :

(. . . K

i

(C) → K

i

(A) → K

i

(R) → K

i−1

(C) . . .).

Extension polynomiale :

Ici l’´equivalence de spectres : ΩK(R) ' ΩK(C)

induit des isomorphismes : K

i

(R) ' K

i

(C), pour tout i > 0.

}



































~

1.4.8 Classe de Waldhausen

D´ efinition 3 .

Soit la plus petite classe de groupes v´erifiant : (1) Le groupe trivial 1 est dans .

(2) Si Z [G

0

] est r´egulier coh´erent, G

1

est dans , et α, β sont 2 injections, alors la HNN-extension de ( G

0 ^α

// // //

β

// G

1

) est dans .

(3) Si Z [G

0

] est r´egulier coh´erent, G

1

, G

2

sont dans , et α, β sont 2 injec- tions, alors la somme amalgam´ee G

0

//

^α

//

β

G

1

y

G

2

// (G

1

∗

G0

G

2

)

est dans .

(4) est stable par limite inductive filtrante.

Remarque : La mˆeme classe est obtenue si dans les cas (2) et (3) de la d´efinition ci-dessus, on impose la condition suppl´ementaire que G

0

soit dans . Th´ eor` eme 11 .

La classe est stable par sous-groupe et contient :

(a) les groupes libres

(b) les groupes ab´eliens libres ( et donc les groupes ab´eliens sans torsion ) (c) les poly- Z -groupes

(d) les groupes sans torsion ` a une relation

(e) les groupes fondamentaux des surfaces autres que le plan projectif (f ) les groupes fondamentaux des vari´et´es de Hecke irr´eductibles

(g) les groupes fondamentaux des sous-vari´et´es de la sph`ere de dimension 3 (h) tout sous-groupe d’un groupe de

Th´ eor` eme 12 .

Soit R est un anneau noeth´erien r´egulier, et G un groupe dans la classe

de Waldhausen, alors le spectre connexe W h

^R

(G) est contractile. Autrement

dit, la K-th´eorie alg´ebrique K(R[G]) se comporte comme la th´eorie homologique

associ´ee au Ω-spectre BG

⁺

∧ K(R) par rapport ` a la variable G des groupes

dans la classe ; en particulier, elle v´erifie le th´eor`eme d’excision, ce qui nous

donne des suites exactes longues de Mayer-Vietoris ( d’o` u certaines facilit´es

calculatoires ).

Chapitre 2

Diverses cat´ egories de complexes

D´esormais, afin de travailler avec des cat´egories de Waldhausen munies de foncteurs-cylindres, et de poss´eder un structure de cat´egorie triangul´ee don- nant aux th´eor`emes de localisation leur vrai cadre, nous allons nous appliquer ` a syst´ematiquement remplacer les modules de M od

R

par des complexes de C

_R

, et les fl`eches nilpotentes α par des multicomplexes de C

_D

0

, B , A , ou H . Nous verrons alors dans ce nouveau langage plusieurs traductions de la cat´egorie N il(R; S) de Waldhausen.

2.1 Les complexes usuels C _R

D´ efinition 4 .

Soit R l’anneau de base. On fixe S un bimodule, plat ` a gauche.

On note M od

R

la cat´egorie des R-modules ` a droite.

On note C

_R

la cat´egorie des R-complexes projectifs.

On note P

_R

la cat´egorie des R-modules projectifs de type fini.

Soit C

^f

R

la cat´egorie des complexes projectifs B

∗

“finis” : L

i∈Z

B

i

∈ P

_R

.

On note C

_R

la cat´egorie des complexes projectifs A

∗

“homotopiquement finis” :

∃B

∗

∈ C

^f

R

, ∃(f : B

∗

→ A

∗

), ∃(g : A

∗

→ B

∗

), (f ◦ g ∼ Id

A

), (g ◦ f ∼ Id

B

).

Cette cat´egorie des complexes usuels C

_R

sera ` a la base de toutes nos construc- tions, car elle regroupe 3 propri´et´es tr`es utiles : d’abord elle fournit la K-th´eorie de l’anneau de base [ K( C

_R

, qis) = K(R) d’apr`es la propri´et´e 1 ], ensuite elle fait co¨ıncider les notions d’acyclicit´e et de contractibilit´e [ voir le chapitre 5.5, d’o` u des facilit´es de calcul d’objets locaux ], enfin elle poss`ede un foncteur-cylindre : D´ efinition 5 .

On consid`ere une fl`eche [f

∗

: A

∗

→ B

∗

] de C

_R

. Pour des espaces topologiques,

le cylindre g´eom´etrique T (f ) est form´e du produit A × I de l’espace de d´epart

par l’intervalle I = [0, 1], auquel on recolle en (t = 1) l’espace d’arriv´ee B en

assimilant (a, 1) avec f (a) ∈ B. Alg´ebriquement, cela donne une d´ecomposition :

T (f ) = (

0

⊗ A) ⊕(

1

⊗A) ⊕(η

0

⊗ B) avec 3 termes formels

0

et η

0

de degr´e 0 [ corres- pondant aux sommets (t = 0) et (t = 1) ] et

1

de degr´e 1 [ correspondant ` a l’arˆete I , de bord (

0

− η

0

) ]. Reste ` a d´efinir la diff´erentielle : d(

0

⊗ a) =

0

⊗ d

A

(a), puis d(η

0

⊗ b) = η

0

⊗ d

B

(b), et d(

1

⊗ a) =

(

0

⊗ a) ⊕ (

1

⊗ −d

A

(a)) ⊕ (η

0

⊗ −f (a)). A B

f (A) T(f )

A × I

f

Pour compl´eter cette structure de foncteur-cylindre, on a les deux inclusions (j

1

: A →

0

⊗ A) et (j

2

: B → η

0

⊗ B) et la projection (p : T (f ) → B) d´efinie par : [p(

0

⊗ a) = f (a), p(

1

⊗ a) = 0, et p(η

0

⊗ b) = b]. On v´erifie ais´ement que (p ◦ j

1

= f ) et (p ◦ j

2

= Id

B

). Cette construction g´eom´etrique est fonctorielle, et remplit les axiomes [Cyl1], [Cyl2] et [Cylindre] par rapport ` a la structure de cat´egorie de Waldhausen ( w C

_R

= qis, co C

_R

= mono de conoyau projectif ).

Une autre d´efinition plus compacte du foncteur-cylindre T (f ) est la suivante : [T (f )

n

= A

n

⊕ A

n−1

⊕ B

n

] de diff´erentielle d(x, y, z) = (dx + y, −dy, dz − f (y)).

2.2 Les D ₀ -complexes : C _D

0

, B , A , B _n , A _n

D´ efinition 6 . u

w w w w w w w w w w w w w v

On d´efinit la cat´egorie C

_D0

des D

₀

-complexes : A

∗

= ( 0 $$

λ0

66 A

1

((

λ1

66

α1

zz zz A

2

α2

vv vv ((

λ2

66 A

3

α3

vv vv ((

λ3

55 . . .

α4

vv vv ))

λn−1

55 A

n

αn

uu uu ))

λn

55 . . .

αn+1

uu uu )

o` u pour tout entier i, le complexe A

i

est projectif, la fl`eche ( A

i

//

^λi

// A

i+1

) est une “ cofibration ” de C

_R

:

un mono en chaque degr´e, de conoyau projectif, morphisme de chaˆınes, la fl`eche ( A

i+1

αi+1

// // A

i

⊗ S ) est un morphisme de chaˆınes,

de plus, on a la relation de compatibilit´e : [α

i+1

◦ λ

i

= (λ

i−1

⊗ Id

S

) ◦ α

i

].

Un morphisme de cette cat´egorie C

_D0

est alors la donn´ee, pour tout entier i, de morphismes de complexes (f

i

)

i≥0

de degr´e 0, faisant commuter les diagrammes :

A

i

//

^λi

//

fi

A

i+1 αi+1

// //

fi+1

A

i

⊗ S

fi⊗IdS

B

i

//

λi

// B

i+1 αi+1

// // B

i

⊗ S

On donne ` a la cat´egorie C

_D0

une structure de cat´egorie de Waldhausen suivant le mod`ele donn´e par F

1

( C ) : on pose w C

_D0

= {(f

i

)

i≥0

|∀i, f

i

∈ w C

_R

} et co C

_D0

= {(f

i

)

i≥0

|∀i, f

i

∈ co C

_R

et (B

i

`

Ai

A

i+1

→ B

i+1

) ∈ co C

_R

}. Cette condition

assure que le conoyau d’une fl`eche (f

i

)

i≥0

∈ co C

_D0

est encore un objet de C

_D0

.

Apr`es cette d´efinition conceptuelle, il est ais´e de d´efinir des variantes “ finies ”

ou “ nilpotentes ” de cette cat´egorie de multicomplexes, puis de les graduer.

D´ efinition 7 .

• On consid`ere la sous-cat´egorie pleine B de C

_D0

form´ee des D

₀

-complexes (A

∗

) o` u tous les complexes A

i

sont homotopiquement finis, et o` u les cofibrations λ

i

se stabilisent : [∃n, ∀i ≥ n, λ

i

∈ w C

_R

]. On notera A

∞

la limite stabilis´ee des A

i

suivant λ. Les objets de B seront appel´es les D

₀

-complexes “ finis ”.

• Soit A la sous-cat´egorie pleine de B form´ee des objets (A

∗

) tels que A

∞

est contractile. Les objets de A seront appel´es les D

₀

-complexes “ nilpotents ”.

• B et A h´eritent de la structure de cat´egorie de Waldhausen induite par celle de C

_D

0

. De plus, ces deux cat´egories sont naturellement filtr´ees par le degr´e

“ n ” de stabilisation des A

i

: ainsi A

_n

est la cat´egorie des multicomplexes (0 → A

1

→ . . . → A

n−1

→ ∗ ' ∗ ' . . .), les A

i

´etant homotopiquement finis.

Visuellement : un multicomplexe de B

_n

est un espace A

n

filtr´e, muni d’une ap- plication (α : A

n

→ A

n

⊗ S) gradu´ee descendante, nilpotente d’ordre au plus n.

2.3 Les D ₀ -complexes r´ eduits B ^red

Pour des raisons techniques qui apparaˆıtront lors des d´emonstrations, il est n´ecessaire d’introduire une sous-cat´egorie de B compos´ee d’objets “ r´eduits ”, qui se comporte beaucoup mieux vis-` a-vis des calculs d’alg`ebre homologique, et redonne la mˆeme K-th´eorie.

D´ efinition 8 .

On appelle multicomplexe “ r´eduit ” un D

₀

-complexe A

∗

o` u toutes les fl`eches α

i

sont surjectives pour tout indice (i ≥ 1). On note ( B

^red

, A

^red

, B

_n^red

, A

_n^red

) les sous-cat´egories respectivement de ( B , A , B

_n

, A

_n

) dont les objets sont r´eduits.

Lemme 1 .

Soit X un D

₀

-complexe quelconque. Alors il existe des D

₀

-complexes ( E acy- clique r´eduit ), et ( X ˜ r´eduit ), et une suite exacte courte fonctorielle en X :

( 0 // X //

^j

// X ˜ // // E // 0 ) D´ emonstration :

On construit les multicomplexes ˜XetEpar r´ecurrence suri:

•Pour (i= 0), on pose : ˜X0=X0=E0= 0.

Pour (i= 1), on pose : ˜X1=X1etE1= 0, carα1 est surjective.

Pour (i= 2), on force l’application ˜α2 `a ˆetre surjective en posant : X˜2=X2⊕C(X1⊗S) etE2=C(X1⊗S) [ le cˆone ] est contractile.

•On suppose construite la suite exacte de l’´enonc´e jusqu’au rang (i≥2).

On pose ˜Xi+1 = ( ˜Xi‘

XiXi+1)⊕C( ˜Xi⊗S). Les fl`echesλi et ji+1 sont fonctoriellement d´efinies par le pushout, et nulles sur le cˆoneC( ˜Xi⊗S). Alors posantEi+1=Ei⊕C( ˜Xi⊗S) contractile, on obtient bien une suite exacte courte au rang (i+ 1) compatible aux fl`echesλ.

Pour construire la fl`echeαi+1, on prend d’une part, la surjection canonique [(C( ˜Xi⊗S)→ X˜i⊗S)], obtenue g´eom´etriquement du cˆone vers la suspension, et d’autre part, on construit la fl`echeαi+1 sur le pushout ( ˜Xi‘

XiXi+1), grˆace `a la propri´et´e universelle du pushout, et `a la relation (λ◦α= α◦λ) : en d´etail, il faut montrer que les deux fl`eches canoniques ( ˜Xi→X˜i−1⊗S→X˜i⊗S) et (Xi+1→Xi⊗S→X˜i⊗S) co¨ıncident surXi. On ´ecrit alors :